湖北襄阳市2025-2026学年下学期期末质量检测高二数学题库

**基本信息** 高二年级数学期末试卷，涵盖概率统计、函数导数、排列组合等核心知识，以机器人巡检、头盔佩戴等真实情境为载体，梯度设计检测学生数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|两点分布、回归直线、二项式系数|基础概念与运算，如第1题考查两点分布期望| |多选题|3/18|相关系数、二项式定理、函数极值|多维度辨析，如第9题综合考查统计与概率性质| |填空题|3/15|函数定义、切线方程、排列应用|情境化计算，如第14题以讲座安排考查排列模型| |解答题|5/77|独立检验、导数应用、概率建模|综合应用，如第18题机器人巡检概率、15题头盔佩戴关联分析，考查数据观念与建模能力|

高二年级数学学科题库 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知随机变量服从两点分布，且，则(    ) A. B. C. D. 2.根据对数据绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且回归直线方程为，则(    ) A. B. C. D. 3.在某次数学考试中，学生成绩若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，至少有名学生的成绩不低于的概率是(    ) A. B. C. D. 4.甲乙丙三人观看表演，现有个座位排成一排，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为 A. B. C. D. 5.二项式的展开式中的系数最大的项为(    ) A. B. C. D. 6.函数在上存在极值点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常”两种判断现对系统进行测试，结果如下：食堂员工被判定为“异常”的概率为，非食堂员工被判定为“正常”的概率为已知进入该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为：，经测试某人被判定为“正常”，则其是食堂员工的概率为 A. B. C. D. 8.已知函数，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是(    ) A. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性强 B. 若，且，则相互独立 C. 若，则的标准差为 D. 若随机变量的概率分布列为，则当时，的期望为 10.已知，下列结论中正确的是(    ) A. 若第项和第项的二项式系数同时最大，则 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11.已知函数，下列选项中正确的是(    ) A. 若在上存在单调递增区间，则 B. 当时，在处的瞬时变化率为 C. 当时，若在区间上有最大值，则 D. 函数图象与直线相切，且满足条件的值有且只有个，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.定义在上的函数，若，则          ． 13.已知函数，，若的图像在处的切线与的图像相切，则          ． 14.某校高一年级准备在新学期的周内，安排次心理健康讲座，分别记为第周、第周、第周，第周为了让学生有足够的时间消化内容，学校要求：在第一次讲座之前至少预留周准备时间，最后一次讲座之后至少预留周总结时间；中间每两次讲座之间至少间隔周；则符合要求的不同安排方案有          种 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.分 某市文明行为促进条例自月日起正式实施，要求驾乘电动车需佩戴安全头盔交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼． 为了解佩戴头盔情况与通行时间的关联性，交警对该路口骑电动车市民进行调查，记上午，下午为高峰期，其他时间为非高峰期，得到如下列联表： 时间 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 非高峰期 高峰期 合计 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动车佩戴头盔与通行时间有关联？ 若从抽出的非高峰期通行的名市民中按是否佩戴头盔采用分层随机抽样抽取人，再从人中随机抽取人，记这人中佩戴头盔的人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 16.分 已知函数． 当时，求在处的切线方程． 若函数在内不单调，求实数的取值范围． 17.分 某高中举办体育知识竞答比赛，每位选手答题规则相同甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则可在规定时间内找本班同学亲友团寻求帮助，亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． 当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率． 当时，甲答了道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的数学期望和方差不必写出分布列． 乙答对每道题的概率为含亲友团，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 18.分 某工厂机器人在直线轨道上执行巡检任务，轨道上有编号为的个检测点机器人每次随机选择一个检测点进行巡检，任务完成后，记录编号返回起点，本次巡检结束，然后再进行下一次巡检机器人的巡检停止规则为：当某次选择的检测点编号大于或等于上一次选择的检测点编号时，巡检停止设停止时机器人的巡检总次数为，记为“共有个检测点时，巡检次后停止”的概率． 若，写出的分布列． 求和的值． 若检测点的个数为，求巡检停止时巡检次数为奇数的概率用表示． 19.分 已知函数． 当时，证明：． 若恒成立，求的取值范围． 若有两个极小值点，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数的最大值． 参考答案 1.【答案】  【解析】解：因为， 又， 两式相加得：， 则． 故选C． 2.【答案】  【解析】解：由已知，得， ． 又回归直线经过点， 所以， 解得． 3.【答案】  【解析】解：因为在内的概率为， 所以， 故， 记“任意选取名学生，至少有名学生的成绩不低于为事件， 则， 4.【答案】  【解析】解：个空位中，个空位恰好相邻的组合为：，，，，共种 剩余个座位安排人进行全排列，共有：种， 安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为：． 5.【答案】  【解析】解：展开式的第项为， 可知当为偶数时，系数最大， 当时，系数为，当时，系数为，当时，系数为，当时，系数为， 则系数最大项为， 故选C． 6.【答案】  【解析】解：的定义域为，求导得，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故是的唯一极小值点， 由题意极值点，则则，解得． 的取值范围是． 故选B． 7.【答案】  【解析】解：设表示“食堂员工”，表示“非食堂员工”，设表示“正常”， 已知非食堂员工和食堂员工的比为，则，， 食堂员工被判定为“异常”的概率为，则食堂员工被判定为“正常”的概率， 非食堂员工被判定为“正常”的概率， 因此某人被判定为“正常”的概率为， 所以， 故选D． 8.【答案】  【解析】解：因为， 令， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，有极大值为：， 则在上单调递减， 又因为，，， 所以比较，，的大小即可， 令，则， 当时，，所以在上单调递减，从而有， 所以， 因为在上单调递减， 所以， 即， 所以． 9.【答案】  【解析】解：对于：线性相关系数，越接近，，相关性越强，，组数据的线性相关性更强，故A错误 对于：因为，且，所以， 由条件概率的公式，可得，所以，所以，相互独立，所以B正确 对于：若∽，则，，的标准差为，所以C错误 对于：因为随机变量的概率分布列为， 而二项分布的概率公式为，， 令，，所以∽，所以当时，，故D正确， 故选BD． 10.【答案】  【解析】解：的展开式第项为。 选项A：根据二项式系数的性质，为偶数时仅中间项二项式系数最大，为奇数时中间项二项式系数同时最大，已知第项和第项二项式系数同时最大，故为奇数，且，解得，故A正确； 选项B：当时，为的系数，取代入通项得，故B错误； 选项C：当时，展开式项系数的绝对值为， 因此等价于的所有项系数和， 令代入得，故C正确； 选项D：当时，展开式为， 将待求式变形得：，将代入得， 因此，故D正确． 故选ACD． 11.【答案】  【解析】解：对于在上存在单调增区间等价于在上有解， 在上有解， 则，得， 即，故A错误； 对于时，，， 则在处的瞬时变化率为，所以B正确； 对于时，，， 当或时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 要使在开区间上有最大值，等价于在该区间内有极大值且极大值端点值， 令，即，， ，即，解得或， 所以，所以C正确； 对于设切点坐标为，对函数求导得， 所以，曲线在处的切线方程为， 因为直线过定点， 将点的坐标代入切线方程得， 由题意可知，关于的方程有三个解， 显然不满足方程，则， 令，则，列表如下： 所以，函数的极小值为，且，如下图所示： 由题意可知，当时，直线与曲线有三个交点，所以D正确． 12.【答案】  【解析】解： ． 13.【答案】  【解析】解：因为， 所以，， 所以，所以切线的方程为， 设直线与函数相切于点， 因为，所以且， 解得，， 所以． 14.【答案】  【解析】解：设，，，之前的周数分别为，，，，记之后的周数为 且，，，， 令，，，则且，，，， 利用隔板法，共有种． 15.【答案】解：零假设市民是否佩戴头盔与通行时间无关联． 根据列联表中的数据经计算得到： ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即认为成立，即认为市民是否佩戴头盔与通行时间没有关联； 按照分层随机抽样得未佩戴头盔的人数为人，佩戴头盔的人数为人． 从这人中随机抽取人，则，，， ，，， 所以的分布列为 则．  16.【答案】解：当时，因为， 所以，， 所以在处的切线方程为 ， 当时，， 则函数在内单调递减，不满足条件 当时，令， 则， 所以在内单调递增， 要使函数在内不单调， 在上有变号零点，又， 故只需， ．  17.【答案】解：记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，， 所以． 可能取值为，，，， 甲答对某道题的概率，则， 所以的数学期望． ． 记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为， 答错某道题的概率为， 则， ， ， ， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团答对的概率的最小值为．  18.【答案】解：时，，，， 由题意得的含义：巡检次后停止，其反面为， 而的含义是前次未能停止，即前两次巡检的检测点编号依次减小，有种可能， 前三次未停止，前三次巡检的检测点编号依次减小，只能是，，，第四次随意： ， 则的分布列为： 共个检测点，则最多次巡检后必停止， 且， 若，则说明前次巡检的检测点编号依次减小，第次编号任意， 因此 若，则类似的讨论， 可得， 其中，的含义是前次未能停止， 即前次巡检的检测点编号依次减小，共种可能，因此， ， 若为偶数， 则 若为奇数， 则 综上所述，．  19.【答案】解：函数的定义域为． 当时，， 求导得， 令，求导得，令得， 时，单调递减，时，单调递增， 故，又， 时，，单调递减， 时，，单调递增， ，故成立． ， 令，， 则时时 则在上单调递减，在上单调递增 则，即 等价于又因，则对恒成立． 令，，， 则在上单调递增 则． 所以，即． 由可知：不符合题意 ， 令，因此， 当时，易知在上单调递减，在上单调递增， ，且，，当时，， 故存在，使，又， 故， 因此当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 故，为的两个极小值点，且满足 因此令，得 因此， 令，因此， 令，因此， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，，， 故在内存在唯一零点， 即， 且当时，，，因此单调递减； 当时，，，因此单调递增， 故， 由，得， 故整数的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $