精品解析：湖北省襄阳市2024-2025学年高二下学期7月期末统一调研测试数学试题

襄阳市2025年7月高二期末统一调研测试 数 学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 根据下表所示样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（ ） x 1 2 3 4 5 y 2 2 2 3 3 A. B. C. 1 D. 1.5 2. 某物体的位移s与时间t的函数为，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（ ） A. 5米/秒 B. 6米/秒 C. 8米/秒 D. 110米/秒 3. 已知随机变量，，则（ ） A. 0.15 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.35 4. 集合，，从集合M中取一个元素作为点的横坐标，从集合N中取一个元素作为点的纵坐标，则该点在第二象限内有（ ）种情况 A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 5. 连续掷一颗质地均匀的骰子两次，在两次骰子点数之积为偶数的条件下，两次骰子点数均为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的展开式中第4项和第6项的二项式系数相等，则（ ） A. 12 B. 78 C. 220 D. 286 7. 某学校有A，B两家餐厅，某同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去A餐厅，那么第2天还去A餐厅概率为；如果某天去B餐厅，那么第2天还去B餐厅的概率为．若该同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则该同学第3天去A餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1 B. 甲、乙两个模型的决定系数分别为0.98和0.82，则模型甲的拟合效果更好 C. 对于经验回归方程，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加2个单位 D. 在回归分析模型中，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好 10. 下列函数的图象与x轴相切于点的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有两个极值点 B. 当时，在处取得极大值 C. 若满足，则的最小值为 D. 若存在极大值点，且，其中，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量的分布列为 1 2 3 4 k 2k 3k 4k 则________． 13. 某班级有4名男生和2名女生参加一场座谈会，座位安排在一排的6个座位上，要求女生不能坐在最左端和最右端，且任意女生不能相邻，则满足条件的座位安排共有________种． 14. 已知函数，若对于任意的，且，恒有，则实数k的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某大型学校有初中学生2400人，高中学生1600人．学校为了解学生的体育锻炼习惯，采用按比例分配的分层抽样方式从中抽取100人进行问卷调查． 将每天体育锻炼时长小时视为锻炼达标，整理出如下列联表： 是否达标 学段 合计 初中 高中 达标 28 不达标 24 合计 60 40 100 （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联．（结果保留小数点后三位） （2）如果将上面列联表中的所有数据都扩大为原来的10倍，依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联．（结果保留小数点后三位） 附：，其中：． 0.1 005 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 设，求下面各式的值． （1）求； （2）求； （3）求． 17. 新能源汽车发展非常迅速，某地区2017年至2024年（年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，7，8）某品牌新能源汽车的科研经费投入和销售量统计如下： 年份代码i 1 2 3 4 5 6 7 8 科研经费（单位：百亿元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销售量（单位：百万辆） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数．， （1）根据样本数据，计算科研经费x与销售量y之间的样本相关系数，并推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01）； （2）根据样本数据，求销售量y关于科研经费x的线性回归方程（，用分数表达）． 18. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． （1）若， （ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望； （ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． （2）若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围． 19. 已知函数，， （1）讨论单调性； （2）当时，若恒成立，求b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 襄阳市2025年7月高二期末统一调研测试 数 学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 根据下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（ ） x 1 2 3 4 5 y 2 2 2 3 3 A. B. C. 1 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心点，将其代入回归直线方程，求得的值，即可得到答案. 【详解】由表格中的数据，可得，， 又样本中心点必在线性回归直线上，将代入回归直线方程， 可得，解得. 故选：D. 2. 某物体的位移s与时间t的函数为，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（ ） A. 5米/秒 B. 6米/秒 C. 8米/秒 D. 110米/秒 【答案】C 【解析】 【分析】求导，代入，得到答案. 【详解】因为位移s与时间t的函数为， 所以，当时，， 故物体在1秒末的瞬时速度是8米/秒. 故选：C 3. 已知随机变量，，则（ ） A. 0.15 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.35 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】已知随机变量，， 则. 故选：C. 4. 集合，，从集合M中取一个元素作为点的横坐标，从集合N中取一个元素作为点的纵坐标，则该点在第二象限内有（ ）种情况 A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】确定点在第二象限，需要两步： 确定点的横坐标为负，有3种方法；确定该点的纵坐标为正，有3种方法， 所以该点在第二象限内有（种）. 故选：A. 5. 连续掷一颗质地均匀的骰子两次，在两次骰子点数之积为偶数的条件下，两次骰子点数均为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举出所有可能性，根据古典概率公式计算对应概率，再利用条件概率公式计算即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次， 样本空间 ，共有36个样本点， 记“两次骰子点数之积为偶数”为事件， 则事件 ，有27个样本点， 故事件的概率为， 记“两次骰子点数均为偶数”为事件， 则事件，有9个样本点， 故事件的概率为， 所以， 故选：C 6. 已知的展开式中第4项和第6项的二项式系数相等，则（ ） A. 12 B. 78 C. 220 D. 286 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，进一步结合公式化简所求即可. 【详解】由题意，所以， 因为， 所以 . 故选：D. 7. 某学校有A，B两家餐厅，某同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去A餐厅，那么第2天还去A餐厅的概率为；如果某天去B餐厅，那么第2天还去B餐厅的概率为．若该同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则该同学第3天去A餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式求出张同学第2天去A，B餐厅的概率，继而可求第3天去A餐厅用餐的概率. 【详解】设表示事件：第i天去A餐厅，表示事件：第i天去B餐厅， 由题意可知：,， ， 所以， 根据全概率公式得： 故， , 则， 故选：B 8. 函数，的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求导得函数在上单调性，进一步即可求得最大值. 【详解】由题意 ， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数，的最大值为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1 B. 甲、乙两个模型的决定系数分别为0.98和0.82，则模型甲的拟合效果更好 C. 对于经验回归方程，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加2个单位 D. 在回归分析模型中，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线性相关系数，决定系数，回归直线及残差平方和等知识依次判断即可. 【详解】对于A，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1，故A错误； 对于B，若决定系数的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好， 因为，所以模型甲的拟合效果更好，故B正确； 对于C，在经验回归方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少3个单位，故C错误； 对于D，在回归分析模型中，若残差平方和越小，则模型的拟合效果越好，故D错误. 故选：ACD. 10. 下列函数的图象与x轴相切于点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】经检验当时，，，，都等于0， 故只需验证在处的切线斜率是否为0即可求解. 【详解】经检验当时，，，，都等于0， 故只需验证在处的切线斜率是否为0即可， 对于A，，在处的切线斜率为0，故A正确； 对于B，，在处的切线斜率为1，故B错误； 对于C，，在处的切线斜率为0，故C正确； 对于D，，在处的切线斜率为1，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有两个极值点 B. 当时，在处取得极大值 C. 若满足，则的最小值为 D. 若存在极大值点，且，其中，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题意得，当时，有两个不等实根，进一步即可判断；对于B，由A选项分析即可判断；对于C，先由得，再验证，最后将转换为关于的二次函数即可；对于D，由题意得，，化简即可得解. 【详解】对于A，由题意，若有两个不等实根，则当且仅当，解得， 所以当时，， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有两个极值点，故A正确； 对于B，当时，由A可知，在处取得极大值，故B错误； 对于C，若满足，则，所以，即， 当时，， 此时 ， 故符合题意， 所以，等号成立当且仅当， 所以若满足，则的最小值为，故C正确； 对于D，若存在极大值点，则，且①， 因为，所以， 化简得， 因为，所以， 又因为，所以， 即，解得或， 因为，所以，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量的分布列为 1 2 3 4 k 2k 3k 4k 则________． 【答案】 【解析】 【分析】先由分布列的知识求出，从而可求解. 【详解】由题意可得，解得， 则. 故答案为：. 13. 某班级有4名男生和2名女生参加一场座谈会，座位安排在一排的6个座位上，要求女生不能坐在最左端和最右端，且任意女生不能相邻，则满足条件的座位安排共有________种． 【答案】144 【解析】 【分析】根据题意用插空法进行排列. 详解】根据题意4名男生全排列：， 排好后除了最左端和最右端有3个空，选两个空位安排2名女生进去：， 故满足条件的座位安排共有种. 故答案为：144. 14. 已知函数，若对于任意的，且，恒有，则实数k的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将所给不等式进行变形，然后通过构造函数，利用函数的导数判断单调性，进而求解实数k的取值范围. 【详解】因为，不妨设，故， 所以，令， 则，所以在上是减函数， ，因为在上是减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 变形为在上恒成立， 令，，令，即，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 因为在上恒成立，所以，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某大型学校有初中学生2400人，高中学生1600人．学校为了解学生的体育锻炼习惯，采用按比例分配的分层抽样方式从中抽取100人进行问卷调查． 将每天体育锻炼时长小时视为锻炼达标，整理出如下列联表： 是否达标 学段 合计 初中 高中 达标 28 不达标 24 合计 60 40 100 （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联．（结果保留小数点后三位） （2）如果将上面列联表中的所有数据都扩大为原来的10倍，依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联．（结果保留小数点后三位） 附：，其中：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）无关 （2）认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）有关联． 【解析】 【分析】（1）根据题意完成列联表，根据卡方公式计算卡方，对比临界值即可作出结论； （2）将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，根据卡方公式计算卡方，对比临界值即可作出结论. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： 是否达标 学段 初中 高中 达标 36 28 64 不达标 24 12 36 合计 60 40 100 零假设为：学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）无关． 根据列联表，=， 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）无关． 【小问2详解】 将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍， 则，=， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）有关联． 16. 设，求下面各式的值． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1）-4050 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由二项式定理即可求解； （2）由赋值法即可求解； （3）先求导，然后结合赋值法即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 令， 则， 两式相减得，； 【小问3详解】 因为， 两边分别求导，得2025， 令，得． 17. 新能源汽车发展非常迅速，某地区2017年至2024年（年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，7，8）某品牌新能源汽车的科研经费投入和销售量统计如下： 年份代码i 1 2 3 4 5 6 7 8 科研经费（单位：百亿元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销售量（单位：百万辆） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数．， （1）根据样本数据，计算科研经费x与销售量y之间的样本相关系数，并推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01）； （2）根据样本数据，求销售量y关于科研经费x的线性回归方程（，用分数表达）． 【答案】（1）0.98，两个变量线性相关且线性相关程度很强； （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，并对相关系数的公式变形，代入求值，得到，得到结论； （2）代入公式计算出，，得到线性回归方程. 【小问1详解】 ， ， 其中， 将，，代入可得： . ，将，代入可得： ， ，将，代入可得： . 故， 由于接近，所以两个变量线性相关且线性相关程度很强； 【小问2详解】 ， 由，代入可得：， 所以关于的回归直线方程为 18. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． （1）若， （ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望； （ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． （2）若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ），. （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据题意可知Y服从超几何分布，根据数学期望计算即可； （ⅱ）根据题意可知，分别求出和再比较它们大小即可； （2）根据题意列出进行计算出，再根据函数的导函数求出a的取值范围. 【小问1详解】 （ⅰ）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，可取0，1，2，3，4， ， ；；； ；； 服从超几何分布，的分布列为： 0 1 2 3 4 ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下， 设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则；； ； 故， 由（ⅰ）可知， 因，所以； 【小问2详解】 当，则，若最大，则， 即，得 又，， 故，，由题得方程有两个不相等的正实根， 两边取对数得有两个不相等的正实根， 构造函数，求导得， 令，解得； 当时，；当时，； 易知在单调递增，在单调递减，且， 可知的图象如下图所示： 由数形结合得，，所以. 19. 已知函数，， （1）讨论单调性； （2）当时，若恒成立，求b的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，对分类讨论即可得对应的单调性； （2）由题意恒成立，构造函数，只需利用导数求导的最小值即可得解. 【小问1详解】 由已知， 当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增； 当时，由，得或， 当即时，在上单调递增， 当时，时，在上单调递减， 和时，在单调递增； 当时，时，在上单调递减， 和时，在上单调递增. 综上可得：①时，在单调递减，在上单调递增； ②时，在上单调递增； ③时，在上单调递减，在上单调递增； ④时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 当时，若恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，又， 所以存在唯一的，使得， 当时，，即，则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 则. 又因 设，则，易知在上单调递增， 所以，得故， 因此，故b的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$