第五单元 多边形的认识（解决问题讲义）数学青岛版五四学制四年级上册（新教材）

该小学数学讲义围绕三角形、平行四边形、梯形等多边形，通过知识框架图呈现四边形与特殊四边形的包含关系，借助思维导图梳理图形边、角、高的关键特征，系统构建从定义到应用的知识脉络，突出特征判断、边长计算等核心重难点。 讲义亮点在于“典型例题+变式训练”的分层设计，如等腰三角形周长计算通过分类讨论强化推理意识，画高题型强调规范步骤培养空间观念。高频易错点拨助力学生规避概念混淆，教师可据此实施精准复习，有效提升不同层次学生的几何直观与应用能力。

第五单元 多边形的认识 一、通用解题核心思路 本单元主要认识三角形、平行四边形、梯形等常见多边形，解决问题以特征判断、边长计算、围图形、高的作图与应用为主。解题核心：熟记各类图形定义与独有特征，抓牢边、角、高三大关键要素，结合生活情境分析，不凭肉眼直观判断，依据概念严谨解题。 二、各类图形核心解题技巧 1. 三角形专项技巧：核心考点为三角形三边关系与分类。三边判定口诀：任意两边之和大于第三边，实际解题可直接用最短两边之和大于最长边快速判断。按角分为锐角、直角、钝角三角形；按边分为等腰、等边三角形。等边三角形三边相等、三角相等，等腰三角形两腰、两底角分别相等。 2.平行四边形专项技巧：核心特征是对边平行且相等、对角相等。易变形、不稳定是其独有性质，常用于生活伸缩结构题型。求周长直接套用长方形周长思路，邻边和乘2。作图与判断题重点把握对边平行特征。 3. 梯形专项技巧：只有一组对边平行的四边形是梯形。平行的一组对边为上底、下底，不平行的两边是腰。两腰相等为等腰梯形，等腰梯形两底角相等、轴对称。解题重点区分梯形与平行四边形，避免概念混淆。 三、四边形、平行四边形、长方形、正方形、梯形之间的关系 四、高频重点题型方法点拨 1. 围图形判断问题：给出多条线段，筛选能围成三角形、平行四边形、梯形的组合，严格依据边长特征和三边关系筛选，排除不符合条件组合。 2. 画高题型：三角形、平行四边形、梯形均有无数条高。核心方法：找准底边，借助三角板作垂线段，高用虚线绘制，标注垂足，是作图必考要点。 3. 周长计算问题：根据图形边的特征，利用相等边替换推算，无需逐条测量，简化周长计算步骤。 五、高频易错点拨 1. 判断三角形三边时，误用最长边加最短边判断，忽略核心判定规则。 2. 混淆概念：平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行，不可等同。 3. 画高不规范：实线画高、无垂足、高不对应底边，是主要作图失分点。 4. 误判图形类型，只看外形不看定义，凭视觉判断导致错误。 类型1  等腰三角形和等边三角形的认识及特征解决问题 典型例题1：一个等腰三角形，一条边是10厘米，另一条边是5厘米，这个三角形的周长是多少厘米？ 【分析】根据题意，已知一个等腰三角形，一条边是10厘米，另一条边是5厘米，根据任意两边之和大于第三边，当等腰三角形的腰的长度是5厘米，底边长为10厘米时，由于：5＋5＝10，所以不成立；当等腰三角形的腰的长度是10厘米，底边长为5厘米，把三条边的长度加起来就是它的周长，列式解答即可。 变式训练：红领巾一个底角的度数是15°，顶角的度数是多少度？ 类型2  三角形三边关系解决问题 典型例题2：一个等腰三角形的一条边长16厘米，另一条边长8厘米，这个三角形的周长是多少厘米？ 【分析】根据等腰三角形的性质可知，等腰三角形的两腰相等，故需分类讨论哪条边长为底边长，哪条边长为腰长；再根据任意两边之和大于第三边对两种情况进行验证，从而解题。 变式训练：小猴子要给小兔子的家门口修一个遮雨棚，他有一根12分米和8分米的木条，最短要找多长的木棒才能做好一个支架？最长呢？（木棒长为整分米数） 类型3  三角形的内角和解决问题 典型例题3：在一个等腰三角形中，一个底角是a°。用含有字母的式子表示顶角的度数。当a＝42时，顶角是多少度？ 【分析】三角形的内角和等于180°，等腰三角形的两个底角相等，顶角等于180°减去两个底角的度数和，据此即可解答。 变式训练：周末天气晴朗，小明一家外出郊游，妈妈给他买了一个等腰三角形的风筝，风筝的顶角度数是底角的4倍，求这个风筝三个角的度数。 类型4  多边形形的内角和解决问题 典型例题4：根据三角形的内角和是180°，你能推算出五边形的内角和是多少度吗？ 【分析】五边形由3个三角形组成，则五边形内角和＝三角形内角和×3，依此计算即可求解。 变式训练：成成用三角形的内角和推导出了四边形的内角和是( )度，下面是成成利用所学知识研究五边形内角和的三种方法，你能用算式表达出成成的研究思路吗？ ______________        ______________        ______________ 类型5 平行四边形的概念及特点解决问题 典型例题5：花园小区为了绿化环境，在楼前空地靠墙用白栅栏围成了一个平行四边形的花坛。已知每米栅栏的成本是28元。一共需要花费多少元？ 【分析】平行四边形对边相等；根据题图可知，平行四边形的花坛有两条长15米的边和一条长23米的边，需要围栅栏，把这三条边的长度相加，先算出需要栅栏的米数，再乘每米栅栏的成本，即可求出一共需要花费多少元。 变式训练：建设小区为了绿化美化环境，在楼前空地靠墙用白栅栏围成了一个平行四边形的花坛。（如图所示） 需准备白栅栏多少米？ 类型6  梯形的高及画法解决问题 典型例题6：请标出下面图形各部分名称，并量一量它的长度。      【分析】（1）经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高； （2）平行四边形互相平行的边都可以叫做它的底边；平行四边形边上任意一点到对边距离叫做平行四边形的高； （3）在梯形中互相平行的边，叫做它的底边，较短的可以叫做上底，较长的叫做下底，不平行的两条边是梯形的腰，在梯形上底上任取一点，过这一点向下底作垂线段即为梯形的高； 用直尺的“0”刻度线和线段的一个端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是该线段的长度，据此解答。 变式训练：用直尺画出梯形的两条高，并仔细观察，原来的梯形被分割成了哪些平面图形？请写出来。 1．给一块平行四边形形状的菜地围上栅栏，它相邻两条边的长度分别是12米和15米，一共需要围栅栏多少米？ 2．一个等腰三角形的周长是36厘米，底比腰多3厘米，它的腰长是多少厘米？底长是多少厘米？ 3．一根铁丝可以围成一个边长为12厘米的正方形，如果改围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是多少厘米？ 4．学校花园里有一个等腰三角形花坛，相邻两条边的长度分别是6米和9米，这个花坛的周长最长是多少米？ 5．王大爷想在小河边围一块梯形菜地，菜地的上底长6米，下底长18米，两腰各长7米。 （1）如果把河岸作为梯形的上底，围这块菜地需要多少米篱笆？ （2）如果把河岸作为梯形的一条腰，围这块菜地需要多少米篱笆？ 6．晨晨有一个等腰三角形形状的玩具，它的一个底角是35°，顶角是多少度？ 7．把一根塑料管剪成3段准备拼成一个等腰三角形，其中两条边的长度分别是12cm，26cm，那么第三段可能长多少厘米？这根塑料管一共有多长？ 8．一根铁丝可围成边长是6厘米的正方形。如果围成一个等边三角形，它的边长是多少厘米？ 9．一块形状为等腰梯形的菜地，上底是6米，下底是10米，一个腰长9米，要在它的四周围上篱笆，篱笆至少需要多少米？ 10．李大伯家有一块等腰三角形的菜园，底边长10米，腰长20米，要在菜园的边上围篱笆，篱笆的长是多少米？ 11．下面图形是等腰三角形，先求出∠1和∠2的度数，再画出三角形指定底边上的高。 12．如图，一个平行四边形的羊圈，有一面靠墙，要在其余三面修栅栏，已知每米栅栏的成本是28元，一共需要花费多少元？ 13．一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是多少度？原来这块纸片的形状是什么三角形，也是什么三角形？ 14．一个等腰三角形的一个底角是42°，它的顶角是多少度？ 15．一个等腰梯形的上底长4厘米，下底长8厘米，它的周长是20厘米。它的腰长为多少厘米？ 16．一个平行四边形的一条边长28厘米，它的邻边比这条边多9厘米，这个平行四边形的周长是多少厘米？ 17．王大伯有一块等腰梯形的菜地。它的上、下底长度的和是22米，一条腰长12米。王大伯绕着这块地走了两圈，一共走了多少米？ 18．一根铁丝正好可以围成一个边长为10厘米的正方形，现改围成一个平行四边形，这个平行四边形的一条边长8厘米，与它相邻的一条边长多少厘米？ 19．一个三角形的各边长都是整厘米数，其中两条边分别是7厘米和8厘米，那么这个三角形的周长最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 20．把两个边长分别为5厘米、6厘米、7厘米的相同的三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的周长最小是多少厘米？最大是多少厘米？ 21．在下图中，已知∠1=130°，∠5=30°．你能求出∠4的度数吗? 22．下图是一个梯形的广场。 （1）从A点到对边，怎样走最近，在图上画出来。 （2）把这个梯形广场分成一个平行四边形和一个三角形。 （3）想办法算一算这个梯形的内角和。 23．如图，制作一种零件，要求AB垂直于BC，∠BOD＝130°，并且AB和CD的延长线的夹角是40°，那么∠A＋∠C的度数是多少才符合要求？ 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 多边形的认识 一、通用解题核心思路 本单元主要认识三角形、平行四边形、梯形等常见多边形，解决问题以特征判断、边长计算、围图形、高的作图与应用为主。解题核心：熟记各类图形定义与独有特征，抓牢边、角、高三大关键要素，结合生活情境分析，不凭肉眼直观判断，依据概念严谨解题。 二、各类图形核心解题技巧 1. 三角形专项技巧：核心考点为三角形三边关系与分类。三边判定口诀：任意两边之和大于第三边，实际解题可直接用最短两边之和大于最长边快速判断。按角分为锐角、直角、钝角三角形；按边分为等腰、等边三角形。等边三角形三边相等、三角相等，等腰三角形两腰、两底角分别相等。 2.平行四边形专项技巧：核心特征是对边平行且相等、对角相等。易变形、不稳定是其独有性质，常用于生活伸缩结构题型。求周长直接套用长方形周长思路，邻边和乘2。作图与判断题重点把握对边平行特征。 3. 梯形专项技巧：只有一组对边平行的四边形是梯形。平行的一组对边为上底、下底，不平行的两边是腰。两腰相等为等腰梯形，等腰梯形两底角相等、轴对称。解题重点区分梯形与平行四边形，避免概念混淆。 三、四边形、平行四边形、长方形、正方形、梯形之间的关系 四、高频重点题型方法点拨 1. 围图形判断问题：给出多条线段，筛选能围成三角形、平行四边形、梯形的组合，严格依据边长特征和三边关系筛选，排除不符合条件组合。 2. 画高题型：三角形、平行四边形、梯形均有无数条高。核心方法：找准底边，借助三角板作垂线段，高用虚线绘制，标注垂足，是作图必考要点。 3. 周长计算问题：根据图形边的特征，利用相等边替换推算，无需逐条测量，简化周长计算步骤。 五、高频易错点拨 1. 判断三角形三边时，误用最长边加最短边判断，忽略核心判定规则。 2. 混淆概念：平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行，不可等同。 3. 画高不规范：实线画高、无垂足、高不对应底边，是主要作图失分点。 4. 误判图形类型，只看外形不看定义，凭视觉判断导致错误。 类型1  等腰三角形和等边三角形的认识及特征解决问题 典型例题1：一个等腰三角形，一条边是10厘米，另一条边是5厘米，这个三角形的周长是多少厘米？ 【答案】25厘米 【分析】根据题意，已知一个等腰三角形，一条边是10厘米，另一条边是5厘米，根据任意两边之和大于第三边，当等腰三角形的腰的长度是5厘米，底边长为10厘米时，由于：5＋5＝10，所以不成立；当等腰三角形的腰的长度是10厘米，底边长为5厘米，把三条边的长度加起来就是它的周长，列式解答即可。 【详解】根据分析可知： 5＋5＝10，不成立 10＋10＋5 ＝20＋5 ＝25（厘米） 答：这个三角形的周长是25厘米。 变式训练：红领巾一个底角的度数是15°，顶角的度数是多少度？ 【答案】150° 【分析】由题图可知，红领巾是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，用180°减去两个底角的和就是顶角，列式解答即可。 【详解】180°－15°×2 ＝180°－30° ＝150° 答：顶角的度数是150°。 类型2  三角形三边关系解决问题 典型例题2：一个等腰三角形的一条边长16厘米，另一条边长8厘米，这个三角形的周长是多少厘米？ 【答案】40厘米 【分析】根据等腰三角形的性质可知，等腰三角形的两腰相等，故需分类讨论哪条边长为底边长，哪条边长为腰长；再根据任意两边之和大于第三边对两种情况进行验证，从而解题。 【详解】当8厘米为腰时，底为16厘米； 8＋8＝16（厘米），16厘米＝16厘米，不可以构成三角形； 当16厘米为腰时，底为8厘米； 16＋16＝32（厘米），32厘米＞8厘米，可以构成三角形； 所以这个等腰三角形的周长为： 8＋16＋16 ＝24＋16 ＝40（厘米） 答：这个等腰三角形的周长为40厘米。 变式训练：小猴子要给小兔子的家门口修一个遮雨棚，他有一根12分米和8分米的木条，最短要找多长的木棒才能做好一个支架？最长呢？（木棒长为整分米数） 【答案】5分米；19分米 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答。 已知有两根木条，长度分别为12分米和8分米。两根木条长度之差为：（分米）；两根木条长度之和为：（分米）。 【详解】（分米） 因为第三边（木棒）的长度要大于两边之差，且木棒长度为整分米数，所以最短要比4分米长1分米，即最短要找5分米长的木棒才能做好一个支架。 （分米） 因为第三边（木棒）的长度要小于两边之和，且木棒长度为整分米数，所以最长要比20分米短1分米，即最长要找19分米长的木棒。 答：最短要找5分米的木棒才能做好一个支架，最长要找19分米的木棒才能做好一个支架。 类型3  三角形的内角和解决问题 典型例题3：在一个等腰三角形中，一个底角是a°。用含有字母的式子表示顶角的度数。当a＝42时，顶角是多少度？ 【答案】180°－2a°；96° 【分析】三角形的内角和等于180°，等腰三角形的两个底角相等，顶角等于180°减去两个底角的度数和，据此即可解答。 【详解】180°－a°×2＝180°－2a° 当a＝42时 180°－42°×2 ＝180°－84° ＝96° 答：顶角是96°。 变式训练：周末天气晴朗，小明一家外出郊游，妈妈给他买了一个等腰三角形的风筝，风筝的顶角度数是底角的4倍，求这个风筝三个角的度数。 【答案】底角30°；顶角120° 【分析】等腰三角形两腰相等，两底角也相等。三角形内角和是180°，风筝的顶角是底角的4倍，180°除以（4＋1＋1）可以算出一个底角的度数，底角的度数乘4，即可算出顶角的度数。 【详解】180°÷（4＋1＋1） ＝180°÷6 ＝30° 30°×4＝120° 答：这个风筝的底角是30°，顶角是120°。 类型4  多边形形的内角和解决问题 典型例题4：根据三角形的内角和是180°，你能推算出五边形的内角和是多少度吗？ 【答案】540° 【分析】五边形由3个三角形组成，则五边形内角和＝三角形内角和×3，依此计算即可求解。 【详解】如图所示： 180°×3＝540° 答：五边形的内角和是540°。 变式训练：成成用三角形的内角和推导出了四边形的内角和是( )度，下面是成成利用所学知识研究五边形内角和的三种方法，你能用算式表达出成成的研究思路吗？ ______________        ______________        ______________ 【答案】 360 （度） （度） （度） 【分析】把四边形分成两个三角形，三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和是180°×2＝360°。 第一种把五边形分成三个三角形，三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和180°×3＝540°。 第二种把五边形分成一个三角形和一个四边形，三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，所以五边形的内角和180°＋360°＝540° 第三种把五边形分成五个三角形，三角形的内角和是180°，180°×5＝900°，再减去一个周角360°，所以五边形的内角和是900°－360°＝540°。 【详解】成成用三角形的内角和推导出了四边形的内角和是360度。 类型5 平行四边形的概念及特点解决问题 典型例题5：花园小区为了绿化环境，在楼前空地靠墙用白栅栏围成了一个平行四边形的花坛。已知每米栅栏的成本是28元。一共需要花费多少元？ 【答案】1484元 【分析】平行四边形对边相等；根据题图可知，平行四边形的花坛有两条长15米的边和一条长23米的边，需要围栅栏，把这三条边的长度相加，先算出需要栅栏的米数，再乘每米栅栏的成本，即可求出一共需要花费多少元。 【详解】15×2＋23 ＝30＋23 ＝53（米） 53×28＝1484（元） 答：一共需要花费1484元。 变式训练：建设小区为了绿化美化环境，在楼前空地靠墙用白栅栏围成了一个平行四边形的花坛。（如图所示） 需准备白栅栏多少米？ 【答案】23米 【分析】平行四边形对边平行且相等， 周长的认识：封闭图形一周的长度叫做图形的周长；根据题意可知，白栅栏的长度比平行四边形的周长少一个长边，那么用5乘2可以计算出两条短边的长度，再加上13即可；据此解答。 【详解】13＋5×2 ＝13＋10 ＝23（米） 答：需准备白栅栏23米。 类型6  梯形的高及画法解决问题 典型例题6：请标出下面图形各部分名称，并量一量它的长度。      【答案】见详解 【分析】（1）经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高； （2）平行四边形互相平行的边都可以叫做它的底边；平行四边形边上任意一点到对边距离叫做平行四边形的高； （3）在梯形中互相平行的边，叫做它的底边，较短的可以叫做上底，较长的叫做下底，不平行的两条边是梯形的腰，在梯形上底上任取一点，过这一点向下底作垂线段即为梯形的高； 用直尺的“0”刻度线和线段的一个端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是该线段的长度，据此解答。 【详解】     三角形：高＝2厘米；底＝1.4厘米； 平行四边形：高＝1.5厘米；底＝2.5厘米； 梯形：高＝1.5厘米；底＝3厘米。 【点睛】此题考查了三角形、平行四边形和梯形的各部分的名称及根据高的含义判断它的高，应注意灵活运用。 变式训练：用直尺画出梯形的两条高，并仔细观察，原来的梯形被分割成了哪些平面图形？请写出来。 【答案】见详解 【分析】梯形是只有一组对边平行的四边形。梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线，用三角板的直角可以画出梯形的两条高；然后再写出原来的梯形被分割成了哪些平面图形即可。 【详解】梯形的两条高如图所示： 如图所示，原来的梯形被分割成了三角形、长方形等。（答案不唯一） 1．给一块平行四边形形状的菜地围上栅栏，它相邻两条边的长度分别是12米和15米，一共需要围栅栏多少米？ 【答案】54米 【分析】由题意得：四周的栅栏的长度等于平行四边形的四条边的长度之和，因为平行四边形对边长度相等，所以平行四边形周长＝邻边长度之和×2；据此解答即可。 【详解】（12＋15）×2 ＝27×2 ＝54（米） 答：一共需要围栅栏54米。 【点睛】此题主要考查平行四边形的周长公式的实际应用。 2．一个等腰三角形的周长是36厘米，底比腰多3厘米，它的腰长是多少厘米？底长是多少厘米？ 【答案】11厘米；14厘米 【分析】根据等腰三角形的特征可知，等腰三角形两腰相等，假设底长减少3厘米，那么腰长＝底，由此解答即可。 【详解】（36－3）÷3 ＝33÷3 ＝11（厘米） 11＋3＝14（厘米） 答：它的腰长是11厘米，底长是14厘米。 3．一根铁丝可以围成一个边长为12厘米的正方形，如果改围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是多少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】根据正方形的周长公式C＝4a，求出正方形的周长，即铁丝的长度，再除以3就是等边三角形的边长。 【详解】4×12÷3 ＝48÷3 ＝16（厘米） 答：这个等边三角形的边长是16厘米。 【点睛】关键是根据正方形的周长公式C＝4a及等边三角形的性质解答问题。 4．学校花园里有一个等腰三角形花坛，相邻两条边的长度分别是6米和9米，这个花坛的周长最长是多少米？ 【答案】24米 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；据此可知，符合题意的三角形有两个：一个是腰长6米，底是9米；另一个是腰长9米，底是6米，由于要求周长最长的三角形，那就是求第二个三角形的周长。 【详解】9×2＋6 ＝18＋6 ＝24（米） 答：这个花坛的周长最长是24米。 【点睛】熟练掌握三角形的三边关系及等腰三角形的特征，是解答此题的关键。 5．王大爷想在小河边围一块梯形菜地，菜地的上底长6米，下底长18米，两腰各长7米。 （1）如果把河岸作为梯形的上底，围这块菜地需要多少米篱笆？ （2）如果把河岸作为梯形的一条腰，围这块菜地需要多少米篱笆？ 【答案】（1）7×2＋18＝32（米）     （2）6＋18＋7＝31（米） 【分析】本题主要考查梯形周长的实际应用，需要根据不同情况，分析梯形各边与篱笆长度的关系，进而计算篱笆长度。 【详解】（1）此时篱笆长度为梯形的下底与两条腰的长度之和，因为上底靠河岸，不需要围篱笆，所以篱笆长度为： 答：围这块菜地需要32米篱笆。 （2）此时篱笆长度为梯形的上底、下底与另一条腰的长度之和，因为有一条腰靠河岸，不需要围篱笆，所以篱笆长度为： 答：围这块菜地需要31米篱笆。 6．晨晨有一个等腰三角形形状的玩具，它的一个底角是35°，顶角是多少度？ 【答案】110° 【分析】等腰三角形两底角相等，180度减去两个底角的度数即等于顶角的度数。 【详解】180°－35°－35° ＝145°－35° ＝110° 答：顶角是110度。 【点睛】熟练掌握等腰三角形的特点和三角形内角和知识是解答本题的关键。 7．把一根塑料管剪成3段准备拼成一个等腰三角形，其中两条边的长度分别是12cm，26cm，那么第三段可能长多少厘米？这根塑料管一共有多长？ 【答案】26m；64cm 【分析】等腰三角形中，两条腰相等，则第三段可能是12cm或者26cm。根据三角形的三边关系可知，12＋12＜26，则长12cm、12cm、26cm的三根塑料管不能组成一个三角形。12＋26＞26，则长12cm、26cm、26cm的三根塑料管能组成一个三角形。则第三段长26cm。再将这三根塑料管的长度相加求和。 【详解】12＋12＜26， 12＋26＞26 则第三段长26cm 12＋26＋26＝64（cm） 答：第三段可能长26厘米，这根塑料管一共长64cm。 【点睛】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边。 8．一根铁丝可围成边长是6厘米的正方形。如果围成一个等边三角形，它的边长是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】根据题意可知，围成的正方形和三角形的周长都等于这根铁丝的长度，先根据“正方形周长＝边长×4”求出这根铁丝的长度，再除以3，就是围成的等边三角形的边长，据此解题即可。 【详解】6×4÷3 ＝24÷3 ＝8（厘米） 答：它的边长是8厘米。 【点睛】要明确，围成的正方形和三角形的周长相等，是解答此题的关键。 9．一块形状为等腰梯形的菜地，上底是6米，下底是10米，一个腰长9米，要在它的四周围上篱笆，篱笆至少需要多少米？ 【答案】34米 【分析】根据题意可知，要求篱笆的长度，就是求这个等腰梯形的周长，把整体等腰梯形的四条边的长度相加即可解题。 【详解】6＋10＋9＋9＝34（米） 答：篱笆至少需要34米。 【点睛】要明确篱笆的长度等于梯形的周长及等腰梯形的两腰相等，是解答此题的关键。 10．李大伯家有一块等腰三角形的菜园，底边长10米，腰长20米，要在菜园的边上围篱笆，篱笆的长是多少米？ 【答案】50米 【分析】封闭图形一周的长度是这个图形的周长，等腰三角形的两腰相等，依此计算。 【详解】10＋20＋20 ＝30＋20 ＝50（米） 答：篱笆的长是50米。 【点睛】此题考查的是三角形的周长的计算，熟练掌握等腰三角形的特点是解答此题的关键。 11．下面图形是等腰三角形，先求出∠1和∠2的度数，再画出三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角都相等，三角形的内角和为180°，因此用180°减去100°后，再除以2即可；从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；这条对边叫做三角形的底；依此画图。 【详解】180°－100°＝80° 80°÷2＝40° 因此∠1＝∠2＝40° 12．如图，一个平行四边形的羊圈，有一面靠墙，要在其余三面修栅栏，已知每米栅栏的成本是28元，一共需要花费多少元？ 【答案】2884元 【分析】根据所学知识可知，平行四边形的对边相等；所以一个平行四边形的羊圈，有一面靠墙，要在其余三面修栅栏，需要栅栏的长度是2个39米＋25米，需要栅栏的长度×每米栅栏的成本＝一共需要花费的钱数，据此解答即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝2884（元） 答：一共需要花费2884元。 13．一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是多少度？原来这块纸片的形状是什么三角形，也是什么三角形？ 【答案】67°；锐角三角形；等腰三角形 【分析】根据三角形内角和为180度，用180度依次减去46度和67度，算出第三个角是67度，再根据三角形按角分：锐角三角形三个角都是锐角的三角形；直角三角形有一个角是直角；钝角三角形有一个角是钝角。判断属于锐角的三角形。根据三角形边的特征分类：有两边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形，据此判断是等腰三角形。 【详解】180－46－67＝134－67＝67（度） 三个角67度，67度，46度都小于90度，则这个三角形是锐角三角形，且有两个角相等，也是等腰三角形。 答：这个角是67度，是锐角三角形，也是等腰三角形。 14．一个等腰三角形的一个底角是42°，它的顶角是多少度？ 【答案】96° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，所以另一个底角也是42°，根据三角形的内角和为180°，用180°减去两个底角可算出顶角。 【详解】180°－42°×2 ＝180°－84° ＝96° 答：它的顶角是96°。 15．一个等腰梯形的上底长4厘米，下底长8厘米，它的周长是20厘米。它的腰长为多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】梯形是一个四边形，它的周长是四条边长度之和，等腰梯形的两条腰是相等的，所以等腰梯形周长＝上底＋下底＋2×腰长，则腰长＝（周长－上底－下底）÷2，代入数据计算。 【详解】（20－4－8）÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 答：它的腰长为4厘米。 16．一个平行四边形的一条边长28厘米，它的邻边比这条边多9厘米，这个平行四边形的周长是多少厘米？ 【答案】 130厘米 【分析】根据题意，平行四边形对边相等的性质，已知一条边长为28厘米，其邻边比它多9厘米，即邻边为28＋9＝37（厘米）。周长等于两组对边之和，即（28＋37）×2。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 28＋9＝37（厘米） （28＋37）×2 ＝65×2 ＝130（厘米） 答：这个平行四边形的周长是130厘米。 17．王大伯有一块等腰梯形的菜地。它的上、下底长度的和是22米，一条腰长12米。王大伯绕着这块地走了两圈，一共走了多少米？ 【答案】92米 【分析】根据题意，明确梯形的周长就是上、下底的和再加上2条腰长，王大伯绕着这块地走了两圈，先计算求出梯形的周长，再乘2，就是一共走了多少米，列式计算即可。 【详解】根据分析可知： （22＋12×2）×2 ＝（22＋24）×2 ＝46×2 ＝92（米） 答：一共走了92米。 18．一根铁丝正好可以围成一个边长为10厘米的正方形，现改围成一个平行四边形，这个平行四边形的一条边长8厘米，与它相邻的一条边长多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】先用正方形的边长乘4，计算出这个正方形的周长，也就是这条铁丝的长度，再用铁丝的长度除以2，就是相邻两边的和，最后减去平行四边形已知边的长度，就是与它相邻的另一条边长的长度。据此解答即可。 【详解】10×4÷2－8 ＝40÷2－8 ＝20－8 ＝12（厘米） 答：与它相邻的一条边长12厘米。 19．一个三角形的各边长都是整厘米数，其中两条边分别是7厘米和8厘米，那么这个三角形的周长最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 【答案】29厘米；17厘米 【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。由题意得，一个三角形的各边长都是整厘米数，其中两条边分别是7厘米和8厘米，可以把这两边的长度相加或相减算出得数，那么第三条边的长度应该在两个得数之间，据此推算出第三条边最长或最短是多少厘米。最后把三条边的长度全部加起来即可算出三角形的周长最长或最短是多少厘米。 【详解】8－7＜第三条边＜8＋7，即1＜第三条边＜15。 第三条边的长度是整厘米数，所以第三条边最长是14厘米，最短是2厘米。 周长最长：7＋8＋14＝29（厘米） 周长最短：7＋8＋2＝17（厘米） 答：这个三角形的周长最长是29厘米，最短是17厘米。 20．把两个边长分别为5厘米、6厘米、7厘米的相同的三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的周长最小是多少厘米？最大是多少厘米？ 【答案】22厘米；26厘米 【分析】根据题意，两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，要使这个平行四边形的周长最小，则将三角形最长的边长7厘米重合，此时另外两条边长5厘米和6厘米分别是平行四边形的两条邻边，相加再乘2即可求出周长是多少厘米；要使这个平行四边形的周长最大，则将三角形最短的边长5厘米重合，此时另外两条边长6厘米和7厘米分别是平行四边形的两条邻边，相加再乘2即可求出周长是多少厘米，据此解答即可。 【详解】（5＋6）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） （6＋7）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 答：这个平行四边形的周长最小是22厘米，最大是26厘米。 21．在下图中，已知∠1=130°，∠5=30°．你能求出∠4的度数吗? 【答案】110° 【分析】根据平角为180°，∠1=130°，可以求出∠2=50°．三角形的内角和是180°，∠2=50°，可以求出∠3=40°．∠4、∠3、∠5组成一个平角，又知道∠5=30°，故可求出∠4=110°． 【详解】∠2=180°-∠1=180°-130°=50° ∠3=180°-90°-∠2=180°-90°-50°=40° ∠4=180°-∠3-∠5=180°-40°-30°=110° 答：∠4的度数是110°． 22．下图是一个梯形的广场。 （1）从A点到对边，怎样走最近，在图上画出来。 （2）把这个梯形广场分成一个平行四边形和一个三角形。 （3）想办法算一算这个梯形的内角和。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）360° 【分析】（1）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，从A向CD作垂线，这条垂线即为所求。 （2）要将梯形分成一个平行四边形一个三角形，过A点作BC的平行线即可。 （3）梯形属于四边形，而任何四边形的内角和都是360°。可以用画对角线的方法验证：当画一条对角线时，梯形被分成两个三角形，每个三角形的内角和是180°，两个三角形的和就是360°。 【详解】根据分析画图如下： （1）（2） （3）如图，连接BD两点，梯形被分成两个三角形，每个三角形的内角和是180°。 180°＋180°＝360° 答：这个梯形的内角和就是360°。 23．如图，制作一种零件，要求AB垂直于BC，∠BOD＝130°，并且AB和CD的延长线的夹角是40°，那么∠A＋∠C的度数是多少才符合要求？ 【答案】90° 【分析】延长AB和CD相交于E点，∠E＝40°，作图如下： 在三角形BCE中，∠C＝180°－90°－∠E，求出∠C的度数； ∠AOB和∠BOD组成平角，∠AOB ＝180°－∠BOD，求出∠AOB的度数；在三角形AOB中，∠A ＝180°－90°－∠AOB，求出∠A的度数，再求出∠A＋∠C的度数和。 【详解】延长AB和CD相交于E点。 ∠C＝180°－90°－∠E＝90°－40°＝50°； ∠AOB ＝180°－∠BOD＝180°－130°＝50°；∠A ＝180°－90°－∠AOB＝180°－90°－50°＝90°－50°＝40°； ∠A＋∠C＝40°＋50°＝90° 答：∠A＋∠C的度数是90°才符合要求。 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $