第二单元 相交与平行（解决问题讲义）数学青岛版五四学制四年级上册（新教材）

该小学数学“相交与平行”单元复习讲义通过“核心定义—题型技巧—易错点拨”的逻辑框架构建知识体系，以极简解题口诀梳理同一平面内直线位置关系（相交、垂直、平行）的判定与应用，结合作图规范、生活实例等要点呈现知识脉络，突出垂直平行判定、作图规范等重难点。 讲义亮点在于“生活情境化”练习设计，如双杠支撑架维修（画平行线）、抢凳子游戏公平性（点到直线距离）等题型，培养几何直观与应用意识。方法指导强调工具规范（三角板直尺作图步骤）和推理验证（用量角器验证垂直），分层训练（典型例题+变式训练）适合不同学生，助力教师实施精准复习教学。

第二单元 相交与平行 一、通用解题核心思路 本单元重点考查同一平面内两条直线的位置关系，分为相交（垂直）、平行两类。解决所有题型的核心：先判定位置关系，再依据垂直、平行的特征和作图规则解题，结合生活实际灵活应用，杜绝凭肉眼主观判断。 做题优先掌握核心定义：同一平面内不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角，则互相垂直，垂直是特殊的相交。所有判断、作图、应用题均围绕此核心展开。 二、核心题型解题技巧 1. 直线位置关系判断题：先看是否相交，不相交即为平行；相交再看是否成直角。重点区分：普通相交无直角，垂直相交有直角。做题必须依托直角特征，不凭视觉错觉判定。 2. 垂线、平行线作图题（重难点）：规范使用三角板、直尺作图。画垂线：边线重合、平移靠点、画线标直角符号。画平行线：一贴、二靠、三移、四画。定点画线时，保证直线过指定点，线条平直规范。 3. 点到直线距离应用题：核心结论：点到直线的所有线段中，垂线段最短。生活修路、引水、修最短路径题型，一律画垂线段，此为最短距离，是考试高频考点。 4. 长方形、正方形特征题型：长方形、正方形对边互相平行，邻边互相垂直。利用该特征补全图形、判断边线关系，严格结合垂直平行性质解题。 三、高频易错方法点拨 1. 概念误区：忽略“同一平面”前提，不在同一平面的直线不适用相交与平行判定；垂直一定相交，相交不一定垂直。 2. 作图失分：画垂线忘记标注直角符号，平行线倾斜不标准、平移不规范，是学生最常见扣分点。 3. 距离概念混淆：学生容易把普通线段当作最短距离，牢记只有垂线段才是点到直线的最短距离。 4. 视觉判断错误：倾斜的平行线、看似不直的垂线容易误判，必须用工具验证，不凭肉眼判断。 四、极简解题口诀 同一平面两直线，不交为平交垂斜；垂线段短是真理，作图符号要标齐；对平邻直长方形，工具规范不凭疑。 类型1 平行的特征及性质解决问题 典型例题1：下图中a∥b。 (1)量一量∠1＝( )°，∠2＝( )°，你发现( )。 (2)举例验证你的发现。（可以借用本题的图，也可以自己画） 【分析】先把量角器的中心与角的顶点重合，0° 刻度线与角的一条边重合，再看角的另一条边所对的刻度，就是角的度数。 变式训练：下图中，，量一量这6个角的度数。 ＝（     ）°，＝（     ）°，＝（     ）°， ＝（     ）°，＝（     ）°，＝（     ）°。 （1）你发现和的大小有何关系？ （2）你发现和的大小有何关系？ （3）你发现和的大小有何关系？和的大小有何关系？ 类型2  画平行线解决问题 典型例题2：如图是操场上的双杠。双杠的支撑架需要维修了，你能检查出问题吗？请在图中圈出来。请你动手验证一下，写出验证的方法，再用合适的工具，画出修正后的图。 【分析】双杠的支撑架应当互相平行，其中有一条歪了。用左手固定直尺，用右手将三角尺的一条直角边紧贴着直尺，另一条直角边贴着双杠的支撑架。将三角尺紧贴着直尺移动位置，移动到歪了的支撑架的地方，发现歪了的支撑架不与直角边重合。再贴着直角边画出一条直线，这条直线就与别的支撑架平行。 变式训练：战国时期的墨家代表著作《墨经》中有一句话“平，同高也”，这句话描述了平行线的特点。请用合适的方法说明这句话的意思。（说明思考过程） 类型3 利用垂直的特征解决问题 典型例题3：下图中，，，图中直线a与直线b互相垂直吗？请写出理由。 【分析】两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。要想确认直线a与直线b是否互相垂直，只需要计算出直线a与直线b的夹角∠3是否是90°即可。看图可知，∠1、∠3和∠2构成了一个平角，平角是180°，用180°减去∠1和∠2的度数即可求得∠3的度数。 变式训练：已知∠1＝35°∠2＝55°，线段AO与线段BO垂直吗？为什么？ 类型4  画垂线解决问题 典型例题4：如图，点A、B是妙想在立定跳远比赛中两次的脚跟落点，如果你是裁判员，那么应该怎样测量她的立定跳远成绩？ （1）请在图中表示出合理的测量方法。 （2）画出的两条线段的位置关系是互相（     ）。 【分析】（1）立定跳远的成绩应该测量脚跟落点到起跳线的距离，也就是从脚跟落点向起跳线作垂线段，测量垂线段的长度即是立定跳远的成绩。 （2）垂直于同一直线的两条线段互相平行。据此解答即可。 变式训练：如图，直线，点是直线上一点，过点作，垂足为，垂线段的长叫做直线、间的距离。请在图中分别过，分别做垂线段，，线段，，的大小关系为（         ）。 类型5 画利用点到直线的距离解决问题 典型例题5：体育课上，老师带大家做抢凳子游戏，下面的这种站位公平吗？如果不公平，对谁最有利？为什么？ 【分析】要判断站位是否公平，需依据 “点到直线的距离” 这一数学概念，即从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短。在抢凳子游戏里，凳子可看作直线外一点，同学们的站位在同一条直线上，谁离凳子的距离（垂线段长度）最短，谁就更有利。 变式训练：从A村到公路有三条路可走，你会选择哪条路。说说你的理由。 1．吴家村想修一条直达公路的小路，怎么修最近？请你在下图中画出来，并说明理由。 2．体育课上，老师带大家玩夺旗游戏，下面这种站位公平吗？试着在图上画一画，如果不公平，对谁有利？为什么？ 小明      小华   小军        小丽 3．下图中，a//b，b//c，量出∠1、∠2和∠3的度数分别是（     ）、（     ）、（     ）。你能发现什么？ 4．幸福村想修一条直达高速公路的小路，怎么修最近？请你在下图中画出来。 5．三只蚂蚁举行跑步比赛，它们分别以A、B、C三点为起点，沿直线跑到D点，如果它们的速度一样，谁先到达？画一画，并说一说为什么。 6．按要求画一画，试一试。 桃李村在107国道的西侧，为了方便村民，村里决定从甲处修一条路通往107国道，怎样修路线最近？你能画出这条路线吗？试一试。 7．画一画。 （1）过下图中的B点画直线L1的平行线P1。 （2）过下图中的A点画直线L1的垂线P2。 （3）量一量直线P1与P2相交的角的度数，是（     ）度。直线P1与P2的位置关系是（     ）。 （4）直线P2与L2的位置关系是（     ）。 （5）这四条直线围成了（     ）形。 8．如图表示一段公路，如果从A、B两点各修一条小路与公路连通，要使这两条小路分别最短，应该怎样修？在图中画出来。为什么这条路最短？ 9．如图，按要求作答。 （1）新校区到洛神北路的距离是（     ）米。 （2）计划从新校区铺一条排水管道到洛神南路，怎样铺才能使所用的排水管道长度最短？请在图上画出来。 10．河的北面有一个A村，村里的人想挖一条河渠将河水引到A村，怎么挖最省时省力？请画出来。 11．“西气东输”是国家“十五”重点工程。康庄村和娄营村分别要铺一条管道与输气管道相连接，怎样铺管道成本最低？在图中画出来。并简要说明理由。   12．黄霏霏站在A点起跳，落地后的情况如图所示。 （1）裁判员会以（     ）脚落地点（     ）来确定她的立定跳远成绩。 （2）具体怎样测量，请在图上画出你的想法。 13．小羊要到小河边喝水，请你为它设计一条到河边最近的路线，在图上画出来。设计的理由是： 。 14．丹丹如果从A点穿过马路，怎样走路线最短？为什么？把最短的路出来。 15．如图中的两条直线互相平行。 （1）请分别过点A、B、C画出这两条平行线之间的垂线段。 （2）量一量图中所画的垂线段的长度，并观察它们的位置关系。你发现了什么？ 答：我发现了（     ）。 16．要从双河村层基坪组修一条通往主干公路的水泥路。怎样修路最近呢？先写出来，再在图中画出来。 17．下图是某市某街道的平面示意图。 （1）与解放路平行的是（     ）路。 （2）给胜利小区铺设天然气管道，主管道在光明路上，怎样铺设最节省材料？请在图中画出来。 18．如图所示，这是一条公路的示意图，M点处有一个商场。 （1）量出这条公路拐角是（     ）度，它是一个（     ）角。 （2）以商场为起点，修一条路通往GO，使距离最短，请你画出来。 （3）以商场为起点，往东修一条路与OH平行，请你画出来。 19．过点P分别画出直线a和直线b的垂线。通过测量可知，P点距离直线（     ）较近。 20．小红家从供水站A铺设了一条自来水管道AB。 （1）如果小明家想从家到供水站修一条小路，请你设计出最短路线，再测量∠BAC＝（    ）°。 （2）如果小明家想从家到水管AB接通一根水管，请你设计出最短路线，再测量出图中水管的长度是（     ）厘米。 21．下图中，a∥b，请经过点E分别画出垂直于直线a、b的垂线，并测量a、b间的距离。直线a、b间的距离是（     ）厘米。 22．已知∠1＝45°，∠2＝35°，直线a和直线b互相垂直吗？为什么？ 23．如图，乐乐家在A城，妈妈在B城上班，奶奶家在C城。周末，爸爸和乐乐开车从家出发，先去B城接妈妈，再去奶奶家，共用了3小时（中途延误的时间不计）。 （1）返回A城时，爸爸开车以同样的速度走另一条公路，用了2小时，这条公路有多长？ （2）现在计划新建一条公路，使B城与直通A城和C城的公路连通，交点为D。怎样设计路程最短？请在图上画一画。 24．如图，是一条公路的示意图，点P处是一个公园。 (1)量出图中∠1的度数为 ，它是 角。 (2)如果从公园修一条路直达公路AO段，要使修的路最短，应该怎么修？请在图上画出来。并说明理由： 。 25．球小将在绿茵场上畅意竞技。如图所示，在足球场的四个角分别标上A、B、C、D，线段AD与BC互相平行。 （1）在球场之间拉一条横幅EF，已知足球场两长边中点的连线MN为68米，如图，则横幅EF的最短长度为多少米？ （2）球场上的Q处掉落一个水瓶，志愿者在P处，现志愿者需要将水瓶带离球场，请你设计出志愿者的最短路线图，在图中画出来。 26．下图中，直线a和直线b互相平行。 （1）测量∠1和∠2的度数，并比较这两个角的大小。 ∠1＝（      ）°，∠2＝（      ）°，∠1 ◯ ∠2。 （2）观察∠1和∠2的位置关系，你还能在图中找到这样关系的角吗？ 写一写吧！ 27．李刚、王红和张华分别用不同方法验证了a和b两条直线互相平行，如下图。 ①你认为谁的验证方法是正确的？请在相应的□里打“√”。 ②请你选择一种喜欢的方法验证下面的a、b两条直线是否互相平行，说清理由。 ____________________________________________________________ 28．静静在学习完“平行与垂直”和“角的度量”后查阅了下面材料进行深入研究，请你和她一同解决下列问题。 材料一 数学上“三线八角”是指在同一平面上的两条直线被第三条直线所截形成的八个角。根据角与角之间的位置关系可以分为：同位角、内错角、外错角、同旁内角、同旁外角。 【同位角】：两个角的一条边在截线的同旁，另一条边在被截线上，如图中∠1和∠5是同位角。 【内错角】：两个角在截线的两旁，在被截线的内侧，如图中∠3和∠5是内错角。 【同旁内角】：两个角在截线的同旁，在被截线的内侧，如图中∠3和∠6是同旁内角。 材料二 ①两直线平行，同位角相等；             ②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角相加等于180°； 以上结论，反之也成立。 (1)如图，这是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图原理是（    ）。 A．两直线平行，同位角相等。 B．两直线平行，同旁内角相加等于180°。 C．同位角相等，两直线平行。 D．同旁内角相加等于180°，两直线平行。 (2)梯形ABCD如图，∠A＝100°，∠B＝115°，求∠C与∠D的度数。 (3)物理中也有“三线八角”的奥秘。 静静在进行光的反射研究时，已知AO为平面镜，∠AOB＝36°，从OB上点E射出一束光线，经平面镜反射，反射光线DC恰好与OB平行，求∠EDC的度数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 相交与平行 一、通用解题核心思路 本单元重点考查同一平面内两条直线的位置关系，分为相交（垂直）、平行两类。解决所有题型的核心：先判定位置关系，再依据垂直、平行的特征和作图规则解题，结合生活实际灵活应用，杜绝凭肉眼主观判断。 做题优先掌握核心定义：同一平面内不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角，则互相垂直，垂直是特殊的相交。所有判断、作图、应用题均围绕此核心展开。 二、核心题型解题技巧 1. 直线位置关系判断题：先看是否相交，不相交即为平行；相交再看是否成直角。重点区分：普通相交无直角，垂直相交有直角。做题必须依托直角特征，不凭视觉错觉判定。 2. 垂线、平行线作图题（重难点）：规范使用三角板、直尺作图。画垂线：边线重合、平移靠点、画线标直角符号。画平行线：一贴、二靠、三移、四画。定点画线时，保证直线过指定点，线条平直规范。 3. 点到直线距离应用题：核心结论：点到直线的所有线段中，垂线段最短。生活修路、引水、修最短路径题型，一律画垂线段，此为最短距离，是考试高频考点。 4. 长方形、正方形特征题型：长方形、正方形对边互相平行，邻边互相垂直。利用该特征补全图形、判断边线关系，严格结合垂直平行性质解题。 三、高频易错方法点拨 1. 概念误区：忽略“同一平面”前提，不在同一平面的直线不适用相交与平行判定；垂直一定相交，相交不一定垂直。 2. 作图失分：画垂线忘记标注直角符号，平行线倾斜不标准、平移不规范，是学生最常见扣分点。 3. 距离概念混淆：学生容易把普通线段当作最短距离，牢记只有垂线段才是点到直线的最短距离。 4. 视觉判断错误：倾斜的平行线、看似不直的垂线容易误判，必须用工具验证，不凭肉眼判断。 四、极简解题口诀 同一平面两直线，不交为平交垂斜；垂线段短是真理，作图符号要标齐；对平邻直长方形，工具规范不凭疑。 类型1 平行的特征及性质解决问题 典型例题1：下图中a∥b。 (1)量一量∠1＝( )°，∠2＝( )°，你发现( )。 (2)举例验证你的发现。（可以借用本题的图，也可以自己画） 【答案】(1) 45 45 两直线平行， (2)见详解 【分析】先把量角器的中心与角的顶点重合，0° 刻度线与角的一条边重合，再看角的另一条边所对的刻度，就是角的度数。 【详解】（1）用量角器测量可得：∠1＝45°，∠2＝45° 发现：两直线平行， （2） 画一组平行线 m∥n，作一条截线，得到∠3 和∠4，测量得∠3＝60°，∠4＝60°，∠3＝∠4 验证了 两直线平行，∠3＝∠4 变式训练：下图中，，量一量这6个角的度数。 ＝（     ）°，＝（     ）°，＝（     ）°， ＝（     ）°，＝（     ）°，＝（     ）°。 （1）你发现和的大小有何关系？ （2）你发现和的大小有何关系？ （3）你发现和的大小有何关系？和的大小有何关系？ 【答案】60；120；60；120；120；60 （1）相等； （2）相等； （3）相等；相等 【分析】用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；据此量出原题6个角的度数，再根据度数的大小解答原题中的3个小题。 【详解】 ＝60°，＝120°，＝60°，＝120°，＝120°，＝60°。 （1）发现和的大小相等。 （2）发现和的大小相等。 （3）发现和的大小相等；和的大小相等。 类型2  画平行线解决问题 典型例题2：如图是操场上的双杠。双杠的支撑架需要维修了，你能检查出问题吗？请在图中圈出来。请你动手验证一下，写出验证的方法，再用合适的工具，画出修正后的图。 【答案】见详解 【分析】双杠的支撑架应当互相平行，其中有一条歪了。用左手固定直尺，用右手将三角尺的一条直角边紧贴着直尺，另一条直角边贴着双杠的支撑架。将三角尺紧贴着直尺移动位置，移动到歪了的支撑架的地方，发现歪了的支撑架不与直角边重合。再贴着直角边画出一条直线，这条直线就与别的支撑架平行。 【详解】圈出问题如下： 验证的方法：用左手固定直尺，用右手将三角尺的一条直角边紧贴着直尺，另一条直角边贴着双杠的支撑架。将三角尺紧贴着直尺移动位置，移动到歪了的支撑架的地方，发现歪了的支撑架不与直角边重合。 修正后的图，如下： 【点睛】此题主要考查了平行线的画法，要熟练掌握。 变式训练：战国时期的墨家代表著作《墨经》中有一句话“平，同高也”，这句话描述了平行线的特点。请用合适的方法说明这句话的意思。（说明思考过程） 【答案】见详解 【分析】“平，同高也”这句话的意思是，平行线是处于同一高度，即它们之间的距离处处相等。平行线的特点是同一平面内永不相交的两条直线，它们之间的距离处处相等。 第一步，理解题目中的“平，同高也”这句话。这句话的意思是，平行线是处于同一高度，即它们之间的距离处处相等。 第二步，解释平行线的特点。平行线是同一平面内永不相交的两条直线，它们之间的距离处处相等，据此解答即可。 【详解】“平，同高也”这句话的意思是，平行线是处于同一高度，即它们之间的距离处处相等。平行线的特点是同一平面内永不相交的两条直线，它们之间的距离处处相等，即平行线之间的距离处处相等。 类型3 利用垂直的特征解决问题 典型例题3：下图中，，，图中直线a与直线b互相垂直吗？请写出理由。 【答案】直线a与直线b互相垂直； 它们的夹角是90°，相交成直角。 【分析】两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。要想确认直线a与直线b是否互相垂直，只需要计算出直线a与直线b的夹角∠3是否是90°即可。看图可知，∠1、∠3和∠2构成了一个平角，平角是180°，用180°减去∠1和∠2的度数即可求得∠3的度数。 【详解】180°－25°－65° ＝155°－65° ＝90° ∠3＝90°，是直角，直线a与直线b互相垂直，因为它们的夹角是90°，相交成直角。 变式训练：已知∠1＝35°∠2＝55°，线段AO与线段BO垂直吗？为什么？ 【答案】线段AO与线段BO互相垂直 理由：因为线段AO与线段BO相交所成的角等于90°，所以线段AO与线段BO互相垂直。 【分析】根据题意，确定线段AO与线段BO是否互相垂直，关键是看线段AO与线段BO相交所成的角（即∠3）是否等于90°。因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，可以用180°连续减去35°和55°，看结果是否为90°，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： ∠1＋∠2＋∠3＝180° ∠1＝35° ∠2＝55° ∠3＝180°－35°－55°＝145°－55°＝90° 线段AO与线段BO互相垂直。 因为线段AO与线段BO相交所成的角等于90°。 类型4  画垂线解决问题 典型例题4：如图，点A、B是妙想在立定跳远比赛中两次的脚跟落点，如果你是裁判员，那么应该怎样测量她的立定跳远成绩？ （1）请在图中表示出合理的测量方法。 （2）画出的两条线段的位置关系是互相（    ）。 【答案】（1）见详解；（2）平行 【分析】（1）立定跳远的成绩应该测量脚跟落点到起跳线的距离，也就是从脚跟落点向起跳线作垂线段，测量垂线段的长度即是立定跳远的成绩。 （2）垂直于同一直线的两条线段互相平行。据此解答即可。 【详解】（1）如图： （2）画出的两条线段的位置关系是互相平行。 变式训练：如图，直线，点是直线上一点，过点作，垂足为，垂线段的长叫做直线、间的距离。请在图中分别过，分别做垂线段，，线段，，的大小关系为（        ）。 【答案】；PQ＝MA＝NC 【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离画图；夹在两条平行线间的距离相等，可知垂线段，，垂线段的长度相等。 【详解】作图略； 在图中分别过，分别做垂线段，，线段，，的大小关系为PQ＝MA＝NC。 类型5 画利用点到直线的距离解决问题 典型例题5：体育课上，老师带大家做抢凳子游戏，下面的这种站位公平吗？如果不公平，对谁最有利？为什么？ 【答案】不公平，理由见解析 【分析】要判断站位是否公平，需依据 “点到直线的距离” 这一数学概念，即从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短。在抢凳子游戏里，凳子可看作直线外一点，同学们的站位在同一条直线上，谁离凳子的距离（垂线段长度）最短，谁就更有利。 【详解】从这种站位不公平，对园园最有利。因为四个人在一条直线上，凳子到这条直线的垂直线段是最近的路线，而园园刚好在垂足的位置（如图），所以园园离凳子最近，对园园最有利。 变式训练：从A村到公路有三条路可走，你会选择哪条路。说说你的理由。 【答案】选第②条路线，因为从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 【详解】选第②条路线，因为从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 1．吴家村想修一条直达公路的小路，怎么修最近？请你在下图中画出来，并说明理由。 【答案】画图见详解； 因为从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短。 【分析】根据点到直线的距离中，垂线段最短的性质，确定修路的最短路径。要使从吴家村到公路的小路最短，把公路看作一条直线，吴家村看作直线外一点，应该从吴家村向公路作垂线段。 【详解】如图所示： 答：因为从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短。 2．体育课上，老师带大家玩夺旗游戏，下面这种站位公平吗？试着在图上画一画，如果不公平，对谁有利？为什么？ 小明      小华   小军        小丽 【答案】见详解 【分析】要判断站位是否公平，需依据 “点到直线的距离” 这一数学概念，即从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短。在夺旗游戏里，旗子可看作直线外一点，同学们的站位在同一条直线上，谁离旗子的距离（垂线段长度）最短，谁就更有利。 【详解】这种站位不公平，对小军最有利。因为四个人在一条直线上，旗到这条直线的垂直线段是最近的路线，而小军刚好在垂足的位置，所以小军离旗子最近，对小军最有利。（言之有理即可） 3．下图中，a//b，b//c，量出∠1、∠2和∠3的度数分别是（    ）、（    ）、（    ）。你能发现什么？ 【答案】137°；137°；137°；∠1、∠2和∠3的度数相等 【分析】同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量出∠1、∠2和∠3的度数，然后根据测量出的结果写出发现即可。 【详解】根据测量可知，∠1、∠2和∠3的度数分别是137°、137°、137°。 我发现∠1、∠2和∠3的度数相等。 【点睛】熟练掌握用量角器测量角的度数的方法是解答此题的关键。 4．幸福村想修一条直达高速公路的小路，怎么修最近？请你在下图中画出来。 【答案】见详解 【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此过幸福村这点作高速公路这条直线的垂线段即可。 【详解】过幸福村这点作高速公路这条直线的垂线段，如下： 答：过幸福村这点作高速公路这条直线的垂线段，沿着这条垂线段修小路最短。 【点睛】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。 5．三只蚂蚁举行跑步比赛，它们分别以A、B、C三点为起点，沿直线跑到D点，如果它们的速度一样，谁先到达？画一画，并说一说为什么。 【答案】B点处的蚂蚁最先到达；图见详解过程；理由见详解过程 【分析】因为三只蚂蚁在同一条直线上，所以根据从直线外一点到直线上所画的所有线段中垂线段最短得出：B点处的蚂蚁最先到达。 【详解】如图所示： 点到直线间的距离，垂线段最短，三只蚂蚁的速度一样，B点离D点最近，即B点处的蚂蚁最先到达。 【点睛】本题考查了垂线段最短的知识和动手操作画图的能力。 6．按要求画一画，试一试。 桃李村在107国道的西侧，为了方便村民，村里决定从甲处修一条路通往107国道，怎样修路线最近？你能画出这条路线吗？试一试。 【答案】见详解 【分析】把甲处看作一个点，国道看作一条直线，根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”的性质，即可解答问题。 【详解】把107国道看作一条直线，过甲这点作它的垂线段，如下： 答：沿着过甲这点作107国道的垂线段修路最近。 【点睛】本题主要考查垂线段最短的性质和过直线外一点作已知直线垂的线的方法。 7．画一画。 （1）过下图中的B点画直线L1的平行线P1。 （2）过下图中的A点画直线L1的垂线P2。 （3）量一量直线P1与P2相交的角的度数，是（    ）度。直线P1与P2的位置关系是（    ）。 （4）直线P2与L2的位置关系是（    ）。 （5）这四条直线围成了（    ）形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）90，垂直 （4）平行 （5）长方形 【分析】（1）平行线的画法：先让直角三角板的一条直角边与直线L1重合，把直尺靠在直角三角板另一条直角边上，固定直尺，移动三角板使其直角边与直线外点B重合，然后沿着直角三角板的直角边画出直线P1； （2）垂线的画法：把直角三角板的一条直角边与已知直线L1重合，然后沿着直线移动三角尺，使三角板的直角边顶点与直线上的点A重合，从直角的顶点起沿三角板另一条直角边画出条直线P2； （3）量出对应角度，并判断两直线的位置关系即可； （4）因为直线 L2和直线P2 都与直线P1垂直，所以直线P2与L2的位置关系是平行； （5）每组对边相互平行且四个内角都是直角，所以围成的图形是长方形。 【详解】（1） （2） 　 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 （3）测量可知直线P1与P2夹的角度是90度，所以直线P1与P2垂直； （4）由图可看出，直线P2与L2平行； （5）根据四条直线的位置关系可知，围成的图形为长方形。 【点睛】此题主要考查了对平行和垂直的特点及画法的掌握。 8．如图表示一段公路，如果从A、B两点各修一条小路与公路连通，要使这两条小路分别最短，应该怎样修？在图中画出来。为什么这条路最短？ 【答案】见详解 【分析】直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，从A、B两点分别作公路的垂线段，沿垂线段修小路最短。 【详解】 因为直线外到直线上各点的连线中，垂线段最短。 【点睛】本题主要考查学生对垂线的特征和画垂线的方法的掌握。 9．如图，按要求作答。 （1）新校区到洛神北路的距离是（     ）米。 （2）计划从新校区铺一条排水管道到洛神南路，怎样铺才能使所用的排水管道长度最短？请在图上画出来。 【答案】（1）50 （2）见详解 【分析】（1）观察上图可知，新校区到洛神北路的垂线段长度即是新校区到洛神北路的距离。 （2）根据直线外一点直线上各点的连线中垂线段最短可知，作新校区到洛神南路的垂线段，沿垂线段铺，所用的排水管道长度最短。 【详解】（1）新校区到洛神北路的距离是50米。 （2） 【点睛】本题主要考查学生对垂线段知识和画垂线方法的掌握。 10．河的北面有一个A村，村里的人想挖一条河渠将河水引到A村，怎么挖最省时省力？请画出来。 【答案】过A村这点作河渠这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段挖最省时省力。图见详解 【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此过A村这点作河渠这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段挖最省时省力。 【详解】过A村这点作河渠这条直线的垂线段，如下： 答：过A村这点作河渠这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段挖最省时省力。 【点睛】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。 11．“西气东输”是国家“十五”重点工程。康庄村和娄营村分别要铺一条管道与输气管道相连接，怎样铺管道成本最低？在图中画出来。并简要说明理由。   【答案】分别过康庄村和娄营村所在的点作输气管道的垂线段，沿着垂线段铺管道成本最低；理由是：垂线段最短；图见详解 【分析】要使所铺的两条管道成本最低，就要使所铺管道最短。根据直线外一点与这条直线连接的所有线段中垂直的线段最短，应该分别过康庄村和娄营村所在的点作输气管道的垂线段。 【详解】分别过康庄村和娄营村所在的点作输气管道的垂线段，如下： 答：分别过康庄村和娄营村所在的点作输气管道的垂线段，沿着垂线段铺管道成本最低；理由是：垂线段最短。 【点睛】正确理解垂直的性质，垂线段最短，是解答此题的关键。 12．黄霏霏站在A点起跳，落地后的情况如图所示。 （1）裁判员会以（    ）脚落地点（    ）来确定她的立定跳远成绩。 （2）具体怎样测量，请在图上画出你的想法。 【答案】（1）右；C （2）图见详解过程 【分析】（1）应测跳远时起跑线与身体接触沙坑最后落脚点之间的垂直长度； （2）垂线段最短指的是从直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。根据垂线段的性质，即可解答。 【详解】（1）裁判员会以右脚落地点C来确定她的立定跳远成绩。 （2）作图如下： 【点睛】此题考查了垂线段的特征和性质，要熟练掌握。 13．小羊要到小河边喝水，请你为它设计一条到河边最近的路线，在图上画出来。设计的理由是： 。 【答案】路线见详解；点到直线的距离，垂线段最短。 【分析】把河岸看成―条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质，即可解决问题。 【详解】 理由：点到直线的距离，垂线段最短。 【点睛】本题主要考查学生对过直线外一点画已知直线垂线的掌握。解答此题的关键是熟练掌握垂线的画法。 14．丹丹如果从A点穿过马路，怎样走路线最短？为什么？把最短的路出来。 【答案】画图见详解；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】画图如下： 理由：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【点睛】此题考查的是过直线外一点作已知直线的垂线，熟练掌握垂直的特点，是解答此题的关键。 15．如图中的两条直线互相平行。 （1）请分别过点A、B、C画出这两条平行线之间的垂线段。 （2）量一量图中所画的垂线段的长度，并观察它们的位置关系。你发现了什么？ 答：我发现了（    ）。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，它们的交点叫做垂足；据此分别从这条直线上的A、B、C这3个点向它的平行直线作垂线即可； （2）先分别测量出这3条垂线段的长度，然后根据平行线之间的距离相等解答即可。 【详解】（1）作图如下： （2）答：我发现了平行线之间的垂线相互平行，并且平行线之间的距离相等。 【点睛】本题主要考查了学生用三角尺和直尺作垂线能力，明确平行和垂直的性质，是解答此题的关键。 16．要从双河村层基坪组修一条通往主干公路的水泥路。怎样修路最近呢？先写出来，再在图中画出来。 【答案】由层基坪组向公路画垂直线段即可；图见详解 【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短，由层基坪组向公路画垂直线段即可。 【详解】答：由层基坪组向公路画垂直线段即可。 最短路线如图所示： 17．下图是某市某街道的平面示意图。 （1）与解放路平行的是（     ）路。 （2）给胜利小区铺设天然气管道，主管道在光明路上，怎样铺设最节省材料？请在图中画出来。 【答案】（1）滨江；（2） 【分析】（1）同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。观察上图可知，与解放路平行的是滨江路，与解放路相交是光明路。 （2）直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，从胜利小区作光明路的垂线段，沿垂线段铺设最节省材料。 【详解】（1）与解放路平行的是滨江路。 （2）作图略； 18．如图所示，这是一条公路的示意图，M点处有一个商场。 （1）量出这条公路拐角是（    ）度，它是一个（    ）角。 （2）以商场为起点，修一条路通往GO，使距离最短，请你画出来。 （3）以商场为起点，往东修一条路与OH平行，请你画出来。 【答案】（1）140；钝；（2）见详解；（3）见详解 【分析】（1）量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。先测量出角的度数，再根据角的分类知识进行分类。 （2）从点M画GO的垂线段，沿垂线段修距离最短。 （3）过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 【详解】（1）量出这条公路拐角是140度，它是一个钝角。 （2）（3）见下图： 【点睛】本题主要考查学生对角的度量、角的分类、垂线和平行线画法的掌握和灵活运用。 19．过点P分别画出直线a和直线b的垂线。通过测量可知，P点距离直线（    ）较近。 【答案】图见详解；a 【分析】过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线；测量后判断P点距离哪条直线较近。 【详解】 如图： P点到直线a的距离：7毫米； P点到直线b的距离：15毫米。 7＜15 通过测量可知，P点距离直线a较近。 20．小红家从供水站A铺设了一条自来水管道AB。 （1）如果小明家想从家到供水站修一条小路，请你设计出最短路线，再测量∠BAC＝（    ）°。 （2）如果小明家想从家到水管AB接通一根水管，请你设计出最短路线，再测量出图中水管的长度是（    ）厘米。 【答案】（1）画图见详解；45；（2）画图见详解；1.5； 【分析】（1）两点之间，线段距离最短，依此画图； 量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量即可。 （2）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可，最后再用直尺测量出水管的长度。 【详解】（1）、（2）画图如下： 经过测量可知，∠BAC＝45°。图中水管的长度是1.5厘米。 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握两点之间线段距离最短，角的度量，长度的测量方法，以及过直线外一点作垂线的方法。 21．下图中，a∥b，请经过点E分别画出垂直于直线a、b的垂线，并测量a、b间的距离。直线a、b间的距离是（    ）厘米。 【答案】图见详解；2 【分析】过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线；据此点E画出直线a、b的垂线；再用直尺测量出a、b间的垂线段长度即为直线a、b间的距离。 【详解】 如图： 经测量直线a、b间的距离是2厘米。 22．已知∠1＝45°，∠2＝35°，直线a和直线b互相垂直吗？为什么？ 【答案】不是互相垂直；直线a与直线b相交不成直角 【分析】根据垂直的概念可知，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。观察图片可看出∠1、∠2与∠3形成了一个平角，也就是说∠1＋∠2＋∠3＝180°，用180°减去∠1与∠2的度数即可求出∠3的度数，再根据垂直的概念判断即可。 【详解】∠3＝180°－∠1－∠2 ＝180°－45°－35° ＝135°－35° ＝100° 答：直线a与直线b不是互相垂直的，因为直线a与直线b相交不成直角。 【点睛】本题的关键是要先求出两直线的夹角，再根据垂直的概念判断两直线是否互相垂直。 23．如图，乐乐家在A城，妈妈在B城上班，奶奶家在C城。周末，爸爸和乐乐开车从家出发，先去B城接妈妈，再去奶奶家，共用了3小时（中途延误的时间不计）。 （1）返回A城时，爸爸开车以同样的速度走另一条公路，用了2小时，这条公路有多长？ （2）现在计划新建一条公路，使B城与直通A城和C城的公路连通，交点为D。怎样设计路程最短？请在图上画一画。 【答案】（1）120千米 （2） 【分析】（1）因为从A城到B城再到C城共有100＋80＝180（千米），而爸爸开车共用时3小时，所以爸爸开车的速度为180÷3＝60（千米/时），进而根据速度×时间＝路程，求出公路AC有多长即可。 （2）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使路程最近，则从B城向公路AC连作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】（1）（100＋80）÷3 ＝180÷3 ＝60（千米/时） 60×2＝120（千米） 答：这条公路有120千米。 （2）作图略； 24．如图，是一条公路的示意图，点P处是一个公园。 (1)量出图中∠1的度数为____，它是____角。 (2)如果从公园修一条路直达公路AO段，要使修的路最短，应该怎么修？请在图上画出来。并说明理由： 。 【答案】(1) 135° 钝 (2)图见详解；理由：点到直线的距离垂线段最短。 【分析】（1）用量角器量角的方法：把量角器放在角的上面，使量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所指的量角器上的刻度就是这个角的度数，据此测量图中的角的度数；大于90°小于180°的角，大于直角且小于平角的角叫做钝角； （2）从直线外一点到这条直线可以画出无数条线段，其中垂线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离，据此过P点向AO画垂线；用三角尺过直线外一点画已知直线垂线的方法：①把三角尺的一条直角边与已知直线重合；②沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边通过直线外的点，沿这条直角边画一条直线；③在垂足处标出垂直符号，据此作图； 【详解】（1）把量角器放在角的上面，使量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所指的量角器上的刻度是135°； 即量出图中∠1的度数为135°，它是钝角。 （2）由分析，画图如下： 理由：点到直线的距离垂线段最短。 25．球小将在绿茵场上畅意竞技。如图所示，在足球场的四个角分别标上A、B、C、D，线段AD与BC互相平行。 （1）在球场之间拉一条横幅EF，已知足球场两长边中点的连线MN为68米，如图，则横幅EF的最短长度为多少米？ （2）球场上的Q处掉落一个水瓶，志愿者在P处，现志愿者需要将水瓶带离球场，请你设计出志愿者的最短路线图，在图中画出来。 【答案】（1）68米； （2）图见详解； 【分析】（1）端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直的所有线段的长度都相等，所以EF＝MN＝68米； （2）两点之间线段最短，直线外一点到直线上的所有线段中，垂线段最短。所以志愿者先直走到点Q处，再从Q点向最近的球场边界作垂线段走出球场，最短路线为P到Q再到该垂线段的垂足。 【详解】根据分析可得： （1）两条平行线之间垂线段最短，已知MN是足球场两长边中点的连线，所以当EF与MN平行时，EF最短， 端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直的所有线段的长度都相等，故EF＝MN＝68（米）； 答：横幅EF的最短长度为68米。 （2）最短路线图如下图： 26．下图中，直线a和直线b互相平行。 （1）测量∠1和∠2的度数，并比较这两个角的大小。 ∠1＝（     ）°，∠2＝（     ）°，∠1○∠2。 （2）观察∠1和∠2的位置关系，你还能在图中找到这样关系的角吗？ 写一写吧！ 【答案】（1）∠1＝130°，∠2＝130°，∠1＝∠2 （2）∠3＝∠4，∠5＝∠6（答案不唯一） 【分析】（1）用量角器量角：将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的边重合，另一条边所对应的刻度即为该角的度数，据此量出∠1和∠2的度数并比较即可。 （2）观察∠1和∠2的位置关系可以发现，直线a和直线b互相平行，∠1在直线a的上方，∠2在直线b的上方，并且都在分割线的右边，据此找到∠3和∠4、∠5和∠6也是类似的位置。 【详解】（1）通过测量∠1＝130°，∠2＝130° ∠1＝∠2 （2）根据分析： ∠3＝∠4，∠5＝∠6（答案不唯一） 27．李刚、王红和张华分别用不同方法验证了a和b两条直线互相平行，如下图。 ①你认为谁的验证方法是正确的？请在相应的□里打“√”。 ②请你选择一种喜欢的方法验证下面的a、b两条直线是否互相平行，说清理由。 ____________________________________________________________ 【答案】① ②不互相平行，两条直线间垂线段距离处处不相等。 【分析】①李刚用三角尺的固定边，通过“平移后能和另一条直线对齐”的方式，验证了a和b的平行，王红测量两条直线间垂线段长度（距离处处相等则平行），张华用平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线平行，所以在李刚、王红、张华的□里打“√”； ②选王红的方法，在a、b间画几条垂线段，若长度都相等，说明a、b互相平行。 【详解】①略 ② 选王红的方法，在a、b间画几条垂线段，长度都不相等，说明a、b不互相平行。 28．静静在学习完“平行与垂直”和“角的度量”后查阅了下面材料进行深入研究，请你和她一同解决下列问题。 材料一 数学上“三线八角”是指在同一平面上的两条直线被第三条直线所截形成的八个角。根据角与角之间的位置关系可以分为：同位角、内错角、外错角、同旁内角、同旁外角。 【同位角】：两个角的一条边在截线的同旁，另一条边在被截线上，如图中∠1和∠5是同位角。 【内错角】：两个角在截线的两旁，在被截线的内侧，如图中∠3和∠5是内错角。 【同旁内角】：两个角在截线的同旁，在被截线的内侧，如图中∠3和∠6是同旁内角。 材料二 ①两直线平行，同位角相等；             ②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角相加等于180°； 以上结论，反之也成立。 (1)如图，这是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图原理是（    ）。 A．两直线平行，同位角相等。 B．两直线平行，同旁内角相加等于180°。 C．同位角相等，两直线平行。 D．同旁内角相加等于180°，两直线平行。 (2)梯形ABCD如图，∠A＝100°，∠B＝115°，求∠C与∠D的度数。 (3)物理中也有“三线八角”的奥秘。 静静在进行光的反射研究时，已知AO为平面镜，∠AOB＝36°，从OB上点E射出一束光线，经平面镜反射，反射光线DC恰好与OB平行，求∠EDC的度数。 【答案】(1)C (2)∠C ＝65°；∠D ＝80° (3)∠EDC＝108° 【分析】（1）图中是将三角尺与直尺紧靠，固定直尺，移动三角尺，直线a、b被直线EF所截的同位角是相等的，由此可知说明这两条直线是平行的。 （2）梯形的一组对边是互相平行的，图中线段CD与线段AB是互相平行，∠D与∠A属于同旁内角，这两个角的和是180°，所以用180°减∠A的度数，即可求出∠D的度数。同理∠B与∠C是同旁内角，这两个角的和是180°，用180°减∠B的度数，即可求出∠C的度数。 （3）反射光线DC恰好与OB平行，则∠ADC等于∠AOB。过点D作法线交OB于点F，法线DF垂直OA，因为入射角等于反射镜，即∠EDF＝∠CDF，那么∠EDC除以2，就等于90°减∠ADC的差，据此用90°减∠ADC的差，再乘2即可求出∠EDC的度数。 【详解】（1）这是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图原理是同位角相等，两直线平行。 故答案为：C （2）∠C＝180°－∠B＝180°－115°＝65° ∠D＝180°－∠A＝180°－100°＝80° （3）过点D作法线交OB于点F，如图： 已知反射光线DC恰好与OB平行，则∠ADC＝∠AOB＝36° ∠EDC＝（90°－36°）×2 ＝54°×2 ＝108° ∠EDC是108°。 1 学科网（北京）股份有限公司 $