第三单元 解决问题（解决问题讲义）数学青岛版五四学制四年级上册（新教材）

该小学数学讲义通过知识框架图系统构建解决问题的复习体系，梳理通用解题步骤，用对比表格呈现购物总价与行程问题两大核心模型的关键量及公式，思维导图分类高频拓展题型，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“典型例题+变式训练”的分层设计，如相遇问题分未相遇和相遇后两种情况分析，培养模型意识与推理能力。高频易错点拨结合解题口诀，帮助学生提升抽象能力和运算能力，支持不同层次学生自主复习，助力教师实施精准化教学。

第三单元 解决问题 一、通用解题核心步骤 本单元核心为两大基础数量关系式，是小学阶段应用题的底层模型。解题第一步先归类题型，找准对应三组关键量，杜绝盲目列式。其次梳理已知量和未知量，套用对应公式列式计算。最后统一单位、验算结果、规范书写答句，保证解题完整规范。 二、两大核心公式与解题技巧 1. 购物总价模型（单价、数量、总价） 核心公式：单价×数量=总价，总价÷单价=数量，总价÷数量=单价。题目出现价格、购物、采购、费用等信息，直接归类为本模型。读题找准“每一个的价格、购买个数、一共花的钱”，已知两个量可求第三个量，题型简单但重点训练学生精准找量的能力。 2. 行程问题模型（速度、时间、路程） 核心公式：速度×时间=路程，路程÷速度=时间，路程÷时间=速度。出现行走、行驶、快慢、距离等条件均为行程问题。重点区分速度单位，如：米/分、千米/时，做题必须保证时间、路程、速度单位相互匹配。 三、高频拓展题型技巧 1. 正反归一基础题型：先利用已知条件求出单一量，再根据问题求总量或份数。解题坚持“先归一、再求解”，分步列式，逻辑清晰，正确率更高。 2. 对比辨析题型：快慢对比、价格对比、省钱方案题，解题需分别求出两组数据，再进行大小比较，必须包含计算、对比、结论三步，缺一不可。 四、高频易错点拨 1. 公式混淆：学生容易颠倒乘除关系，分不清求总量用乘法、求单一量或份数用除法。 2. 单位不统一：行程问题中时分、千米米混用，不统一单位直接计算，导致结果全部错误。 3. 量名对应错误：不会区分单价和总价、速度和路程，找不准已知量，导致公式套用错误。 4. 答题不完整：对比题型只计算不写结论，缺少答题步骤，造成不必要失分。 五、极简解题口诀 购物看价算总价，行程看速走全程；已知单量求总积，已知总量用除行；单位统一再计算，找准对应不出错。 类型1 经济问题解决问题 典型例题1：新华书店新购进一批故事书，每套售价128元，学校图书室买了25套，一共需要多少钱？ 【分析】根据数量关系“总价＝单价×数量”，直接代入式子求解。 变式训练：《诗经》是我国第一部诗歌总集，最早的记录为西周初年，最晚的作品为春秋时期，上下跨度约五六百年。学校开展国学经典读书活动，需要购买298本《诗经》，学校需要准备多少钱？ 类型2 基础行程问题行行程 和 解决问题 典型例题2：小华和爸爸、妈妈周末开车去景区玩，去时用了5小时，返回时比去时快1小时，返回时平均速度是多少？ 【分析】根据路程＝速度×时间，计算出去景区的距离；用5减1得出返回时所用的时间，根据速度＝路程÷时间计算解答即可。 变式训练：甲、乙两车同时从A地出发去B地，甲车每小时行60千米，4小时到达；乙车每小时行80千米，乙车比甲车提前几小时到达？ 类型3 相遇问题解决问题 典型例题3：甲乙两地相距880千米，一辆货车和一辆客车从两地相对开出。货车的速度为77千米/时，客车的速度为83千米/时。几小时后，两车相距80千米？ 【分析】需要分两种情况：第一种情况是两车还未相遇，中间相隔80千米，这个时候两车行驶的总路程为880－80＝800（千米），用行驶的总路程除以两车的速度和即可；第二种情况是两车相遇后继续往前开，错开相距80千米，这个时候两车行驶的总路程为880＋80＝960（千米），用行驶的总路程除以两车的速度和即可；据此作答。 变式训练：甲乙两地相距480千米，一辆货车从甲地开往乙地，每小时行60千米，同时一辆客车从乙地开往甲地，每小时行100千米，经过几小时两车相遇？ 类型4 追及问题解决问题 典型例题4：一辆汽车以每小时行90千米的速度去追一辆先行100千米的汽车，已知行了450千米后追上，那么先行的汽车每小时行多少千米？ 【分析】首先根据“时间＝路程÷速度”算出追及时间；然后根据“追及汽车行驶的路程－先行汽车已经行驶的路程＝先行汽车行驶的路程”求出后车出发后，先行汽车行驶的路程；最后根据“速度＝路程÷时间”求出先行汽车的速度。 变式训练：小清和小海相距100米，他们同时沿同一个方向跑步，小清在前，每分跑120米；小海在后，每分跑140米，小海追上小清需要多少分？ 类型5 流水问题解决问题 典型例题5：甲、乙两城相距6000千米，一架飞机从甲城飞往乙城，顺风4小时到达；从乙城返回甲城，逆风5小时到达。求这架飞机的速度和风速。 【分析】甲、乙两城相距6000千米，一架飞机从甲城飞往乙城，顺风4小时到达可以求出顺风速度6000除以4小时，从乙城返回甲城，逆风5小时到达，可以求出逆风速度6000除以5小时；而顺风速度＝风速＋飞机的速度，逆风速度＝飞机的速度－风速，故顺风速度－逆风速度＝2倍的风速，求出风速，再用顺风速度－风速＝飞机速度。 变式训练：甲、乙两港间的水路长286千米，一只船从甲港开往乙港顺水11小时到达；从乙港返回甲港，逆水13小时到达。求船在静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）。 类型6 流水问题解决问题 典型例题6：一座桥长320米，一列火车以每秒20米的速度经过这座桥，从车头开上桥到车尾离开桥共用24秒，这列火车长多少米？ 【分析】从车头开上桥到车尾离开桥火车行驶的路程是桥长＋火车长，先用火车的速度乘用的时间求出火车行驶的路程，再减去桥长即可求解。 变式训练：文文爸爸乘坐火车回家。这列火车全长414米，每秒行75米，现在要通过一座全长411米的桥，从车头上桥到车尾离开一共需要多少秒？ 1．张老师买了16张电影票，一共花了640元。电影票单价是多少元？ 2．智能音响可通过语音控制播放音乐，李老师购买了3个同款智能音响，共花费237元，一个智能音响多少元？ 3．实验小学四（1）班组织42名学生去海洋馆研学，每张门票103元，估一估，准备4200元买票够吗？ 4．一面长方形的试衣镜，长24分米，宽8分米。这种试衣镜每平方分米3元，买这面镜子需要多少钱？ 5．超市进了一批饮料，每箱装12瓶，进货价每箱36元，零售价每瓶4元。卖出50瓶后，盈利多少元？ 6．甲、乙两个工程队合修一段路，甲队每天修117米，乙队每天修83米，23天正好修完。这段路一共有多少米？ 7．张师傅要加工786个零件，前3小时每小时加工58个，之后他熟悉了流程，每小时比之前每小时多加工10个零件，还要多少小时可以完成任务？ 8．车间里甲组每天加工零件48个，乙组每天加工零件52个，两组同时开工工作24天，一共加工零件多少个？ 9．锦州到北京的G3636次列车从一条715米长的隧道经过，列车车身长245米，从车头开始驶进到车尾全部离开，一共用了12秒。本次列车的速度是多少？ 10．一列火车通过820米长的桥用了35秒，以同样的速度通过460米长的隧道用了25秒，则这列火车的速度是每秒多少米？ 11．甲、乙两港间水路长432千米，一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时，从乙港返回甲港，需要24小时到达。求船在静水中的速度和水流速度。 12．一条长160千米的水路，甲船顺流而下需要8小时，逆流而上需要20小时。如果乙船顺流而下要10小时，那么乙船逆流而上需要多少小时？ 13．笑笑从家步行到学校，每分钟走62米，10分钟后，哥哥从家出发，骑自行车追赶笑笑，在距离他们家930米的地方追上了她，哥哥每分钟骑多少米？ 14．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是260米/分，乙的速度是240米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？ 15．一辆客车和一辆货车同时从A、B两地相向开出，A、B两地相距600千米，客车平均每小时行65千米，5小时后两车相遇，货车平均每小时行多少千米？ 16．小凡和小芳同时从甲地出发去乙地，小凡每分钟步行85米，小芳每分钟步行65米。小凡到达乙地后立即折返，并在距离乙地90米处与小芳相遇。甲、乙两地相距多少米？ 17．体育用品商店每个足球售价61元，王老师带了500元，买9个足球够吗？王老师最多可以买几个足球？ 18．某地区要修建一条公路，现安排甲、乙两个工程队同时施工。已知甲队每天能修440米，乙队每天能修360米，两个工程队共同施工35天后完成这条公路的修建任务，这条公路的全长是多少米？ 19．甲、乙两辆汽车同时从相距700千米的两地相对开出，经过5小时相遇。已知甲车每小时行驶68千米，乙车每小时行驶多少千米？ 20．客车和货车同时从甲城出发开往乙城，客车每小时行80千米，货车每小时行65千米。经过4小时后，两车相距多少千米？ 21．文具店的钢笔每支15元，推出“买四赠一”活动。王老师带了240元，最多能买多少支钢笔？ 22．在研学联谊活动中，甲、乙两队学生分别从A、B两座城市同时乘车出发，相向而行，经过3小时在研学基地相遇。甲队的速度是65千米/时，乙队的速度是75千米/时。A城到B城的距离是多少千米？ 23．奇奇爸爸从家开车去北京出差，行驶了7个小时，导航上显示已经行驶了770千米，照这样的速度，要到达北京还要行驶3小时，奇奇家距离北京有多少千米？ 24．轩轩周末从家出发步行去图书馆，30分钟步行2040米，此时导航显示还需5分钟。 (1)轩轩的步行速度是多少？ (2)轩轩家离图书馆的距离是多少米？ 25．向阳小学开设了益智游戏课程，其中四年级是魔方课程，李老师带着560元买魔方，这些钱最多能买多少个魔方？ 文具店 每个16元，买8个送1个 26．买2个足球和3个篮球共花了380元，买同样的2个足球和5个篮球共花了500元，每个足球和每个篮球各多少元？ 27．文具店采购两种笔记本，硬面笔记本每套150元，软面笔记本每套80元，每种各买15套，一共要花多少钱？ 28．学校采购20个护眼台灯和5个卡通书签，作为“阅读之星”的奖品，一共花了850元。已知每个卡通书签18元，每个护眼台灯多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 解决问题 一、通用解题核心步骤 本单元核心为两大基础数量关系式，是小学阶段应用题的底层模型。解题第一步先归类题型，找准对应三组关键量，杜绝盲目列式。其次梳理已知量和未知量，套用对应公式列式计算。最后统一单位、验算结果、规范书写答句，保证解题完整规范。 二、两大核心公式与解题技巧 1. 购物总价模型（单价、数量、总价） 核心公式：单价×数量=总价，总价÷单价=数量，总价÷数量=单价。题目出现价格、购物、采购、费用等信息，直接归类为本模型。读题找准“每一个的价格、购买个数、一共花的钱”，已知两个量可求第三个量，题型简单但重点训练学生精准找量的能力。 2. 行程问题模型（速度、时间、路程） 核心公式：速度×时间=路程，路程÷速度=时间，路程÷时间=速度。出现行走、行驶、快慢、距离等条件均为行程问题。重点区分速度单位，如：米/分、千米/时，做题必须保证时间、路程、速度单位相互匹配。 三、高频拓展题型技巧 1. 正反归一基础题型：先利用已知条件求出单一量，再根据问题求总量或份数。解题坚持“先归一、再求解”，分步列式，逻辑清晰，正确率更高。 2. 对比辨析题型：快慢对比、价格对比、省钱方案题，解题需分别求出两组数据，再进行大小比较，必须包含计算、对比、结论三步，缺一不可。 四、高频易错点拨 1. 公式混淆：学生容易颠倒乘除关系，分不清求总量用乘法、求单一量或份数用除法。 2. 单位不统一：行程问题中时分、千米米混用，不统一单位直接计算，导致结果全部错误。 3. 量名对应错误：不会区分单价和总价、速度和路程，找不准已知量，导致公式套用错误。 4. 答题不完整：对比题型只计算不写结论，缺少答题步骤，造成不必要失分。 五、极简解题口诀 购物看价算总价，行程看速走全程；已知单量求总积，已知总量用除行；单位统一再计算，找准对应不出错。 类型1 经济问题解决问题 典型例题1：新华书店新购进一批故事书，每套售价128元，学校图书室买了25套，一共需要多少钱？ 【答案】3200元 【分析】根据数量关系“总价＝单价×数量”，直接代入式子求解。 【详解】128×25＝3200（元） 答：一共需要3200元。 变式训练：《诗经》是我国第一部诗歌总集，最早的记录为西周初年，最晚的作品为春秋时期，上下跨度约五六百年。学校开展国学经典读书活动，需要购买298本《诗经》，学校需要准备多少钱？ 【答案】12516元 【分析】根据总金额＝单价×数量，用需要购买《诗经》的本数乘每本的价钱即可。 【详解】298×42＝12516（元） 答：学校需要准备12516元。 类型2 基础行程问题行行程 和 解决问题 典型例题2：小华和爸爸、妈妈周末开车去景区玩，去时用了5小时，返回时比去时快1小时，返回时平均速度是多少？ 【答案】100千米/时 【分析】根据路程＝速度×时间，计算出去景区的距离；用5减1得出返回时所用的时间，根据速度＝路程÷时间计算解答即可。 【详解】80×5÷（5－1） ＝80×5÷4 ＝400÷4 ＝100（千米/时） 答：返回时平均速度是100千米/时。 变式训练：甲、乙两车同时从A地出发去B地，甲车每小时行60千米，4小时到达；乙车每小时行80千米，乙车比甲车提前几小时到达？ 【答案】1小时 【分析】先根据甲车的速度和时间，利用“路程速度时间”求出、两地之间的总路程；然后根据乙车的速度和总路程，利用公式“时间路程速度”求出乙车行驶的时间；最后用甲车行驶的时间减去乙车行驶的时间，即可求出乙车比甲车提前的时间。 【详解】 答：乙车比甲车提前小时到达。 类型3 相遇问题解决问题 典型例题3：甲乙两地相距880千米，一辆货车和一辆客车从两地相对开出。货车的速度为77千米/时，客车的速度为83千米/时。几小时后，两车相距80千米？ 【答案】5小时或6小时 【分析】需要分两种情况：第一种情况是两车还未相遇，中间相隔80千米，这个时候两车行驶的总路程为880－80＝800（千米），用行驶的总路程除以两车的速度和即可；第二种情况是两车相遇后继续往前开，错开相距80千米，这个时候两车行驶的总路程为880＋80＝960（千米），用行驶的总路程除以两车的速度和即可；据此作答。 【详解】速度和：77＋83＝160（千米/时） 第一种情况未相遇： （880－80）÷160 ＝800÷160 ＝5（小时） 第二种情况相遇后： （880＋80）÷160 ＝960÷160 ＝6（小时） 答：5小时或6小时后，两车相距80千米。 变式训练：甲乙两地相距480千米，一辆货车从甲地开往乙地，每小时行60千米，同时一辆客车从乙地开往甲地，每小时行100千米，经过几小时两车相遇？ 【答案】3小时 【分析】根据题意，两车同时从两地相对开出，属于相遇问题。相遇时间＝总路程÷速度和。已知总路程为480千米，货车速度为60千米/时，客车速度为100千米/时，先求出两车的速度和，再用总路程除以速度和即可求出相遇时间。 【详解】480÷（60＋100） ＝480÷160 ＝3（小时） 答：经过3小时两车相遇。 类型4 追及问题解决问题 典型例题4：一辆汽车以每小时行90千米的速度去追一辆先行100千米的汽车，已知行了450千米后追上，那么先行的汽车每小时行多少千米？ 【答案】70千米 【分析】首先根据“时间＝路程÷速度”算出追及时间；然后根据“追及汽车行驶的路程－先行汽车已经行驶的路程＝先行汽车行驶的路程”求出后车出发后，先行汽车行驶的路程；最后根据“速度＝路程÷时间”求出先行汽车的速度。 【详解】（450－100）÷（450÷90） ＝350÷5 ＝70（千米） 答：先行的汽车每小时行70千米。 变式训练：小清和小海相距100米，他们同时沿同一个方向跑步，小清在前，每分跑120米；小海在后，每分跑140米，小海追上小清需要多少分？ 【答案】5分 【分析】根据题干可知，小海、小清沿同一个方向跑步，两人的速度不同，小清在前，小海要想追上小清，小海跑的路程＝小清跑的路程＋100米，要想算出小海追上小清需要多少时间，可以通过追及时间＝初始路程差÷二者速度差，小海、小清两人的初始路程差为100米，两人速度差为140－120＝20（米/分），再用100÷20＝5（分），据此即可解答。 【详解】100÷（140－120） ＝100÷20 ＝5（分） 答：小海追上小清需要5分。 类型5 流水问题解决问题 典型例题5：甲、乙两城相距6000千米，一架飞机从甲城飞往乙城，顺风4小时到达；从乙城返回甲城，逆风5小时到达。求这架飞机的速度和风速。 【答案】1350千米/时；150千米/时 【分析】甲、乙两城相距6000千米，一架飞机从甲城飞往乙城，顺风4小时到达可以求出顺风速度6000除以4小时，从乙城返回甲城，逆风5小时到达，可以求出逆风速度6000除以5小时；而顺风速度＝风速＋飞机的速度，逆风速度＝飞机的速度－风速，故顺风速度－逆风速度＝2倍的风速，求出风速，再用顺风速度－风速＝飞机速度。 【详解】风速：（6000÷4－6000÷5）÷2 ＝（1500－1200）÷2 ＝300÷2 ＝150（千米/时）     飞机速度：6000÷4－150 ＝1500－150 ＝1350（千米/时） 答：这架飞机的速度1350千米/时，风速是150千米/时。 【点睛】本题考查流水行船问题，关键是知道顺风速度＝风速＋飞机的速度，逆风速度＝飞机的速度－风速，从而求风速和飞机速度。 变式训练：甲、乙两港间的水路长286千米，一只船从甲港开往乙港顺水11小时到达；从乙港返回甲港，逆水13小时到达。求船在静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）。 【答案】船在静水中的速度（即船速）是24千米/时，水流速度（即水速）2千米/时 【分析】要求船速和水速，要先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度可按行程问题的一般数量关系求，即：路程÷顺水时间＝顺水速度，路程÷逆水时间＝逆水速度。因此，顺水速度是286÷11＝26（千米），逆水速度是286÷13＝22（千米）。顺水速度＝船速＋水速，逆水速度＝船速－水速，顺水速度＋逆水速度是船速的2倍，顺水速度－逆水速度＝水速的2倍，所以，船在静水中每小时行（26＋22）÷2＝24（千米），水流速度是每小时（26－22）÷2＝2（千米）。 【详解】286÷11＝26（千米） 286÷13＝22（千米） （26－22）÷2 ＝4÷2 ＝2（千米） （26＋22）÷2 ＝48÷2 ＝24（千米） 答：船在静水中的速度（即船速）是24千米/时，水流速度（即水速）2千米/时。 类型6 流水问题解决问题 典型例题6：一座桥长320米，一列火车以每秒20米的速度经过这座桥，从车头开上桥到车尾离开桥共用24秒，这列火车长多少米？ 【答案】160米 【分析】从车头开上桥到车尾离开桥火车行驶的路程是桥长＋火车长，先用火车的速度乘用的时间求出火车行驶的路程，再减去桥长即可求解。 【详解】20×24－320 ＝480－320 ＝160（米） 答：这列火车长160米。 变式训练：文文爸爸乘坐火车回家。这列火车全长414米，每秒行75米，现在要通过一座全长411米的桥，从车头上桥到车尾离开一共需要多少秒？ 【答案】11秒 【分析】火车过桥的总路程为桥长加上火车自身的长度，用总路程除以速度即可得到所需时间。 【详解】（414＋411）÷75 ＝825÷75 ＝11（秒） 答：从车头上桥到车尾离开一共需要11秒。 1．张老师买了16张电影票，一共花了640元。电影票单价是多少元？ 【答案】40元 【分析】已知购买电影票的总价和数量，求单价。根据数量关系式：单价＝总价÷数量，代入已知数据进行计算即可。 【详解】640÷16＝40（元） 答：电影票单价是40元。 2．智能音响可通过语音控制播放音乐，李老师购买了3个同款智能音响，共花费237元，一个智能音响多少元？ 【答案】79元 【分析】3个同样的智能音响花了237元，求1个多少元，就是把237元平均分成3份，求每份是多少，用总价÷数量＝单价计算。 【详解】237÷3＝79（元） 答：一个智能音响79元。 3．实验小学四（1）班组织42名学生去海洋馆研学，每张门票103元，估一估，准备4200元买票够吗？ 【答案】不够 【分析】判断准备的钱数是否够用，可以采用“往小估”的方法。将每张门票的价格103元估成100元，计算出估算的总钱数。如果按较低价格计算的总钱数都已经等于准备的钱数，那么实际需要的钱数一定会超过准备的钱数，从而得出不够的结论。 【详解】103×42≈100×42＝4200（元） 因为，所以。 答：准备4200元买票不够。 4．一面长方形的试衣镜，长24分米，宽8分米。这种试衣镜每平方分米3元，买这面镜子需要多少钱？ 【答案】576元 【分析】根据长方形面积长宽，求出试衣镜面积，再根据每平方分米价格乘试衣镜面积求得买这面镜子需要的钱数。 【详解】根据分析可知，试衣镜面积为： （平方分米）； 买这面镜子需要的钱数为： （元） 答：买这面镜子需要576元。 5．超市进了一批饮料，每箱装12瓶，进货价每箱36元，零售价每瓶4元。卖出50瓶后，盈利多少元？ 【答案】50元 【分析】根据题意，用每箱进货价除以每箱的瓶数，求出每瓶的进货成本，再用每瓶零售价减去每瓶的进货成本，求出每瓶饮料的盈利，最后再用每瓶饮料的盈利乘卖出的瓶数，据此解答即可。 【详解】（4－36÷12）×50 ＝（4－3）×50 ＝1×50 ＝50（元） 答：盈利50元。 6．甲、乙两个工程队合修一段路，甲队每天修117米，乙队每天修83米，23天正好修完。这段路一共有多少米？ 【答案】4600米 【分析】已知甲队每天修117米，乙队每天修83米，这是两队各自的工作效率；23天正好修完，这是工作时间。要求这段路的总长度，即工作总量。根据公式“工作总量＝工作效率和×工作时间”，先求出甲、乙两队每天合修的长度之和，再乘工作时间23天，即可求出总长度。 【详解】（117＋83）×23 ＝200×23 ＝4600（米） 答：这段路一共有4600米。 7．张师傅要加工786个零件，前3小时每小时加工58个，之后他熟悉了流程，每小时比之前每小时多加工10个零件，还要多少小时可以完成任务？ 【答案】9小时 【分析】首先根据“工作总量＝工作效率×工作时间”求出前3小时已加工的零件个数；其次用零件总个数减去已加工的个数，求出剩余零件个数；然后求出熟悉流程后新的工作效率；最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”求出还需要的时间。 【详解】 （小时） 答：还要9小时可以完成任务。 8．车间里甲组每天加工零件48个，乙组每天加工零件52个，两组同时开工工作24天，一共加工零件多少个？ 【答案】2400个 【分析】求一共加工多少个，可以先用每天加工的个数×天数，分别求出两组各自加工的总数，然后再加一起，可以运用乘法分配律进行简算。 【详解】48×24＋52×24 ＝（48＋52）×24 ＝100×24 ＝2400（个） 答：一共加工零件2400个。 9．锦州到北京的G3636次列车从一条715米长的隧道经过，列车车身长245米，从车头开始驶进到车尾全部离开，一共用了12秒。本次列车的速度是多少？ 【答案】80米/秒 【分析】从车头开始驶进到车尾全部离开，一共用了12秒，因此所经过的距离为隧道长度加上列车长度，要求速度可以用总长度除以所用时间，据此作答。 【详解】715＋245＝960（米） 960÷12＝80（米/秒） 答：列车速度是80米/秒。 10．一列火车通过820米长的桥用了35秒，以同样的速度通过460米长的隧道用了25秒，则这列火车的速度是每秒多少米？ 【答案】36米 【分析】本题考查行程问题中的火车过桥模型。火车通过桥或隧道所行的路程等于桥长（或隧道长）加上火车车身长度。由于火车车身长度和行驶速度保持不变，两次行驶的路程差即为桥长与隧道长的差，对应的时间差即为两次通过时间的差。根据“速度＝路程÷时间”，利用路程差除以时间差即可求出火车的速度，即每秒行驶的距离。 【详解】820－460＝360（米） 35－25＝10（秒） 360÷10＝36（米） 答：这列火车的速度是每秒36米。 11．甲、乙两港间水路长432千米，一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时，从乙港返回甲港，需要24小时到达。求船在静水中的速度和水流速度。 【答案】水流速度：3千米/时；静水速度：21千米/时 【分析】先求出船的顺流速度和逆流速度，然后根据关系式（顺流速度＋逆流速度）÷2＝静水速度（船速），求出船在静水中的速度，再根据关系式：船速－逆流速度＝水速，解决问题。 【详解】顺流速度：432÷18＝24（千米） 逆流速度：432÷24＝18（千米） 船在静水中的速度： （24＋18）÷2 ＝42÷2 ＝21（千米） 水流的速度：21−18＝3（千米） 答：船在静水中的速度是3千米/时，水流速度是21千米/时。 12．一条长160千米的水路，甲船顺流而下需要8小时，逆流而上需要20小时。如果乙船顺流而下要10小时，那么乙船逆流而上需要多少小时？ 【答案】40小时 【分析】根据一条长160千米的水路，甲船顺流而下需要8小时，逆流而上需要20小时，可以求出甲顺水速度为160÷8，甲逆水速度为160÷20，顺水速度＝船速＋水速，逆水速度＝船速－水速，所以顺水速度－逆水速度＝2倍的水速，即可求出水速；再根据乙船顺流而下要10小时，可以求出乙顺水速度为160÷10，则乙船速为160÷10－6＝10千米，再用乙船速－水速＝乙逆水速度，最后路程160千米除以乙逆水速度即为所求。 【详解】水速：（160÷8－160÷20）÷2 ＝（20－8）÷2 ＝12÷2 ＝6（千米/小时） 乙船顺流速度：160÷10＝16（千米/小时）     乙船速度：16－6＝10（千米/小时）    逆流时间：160÷（10－6） ＝160÷4 ＝40（小时） 答：乙船逆流而上需要40小时。 【点睛】本题关键是明确顺水速度＝船速＋水速，逆水速度＝船速－水速，进而求出水速。 13．笑笑从家步行到学校，每分钟走62米，10分钟后，哥哥从家出发，骑自行车追赶笑笑，在距离他们家930米的地方追上了她，哥哥每分钟骑多少米？ 【答案】186米 【分析】笑笑先走10分钟，速度为62米/分钟，因此先走了620米。哥哥出发时，笑笑在离家620米处。哥哥在离家930米处追上笑笑，说明从哥哥出发到追上，笑笑又走了930－620 ＝ 310米，用时310 ÷ 62 ＝ 5分钟。这5分钟也是哥哥的追及时间。哥哥在5分钟内走了930米，因此哥哥的速度为930 ÷ 5 ＝ 186米/分钟。 【详解】62 × 10 ＝ 620（米） 930－620 ＝ 310（米） 310 ÷ 62 ＝ 5（分钟） 930 ÷ 5 ＝ 186（米/分钟） 答：哥哥每分钟骑186米。 14．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是260米/分，乙的速度是240米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？ 【答案】20分钟 【分析】在环形跑道上，两人第一次追上时，速度快的人比速度慢的人多跑了一圈，即路程差等于跑道的周长400米。追及时间＝路程差÷速度差。 【详解】400÷（260－240） ＝400÷20 ＝20（分钟） 答：经过20分钟甲第一次追上乙。 15．一辆客车和一辆货车同时从A、B两地相向开出，A、B两地相距600千米，客车平均每小时行65千米，5小时后两车相遇，货车平均每小时行多少千米？ 【答案】55千米 【分析】根据相遇问题的数量关系：总路程＝速度和×相遇时间，可推导出速度和＝总路程÷相遇时间。已知A、B两地相距600千米，相遇时间为5小时，可以先求出客车和货车的速度和，再用速度和减去客车的速度，即可求出货车的速度。 【详解】600÷5－65 ＝120－65 ＝55（千米） 答：货车平均每小时行55千米。 16．小凡和小芳同时从甲地出发去乙地，小凡每分钟步行85米，小芳每分钟步行65米。小凡到达乙地后立即折返，并在距离乙地90米处与小芳相遇。甲、乙两地相距多少米？ 【答案】675米 【分析】这是一道行程问题中的折返相遇问题。两人同时从甲地出发，相遇时所用的时间相同。小凡到达乙地后折返，在距离乙地90米处与小芳相遇，说明小凡走的路程比甲、乙两地间的距离多90米，而小芳走的路程比甲、乙两地间的距离少90米。因此，小凡比小芳多走了个90米。利用路程差除以速度差可以求出相遇时间，再根据小凡的速度乘时间算出小凡走的路程，再减去比甲、乙两地间的距离多的90米，即可求出甲、乙两地的距离。 【详解】90×2＝180（米） 85－65＝20（米/分） 180÷20＝9（分） 85×9－90 ＝765－90 ＝675（米） 答：甲、乙两地相距675米。 17．体育用品商店每个足球售价61元，王老师带了500元，买9个足球够吗？王老师最多可以买几个足球？ 【答案】不够；8个 【分析】根据数量关系式“总价＝单价×数量”，计算出买9个足球的总费用，再与携带金额比较大小；依据数量关系式“数量＝总价÷单价”，利用除法计算，商表示最多购买的个数，余数表示剩余的钱数，注意结果需取整数商。 【详解】买9个足球需要的钱数：（元） 因为，所以买9个足球不够。 最多可以买足球的个数：（个）（元） 答：买9个足球不够，王老师最多可以买8个足球。 18．某地区要修建一条公路，现安排甲、乙两个工程队同时施工。已知甲队每天能修440米，乙队每天能修360米，两个工程队共同施工35天后完成这条公路的修建任务，这条公路的全长是多少米？ 【答案】28000米 【分析】根据工作总量＝工作时间×工作效率，可以先求出甲、乙两队每天分别修的长度之和，再用每天修的长度之和乘天数即可求出两队修的总长度，就是这条公路的全长。 【详解】（440＋360）×35 ＝800×35 ＝28000（米） 答：这条公路的全长是28000米。 19．甲、乙两辆汽车同时从相距700千米的两地相对开出，经过5小时相遇。已知甲车每小时行驶68千米，乙车每小时行驶多少千米？ 【答案】72千米 【分析】根据路程÷相遇时间＝速度和，先求出甲、乙两车的速度之和，再减去甲车的速度，即可求出乙车的速度。 【详解】700÷5－68 ＝140－68 ＝72（千米） 答：乙车每小时行驶72千米。 20．客车和货车同时从甲城出发开往乙城，客车每小时行80千米，货车每小时行65千米。经过4小时后，两车相距多少千米？ 【答案】60千米 【分析】本题考查行程问题中同向行驶的距离差计算。已知客车和货车的速度以及行驶时间，且两车同时从同一地点出发开往同一目的地，属于同向行驶。根据“速度×时间＝路程”的数量关系，两车相距的路程等于两车的速度差乘行驶时间。解题时先求出客车每小时比货车多行多少千米，再乘行驶时间即可求出两车相距的路程。 【详解】 （千米） 答：经过4小时后，两车相距60千米。 21．文具店的钢笔每支15元，推出“买四赠一”活动。王老师带了240元，最多能买多少支钢笔？ 【答案】20支 【分析】买四赠一，即每支付支钢笔的价款，实际可获得支钢笔。先计算享受一次优惠所需的金额，再确定总预算中包含多少个这样的金额单位，最后求出钢笔的总数量。据此解答。 【详解】（元） （支） （组） （支） 答：最多能买支钢笔。 22．在研学联谊活动中，甲、乙两队学生分别从A、B两座城市同时乘车出发，相向而行，经过3小时在研学基地相遇。甲队的速度是65千米/时，乙队的速度是75千米/时。A城到B城的距离是多少千米？ 【答案】420千米 【分析】根据路程＝甲乙的速度和×时间，代入数值计算即可。 【详解】 （千米） 答：A城到B城的距离是千米。 23．奇奇爸爸从家开车去北京出差，行驶了7个小时，导航上显示已经行驶了770千米，照这样的速度，要到达北京还要行驶3小时，奇奇家距离北京有多少千米？ 【答案】1100千米 【分析】“照这样的速度”可知，汽车行驶的速度保持不变。先根据已行驶的路程和时间求出速度，再求出从家到北京的总时间，最后利用公式“路程速度时间”计算出总路程。也可以先求出剩下的路程，再加上已行驶的路程，但利用总时间计算更为简便。 【详解】 ＝110×10 （千米） 答：奇奇家距离北京有1100千米。 24．轩轩周末从家出发步行去图书馆，30分钟步行2040米，此时导航显示还需5分钟。 (1)轩轩的步行速度是多少？ (2)轩轩家离图书馆的距离是多少米？ 【答案】(1)68米/分 (2)2380米 【分析】（1）已知轩轩步行的路程是2040米，时间是30分钟。根据数量关系式：速度路程时间，即可求出轩轩的步行速度。 （2）要求轩轩家离图书馆的总距离，需要知道步行的速度和总时间。已知步行速度已在第（1）题求出，总时间等于已步行的时间加上还需步行的时间。根据数量关系式：路程速度时间，列综合算式计算即可。 【详解】（1）2040÷30＝68（米/分） 答：轩轩的步行速度是68米/分。 （2）68×（30＋5） ＝68×35 ＝2380（米） 答：轩轩家离图书馆的距离是2380米。 25．向阳小学开设了益智游戏课程，其中四年级是魔方课程，李老师带着560元买魔方，这些钱最多能买多少个魔方？ 文具店 每个16元，买8个送1个 【答案】39个 【分析】“买8个送1个”的优惠规则，即每付费购买8个魔方，可额外获赠1个。先利用总钱数除以单价，计算出按原价能购买多少个魔方；再根据购买数量计算能获赠多少个魔方；最后将购买数量与赠送数量相加，即为最多能得到的魔方总数。 【详解】560÷16＝35（个） 35÷8＝4（个）……3（个） 35＋4＝39（个） 答：这些钱最多能买39个魔方。 26．买2个足球和3个篮球共花了380元，买同样的2个足球和5个篮球共花了500元，每个足球和每个篮球各多少元？ 【答案】足球100元；篮球60元 【分析】对比两次购买情况，足球的数量相同，均为2个，总金额的差是由于篮球的数量不同而引起的，第二次比第一次多买了2个篮球，多花了120元，由此可求出篮球的单价。再根据第一次购买的总金额和篮球的单价，求出足球的单价。 【详解】篮球的单价： ＝120÷2 ＝60（元） 足球的单价： ＝ ＝200÷2 ＝100（元） 答：每个足球100元，每个篮球60元。 27．文具店采购两种笔记本，硬面笔记本每套150元，软面笔记本每套80元，每种各买15套，一共要花多少钱？ 【答案】3450元 【分析】明确总价＝单价×数量，已知硬面笔记本和软面笔记本的单价以及购买的数量，要求一共花的钱数。先计算两种笔记本各买一套需要的钱数（即单价和），再乘购买的套数；列式计算即可。 【详解】 （元） 答：一共要花3450元。 28．学校采购20个护眼台灯和5个卡通书签，作为“阅读之星”的奖品，一共花了850元。已知每个卡通书签18元，每个护眼台灯多少元？ 【答案】38元 【分析】要求每个护眼台灯的单价，需要知道护眼台灯的总价和数量。数量已知是20个，护眼台灯的总价未知，但知道总花费和卡通书签的总价。因此，先根据“总价＝单价×数量”求出卡通书签的总价，再用总花费减去卡通书签的总价得到护眼台灯的总价，最后除以数量即可。 【详解】 （元） 答：每个护眼台灯38元。 1 学科网（北京）股份有限公司 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