精品解析：河南省新乡市第十一中学2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题

2021-2022学年第二学期 八年级《数学》期末试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知为正整数，则正整数的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 2. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　） A. AB＝1，BC＝2，AC＝ B. AB2﹣BC2＝AC2 C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. ∠A﹣∠B＝∠C 3. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点M在AB上运动，MP⊥BC，MN⊥AC，Q为PN的中点，则CQ的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 若一次函数的图象经过一、二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. m＜－1 B. m＜2 C. －1＜m＜2 D. m＞－1 5. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（　　） A. B. C. D. 2 6. 李明明同学利用业余时间在小区摆地摊，他对某一周7天的收入数据进行分析，并列出方差公式：，则该组数据的平均数与众数分别（ ） A. 100，100 B. 100，90 C. 110，110 D. 110，100 7. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列结论中，不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 菱形的面积等于对角线乘积的一半 D. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 9. 已知点O是边长为6的等边的重心，点P在外，，，，的面积分别记为，，，．若，则线段长的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图（1），已知中，点P从点A出发，沿折线匀速运动，的长度y（单位：）随时间x（单位：s）的变化而变化的图象如图（2）所示，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 12. 初三（8）班体委用划记法统计本班40名同学投掷实心球的成绩，结果如图所示：则这40名同学投掷实心球的成绩的中位数是______． 成绩（分） 6 7 8 9 10 人数 正 一 正 正 一 正 正 正 13. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点，直线y＝kx－3（k＞0），与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有三个整点，则k的取值范围是__________. 14. 如图，在正方形中，点E是的中点，F为上一点，交于点O．若，则的长为_______． 15. 如图，在一张边长为4的等边三角形的纸片上做折纸游戏，其中D是的中点，在边上任取一点E，将纸片沿折叠，使点A落在处，再将纸片沿折叠，点E落在处．当点恰好落在原等边三角形纸片的边上（不与顶点重合）时，线段的长为_____________． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都是格点，在给定的网格中仅用无刻度的直尺完成画图． （1）在图1中，画格点F，使∠ACF＝45°； （2）在图1中，先画点C关于AB的对称点D；再在BC上画点N，AB上画点M，使CM＋MN的值最小； （3）在图2中，N是格点，直线l是网格线，在AB上画点H，在直线l上画点G，使HG⊥l，且CH＋NG的值最小． 18. 2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在京隆重举行，习近平总书记在会上发表重要讲话时强调，青春孕育无限希望，青年创造美好明天，我校团委开展了“青春心向党，建功新时代”的党史知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是： A：，B：，C：，D：． 其中，八年级学生的竞赛成绩为： 66，75，76，78，79，81，82，83，84，86， 86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八年级 85.2 86 b 59.66 九年级 85.2 a 91 91.76 根据以上信息，解答下列问题； （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若八年级有400名学生参赛，九年级有600名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 19. 如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点C，点P为直线上一点． （1）求n和k的值； （2）若点P在射线上，且，求点P的坐标； （3）观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 20. 如图，在中，点D、E分别是边的中点，过点A作交的延长线于F点，连接，过点D作于点G． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）若． ①当___________时，四边形是矩形； ②若四边形是菱形，则________． 21. 冰墩墩（Bing Dwen Dwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表： 价格 类别 A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 20 15 销售价（元/个） 28 20 （1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）小冬第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小冬来说哪一次更合算？（注：利润率=（利润÷成本）×100%）． 22. 在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上．若点，在线段上，且为某个一边与轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点，的“伴随矩形”．下图为点，的“伴随矩形”的示意图． （1）若点，点的横坐标为，则点，的“伴随矩形”的面积为 　　； （2）点，的“伴随矩形”是正方形． ①当正方形面积为4，且点到轴的距离为3时，写出点的坐标，并求出直线的函数解析式； ②当正方形的对角线长度为时，原点与所有正方形上各点所连线段的长记为，直接写出的取值范围． 23. 如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF． （1）请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系； （2）将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转， ①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年第二学期 八年级《数学》期末试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知为正整数，则正整数的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先把进行化简，再根据二次根式的性质判断即可． 【详解】解：为正整数，且， ∴正整数n的最小值为6． 故选：B． 【点睛】本题考查复合二次根式的化简，熟练掌握该知识点是解题关键． 2. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　） A. AB＝1，BC＝2，AC＝ B. AB2﹣BC2＝AC2 C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. ∠A﹣∠B＝∠C 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：A、∵12＋（）2＝22，∴△ABC是直角三角形； B、∵AB2−BC2＝AC2， ∴AB2＝BC2＋AC2，即△ABC是直角三角形； C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形； D、∵∠A−∠B＝∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 3. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点M在AB上运动，MP⊥BC，MN⊥AC，Q为PN的中点，则CQ的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求CQ的最小值就是求CM的最小值，故当CM⊥AB时，CM最小，利用等积法求出CM的长度即可 【详解】∵BC=6，AC=8，AB=10 ∴ ∴△ABC为直角三角形 ∴∠C=90° 又∵MP⊥BC，MN⊥AC ∴四边形PCNM为矩形 ∵Q为PN的中点， ∴CQ=CM ∴当CM⊥AB时，CM最小，即CQ最小 ∵ ∴ ∴CM=4.8 ∴CQ=2.4 故答案：C 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理的应用，等积法的应用，知道CM⊥AB时最小是解决本题的关键． 4. 若一次函数的图象经过一、二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. m＜－1 B. m＜2 C. －1＜m＜2 D. m＞－1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象在坐标平面内的位置列出关于m的不等式，然后解不等式． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴， 解得，； 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限；k<0时，直线必经过二、四象限；b>0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交． 5. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， ∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10， ∴AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5， ∵AD∥BC， ∴∠DPH＝∠FCH， 在△PDH与△CFH中， ， ∴△PDH≌△CFH（AAS）， ∴PD＝CF＝5，CH＝PH， ∴AP＝AD﹣PD＝5， ∴， ∵点G是EC的中点， ∴GH＝EP＝ 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6. 李明明同学利用业余时间在小区摆地摊，他对某一周7天的收入数据进行分析，并列出方差公式：，则该组数据的平均数与众数分别（ ） A. 100，100 B. 100，90 C. 110，110 D. 110，100 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差公式可知这一组数据为：90、90、100、100、100、110、110，由此求解即可． 【详解】解：根据方差公式可知这一组数据为：90、90、100、100、100、110、110， ∴这组数据的平均数，众数为100， 故选A． 【点睛】本题主要考查了方差公式，求平均数和众数，根据方差公式得出这组数据是解题的关键． 7. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算性质、分式加减运算和二次根式的计算判断即可． 【详解】解：由题意可知： A. ，∵，∴计算错误，故不符合题意； B. ，∵，∴计算错误，故不符合题意； C. ，∵，∴计算错误，故不符合题意； D. ，∵，∴计算正确，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查幂的运算性质、分式加减运算和二次根式的计算，准确计算是解题的关键． 8. 下列结论中，不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 菱形的面积等于对角线乘积的一半 D. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的判定与性质、矩形的判定、平行四边形的性质与判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； C．菱形的面积等于对角线乘积的一半，故选项C不符合题意； D．一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定、平行四边形的性质与判定等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定与性质是解题的关键． 9. 已知点O是边长为6的等边的重心，点P在外，，，，的面积分别记为，，，．若，则线段长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，设直线交于点D，可证明，根据，可得，根据等边三角形的性质可求得中边上的高和中边上的高的值，则可推出当时，有最小值，此时，过作，求得，则可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设直线交于点D， ∴，， ， 设中边上的高为，中边上的高为， ∴，， ， ， 是等边三角形， ， ∴， 点在平行于，且到的距离等于的直线上， ∴当与该直线垂直时有最小值， ∴当时，有最小值， ∴，； 由三角形内心的定义和等边三角形的性质可得， ∴， ∴点D为的中点， ∴， ∴三点共线，， ∴； 如图所示，过作于， 同理可得点E为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 10. 如图（1），已知中，点P从点A出发，沿折线匀速运动，的长度y（单位：）随时间x（单位：s）的变化而变化的图象如图（2）所示，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图（2）求出点P的速度，过点A作AH⊥BC于点H，作点B关于AH的对称点B'，再根据图（2）得出当点P与点B′重合时，x=a，当点P与点C重合时，x=a+1，从而得出故B'C=2cm，AC=8cm，设BH=B'H=m cm，则CH=（2+m）cm，然后借助于AH是两个直角三角形的公共边，由勾股定理列出关于m的方程解出m即可． 【详解】解：由图（2）可，知当点P与点B重合时，AP=10cm，x=5， ∴点P的运动速度为2cm/s， 如图，过点A作AH⊥BC于点H，作点B关于AH的对称点B'， 根据题意得：当点P与点B′重合时，x=a，当点P与点C重合时，x=a+1， 故B'C=2cm，AC=8cm． 设BH=B'H=m cm，则CH=（2+m）cm， 由勾股定理得：AC2CH2=AB2BH2， ∴（8）2（2+m）2=102m2， 解得m=6， ∴BC=2m+2=14（cm）． 故选：B． 【点睛】此题考查了动点的函数图象，关键是根据图象求解出AB、AC的长． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 则 ∴ = = = =2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键． 12. 初三（8）班体委用划记法统计本班40名同学投掷实心球的成绩，结果如图所示：则这40名同学投掷实心球的成绩的中位数是______． 成绩（分） 6 7 8 9 10 人数 正 一 正 正 一 正 正 正 【答案】8 【解析】 【分析】根据表格及中位数的求法可直接进行求解． 【详解】解：由表格可知这40名同学投掷实心球的成绩的中位数是第20、21两人成绩的平均数，即为； 故答案为8． 【点睛】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点，直线y＝kx－3（k＞0），与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有三个整点，则k的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据表达式判断出图象，通过图象找出临界点，再进行计算即可. 【详解】解：∵直线y＝kx－3（k＞0）， ∴图象一定经过（0，－3），且从左至右是上升的趋势， 如图所示： 通过图象可得，当直线经过（3，0）时，求出表达式为y=x－3，此时直线恰好经过整点（2，－1），（1，－2），与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有1个整点；当直线经过（3，－1）时，求出表达式为y=x－3，此时与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）恰好有3个整点， ∴当时，与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有三个整点. 【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系，通过表达式画出图像，找出临界点是解题的关键. 14. 如图，在正方形中，点E是的中点，F为上一点，交于点O．若，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用面积关系建立方程是本题的关键；延长到H，使，连接，过E作于M；首先证明，则，，则由已知可得，从而；由勾股定理求得，从而得；设，利用面积关系建立方程即可求得x的值，从而求解． 【详解】解：如图，延长到H，使，连接，过E作于M； 四边形是正方形， ； ； ， ， ，； ， ， 即， ； ， ， ； 为的中点， ， 由勾股定理得，； 设，则； ， ， 解得：（舍去）； 即； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，构造辅助线证明三角形全等，利用面积关系建立方程是本题的关键； 15. 如图，在一张边长为4的等边三角形的纸片上做折纸游戏，其中D是的中点，在边上任取一点E，将纸片沿折叠，使点A落在处，再将纸片沿折叠，点E落在处．当点恰好落在原等边三角形纸片的边上（不与顶点重合）时，线段的长为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，等腰直角三角形，三角函数值等知识．解题的关键在于分情况求解．分两种情况：①落在边上时，先得出，，根据求出；②落在边上时，过点E作于点N，先得出，，根据求出，进而求出． 【详解】解：分两种情况求解：①如图（1）落在边上时，与的交点为M， 由题意得：， ， ， ， ， 解得：； ②如图（2），落在边上时，与的交点为M，过点E作于点N， 由题意得：， ， ， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：或． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都是格点，在给定的网格中仅用无刻度的直尺完成画图． （1）在图1中，画格点F，使∠ACF＝45°； （2）在图1中，先画点C关于AB的对称点D；再在BC上画点N，AB上画点M，使CM＋MN的值最小； （3）在图2中，N是格点，直线l是网格线，在AB上画点H，在直线l上画点G，使HG⊥l，且CH＋NG的值最小． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）以AC为直角边构造等腰直角三角形即可； （2）利用对称性可得，CM=DM，使CM＋MN的值最小，即CM和MN在一直线上即可； （3）只要CH∥N，通过平移，它们能够构造一条线段，则CH＋NG的值最小． 【小问1详解】 格点F如图所示； 【小问2详解】 点M和点N作图如图所示； 【小问3详解】 点H和点G作图如图所示； 【点睛】本题考查了网格作图，涉及到了作一个已知角的问题，轴对称的知识，垂线段最短，造桥选址的问题等，解题关键是充分利用网格中的隐含条件，并能正确运用相关概念与知识． 18. 2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在京隆重举行，习近平总书记在会上发表重要讲话时强调，青春孕育无限希望，青年创造美好明天，我校团委开展了“青春心向党，建功新时代”的党史知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是： A：，B：，C：，D：． 其中，八年级学生的竞赛成绩为： 66，75，76，78，79，81，82，83，84，86， 86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八年级 85.2 86 b 59.66 九年级 85.2 a 91 91.76 根据以上信息，解答下列问题； （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若八年级有400名学生参赛，九年级有600名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】（1）87.5，88，40 （2）九年级成绩更好，理由见解析 （3）估计两个年级参赛学生中成绩优秀的有360人 【解析】 【分析】（1）由众数，中位数的含义可求解的值，由D级所占的百分比可得m的值， （2）从中位数的角度出发进行分析可得答案； （3）由各年级的总人数乘以各自的优秀率，再求解代数和即可． 【小问1详解】 解：由八年级的成绩当中88分出现的次数最多，所以众数b=88（分）， 由题意可得：九年级学生当中A等级2人，B等级3人，C等级7人，D等级8人， 所以中位数落在C等级，第10个，第11个数据分别为87分，88分， 所以中位数为：（分）， 所以 故答案为：87.5，88，40； 【小问2详解】 九年级成绩更好，理由如下： 八年级和九年级成绩平均数均为85.2， 但是九年级成绩中位数87.5大于八年级成绩中位数86． 【小问3详解】 （人） 答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀的有360人． 【点睛】本题考查的是频数分布表，扇形图，平均数，中位数，众数，方程的含义，利用样本估计总体，掌握以上统计基础知识是解本题的关键． 19. 如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点C，点P为直线上一点． （1）求n和k的值； （2）若点P在射线上，且，求点P的坐标； （3）观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）P （3） 【解析】 【分析】（1）把点C代入解析式中，可直接求出n的值；再把点C的坐标代入中，即可求出k的值； （2）先根据解析式可求出点A和点B的值，进而可求出的面积，则可求出的面积和的面积，过点P作x轴的垂线，表示出的面积，建立方程即可； （3）根据图象即可求得． 【小问1详解】 把点C代入解析式中，得， ∴C， 把点C的坐标代入中，则，解得； 【小问2详解】 ∵直线分别与x，y轴交于点A、B， ∴A，B， 过点C作轴于点M， ∴， ∴， ∴， ∵点P在射线上， ∴， 过点P作轴于点N， ∴， ∴， ∴， 令，则， 解得， ∴P； 【小问3详解】 由图象可知，不等式的解集为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及函数与不等式的关系，解题的关键是运用数形结合思想． 20. 如图，在中，点D、E分别是边的中点，过点A作交的延长线于F点，连接，过点D作于点G． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）若． ①当___________时，四边形是矩形； ②若四边形是菱形，则________． 【答案】（1）见解析； （2）①3；② 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到DEAB，BD=CD，即可证得四边形ABDF是平行四边形，得到AF=BD=CD，由此得到结论； （2）①由点D、E分别是边BC、AC的中点，得到DE=AB，由四边形是平行四边形，得到DF=2DE=AB=3，再根据矩形的性质得到AC=DF=3； ②根据菱形的性质得到DF⊥AC，推出AB⊥AC，利用勾股定理求出AC，得到CE，利用面积法求出答案． 【小问1详解】 证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DEAB，BD=CD， ∵， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AF=BD=CD， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：①∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE=AB， ∵四边形是平行四边形， ∴DF=2DE=AB=3， ∵四边形是矩形, ∴AC=DF=3， 故答案为：3； ②∵四边形是菱形， ∴DF⊥AC， ∵DEAB， ∴AB⊥AC， ∴AD=BC=2.5， ∴AE=EC=2， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线的判定及性质，勾股定理，是一道较为综合的几何题，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键． 21. 冰墩墩（Bing Dwen Dwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表： 价格 类别 A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 20 15 销售价（元/个） 28 20 （1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）小冬第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小冬来说哪一次更合算？（注：利润率=（利润÷成本）×100%）． 【答案】（1）A款玩偶购进20个，则B款玩偶购进10个 （2）A款玩偶购进10个，则B款玩偶购进20个，才能获得最大利润，最大利润是180元 （3）第一次更合算 【解析】 【分析】（1）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进（30-a）个，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设获得利润w元，A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进（30-x）个，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的增减性，即可求解； （3）分别求出两次的利润率，即可求解． 【小问1详解】 解：设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进（30-a）个，根据题意得： ， 解得：， ∴30-a=10， 答：A款玩偶购进20个，则B款玩偶购进10个； 【小问2详解】 解：设获得利润w元，A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进（30-x）个，根据题意得： ， ∵ A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半． ∴，解得：， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，的值最大，最大值为3×10+150=180， 答：A款玩偶购进10个，则B款玩偶购进20个，才能获得最大利润，最大利润是180元； 【小问3详解】 解：第一次的利润率为：， 第二次的利润率为：， ∵， ∴第一次更合算． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上．若点，在线段上，且为某个一边与轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点，的“伴随矩形”．下图为点，的“伴随矩形”的示意图． （1）若点，点的横坐标为，则点，的“伴随矩形”的面积为 　　； （2）点，的“伴随矩形”是正方形． ①当正方形面积为4，且点到轴的距离为3时，写出点的坐标，并求出直线的函数解析式； ②当正方形的对角线长度为时，原点与所有正方形上各点所连线段的长记为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）8；（2）①，的解析式为或；② 【解析】 【分析】（1）确定BC的解析式求出点C坐标即可解决问题； （2）①根据题意确定点N的坐标即可解决问题； ②由正方形MENF的对角线为，推出点F的运动轨迹是直线l′：y＝x＋9，点E的运动轨迹是直线l：y＝x＋3，作OP⊥直线l于P交直线l′于Q．求出OP，OQ即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中， 设直线的解析式为 把，代入得 解得 直线的解析式为， 当时，， ， ，的“伴随矩形”矩形的长为4，宽为2，面积为8． 故答案为8． （2）①如图2中， 点，的“伴随矩形”是正方形， ， 由图可得，或， 设直线的解析式为y=mx，把或代入得1=-5m或-5=m 解得m=或m=-5 直线的解析式为或． ②如图3中： 正方形的对角线为， 由图可得点的运动轨迹是直线，点的运动轨迹是直线， 作直线于交直线于．可得，， 当点与重合时，点，此时的值最大，最大值， 原点与所有正方形上各点所连线段中的最大值为，最小值为， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，一次函数的应用，“伴随矩形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 23. 如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF． （1）请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系； （2）将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转， ①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围． 【答案】（1）∠ADF=45°，AD=DF； （2） ①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示， 则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD， ∴BH=CD， 延长ED交BC于M， ∵BH∥EM，∠EDC=90°， ∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°， 又∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°， ∴∠HBA+∠DCB=45°， ∵∠ACD+∠DCB=45°， ∴∠HBA=∠ACD， ∴△ACD≌△ABH， ∴AD=AH，∠BAH=∠CAD， ∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°， 即∠HAD=90°， ∴∠ADH=45°， ∵HF=DF， ∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF． ②1≤S△ADF≤4. 【解析】 【分析】（1）延长DF交AB于H，连接AF，先证明△DEF≌△HBF，得BH=CD，再证明△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论； （2）①过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，先证明△DEF≌△HBF，延长ED交BC于M，再证明∠ACD=∠ABH，得△ACD≌△ABH，得AD=AH，等量代换可得∠DAH=90°，即△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论； ②先确定D点的轨迹，求出AD的最大值和最小值，代入S△ADF=求解即可． 【小问1详解】 解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 延长DF交AB于H，连接AF， ∵∠EDC=∠BAC=90°， ∴DE∥AB， ∴∠ABF=∠FED， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， 又∠BFH=∠DFE， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD，AB=AC， ∴BH=CD，AH=AD， ∴△ADH为等腰直角三角形， ∴∠ADF=45°， 又HF=FD， ∴AF⊥DH， ∴∠FAD=∠ADF=45°， 即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF; 【小问2详解】 解：①略 ②由①知，S△ADF=DF2=AD2， 由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2， 当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4， ∴1≤S△ADF≤4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质及判定、全等三角形判定及性质、勾股定理等知识点．构造全等三角形及将面积的最值转化为线段的最值是解题关键．遇到题干中有“中点”时，采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $