30.3 正多边形和圆（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“正多边形和圆”为核心，通过A/B/C组分层设计与中考链接，构建从基础概念到综合应用的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|中心角计算、边数求解、简单综合|结合生活情境（如手工贴纸、无人机航线），夯实概念理解| |B组能力进阶|正多边形与圆的性质综合|融入图形变换（位似、旋转），提升空间观念| |C组思维拔高|探究性问题（如渐开线、内嵌图形）|开放题型（作图、证明），发展创新意识| |拓展链接中考|中考真题（阴影面积、动态问题）|对接考纲，强化模型应用能力|

分层作业 30.3 正多边形和圆 目 录 A组 巩固过关 题型01正多边形的中心角 题型02由正多边形的中心角求边数 题型03正多半形与圆的综合 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 正多边形的中心角题型01 1．（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 【详解】解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 2．（2026·辽宁鞍山·二模）下列图形旋转后可以与原图形重合的是（    ） A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 【答案】A 【分析】根据旋转对称图形的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、正六边形的中心角为：，绕它的中心旋转后可以和原图形重合，符合题意； B、正五边形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； C、正方形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； D、正三角形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； 3．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是手工课上同学们制作的正五边形卡通贴纸，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是________（写出个符合题意的数值即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】结合正五边形的性质，得出中心角，再根据旋转的性质，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵这是正五边形卡通贴纸 ∴， ∴ 则将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合， 或将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合． 4．（24-25九年级下·上海宝山·阶段检测）如果一个正多边形的外角是度，那么它的中心角是___________度 【答案】 【分析】本题考查了正多边形中心角、外角的定义和计算方法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据正多边形中心角、外角的定义和计算方法得出正边形的中心角与外角相等即可． 【详解】解：正边形的中心角为，由于个外角的和为，所以每一个外角为， 因此正边形的中心角与外角相等， 所以它的中心角是度， 故答案为：． 5．（2025·陕西西安·三模）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正n边形的每个中心角都等于是解题的关键．连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正n边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：连接， 正六边形与正方形有重合的中心O， ， ， 是正n边形的一个中心角， ． 故答案为：12． 由正多边形的中心角求边数题型02 6．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查圆内接正多边形的性质，熟练掌握圆心角与边数的关系是解决本题的关键． 设边数为，根据所有圆心角之和为，列式求解即可． 【详解】解：∵圆内接正多边形每条边所对的圆心角相等，且所有圆心角之和为， ∴设边数为，则， 解得， ∴该正多边形边数为9． 故选：B． 7．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边，   ． 故选：C． 8．（25-26七年级下·山西长治·期末）大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 9．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）若正多边形的半径与边心距的夹角为，则该正多边形的边数为______． 【答案】9 【分析】本题考查了正多边形与圆．根据正多边形的半径与边心距的夹角为，求得正多边形的中心角为，于是得到结论． 【详解】解：∵正多边形的半径与边心距的夹角为， ∴正多边形的中心角为， ∴该正多边形的边数为， 故答案为：9． 正多半形与圆的综合题型03 10．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出，，再证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于，周长为， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的半径为． 11．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换、正方形的性质，解题的关键是掌握位似变换的性质． 根据相似比求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接，， ∵正方形∽正方形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D ． 12．如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 【答案】 /36度 【分析】连接，，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得的度数． 【详解】解：如图，连接，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴． 13．（2026·江苏泰州·二模）高港传统建筑中的“斗拱”构件蕴含有丰富的几何知识．某正方形斗拱构件的边长为2，其内切圆的面积为______．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据正方形内切圆的性质，可得内切圆的直径等于正方形的边长，先求出内切圆的半径，再利用圆的面积公式计算即可得到结果 【详解】解：∵ 正方形的边长为2，正方形的内切圆直径等于正方形的边长， ∴ 该内切圆的直径为2，半径 ， ∴ 14．（25-26九年级上·北京·期末）如图，为正八边形的中心，连接，以为圆心的圆弧经过点，，与交于点，连接，则的大小为_________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，正多边形内角和定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练运用内角和公式、三角形内角和公式、等腰三角形的性质是解题的关键． 根据正多边形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， 由对称性可得， ∵， ∴． 故答案为：． 15．如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（     ） A． B． C． D．没有确定值 【答案】B 【分析】根据正五边形的性质得出 ，由点 、 运动速度相同得出 ，结合三角形外角性质推导． 【详解】解：如图，五边形 是正五边形 ， ∴， 点、分别从点B、C开始以相同的速度在 上逆时针运动， ， ∴， ∴． 16．（24-25九年级下·江西抚州·阶段检测）如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求正多边形的中心角，连接，则，可证明是等边三角形，，则可得到，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴点O到的距离的长为2， 故选：B． 17．（2026·山东菏泽·二模）如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（     ）（结果保留π） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积，然后求出中心角即圆心角，再由扇形面积公式求解． 【详解】解：由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积， 而， ∴扇形的面积， ∴这部分阴影区域的面积为． 18．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解题的关键是熟练掌握圆的基本知识．连接，，求出，再利用圆周角定理求解即可． 【点睛】 解：如图，连接，． ∵点M，N，F分别是边，，与的切点， ∴，， ∴， ∵正五边形中， ∴， ∴． 19．（25-26九年级下·山西太原·开学考试）团扇是中国汉族传统的工艺品及艺术品，起源于商代，其雏形可追溯至战国时期的“便面”．团扇融合了绘画、书法、雕刻等艺术形式，象征团圆吉祥，承载中华传统审美与文化内涵．如图1是一款名为“蝶戏芳丛”的刺绣团扇扇面，其外轮廓为如图2所示的正八边形，已知该正八边形的中心为点，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据正多边形的中心角定义进行解答即可． 【详解】解：由正八边形的性质，可得． 20．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质；解题的关键是掌握正六边形对顶点连线（长对角线）的长度等于边长的2倍．由正六边形的对称性知对顶点连线经过中心，长度为2倍边长，由直接求得边长为9． 【详解】解：设正六边形的边长为， 正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为， 正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍， 为正六边形的一组对顶点， ， ， ， ． 21．（2025·陕西咸阳·二模）如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的中心角，连接，根据中心角的计算方法，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵点O是正六边形的中心点， ∴， ∴； 故答案为： 22．作图题： (1)尺规作图：如图，已知线段．求作线段的垂直平分线l，交于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以、为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可． （2）连接并延长到F，使得，连接BO并延长到E，使得，连接，，即可得出图形． 【详解】（1） （2）解：连接并延长到F，使得，连接BO并延长到E，使得，连接，，， 如图，六边形即为所求． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，也考查了中心对称图形的性质，熟练掌握一般作图的步骤是解题的关键． 23．（2026·河北邢台·二模）如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（     ） A．该圆的半径是1 B．弦的长是 C．的长为 D．是的2倍 【答案】C 【分析】先将图形补充完整，再根据圆的内接正六边形和内接正方形性质，求出半径，利用勾股定理，弧长公式逐项分析即可． 【详解】解：如图，将圆、正方形，正六边形补充完整， 设正方形对角线交点为，连接， 对于A，由图形，正方形四个角都为，圆内接正方形的对角线为圆的直径， 点为圆的圆心，也为圆内接正六边形的中心， ，且，为等边三角形， 该圆的半径，故A选项正确，不符合题意； 对于B，，弦的长是，故B选项正确，不符合题意； 对于C，，的长为，故C选项错误，符合题意； 对于D，，是的2倍，故D选项正确，不符合题意． 24．（2026·山东临沂·二模）如图，是边长为2的正六边形的外接圆，以点F为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接，根据题意得到，，得到弓形的面积弓形的面积，然后利用扇形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接 ∵是边长为2的正六边形的外接圆， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵以点F为圆心，长为半径画弧， ∴弓形的面积弓形的面积， ∴阴影部分的面积． 25．（2026·山西朔州·模拟预测）如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 26．（2026·山西长治·三模）在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．过 作于 ，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过 作于 ， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， ∵正方形的面积为 ∴这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为 27．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点，，，，，在圆上，若两个小正六边形的边长均为，则大正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正六边形的性质和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，    在小正六边形中，， 则， 在大正六边形中， ， ， 过G作于点H， ， 在中， ， ， ， ， 设， 则，，， 由于， ， 解得（舍去）或， 即， 故选：A． 28．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，六边形是正六边形，曲线…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按，，，，，循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当时，的长度为________，曲线的长度是________ 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形的外角性质与弧长公式，灵活运用弧长公式是解题的关键．根据正六边形的每个外角为，可确定每段弧的圆心角；再依次确定各段弧的半径，进而求出曲线的长度． 【详解】解：正六边形的每个外角为，的圆心是，半径，圆心角，根据弧长公式； 同理得，， ， ， ， ， 曲线的长度是， 故答案为：；． 29．（2026·山西长治·三模）如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，正八边形的另外四个顶点H，I，J，K分别是正方形各边的中点，连接分别交和于点E，F，则的值为______． 【答案】 【分析】设正八边形的半径为，根据题意，得，设与交于点W，与交于点T，求得，，解答即可； 【详解】解：设正八边形的半径为，根据题意，得， ， 正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，与交于点W，与交于点T， 故， ， ， 故四边形是正方形，四边形是正方形， ，， 同理可证，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形， ， ； 30．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E，F是的六等分点，连接，，点G为弦的中点，点H为上一点．已知的直径为4，则的周长最小值为____________________ ． 【答案】/ 【分析】如图所示，连接，，，，，，，首先得出当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度，然后得到，是等边三角形，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，，，，， ∵点A，B，C，D，E，F是的六等分点， ∴，是直径，点B和点F关于对称， ∴， ∴的周长， ∴当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度， ∵的直径为4， ∴， ，， 是等边三角形， ，， ∵点G为弦的中点， ∴， ∴， 在中，， 是直径， ， ， 在中，， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小值为． 31．（2026·河北石家庄·一模）如图，正方形和等边三角形内接于，顶点在上，． （1）当点和点重合时，的度数为______； （2）当点在的中点时，设，分别交于点，，的长为______． 【答案】 【分析】（1）根据题意得出，即可得出，即可求解； （2）连接，，根据已知得出，求得，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形和等边三角形内接于，点和点重合 ∴， ∴ ∴ ∴ （2）连接，， ∵正方形中， ∴，，则 ∵是的中点， ∴ ∵等边三角形内接于， ∴， ∴ ∴ ∴的长为 32．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2)解：． 理由如下：连接，，如图， ∵六边形是等边半正六边形． ，． 在与中， ， ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴； (3)作法一：如图，六边形即为所求， 作法二：如图，六边形即为所求， 【分析】（1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和； （ 2）连接，，通过已知条件可证，得到，进一步证明出进而得到； （ 3）作法一：分别连接并延长，，，以点为圆心，以适当长为半径画圆（不要画在三角形内或圆上），交，，的延长线于点，，，连接，即可得到半正六边形； 作法二：分别作、、垂直平分线，注意作三条边的垂直平分线时画弧的半径要相等，且弧的交点不能取圆上或三角形内，交点分别为点，，，连接，即可得到半正六边形． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴， ∴，即 ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为； （2）略 （3）解：作法一：∵是正三角形，是它的外接圆， ∴、、分别为、、的垂直平分线，，，， ∴，，， ∴，，， 由作图可知， 在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴六边形即为等边半正六边形． 作法二同理可证． 33．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图1，正方形内接于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，其中，连接并延长交于点，连接，，过作于点，连接． (1)如图1，若，，共线，求的值； (2)试探究的大小与的关系，并说明理由； (3)当为等腰直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)的大小与无关，，是个定值 (3)或 【分析】（1）连接，取的中点T，连接，可证明点O为正方形对角线的交点，则，进而可得，由旋转的性质可得，可证明是等边三角形，得到，则可得到，即； （2）连接，可求出；由旋转的性质可得，则，，进而可求出，，证明，可得到；证明E、F、D、G四点共圆，可得，据此可得结论； （3）当和当两种情况，通过构造与的全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接，取的中点T，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴都是的直径， ∴点O为正方形对角线的交点， ∴， ∵，且，，共线， ∴，； 由旋转的性质可得， ∴； ∵T为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； （2）解：的大小与无关，，是个定值，理由如下： 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； 由旋转的性质可得， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E、F、D、G四点共圆， ∴， ∴的大小与无关，，是个定值； （3）解：如图3-1所示，当时，过点A作交于M， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，； ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当时， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 34．（2026·山西长治·三模）阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【答案】(1)（答案不唯一，合理即可） (2)． 理由如下： ∵正八边形的内角和是， ∴， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵八边形是正八边形， ∴． 在与中， ∴， ∴． 设． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 在中，， ∴， ∴． ∴． (3)如图，八边形即为所作．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据点，由旋转对称性作图得到，得出，即可求解． （2）根据多边形内角和定理求得，进而可得，根据四边形是正方形，得出，根据正八边形得出，证明得出，设，解直角三角形得出，则在中，根据，得出，即可证明． （3）根据正方形的性质和正八边形的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一，合理即可） ∵，且点，由旋转对称性作图得到， ∴对角线经过正方形内嵌正八边形的顶点和， ∴． （2）略 （3）略 35．（2026·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 【答案】(1)； (2)①A； ②证明：过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是的半径， ∴与相切，即与有且只有一个公共点． (3)如图所示，圆弧五边形即为所求作的图形： 【分析】（1）圆弧三角形的周长由，，三段弧长构成，由，，利用弧长公式计算即可；圆弧三角形的面积可通过计算三个扇形的面积，但是中间的等边三角形的面积被多算了两次，只需减两次等边三角形的面积即可求出； （2）①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，而无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的，即在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的，所以最高点形成的图形是一条直线；②过点作，垂足为，利用正方形的性质可得，得出是的半径，结论即可得证； （3）先画出使其对角线长为的正五边形，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形，再通过圆弧五边形画出正方形． 【详解】（1）解：由题意可得：圆弧三角形是由三段圆弧围成的， ∴圆弧三角形的周长为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴圆弧三角形的周长为， 过点作，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴圆弧三角形的面积为． （2）解：①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，如图所示： ∵， ∴无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的， ∴在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的， ∴最高点形成的图形是一条直线； ②略 （3）解：如图，画正五边形，使其对角线，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形， 连接，分别过点、点作的垂线，过点作的平行线，与过点、点作的的垂线分别交于点，过点作的垂线交于点，过点作的平行线，与过点、点作的垂线分别交于点， ∴，，， ∴四边形是边长为的正方形， ∴圆弧五边形可以在正方形中转动，并且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点，所作图形符合题意． 36．（24-25九年级下·广西桂林·阶段检测）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点，求的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解答这道题． 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即． （1）请你补全余下的解答过程． 【类比迁移】 （2）如图②，在正方形内有一点，且，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，连接，若正方形的边长为，则线段的最小值为________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证是等边三角形，，运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，由，即可求解； （2）如图所示，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证是等腰直角三角形，，，再证，，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，，由即可求解； （3）如图所示，以为斜边在下方作等腰直角，则，以点为圆心，为半径画圆，记为，在下方，上取一点，连接，则四边形是圆内接四边形，可得作图符合（2）的条件，连接，根据两点之间线段最短，当点在上运动时，点在上时有最小值，作延长线与点，由是等腰直角三角形，正方形的边长为，即，可得，，，由勾股定理得到，根据即可求解． 【详解】解：（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即，且， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （2）如图所示，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴，即，且， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （3）如图所示，以为斜边在下方作等腰直角，则，以点为圆心，为半径画圆，记为，在下方，上取一点，连接，则四边形是圆内接四边形， ∵， ∴， ∴，符合（2）的条件， 连接，根据两点之间线段最短，当点在上运动时，点在上时有最小值，作延长线与点， ∵是等腰直角三角形，正方形的边长为，即， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的基础知识，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 37．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 38．（2026·四川达州·中考真题）如图，已知正六边形的中心为、边心距，分别以、为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是________． 【答案】 【分析】连接、、，由题意可得、、交于点，得出是等边三角形，利用等边三角形的性质和三角函数可计算出．由正多边形的内角公式可得，用正六边形的面积减去两个扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接、、， 在正六边形中，，， ∵点为正六边形的中心， ∴、、交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 根据题意，， 在中，， ∴， ∵， ∴ ． 39．（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 【答案】 【分析】根据正五边形的定义得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据直角三角形的性质求解即可，进而得，然后，再求扇形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在正五边形中， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴． ∴． 40．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：∵六边形是正六边形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键． （1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据正六边形的概念，确定的度数，进而确定的度数和的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，， ∵是正六边形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 试卷第2页，共47页 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 30.3 正多边形和圆 目 录 A组 巩固过关 题型01正多边形的中心角 题型02由正多边形的中心角求边数 题型03正多半形与圆的综合 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 正多边形的中心角题型01 1．（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁鞍山·二模）下列图形旋转后可以与原图形重合的是（    ） A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 3．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是手工课上同学们制作的正五边形卡通贴纸，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是________（写出个符合题意的数值即可）． 4．（24-25九年级下·上海宝山·阶段检测）如果一个正多边形的外角是度，那么它的中心角是___________度 5．（2025·陕西西安·三模）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为___________． 由正多边形的中心角求边数题型02 6．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 7．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·山西长治·期末）大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 9．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）若正多边形的半径与边心距的夹角为，则该正多边形的边数为______． 正多半形与圆的综合题型03 10．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 11．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 12．如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 13．（2026·江苏泰州·二模）高港传统建筑中的“斗拱”构件蕴含有丰富的几何知识．某正方形斗拱构件的边长为2，其内切圆的面积为______．（结果保留π） 14．（25-26九年级上·北京·期末）如图，为正八边形的中心，连接，以为圆心的圆弧经过点，，与交于点，连接，则的大小为_________________． 15．如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（     ） A． B． C． D．没有确定值 16．（24-25九年级下·江西抚州·阶段检测）如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 17．（2026·山东菏泽·二模）如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（     ）（结果保留π） A． B． C． D． 18．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级下·山西太原·开学考试）团扇是中国汉族传统的工艺品及艺术品，起源于商代，其雏形可追溯至战国时期的“便面”．团扇融合了绘画、书法、雕刻等艺术形式，象征团圆吉祥，承载中华传统审美与文化内涵．如图1是一款名为“蝶戏芳丛”的刺绣团扇扇面，其外轮廓为如图2所示的正八边形，已知该正八边形的中心为点，则的度数为___________． 20．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 21．（2025·陕西咸阳·二模）如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为______． 22．作图题： (1)尺规作图：如图，已知线段．求作线段的垂直平分线l，交于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法． 23．（2026·河北邢台·二模）如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（     ） A．该圆的半径是1 B．弦的长是 C．的长为 D．是的2倍 24．（2026·山东临沂·二模）如图，是边长为2的正六边形的外接圆，以点F为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 25．（2026·山西朔州·模拟预测）如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 26．（2026·山西长治·三模）在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 27．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点，，，，，在圆上，若两个小正六边形的边长均为，则大正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，六边形是正六边形，曲线…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按，，，，，循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当时，的长度为________，曲线的长度是________ 29．（2026·山西长治·三模）如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，正八边形的另外四个顶点H，I，J，K分别是正方形各边的中点，连接分别交和于点E，F，则的值为______． 30．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E，F是的六等分点，连接，，点G为弦的中点，点H为上一点．已知的直径为4，则的周长最小值为____________________ ． 31．（2026·河北石家庄·一模）如图，正方形和等边三角形内接于，顶点在上，． （1）当点和点重合时，的度数为______； （2）当点在的中点时，设，分别交于点，，的长为______． 32．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 33．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图1，正方形内接于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，其中，连接并延长交于点，连接，，过作于点，连接． (1)如图1，若，，共线，求的值； (2)试探究的大小与的关系，并说明理由； (3)当为等腰直角三角形时，求的值． 34．（2026·山西长治·三模）阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 35．（2026·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 36．（24-25九年级下·广西桂林·阶段检测）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点，求的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解答这道题． 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即． （1）请你补全余下的解答过程． 【类比迁移】 （2）如图②，在正方形内有一点，且，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，连接，若正方形的边长为，则线段的最小值为________． 37．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．（2026·四川达州·中考真题）如图，已知正六边形的中心为、边心距，分别以、为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是________． 39．（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 40．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 试卷第2页，共47页 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $