专题08：圆的面积（计算专项训练）数学青岛版六年级上册（新教材）

**基本信息** 以“化圆为方”推导为核心，构建“定义-公式-变式-应用”四层逻辑体系，融合几何直观与运算能力，实现圆面积计算的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心概念与推导|1推导+1定义|化圆为方思想，长方形与圆各部分对应|从面积定义出发，通过分割拼补推理面积公式| |基础公式应用|2典例+6训练|已知半径直接代入，直径需先求半径|半径为核心要素，建立直径与半径的转化关系| |变式公式应用|1典例+6训练|周长逆推求半径（r=C/2π）|构建周长与面积的逻辑链条，强化步骤完整性| |特殊图形计算|2典例+6训练|圆环用S=π(R²-r²)，半圆取整圆面积一半|从基本圆拓展到组合图形，区分面积与周长概念| |实际应用|1典例+4训练|生活场景转化为圆环/半圆模型|运用模型意识解决实际问题，提升应用能力|

专题08：圆的面积 计算专项训练 一、圆的面积的意义与推导过程 面积的定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，通常用字母S表示。 推导思想：化圆为方 把一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形。分的份数越多，每一份就越小，拼成的图形就越接近长方形。 各部分对应关系 拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，即； 拼成的长方形的宽相当于圆的半径，即。 公式推导 长方形面积 = 长 × 宽 对应圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径 二、圆的面积计算公式 根据已知条件不同，有三种常用计算方式： 已知半径求面积：直接代入核心公式 公式： 已知直径求面积：先通过直径求出半径，再代入面积公式 步骤：， 已知周长求面积：先通过周长求出半径，再代入面积公式 步骤：， 三、圆环的面积 定义：两个圆心相同、半径不相等的圆之间的部分叫做圆环，也叫环形。外面的大圆叫外圆，半径用表示；里面的小圆叫内圆，半径用表示。 面积公式 圆环的面积 = 外圆面积 - 内圆面积 字母公式： 注意：计算时是先分别平方再相减，不能先算半径差再平方，即。 四、半圆与特殊扇形面积 半圆的面积：半圆的面积是对应整圆面积的一半 公式： 四分之一圆的面积： 提示：半圆的面积和半圆的周长是两个不同的概念，面积是圆面积的一半，周长是圆周长的一半加直径，注意区分。 五、高频易错点提示 公式混淆：把圆的周长公式和面积公式混淆，面积计算必须是半径的平方，即，不是。 步骤遗漏：已知直径或周长求面积时，忘记先求半径，直接用直径或周长代入平方计算。 圆环计算错误：错误地用计算圆环面积，正确应为外圆面积减内圆面积。 单位错误：计算后单位写错，面积单位应为平方单位（如 cm²、m²），与长度单位混淆。 概念混淆：混淆半圆的周长和半圆的面积，计算半圆面积时错误加上直径。 题型 1：已知半径 / 直径求圆的面积 本题型为基础核心题型，熟练掌握圆面积的基本公式，规范平方运算与计算步骤。 典型例题 （1）一个圆的半径是 3 厘米，它的面积是多少平方厘米？ （2）一个圆的直径是 8 分米，它的面积是多少平方分米？（π 取 3.14） 解题思路 第（1）题已知半径，直接代入公式计算；第（2）题已知直径，先求出半径，再代入面积公式计算。 解题过程 （1） （平方厘米） （2）半径：（分米） （平方分米） 跟踪训练 1 计算下面各圆的面积。（π 取 3.14） 半径 半径 直径 直径 半径 直径 题型 2：已知周长求圆的面积 本题型掌握圆周长与面积的综合运算，熟练通过周长反向求半径，再计算面积。 典型例题 一个圆形水池的周长是 31.4 米，这个水池的占地面积是多少平方米？（π 取 3.14） 解题思路 求水池的占地面积就是求圆的面积。已知周长，先根据周长公式的逆运算求出半径，再代入圆的面积公式计算。 解题过程 半径： （米） 面积： （平方米） 答：这个水池的占地面积是 78.5 平方米。 跟踪训练 2 根据给出的周长，计算对应圆的面积。（π 取 3.14） 题型 3：圆环与半圆的面积计算 本题型为重点易错题型，掌握圆环、半圆面积的计算方法，区分易混概念。 典型例题 （1）一个圆环，外圆半径是 5 厘米，内圆半径是 3 厘米，圆环的面积是多少平方厘米？ （2）一个半圆的半径是 4 分米，它的面积是多少平方分米？（π 取 3.14） 解题思路 第（1）题圆环面积用外圆面积减内圆面积，也可以用简便计算；第（2）题半圆面积是整圆面积的一半，先算整圆面积再除以 2。 解题过程 （1）简便公式计算： （平方厘米） （2）整圆面积：（平方分米） 半圆面积：（平方分米） 跟踪训练 3 计算下列图形的面积。（π 取 3.14） 外圆半径，内圆半径的圆环 外圆直径，内圆直径的圆环 半径的半圆 直径的半圆 外圆半径，内圆半径的圆环 直径的半圆 题型 4：圆的面积实际应用 本题型结合生活场景，运用圆的面积公式解决花坛、路面、铁片裁剪等实际问题，提升审题与综合应用能力。 典型例题 一个圆形花坛的直径是 20 米，在它的周围铺一条宽 1 米的环形石子路，这条石子路的面积是多少平方米？（π 取 3.14） 解题思路 石子路的形状是圆环，内圆是花坛，先求出内圆半径，再用内圆半径加路宽得到外圆半径，最后用圆环面积公式计算。 解题过程 内圆半径：（米） 外圆半径：（米） 石子路面积： （平方米） 答：这条石子路的面积是 65.94 平方米。 跟踪训练 4 解决下列问题。（π 取 3.14） 一个圆形餐桌的半径是 0.8 米，它的桌面面积是多少平方米？ 一个圆形草坪的周长是 62.8 米，这块草坪的面积是多少平方米？ 一个圆形铁片，直径是 20 厘米，从中挖去一个半径是 5 厘米的小圆，剩下的铁片面积是多少平方厘米？ 一个半圆形的菜园，直径是 8 米，菜园的占地面积是多少平方米？ 练习巩固 1．计算阴影部分的面积。     2．求阴影部分的面积。 3．如图，求阴影部分面积。 4．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 5．求阴影部分的面积。单位（cm） 6．按要求计算。（单位：厘米） 计算涂色部分的面积。 7．求阴影部分的面积。（单位：cm） 8．计算下图阴影部分的面积。 9．如图，正方形ABCD的边长为10cm，求图中阴影部分的面积。（π取3.14） 10．求涂色部分的面积。（π取3.14） 11．求下图阴影部分的面积。 12．求阴影部分的面积。 13．计算下面图形阴影部分的周长与面积。 14．如图，正方形的边长为10厘米，求出这个图形阴影部分的面积。 15．求阴影部分的周长和面积（单位：cm，π取3.14） 16．计算下面阴影部分的面积。 17．求下图中阴影部分的面积。 18．求出下面半圆的周长和面积。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 跟踪训练 1 解析 半径 【分析】已知半径求面积，直接代入公式。 【详解】（cm²） 【答案】78.5 cm² 半径 【分析】代入圆面积公式，先算平方再乘 π。 【详解】（dm²） 【答案】12.56 dm² 直径 【分析】先求半径，再代入面积公式。 【详解】，（m²） 【答案】78.5 m² 直径 【分析】先求出半径，再计算面积。 【详解】，（cm²） 【答案】28.26 cm² 半径 【分析】已知半径，直接代入面积公式计算。 【详解】（dm²） 【答案】314 dm² 直径 【分析】先求半径，再计算圆的面积。 【详解】，（m²） 【答案】153.86 m² 跟踪训练 2 解析 【分析】先通过周长求半径，再计算面积。 【详解】半径：（cm） 面积：（cm²） 【答案】12.56 cm² 【分析】周长逆推半径，再代入面积公式。 【详解】半径：（dm） 面积：（dm²） 【答案】28.26 dm² 【分析】先求半径，再计算圆的面积。 【详解】半径：（m） 面积：（m²） 【答案】50.24 m² 【分析】周长除以 π 再除以 2 得半径，再算面积。 【详解】半径：（dm） 面积：（dm²） 【答案】3.14 dm² 【分析】先求出半径，再计算面积。 【详解】半径：（cm） 面积：（cm²） 【答案】200.96 cm² 【分析】逆推半径后代入面积公式。 【详解】半径：（m） 面积：（m²） 【答案】19.625 m² 跟踪训练 3 解析 外圆半径，内圆半径 【分析】圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积，用简便公式计算。 【详解】（cm²） 【答案】100.48 cm² 外圆直径，内圆直径 【分析】先分别求出外圆和内圆的半径，再计算圆环面积。 【详解】外半径：（dm），内半径：（dm） （dm²） 【答案】50.24 dm² 半径的半圆 【分析】半圆面积是整圆面积的一半，先算整圆再除以 2。 【详解】整圆面积：（m²） 半圆面积：（m²） 【答案】100.48 m² 直径的半圆 【分析】先求半径，再算整圆面积，最后除以 2 得半圆面积。 【详解】半径：（cm） 半圆面积：（cm²） 【答案】39.25 cm² 外圆半径，内圆半径 【分析】代入圆环面积公式计算。 【详解】（dm²） 【答案】75.36 dm² 直径的半圆 【分析】先求半径，再计算半圆面积。 【详解】半径：（m） 半圆面积：（m²） 【答案】56.52 m² 跟踪训练 4 解析 圆形餐桌面积问题 【分析】求桌面面积就是求圆的面积，已知半径直接代入公式。 【详解】（平方米） 答：它的桌面面积是 2.0096 平方米。 【答案】2.0096 平方米 圆形草坪面积问题 【分析】先根据周长求半径，再计算草坪面积。 【详解】半径：（米） 面积：（平方米） 答：这块草坪的面积是 314 平方米。 【答案】314 平方米 圆形铁片剩余面积问题 【分析】剩余面积是圆环面积，先求大圆半径，再用圆环公式计算。 【详解】大圆半径：（厘米） 剩余面积：（平方厘米） 答：剩下的铁片面积是 235.5 平方厘米。 【答案】235.5 平方厘米 半圆形菜园面积问题 【分析】求菜园占地面积就是求半圆的面积，先求半径再计算。 【详解】半径：（米） 面积：（平方米） 答：菜园的占地面积是 25.12 平方米。 【答案】25.12 平方米 巩固练习 1．9.42平方分米 【分析】已知圆的直径为4分米，根据半径是直径的一半，可得圆的半径，然后根据圆的面积＝计算出圆的面积。观察图形可知，阴影部分面积为圆面积的，即用圆的面积乘即可得出阴影部分的面积。 【详解】3.14×× ＝3.14×× ＝3.14×4× ＝12.56× ＝9.42（平方分米） 阴影部分的面积为9.42平方分米。 2．13.76cm2 【分析】阴影部分的面积等于边长是8cm的正方形的面积减去直径是8cm的圆的面积，代入数据即可求解。 【详解】根据分析： 8×8－3.14× ＝64－3.14× ＝64－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（） 3．8.72平方米 【分析】阴影部分面积＝梯形的面积－半圆的面积。先根据梯形的上底、下底和高，计算出整个梯形的面积。再根据半圆的直径，计算出半圆的面积。用梯形面积减去半圆面积，即可得到阴影部分的面积。 【详解】梯形面积： （4＋6）×3÷2 ＝10×3÷2 ＝15（平方米） 半圆面积： ＝ ＝6.28（平方米） 阴影部分面积： 15－6.28＝8.72（平方米） 4．26.75平方厘米 【分析】图中阴影部分的面积＝半圆的面积－直角三角形的面积；直角三角形的两条直角边与半圆的半径相等，已知半圆的直径，根据r＝，可求出半径；根据半圆的面积公式和三角形的面积公式，分别求出半圆和三角形的面积，再相减，即可解答。 【详解】10÷2＝5（厘米） 3.14×52÷2－5×5÷2 ＝3.14×25÷2－25÷2 ＝78.5÷2－12.5 ＝39.25－12.5 ＝26.75（平方厘米） 5．0.86cm² 【分析】圆的直径＝正方形边长＝2，直径÷2＝半径，半径代入圆面积公式：得到圆的面积，正方形面积＝边长×边长，阴影面积＝正方形面积－圆的面积。 【详解】2×2－3.14×（2÷2）² ＝4－3.14×1² ＝4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（cm²） 6．172平方厘米 【分析】涂色部分的面积等于长方形的面积减去两个直径为20厘米的圆的面积，长方形的长为40厘米、宽为20厘米，长方形的面积＝长×宽，圆的直径为20厘米，圆的半径为20÷2＝10（厘米），圆的面积＝πr2。 【详解】20÷2＝10（厘米） 40×20－3.14×102×2 ＝800－3.14×100×2 ＝800－628 ＝172（平方厘米） 7．0.2512cm2 【分析】如图，将下面的小半圆移到上面空白部分，阴影部分正好是一个半圆。已知圆的直径是0.8cm，用直径长度除以2求出半径，根据圆的面积公式求出圆的面积，再除以2求出半圆的面积，即为阴影部分的面积。 【详解】0.8÷2＝0.4（cm） 3.14×0.42÷2 ＝3.14×0.16÷2 ＝0.5024÷2 ＝0.2512（cm2） 8．15.44cm2 【分析】阴影部分面积＝上底是4cm，下底是（6＋4）cm，高是4cm的梯形面积－半径是4cm的圆的面积的，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积＝π×半径2，据此解答。 【详解】（4＋6＋4）×4÷2－3.14×42× ＝（10＋4）×4÷2－3.14×16× ＝14×4÷2－3.14×16× ＝56÷2－50.24× ＝28－12.56 ＝15.44（cm2） 9．21.5cm2 【分析】观察图形可知，阴影面积＝正方形面积－四个空白扇形的面积。由于四个扇形的半径都是正方形边长的一半（5cm），且四个扇形的圆心角之和为 360°，所以四个扇形合起来正好是一个完整的圆。因此，阴影面积＝正方形面积－一个整圆的面积，再结合正方形的面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可。 【详解】10÷2＝5（cm） 10×10－3.14×52 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 10．18.84平方厘米 【分析】由图可知，涂色部分是大半圆减去内部小半圆的剩余部分，已知小半圆直径为4厘米，大半圆的半径等于小半圆的直径，即大半圆半径为4厘米，根据直径与半径之间的关系：半径＝直径÷2，可求出小半圆的半径。根据圆的面积公式：面积＝，π取3.14，可推出半圆的面积：半圆面积＝÷2，再根据“涂色部分的面积＝大半圆的面积－小半圆的面积”，求出涂色部分的面积。 【详解】4÷2＝2（厘米） 3.14×÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 3.14×÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 25.12－6.28＝18.84（平方厘米） 所以，涂色部分的面积为18.84平方厘米。 11．20.52平方厘米 【分析】求阴影部分面积就是用半圆的面积减去三角形的面积即可。计算时将进行计算。 【详解】半径：12÷2＝6（厘米） 半圆面积：（平方厘米） 三角形面积：12×6÷2＝36（平方厘米） 阴影部分面积：56.52－36＝20.52（平方厘米） 答：阴影部分面积为20.52平方厘米。 12．20.52平方厘米 【分析】 如图，在正方形的对角画一道辅助线，将阴影部分平均分为两部分，其中一部分可以用个圆的面积减去直角三角形的面积求出，然后再乘2即可得到整个阴影部分的面积。 【详解】个圆的面积： 3.14×62× ＝3.14×36× ＝113.04× ＝28.26（平方厘米） 直角三角形的面积： 6×6÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 阴影部分一半的面积：28.26－18＝10.26（平方厘米） 阴影部分的面积：10.26×2＝20.52（平方厘米） 13．周长31.4cm；面积39.25cm2 【分析】圆的周长，半圆的周长。半圆的面积。图形的周长是指围成图形的所有线的长度的和。由图可知，阴影部分的周长包括一个大半圆的弧长，和两个小半圆的弧长，其中两个小半圆的弧长可以拼成一个小圆，所以阴影部分的周长等于小圆的周长加上大半圆的弧长。求面积时用割补法，将右下角的半圆切下来拼在左边的空白处，正好是一个大半圆，利用半圆的面积公式计算。 【详解】周长： . 阴影部分的周长为31.4 cm。 面积： 阴影部分的面积为39.25 cm2。 14．21.5平方厘米 【分析】正方形的面积计算公式是边长乘边长，圆的面积＝（取3.14，r表示半径），正方形的边长相当于圆的直径，阴影部分的面积可以通过正方形的面积减去圆的面积。 【详解】10×10＝100（平方厘米） 半径：10÷2＝5（厘米） 3.14× ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 100－78.5＝21.5（平方厘米） 阴影部分的面积是21.5平方厘米。 15．7.14cm；0.86cm2 【分析】阴影部分的周长包含正方形的两条边长和一段圆的弧长，圆的周长＝2πr计算；面积是正方形面积减去圆的面积，圆的面积公式为S＝πr2，代入r＝2cm，即可解答。 【详解】周长：2×2＋×2×3.14×2 ＝4＋3.14 ＝7.14（cm） 面积：2×2－×3.14×22 ＝4－×3.14×4 ＝4－3.14 ＝0.86（cm2） 16．72.96平方厘米； 84.78平方厘米 【分析】（1）阴影部分面积＝圆的面积－正方形面积， 正方形的面积我们可以看成两个三角形相加，这个三角形的底是圆的直径（d＝16cm），高是圆的半径（r＝8cm）； （2）阴影部分面积＝大圆的面积－小圆的面积， 大圆半径＝6cm，小圆直径＝6cm； 【详解】根据分析，解答如下： ×8×16×2＝128（） S＝π＝π×＝3.14×64＝200.96（） ＝200.96－128＝72.96（） 答：阴影部分面积为72.96平方厘米。 小圆半径：r＝3cm   ＝π－π＝3.14×－3.14×＝3.14×36－3.14×9＝113.04－28.26＝84.78（） 答：阴影部分面积为84.78平方厘米。 17．3.44cm² 【分析】观察图形可知，阴影部分为正方形面积减去圆面积后再除以4； 正方形边长8cm，代入公式求得正方形面积； 圆的直径为8cm，直径÷2＝半径，将半径代入圆面积公式得圆面积； （正方形面积－圆面积）÷4＝阴影面积。 【详解】8÷2＝4（cm） （8²－3.14×4²）÷4 ＝（64－3.14×16）÷4 ＝（64－50.24）÷4 ＝13.76÷4 ＝3.44（cm²） 阴影部分的面积是3.44cm²。 18．15.42cm；14.13 【分析】半圆的周长是圆周长的一半加上直径，公式为：，代入直径即可计算； 半圆的面积是圆面积的一半，公式为：，代入半径数值即可计算。 【详解】 （cm） r＝6÷2＝3（cm） （） 所以，上图中半圆的周长为15.42cm，面积为14.13。 $