精品解析：辽宁锦州市某校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 3. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 4. 已知非零向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图像，可以将函数的图象上（ ） A. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C. 每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D. 每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 6. 已知锐角的终边与单位圆相交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则有两解 10. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 的单调递增区间为， C. 的图象向左平移个单位后的函数是偶函数 D. 在上有3个零点 11. 已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心，，，的面积S满足.若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量的夹角为，则__________. 13. 记的内角，，的对边分别为，，，其面积为，已知，则_____. 14. 已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知与的夹角是 （1）计算； （2）求和的夹角的余弦值． 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象，求函数在上的取值范围. 17. 在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，. （1）若，求； （2）若，求的面积. 18. 设函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若，求的值． （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1所示，由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形拼成一个较大的正方形）.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形. （1）图1中直角三角形的两锐角分别为，，其中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25，求的值； （2）图2中的面积为，的面积为， （ⅰ）若，，求的值； （ⅱ）若，设，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】根据三角函数的诱导公式，可得. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】将复数分母实数化写成的形式，利用计算结果． 【详解】因为； 故． 3. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得， 由，得，所以. 4. 已知非零向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得：， 整理可得：， 根据数量积定义可得：， 又因为， 所以， 又因为为非零向量，所以， 所以等式约去，整理可得：. 5. 为了得到函数的图像，可以将函数的图象上（ ） A. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C. 每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D. 每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】B 【解析】 【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可以得到， 再向右平移个单位，得到. 6. 已知锐角的终边与单位圆相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，， ，， 7. 设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 8. 已知，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 两边同除以，得， 所以，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以最大值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则有两解 【答案】ABD 【解析】 【详解】A：由，本选项正确； B：因为是锐角三角形， 所以， 因为是锐角三角形，所以都是锐角， 所以由，本选项正确； C：因为，所以， 所以由，或， 由，此时该三角形是等腰三角形； 由，此时该三角形是直角三角形， 所以为等腰三角形或直角三角形，本选项不正确； D：由正弦定理可知， 因为，所以，当为锐角时，显然，符合题意； 当为钝角时，，符合三角形内角和定理， 所以△ABC有两解，本选项正确. 10. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 的单调递增区间为， C. 的图象向左平移个单位后的函数是偶函数 D. 在上有3个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数的解析式，再利用正弦函数的相关性质逐一分析选项. 【详解】由图象可知， 因为，根据正弦函数的周期公式，由可得， 又，解得，所以； 把代入得，即， 因为，所以，解得，则； 由前面计算已经得出，所以的最小正周期为，选项A正确； 令， ​先解不等式，移项可得，即，解得， 再解不等式，移项可得，即，解得， 所以的单调递增区间为，选项B正确； 的图象向左平移个单位，根据“左加右减”原则，得到 ， 对于函数，，所以是偶函数，选项C正确； 令，则，解得， 当时，时，；时，， 所以在上有个零点，选项D错误. 故选：ABC. 11. 已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心，，，的面积S满足.若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用余弦定理与三角形的面积公式判断AB，利用平面向量的数量积运算和外心的性质判断CD． 【详解】对于A，由余弦定理知，， ，， ，即，， ，，， A选项正确； 对于B，， B选项错误； 对于D，为的外心，为中点，则，如图所示，     所以，同理 ， ①， ②， 由①②得，，，，D选项错误； 对于C，，C选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 可知. 13. 记的内角，，的对边分别为，，，其面积为，已知，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式、余弦定理求解即可． 【详解】因为，且，， 所以，则， 因为，所以． 故答案为：． 14. 已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，将问题化为内恰有2个整数，再分类讨论求参数范围. 【详解】由题设，且， 由在区间上恰有2个零点， 只需内恰有2个整数，即，， 当，则， 当，则， 当，则，无解， 同理时，均无解， 综上，的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知与的夹角是 （1）计算； （2）求和的夹角的余弦值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义和运算律求解即得； （2）利用向量数量积的运算律和两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为与的夹角是 所以， 【小问2详解】 因为， 设和的夹角为， 则. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象，求函数在上的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可得出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数的增区间； （2）利用三角函数图象变换求出函数解析式为，由可求得的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为 ， 所以函数的最小正周期为， 由可得， 故函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象， 则， 当时，，则，故. 故函数在上的取值范围为. 17. 在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，. （1）若，求； （2）若，求的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理求出角的正弦值，再结合角的取值范围确定角的值； （2）先根据三角形内角和定理将用和表示出来，再结合已知条件求出的值，最后利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以由正弦定理得：， 因为，所以或. 所以当时，，符合题意； 所以当时，，符合题意. 【小问2详解】 在中，因为， 所以， 把，， 代入得， 又因为， 所以，，所以， 所以， 所以的面积为. 18. 设函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若，求的值． （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图得 和 ，结合周期公式求出 ，再将 代入 结合正弦函数的性质和 即可求出 ，从而得解． （2）先根据，得到，再结合确定的范围，求出的值，最后利用诱导公式对化简求值． （3）先求出 在 的值域，接着令 ，将不等式 在 上恒成立等价变形为 在 上恒成立，从而将问题转化为求函数 在 上的最小值，求出该最小值即可得解． 【小问1详解】 由图得，， 所以，故，所以， 将代入得， 所以， 又，所以，所以． 【小问2详解】 因为， 所以，即， 又因为，所以， 所以， 所以． 【小问3详解】 因为，所以，所以， 所以，令， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，又， 所以函数在上单调递增， 所以当时，有，所以，即． 19. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1所示，由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形拼成一个较大的正方形）.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形. （1）图1中直角三角形的两锐角分别为，，其中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25，求的值； （2）图2中的面积为，的面积为， （ⅰ）若，，求的值； （ⅱ）若，设，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意知直角三角形的两直角边分别为，，进而根据面积关系得，再结合求得，最后结合两角差的余弦公式求解即可； （2）（i）由题意知，的边长分别为，，设，进而结合余弦定理求得，再结合余弦定理求解，最后计算数量积即可； （ii）设，根据面积关系得，，在中，根据由余弦定理得，进而得，再结合正弦定理得，最后求解余弦值即可. 【小问1详解】 因为图1中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25， 所以小正方形的边长为3，大正方形的边长为5， 因为直角三角形的两锐角分别为，， 所以直角三角形的两直角边分别为，， 所以，即， 因为，， 所以， 所以， ， 解得，， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）因为的面积为，的面积为， 所以，， 所以的边长为，的边长为， 因为，设， 所以，在中，由余弦定理得， 即， 所以，解得或（舍）， 所以，， 所以， 所以； （ⅱ）设， 因为，所以，即， 由题意知，， 所以，在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以，解得， 所以， 所以，在中，由正弦定理得，即，解得， 因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $