精品解析：辽宁大连铁路职工子弟中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025~2026学年度第二学期期末考试 高一数学 注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的半径为2，面积为1，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在上单调递增 D. 在上有3个实根 10. 在中，角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若是钝角三角形，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则是钝角三角形 11. 在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，,,,分别为，，，上的点，，若为线段上一动点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面平面 D. 以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知复数满足，则_____． 13. 在斜中，若，则_____． 14. 已知三棱锥中，是直角三角形，为的中点，，则三棱锥外接球的表面积为_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）当时，求的单调递增区间和最值． 16. 已知向量，满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 17. 如图,正四棱柱中，，点为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 在中，内角的对边分别为，且． （1）证明：； 若为边的中点，且,求的面积； （2）求． 19. 如图所示,在五面体中，四边形为矩形，,,． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成角的大小； （3）（i）求五面体外接球的半径； （ii）求五面体内部能转动的最大球的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末考试 高一数学 注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用复数的除法运算化简z，再利用复数的几何意义求复数对应的点. 【详解】由已知得，∴z在复平面内对应的点的坐标为， 该点在第四象限. 故选：D 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式结合题设可得答案. 【详解】由诱导公式，. 3. 已知扇形的半径为2，面积为1，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形面积公式，代入已知的半径和面积，求解圆心角的弧度数 【详解】设该扇形的圆心角弧度数为，已知扇形半径，面积， 根据扇形面积公式，将已知条件代入可得： ， 化简得，解得， 所以，该扇形圆心角的弧度数为. 4. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量，，则， 若，则，解得. 5. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【详解】若，，则、平行或相交，故A错误； 若，则与平面无公共点，即与平面内的直线无公共点. 对，则或与异面，故B错误； 若，，则，所以C正确； 若，，则或，所以D错误. 6. 在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得所成角的余弦值. 【详解】由于，所以， 设分别是的中点，连接，则， 所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角）， 在中，， 所以， 所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. 7. 测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中利用正弦定理求出的长，再在中利用三角函数求出的长. 【详解】在中，， 由正弦定理， 得. 在中，，， 所以. 8. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数的解析式，根据余弦型函数的对称性可得出关于的等式，结合可得出的最小值. 【详解】因为， 且点是函数的图象的一个对称中心， 所以，解得， 因为且，故当时，取最小值. 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在上单调递增 D. 在上有3个实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合余弦型函数的周期性、对称性、单调性及零点求解方法逐一验证选项即可. 【详解】对于A：因为函数的最小正周期为，所以，故A正确； 对于B：当时， 为的最大值， 所以关于直线对称，故B错误； 对于C：当时，，因为余弦函数在单调递增， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D：令，得，因为，所以， 所以或或， 则或或，即在上有3个实根，故D正确. 10. 在中，角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若是钝角三角形，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：由钝角的余弦值小于零，锐角的余弦值大于零可得；对于B：由锐角三角形得，再由正弦函数的单调性可得，同理得，进而可得选项的对错；对于C：直接由正弦定理得，进而可得或，从而可判断三角形的形状；对于D：先由正弦定理得，再由余弦定理得，进而可判断三角形形状. 【详解】选项A：钝角三角形中只有一个角为钝角，钝角的余弦值为负，其余两个锐角的余弦值为正， 因此三者乘积为负，即，故A正确； 选项B：因为锐角三角形中，则， 函数在上单调递增，因此， 同理可得，两式相加得，故B正确； 选项C：由正弦定理，代入得， 整理得，且，因此或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，并非一定是等腰三角形，故C错误； 选项D：由正弦定理，代入， 化简整理得，即， 由余弦定理得，所以，因此是钝角三角形. 11. 在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，,,,分别为，，，上的点，，若为线段上一动点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面平面 D. 以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合直四棱柱的结构特征，求出判断A；利用线面平行、面面平行的判定，结合三棱锥的体积推理判断B；确定二面角的平面角大小判断C；确定截面小圆圆心位置及圆的半径求解判断D. 【详解】在直四棱柱中，，，， 则，均为正三角形， 对于A，连接，由平面，平面，得, 而，因此，A正确； 对于B，取的中点，连接，由，得， 则，由，同理， 于是，四边形是平行四边形，，而平面， 平面，则平面，由，得， ，同理平面，又平面， 因此平面平面，而平面，则平面， 线段上的点到平面的距离是定值，而面积是定值， 则三棱锥的体积为定值，B正确； 对于C，依题意，，， 取的中点，连接，则，是二面角的平面角， 又，则，， 即不是直角，因此平面与平面不垂直，C错误； 对于D，取中点，连接，则，而平面， 于是，又平面，则平面， 以为球心，为半径的球面与侧面的交线是以为圆心，为半径的圆弧， 令该圆弧交分别于，于是， 该圆弧所对圆心角，弧长为，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知复数满足，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】设复数的代数形式，利用复数相等的条件求出的实部和虚部，再计算其模长. 【详解】设，则，， 所以，根据复数相等的定义，得，即. 所以，，因此. 13. 在斜中，若，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 且在斜中 所以 14. 已知三棱锥中，是直角三角形，为的中点，，则三棱锥外接球的表面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设三棱锥外接球的球心为，半径为，连接，在中利用余弦定理可得，从而得到，可证得平面，在中利用勾股定理可求得结果. 【详解】 设三棱锥外接球的球心为，半径为，连接， 如图，因为是直角三角形，， 所以是以角为直角的直角三角形，所以为圆的直径， 所以. 因为，，， 所以， 得， 所以，故. 因为，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 所以三棱锥外接球的球心在直线上，且. 在中，，所以，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为：， 故三棱锥外接球的表面积为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）当时，求的单调递增区间和最值． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为. （2）单调递增区间为；最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数的性质求解； （2）利用三角函数的性质求出最值和单调区间. 【小问1详解】 ， 则函数的最小正周期为， 令，得， 故的对称轴方程为； 【小问2详解】 若，则， 则当，即时，有最小值； 当，即时，有最大值； 令，得，则的单调递增区间为 16. 已知向量，满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系的向量表示，结合向量的数量积及运算律求解即可. （2）根据向量夹角的求解公式，结合向量的模、向量的数量积及运算律求解即可. 【小问1详解】 由题意知，. 因为，所以， 即，代入整理得，解得. 【小问2详解】 ， ， ， 设与的夹角为， 则. 17. 如图,正四棱柱中，，点为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）由正四棱柱的性质，可知两两垂直. 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系. ， ， 设平面法向量为，则 ， 取其中一组解得. 设平面法向量为，则 取其中一组解得. 因为， 所以，即平面平面. （2） 【解析】 【分析】(1)利用正四棱柱的性质建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，然后利用证明平面平面. (2)分别求出平面与平面法向量，然后利用向量夹角公式求二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为， 设平面法向量为，则 ， 取其中一组解得. 由题可知二面角所夹角为锐角，故二面角的余弦值大于0. 所以二面角的余弦值为. 18. 在中，内角的对边分别为，且． （1）证明：； 若为边的中点，且,求的面积； （2）求． 【答案】（1）由，得， 所以， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，解得，或， 又，所以，所以，所以， 所以； 的面积为 （2）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，利用三角恒等变换和二倍角的余弦公式可求得，求得，可证结论；由已知得，两边平方可得，结合余弦定理可求得，进而可求的面积； （2）由正弦定理得，，由题意可得，结合，计算可求. 【小问1详解】 若为边的中点，则， 所以， 又，所以，所以， 由余弦定理得，所以， 所以，解得， 所以的面积为. 【小问2详解】 由（1）得，， 由正弦定理可得， 所以，. 又因为，所以， 所以， 所以，， 所以 ， 所以， 所以， 所以. 19. 如图所示,在五面体中，四边形为矩形，,,． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成角的大小； （3）（i）求五面体外接球的半径； （ii）求五面体内部能转动的最大球的半径． 【答案】（1）由四边形为矩形，得，而平面， 平面，则平面，又平面平面， 平面，因此，又,,， 则四边形与四边形是全等的等腰梯形，取的中点， 连接，则， 是平面与平面所成的角，， ，因此，， 所以平面平面. （2） （3）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）作出二面角的平面角，再利用平面与平面垂直的定义推理得证. （2）由（1）的信息，利用二面角的定义直接求解. （3）（i）确定外接球的球心，进而求出球半径； （ii）求出与平面及平面都相切的球半径范围，再求出与平面、平面、平面都相切的球半径即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，则是平面与平面所成的角， 又是以为腰的直角三角形，因此， 所以平面与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 （i）取的中点，连接，由（1）得平面， 而平面，则，又平面， 于是平面，，取中点，连接， 由（1）知，同理，而， ，则，同理， 所以五面体外接球的球心为，球半径为. （ii）过直线、直线与直线都垂直的平面截五面体得直三棱柱， 该直三棱柱的高为6，当球与该直三棱柱的两底面都相切时，球半径为3， 显然当球与平面及平面都相切时，球半径大于3； 当球与两两相交的三个平面、平面、平面都相切时， 该球的截面大圆半径等于等腰的内切圆半径， 由，得，而， 所以五面体内部能转动的最大球的半径为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $