专题14：正方体的体积（计算专项训练）数学北师大版五年级下册

专题14：正方体的体积 计算专项训练 一、正方体体积的核心定义（必背、必理解，贴合课本原文） 正方体所占空间的大小，叫做正方体的体积。正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体），体积常用单位与长方体一致，为立方厘米（）、立方分米（）、立方米（），相邻两个体积单位间的进率仍是1000（，）。 二、体积公式 1.基本公式：正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长，用字母表示为 （其中表示体积，表示棱长），可简写为 （读作“a的立方”，表示3个a相乘，注意与区分，表示3个a相加）； 2.推导公式（灵活运用）：棱长 = 体积的立方根（五年级阶段重点掌握“已知体积，能通过乘法口诀逆向求棱长”，如体积64立方厘米，棱长为4厘米，因）； 3.关联公式：结合长方体底面积公式，正方体底面积，因此正方体体积也可表示为 （与长方体体积公式呼应，体现正方体是特殊长方体）。 题型1：已知棱长，求正方体体积（基础必练，覆盖所有考点） 典型例题：计算下列正方体的体积 （1）棱长6厘米； （2）棱长9分米； （3）棱长1.5米； （4）棱长10厘米 解题思路：遵循“统一单位→代入基本公式→计算→标注单位”四步法，本题所有题型棱长单位均统一，直接代入核心公式计算即可；重点注意的计算规范，区分与，避免计算错误。 解题过程（规范步骤，贴合课本讲解） 1. 棱长6厘米： ① 单位统一：均为厘米，无需转化； ② 代入公式：； ③ 计算结果：； ④ 标注单位：立方厘米； 结论：这个正方体的体积是216立方厘米。 2. 棱长9分米： ① 单位统一：均为分米，无需转化； ② 代入公式：； ③ 计算结果：； ④ 标注单位：立方分米； 结论：这个正方体的体积是729立方分米。 3. 棱长1.5米： ① 单位统一：均为米，无需转化； ② 代入公式：； ③ 计算结果：； ④ 标注单位：立方米； 结论：这个正方体的体积是3.375立方米。 4. 棱长10厘米： ① 单位统一：均为厘米，无需转化； ② 代入公式：； ③ 计算结果：； ④ 标注单位：立方厘米（注意：1000立方厘米=1立方分米，衔接单位换算）； 结论：这个正方体的体积是1000立方厘米（或1立方分米）。 跟踪训练：计算下列正方体的体积 1. 棱长5厘米； 2. 棱长7分米； 3. 棱长2.2米； 4. 棱长1分米 题型2：已知体积，逆向求正方体棱长（基础易错，重点练公式逆向运用） 典型例题：已知下列正方体的体积，求它的棱长 （1）体积64立方厘米； （2）体积343立方分米； （3）体积1立方米； （4）体积125立方厘米。 解题思路：核心技巧：根据正方体体积公式，逆向推导“棱长是一个数，这个数连续乘3次的结果等于体积”；五年级阶段重点通过乘法口诀或常见立方数（如、）求解，确保推导过程清晰，避免误算为“体积÷3”。 解题过程 1. 体积64立方厘米： ① 单位统一：均为立方厘米，无需转化； ② 推导过程：根据公式，寻找一个数，使它连续乘3次等于64；因为； ③ 得出棱长：； ④ 标注单位：厘米； 结论：这个正方体的棱长是4厘米。 2. 体积343立方分米： ① 单位统一：均为立方分米，无需转化； ② 推导过程：根据公式，寻找一个数，使它连续乘3次等于343；因为； ③ 得出棱长：； ④ 标注单位：分米； 结论：这个正方体的棱长是7分米。 3. 体积1立方米： ① 单位统一：均为立方米，无需转化； ② 推导过程：根据公式，寻找一个数，使它连续乘3次等于1；因为； ③ 得出棱长：； ④ 标注单位：米； 结论：这个正方体的棱长是1米。 4. 体积125立方厘米： ① 单位统一：均为立方厘米，无需转化； ② 推导过程：根据公式，寻找一个数，使它连续乘3次等于125；因为； ③ 得出棱长：； ④ 标注单位：厘米； 结论：这个正方体的棱长是5厘米。 跟踪训练:已知下列正方体的体积，求它的棱长： 1. 体积216立方厘米； 2. 体积512立方分米； 3. 体积0.125立方米； 4. 体积343立方厘米 练习巩固 1．计算下面图形的体积。 2．计算下面图形的体积。 3．求正方体的体积。 4．用长为60厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体的体积是( )立方厘米。 5．把沿虚线切成两个正方体，表面积增加了50dm2。这个长方体的体积是( )dm3。 6．一个正方体的棱长是14cm，它的棱长总和是( )cm，它的表面积是( )cm2，它的体积是( )cm3。 7．一个棱长是7m的正方体木箱，它的表面积是( )m2，体积是( )m3。 8．一个棱长为4厘米的正方体，如果把它的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 9．小明用一根铁丝做了一个长方体框架，一个顶点引出的三条棱分别是10cm、8cm、6cm，用这根铁丝做成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )cm，体积是( )cm3。 10．一个长10厘米，宽9厘米，高6厘米的长方体，把它切成一个最大的正方体，这个正方体的体积是( )立方厘米，剩下部分的体积是( )立方厘米。 11．一个正方体的棱长是8分米，它的棱长总和是( )分米，表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 12．用棱长为1厘米的正方体木块在桌面上拼摆出如图所示的模型，它的体积是( )cm3，在此基础上继续拼摆成一个长方体的模型，最少需要添加( )个正方体木块。 13．要砌一面长25米、厚40厘米、高2米的砖墙，至少需要棱长20厘米的方砖多少块？ 14．下面长方体容器中，摆放了一部分棱长为1分米的正方体，还要几个这样的正方体才能把容器装满？ 15．有一块棱长是12厘米的正方体铁块，要把它熔化后做成长方体，已知长方体的长24厘米，宽18厘米，高是多少厘米？ 16．一段方钢长10dm，宽5dm，高1dm，这段方钢的体积是多少立方分米？如果把这段方钢熔铸成棱长为0.5dm的正方体钢块，可以熔铸成多少块？（不计损耗） 17．李老师用铁丝制作了一个长25厘米，宽15厘米，高2分米的长方体框架。如果用这根铁丝围成一个正方体，正方体的体积是多少立方分米？ 18．一个棱长20厘来的正方体璃缸，里面装满水，现在将它里面的水全部倒入一个长20厘米，宽16厘米，深28厘米的空璃缸中，这时水深多少厘米？（玻璃缸的厚度忽略不计） 题型1：已知棱长，求正方体体积 答案： 1. （立方厘米）； 2. （立方分米）； 3. （立方米）； 4. （立方分米）=1000（立方厘米）。 解析：重点注意的计算规范，棱长为1的正方体，体积为1，衔接单位换算考点。 题型2：已知体积，逆向求正方体棱长 答案: 1. 因，棱长=6（厘米）； 2. 因，棱长=8（分米）； 3. 因，棱长=0.5（米）； 4. 因，棱长=7（厘米）。 解析：牢记常见立方数（、、等），避免误算为体积÷3。 练习巩固 1．8dm3 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，根据公式解答。 【详解】（dm3） 2． 27立方厘米 【分析】已知正方体的底面积为，正方体的底面是正方形，那么可以求出正方形的边长，即为正方体的棱长，根据正方体体积公式：，代入数据进行求解即可。 【详解】，所以正方体的棱长为3cm。 （立方厘米） 正方体的体积为27立方厘米。 3．125dm3 【分析】根据正方体体积＝边长×边长×边长，代入数据，即可解答。 【详解】5×5×5 ＝25×5 ＝125（dm3） 正方体体积是125dm3。 4．125 【分析】铁丝的长度相当于正方体的棱长之和，根据“棱长＝棱长之和÷12”求出正方体的棱长，再利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出这个正方体的体积，据此解答。 【详解】60÷12＝5（厘米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 所以，这个正方体的体积是125立方厘米。 5．250 【分析】长方体切割后表面积的变化规律，增加的面积为2个切面的面积，正方体棱长与长方体长宽高的关系，长方体体积公式。长方体切成两个正方体，说明长方体的长是宽（高）的2倍，切面是正方体的一个面；利用增加的表面积求出正方体一个面的面积，进而得到正方体棱长；根据长方体长宽高与正方体棱长的关系，计算长方体体积。 【详解】（dm2）， ， （dm） （dm3） 长方体体积是250dm3。 6．168；1176；2744 【分析】正方体棱长总和＝棱长×12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，根据公式解答。 【详解】正方体棱长总和：（cm） 正方体表面积：（cm2） 正方体体积：（cm3） 一个正方体的棱长是14cm，它的棱长总和是168cm，它的表面积是1176cm2，它的体积是2744cm3。 7． 294 343 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出正方体木箱的表面积；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体木箱的体积，据此解答。 【详解】 （平方米） （立方米） 所以一个棱长是7米的正方体木箱，它的表面积是294平方米，体积是343立方米。 8． 4 8 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2（a为棱长），正方体的体积公式：V＝a3，再根据因数与积的变化规律，积扩大到原来的倍数等于因数扩大到原来倍数的乘积。据此解答。 【详解】2×2＝4 2×2×2＝8 它的表面积扩大到原来是4倍，体积扩大到原来的8倍。 9． 8 512 【分析】长方体有12条棱，且从一个顶点引出的三条棱分别是长方体的长、宽、高，棱长总和公式为：长方体棱长总和＝4×（长＋宽＋高）。已知长方体长10cm、宽8cm、高6cm，代入公式可得：4×（10＋8＋6）＝4×24＝96cm。 这根铁丝的总长度为96cm，即做成的正方体的棱长总和为96cm。正方体有12条棱，且所有棱长度相等，其棱长公式为：正方体棱长＝正方体棱长总和÷12。将棱长总和96cm代入公式，可得正方体棱长为：96÷12＝8cm，正方体体积公式为：正方体体积＝棱长×棱长×棱长。将棱长8cm代入公式计算即可。 【详解】4×（10＋8＋6） ＝4×（18＋6） ＝4×24 ＝96（cm） 96÷12＝8（cm） 8×8×8＝512（cm3） 这个正方体的棱长是8cm，体积是512cm3。 10． 216 324 【分析】把长10厘米，宽9厘米，高6厘米的长方体切成一个最大的正方体，这个正方体的棱长为6厘米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可求出正方体的体积；再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出原来长方体的体积，然后用原来长方体的体积减去正方体的体积等于剩下部分的体积。 【详解】6×6×6＝216（立方厘米） 10×9×6－216 ＝540－216 ＝324（立方厘米） 这个正方体的体积是216立方厘米，剩下部分的体积是324立方厘米。 11． 96 384 512 【分析】正方体棱长总和＝棱长×12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【详解】8×12＝96（分米） 8×8×6＝384（平方分米） 8×8×8＝512（立方分米） 它的棱长总和是96分米，表面积是384平方分米，体积是512立方分米。 12． 8 16 【分析】求模型的体积：数图中正方体的个数，通过观察可得，模型由8个棱长为1厘米的正方体组成。因为每个正方体体积是1×1×1＝1（cm3），所以模型体积是8×1＝8（cm3）。 求最少需要添加的正方体木块数量：观察模型，要拼成长方体，最小的长方体的长应该是4厘米（横向最多有4个正方体的长度），宽是3厘米（纵向最多有3个正方体的长度），高是2厘米（有两层，最高为2个正方体的高度）。那么这个长方体所需正方体总数为4×3×2＝24（个）。已有8个正方体，所以最少需要添加24－8＝16（个）。 【详解】1×1×1＝1（cm3） 8×1＝8（cm3） 4×3×2＝24（个） 24－8＝16（个） 用棱长为1厘米的正方体木块在桌面上拼摆出如图所示的模型，它的体积是8cm3，在此基础上继续拼摆成一个长方体的模型，最少需要添加16个正方体木块。 13．2500块 【分析】根据题意，先将单位统一，再根据长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别求出砖墙的体积和方砖的体积，用砖墙的体积除以方砖的体积，即可求出需要多少块方砖。 【详解】25米＝2500厘米 2米＝200厘米 2500×40×200÷（20×20×20） ＝100000×200÷（400×20） ＝20000000÷8000 ＝2500（块） 答：至少需要2500块方砖。 14．50个 【分析】根据题中可得：长方体的长摆了3个小正方体，即3分米，宽摆了4个小正方体，即4分米，高摆了5个小正方体，即5分米。根据长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，可分别计算出体积，再相除可计算出答案。求出长方体的个数后，再减去图中已摆正方体的个数，即可得解。 【详解】根据题意得：长方体容器得长为3分米，宽为4分米，高为5分米，因为小正方体体积为：（立方分米），长方体容器体积为：（立方分米）。 则需要小正方体总的个数：（个），现在已有10个小正方体，则还需要：（个） 答：还要50个这样的正方体才能把容器装满。 15．4厘米 【分析】根据题意，把一块正方体铁块熔化后做成长方体，则正方体、长方体的体积相等；先根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块的体积；再根据长方体的体积公式V＝abh，得出h＝V÷a÷b，据此求出长方体的高。 【详解】铁块的体积： （立方厘米） 长方体的高： （厘米） 答：高是4厘米。 16．50立方分米；400块 【分析】方钢为长方体形状，长方体体积公式为：长方体体积＝长×宽×高。已知方钢的长为10分米，宽为5分米，高为1分米，将数值代入公式即可求出体积；再根据正方体体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，计算出棱长为0.5分米的小正方体钢块的体积。然后用方钢的总体积除以一个小正方体钢块的体积，得到可熔铸的块数。 【详解】（立方分米） （块） 答：这段方钢的体积是50立方分米；如果把这段方钢熔铸成棱长为0.5分米的正方体钢块，可以熔铸成400块。 【点睛】先根据长方体体积公式计算方钢的体积，再根据正方体体积公式计算小正方体钢块的体积，最后用方钢体积除以小正方体体积得到可熔铸的块数。 17．8立方分米 【分析】把单位统一为分米，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可得长方体框架，即正方体的棱长总和，根据正方体的棱长总和＝棱长×12的逆运算，用正方体棱长总和除以12可得正方体棱长，再根据，代入数据计算即可。 【详解】25厘米＝2.5分米 15厘米＝1.5分米 （2.5＋1.5＋2）×4 ＝6×4 ＝24（分米） 2412＝2（分米） 2×2×2＝8（立方分米） 答：正方体的体积是8立方分米。 18．25厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体玻璃缸里水的体积，用水的体积÷长方体玻璃缸底面积＝水的高度，据此求出水深即可。 【详解】水深： （厘米） 答：这时水深25厘米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $