第十九课时-不同函数增长的差异-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修一 · 课时同步训练

第十九课时  不同函数增长的差异

 

姓名：______________   班级：______________   得分：______________   用时：______ 分钟

【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。

核心考点清单

考点一  三类函数的增长模型

在区间 (0, ＋∞) 上，尽管函数 y ＝ kx（k ＞ 0）、y ＝ logₐx（a ＞ 1）和 y ＝ aˣ（a ＞ 1）都是增函数，但它们的增长速度不同，增长方式也存在很大差异。一次函数 y ＝ kx 的增长是匀速的，每增加一个单位，函数值增加固定的 k；对数函数 y ＝ logₐx（a ＞ 1）的增长是"对数型"的，增长速度越来越慢，随着 x 的增大，函数值的增量越来越小；指数函数 y ＝ aˣ（a ＞ 1）的增长是"指数型"的，增长速度越来越快，随着 x 的增大，函数值的增量越来越大，呈现"爆炸式"增长。理解三类函数增长方式的差异，是分析函数增长规律的基础。

考点二  增长速度的比较

当 x 足够大时，三类函数的增长速度大小关系为：指数函数 y ＝ aˣ（a ＞ 1）的增长速度最快，一次函数 y ＝ kx（k ＞ 0）的增长速度居中，对数函数 y ＝ logₐx（a ＞ 1）的增长速度最慢。即在 (0, ＋∞) 上，尽管三个函数都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个"档次"上。随着 x 的增大，y ＝ aˣ（a ＞ 1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y ＝ kx（k ＞ 0）的增长速度；而 y ＝ logₐx（a ＞ 1）的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个 x₀，当 x ＞ x₀ 时，有 logₐx ＜ kx ＜ aˣ。这个性质是三类函数增长差异的核心结论。

考点三  图象交点与增长差异

虽然三类函数的增长速度不同，但在 x 较小的范围内，它们的图象可能会有交点。例如，y ＝ 2ˣ、y ＝ 2x 和 y ＝ log₂x 的图象在区间 (0, ＋∞) 上可能有多个交点。但随着 x 的增大，指数函数 y ＝ 2ˣ 的图象会"超越"其他两个函数的图象，最终位于最上方；对数函数 y ＝ log₂x 的图象会"落后"于其他两个函数的图象，最终位于最下方。通过图象可以直观地看到三类函数的增长差异：指数函数图象"陡峭上升"，一次函数图象"直线上升"，对数函数图象"平缓上升"。利用图象交点可以比较函数值的大小，也可以确定不同函数在什么范围内"领先"。

考点四  实际应用中的函数增长

在实际问题中，常需要根据数据的变化规律选择合适的函数模型。①如果数据呈"匀速增长"趋势，适合用一次函数 y ＝ kx ＋ b 模型；②如果数据呈"先快后慢"的增长趋势，适合用对数函数 y ＝ logₐx 模型；③如果数据呈"爆炸式"快速增长趋势，适合用指数函数 y ＝ aˣ 模型。例如，人口增长、细胞分裂、病毒传播等常用指数函数模型；学习效率、边际效益等常用对数函数模型；匀速运动、固定利率等常用一次函数模型。选择模型时，需要根据实际问题的特点和数据的变化趋势进行判断，不能生搬硬套。

  知识结构思维导图

图1  不同函数增长的差异知识结构图

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列函数中，在(0, ＋∞)上增长速度最快的是（    ）

A．y ＝ 2x	B．y ＝ 2ˣ
C．y ＝	D．y ＝

log₂x

x²

2．函数 y ＝ log₂x 的增长特点是（    ）

A．匀速增长	B．越来越快
C．越来越慢	D．先快后慢再快

3．当x足够大时，下列不等关系中成立的是（    ）

A．log₂x ＞ 2x ＞ 2ˣ

B．2ˣ ＞ 2x ＞ log₂x