第十九课时-不同函数增长的差异-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数增长差异核心考点，通过基础辨析-中档应用-提升实践的三层设计，实现从概念理解到实际建模的知识巩固，培养数学眼光与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一考点（增长模型、速度比较）|选择1-8、填空9-12，如判断增长速度最快函数，直接考查概念| |中档|考点综合（大小比较、图象交点）|解答13-14，如比较函数值大小，结合计算与推理| |提升|实际应用（模型选择、预测）|解答15，通过销量数据选择指数模型，体现数学语言表达现实问题|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第十九课时 不同函数增长的差异 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 三类函数的增长模型 在区间 (0, ＋∞) 上，尽管函数 y ＝ kx（k ＞ 0）、y ＝ logₐx（a ＞ 1）和 y ＝ aˣ（a ＞ 1）都是增函数，但它们的增长速度不同，增长方式也存在很大差异。一次函数 y ＝ kx 的增长是匀速的，每增加一个单位，函数值增加固定的 k；对数函数 y ＝ logₐx（a ＞ 1）的增长是"对数型"的，增长速度越来越慢，随着 x 的增大，函数值的增量越来越小；指数函数 y ＝ aˣ（a ＞ 1）的增长是"指数型"的，增长速度越来越快，随着 x 的增大，函数值的增量越来越大，呈现"爆炸式"增长。理解三类函数增长方式的差异，是分析函数增长规律的基础。 考点二 增长速度的比较 当 x 足够大时，三类函数的增长速度大小关系为：指数函数 y ＝ aˣ（a ＞ 1）的增长速度最快，一次函数 y ＝ kx（k ＞ 0）的增长速度居中，对数函数 y ＝ logₐx（a ＞ 1）的增长速度最慢。即在 (0, ＋∞) 上，尽管三个函数都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个"档次"上。随着 x 的增大，y ＝ aˣ（a ＞ 1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y ＝ kx（k ＞ 0）的增长速度；而 y ＝ logₐx（a ＞ 1）的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个 x₀，当 x ＞ x₀ 时，有 logₐx ＜ kx ＜ aˣ。这个性质是三类函数增长差异的核心结论。 考点三 图象交点与增长差异 虽然三类函数的增长速度不同，但在 x 较小的范围内，它们的图象可能会有交点。例如，y ＝ 2ˣ、y ＝ 2x 和 y ＝ log₂x 的图象在区间 (0, ＋∞) 上可能有多个交点。但随着 x 的增大，指数函数 y ＝ 2ˣ 的图象会"超越"其他两个函数的图象，最终位于最上方；对数函数 y ＝ log₂x 的图象会"落后"于其他两个函数的图象，最终位于最下方。通过图象可以直观地看到三类函数的增长差异：指数函数图象"陡峭上升"，一次函数图象"直线上升"，对数函数图象"平缓上升"。利用图象交点可以比较函数值的大小，也可以确定不同函数在什么范围内"领先"。 考点四 实际应用中的函数增长 在实际问题中，常需要根据数据的变化规律选择合适的函数模型。①如果数据呈"匀速增长"趋势，适合用一次函数 y ＝ kx ＋ b 模型；②如果数据呈"先快后慢"的增长趋势，适合用对数函数 y ＝ logₐx 模型；③如果数据呈"爆炸式"快速增长趋势，适合用指数函数 y ＝ aˣ 模型。例如，人口增长、细胞分裂、病毒传播等常用指数函数模型；学习效率、边际效益等常用对数函数模型；匀速运动、固定利率等常用一次函数模型。选择模型时，需要根据实际问题的特点和数据的变化趋势进行判断，不能生搬硬套。 知识结构思维导图 图1 不同函数增长的差异知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中，在(0, ＋∞)上增长速度最快的是（ ） A．y ＝ 2x B．y ＝ 2ˣ C．y ＝ log₂x D．y ＝ x² 2．函数 y ＝ log₂x 的增长特点是（ ） A．匀速增长 B．越来越快 C．越来越慢 D．先快后慢再快 3．当x足够大时，下列不等关系中成立的是（ ） A．log₂x ＞ 2x ＞ 2ˣ B．2ˣ ＞ 2x ＞ log₂x C．2x ＞ 2ˣ ＞ log₂x D．2ˣ ＞ log₂x ＞ 2x 4．下列函数中，增长方式为"匀速"的是（ ） A．y ＝ 3ˣ B．y ＝ log₃x C．y ＝ 3x D．y ＝ x³ 5．函数 y ＝ 2ˣ 与 y ＝ 2x 的图象交点个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 6．某地区人口增长适合用哪种函数模型（ ） A．y ＝ kx B．y ＝ logₐx C．y ＝ aˣ D．y ＝ k/x 7．当x ＞ 0且x增大时，y ＝ log₂x的增量变化情况是（ ） A．越来越大 B．越来越小 C．保持不变 D．先大后小 8．下列说法正确的是（ ） A．指数函数增长速度恒定 B．对数函数增长速度越来越快 C．存在x₀，当x ＞ x₀时，log₂x ＜ 2x ＜ 2ˣ D．一次函数增长速度最快 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．在(0, ＋∞)上，函数 y ＝ 2ˣ、y ＝ 2x、y ＝ log₂x 中，增长最慢的是 ____________。 10．当x足够大时，三个函数 y ＝ 3ˣ、y ＝ 3x、y ＝ log₃x 的大小关系为 ____________。 11．函数 y ＝ 2ˣ 与 y ＝ x² 在 x ＞ 0 时的增长速度比较，当x足够大时，__________ 增长更快。 12．某商品销量随时间变化呈"先快后慢"趋势，适合用 ____________ 函数模型（填"一次""指数"或"对数"）。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）比较下列各组函数在x足够大时的大小关系： （1）y ＝ 2ˣ 与 y ＝ 2x； （2）y ＝ log₂x 与 y ＝ 2x。 14．（14分）已知函数 f(x) ＝ 2ˣ，g(x) ＝ 2x，h(x) ＝ log₂x。 （1）求 f(1)、g(1)、h(1) 的值； （2）当x ＝ 4 时，比较 f(4)、g(4)、h(4) 的大小； （3）当x足够大时，三个函数的大小关系如何？ 15．（14分）某公司推出一款新产品，上市后第x个月的销量y（万件）满足以下两种模型之一： 模型一：y ＝ 2x；模型二：y ＝ 2ˣ。 （1）分别求两种模型下第1个月和第3个月的销量； （2）若第4个月实际销量为16万件，哪种模型更合适？ （3）预测第6个月的销量（用合适的模型）。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． B 2． C 3． B 4． C 5． B 6． C 7． B 8． C 9． y ＝ log₂x 10． 3ˣ ＞ 3x ＞ log₃x 11． y ＝ 2ˣ 12． 对数 ■ 详细解析 1．【答案】B 【解析】在(0, ＋∞)上，指数函数y ＝ 2ˣ的增长速度最快，远超一次函数y ＝ 2x和对数函数y ＝ log₂x。虽然y ＝ x²在x较小时增长较慢，但当x足够大时，2ˣ的增长速度超过x²。故选B。本题关键：指数函数呈"爆炸式"增长，增长速度最快。 2．【答案】C 【解析】对数函数y ＝ log₂x（a ＝ 2 ＞ 1）在(0, ＋∞)上单调递增，但增长速度越来越慢，即随着x的增大，函数值的增量越来越小。故选C。本题关键：对数函数增长"越来越慢"。 3．【答案】B 【解析】当x足够大时，三类函数的增长速度大小关系为：指数函数最快，一次函数居中，对数函数最慢。故2ˣ ＞ 2x ＞ log₂x，选B。本题关键：存在x₀，当x ＞ x₀时，logₐx ＜ kx ＜ aˣ。 4．【答案】C 【解析】一次函数y ＝ 3x的增长是匀速的，每增加一个单位，函数值增加3。选项A（y ＝ 3ˣ）越来越快，选项B（y ＝ log₃x）越来越慢，选项D（y ＝ x³）越来越快。故选C。 5．【答案】B 【解析】y ＝ 2ˣ与y ＝ 2x的图象交点：当x ＝ 1时，2¹ ＝ 2 ＝ 2×1，交点(1, 2)；当x ＝ 2时，2² ＝ 4 ＝ 2×2，交点(2, 4)。当x ＞ 2时，2ˣ ＞ 2x，图象不再相交。故有2个交点，选B。 6．【答案】C 【解析】人口增长呈"爆炸式"增长趋势，适合用指数函数y ＝ aˣ模型。故选C。本题关键：根据实际问题的增长趋势选择合适的函数模型。 7．【答案】B 【解析】y ＝ log₂x（a ＝ 2 ＞ 1）在(0, ＋∞)上单调递增，但增长速度越来越慢，即增量越来越小。故选B。本题关键：对数函数增长速度递减。 8．【答案】C 【解析】选项A错误，指数函数增长速度越来越快；选项B错误，对数函数增长速度越来越慢；选项C正确，存在x₀，当x ＞ x₀时，log₂x ＜ 2x ＜ 2ˣ；选项D错误，指数函数增长速度最快。故选C。 ■ 填空题解析 9．【答案】y ＝ log₂x 【解析】在(0, ＋∞)上，y ＝ 2ˣ增长最快，y ＝ 2x匀速增长，y ＝ log₂x增长最慢。故增长最慢的是y ＝ log₂x。 10．【答案】3ˣ ＞ 3x ＞ log₃x 【解析】当x足够大时，指数函数增长最快，一次函数居中，对数函数最慢。故3ˣ ＞ 3x ＞ log₃x。 11．【答案】y ＝ 2ˣ 【解析】当x足够大时，指数函数y ＝ 2ˣ的增长速度超过幂函数y ＝ x²，故y ＝ 2ˣ增长更快。本题关键：指数函数最终会超过任何幂函数。 12．【答案】对数 【解析】"先快后慢"的增长趋势适合用对数函数模型，因为对数函数y ＝ logₐx（a ＞ 1）的增长速度越来越慢。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）当x足够大时，2ˣ ＞ 2x；（2）当x足够大时，2x ＞ log₂x 【解析】（1）比较 y ＝ 2ˣ 与 y ＝ 2x： 当 x ＝ 1 时，2¹ ＝ 2 ＝ 2×1，两函数相等。 当 x ＝ 2 时，2² ＝ 4 ＝ 2×2，两函数相等。 当 x ＞ 2 时，2ˣ 的增长速度超过 2x，故 2ˣ ＞ 2x。 当 x ＝ 3 时，2³ ＝ 8 ＞ 6 ＝ 2×3，验证成立。 故当 x 足够大时，2ˣ ＞ 2x。 （2）比较 y ＝ log₂x 与 y ＝ 2x： 当 x ＝ 1 时，log₂1 ＝ 0 ＜ 2 ＝ 2×1。 当 x ＝ 2 时，log₂2 ＝ 1 ＜ 4 ＝ 2×2。 当 x ＝ 4 时，log₂4 ＝ 2 ＜ 8 ＝ 2×4。 对数函数增长越来越慢，一次函数匀速增长，故当 x 足够大时，2x ＞ log₂x。 本题关键：指数函数增长最快，一次函数居中，对数函数最慢。 14．【答案】（1）f(1) ＝ 2，g(1) ＝ 2，h(1) ＝ 0；（2）f(4) ＞ g(4) ＞ h(4)；（3）f(x) ＞ g(x) ＞ h(x) 【解析】f(x) ＝ 2ˣ，g(x) ＝ 2x，h(x) ＝ log₂x。 （1）f(1) ＝ 2¹ ＝ 2，g(1) ＝ 2×1 ＝ 2，h(1) ＝ log₂1 ＝ 0。 （2）当 x ＝ 4 时： f(4) ＝ 2⁴ ＝ 16，g(4) ＝ 2×4 ＝ 8，h(4) ＝ log₂4 ＝ 2。 故 f(4) ＝ 16 ＞ g(4) ＝ 8 ＞ h(4) ＝ 2。 （3）当 x 足够大时，指数函数增长最快，一次函数居中，对数函数最慢。 故 f(x) ＞ g(x) ＞ h(x)。 本题关键：通过具体数值验证三类函数的增长差异，当 x 足够大时指数函数最大。 15．【答案】（1）模型一：2万件、6万件；模型二：2万件、8万件；（2）模型二更合适；（3）64万件 【解析】模型一：y ＝ 2x；模型二：y ＝ 2ˣ。 （1）模型一：第1个月 y ＝ 2×1 ＝ 2（万件），第3个月 y ＝ 2×3 ＝ 6（万件）。 模型二：第1个月 y ＝ 2¹ ＝ 2（万件），第3个月 y ＝ 2³ ＝ 8（万件）。 （2）第4个月实际销量为16万件。 模型一：y ＝ 2×4 ＝ 8（万件），与16万件不符。 模型二：y ＝ 2⁴ ＝ 16（万件），与实际销量一致。 故模型二（y ＝ 2ˣ）更合适。 （3）用模型二预测第6个月销量：y ＝ 2⁶ ＝ 64（万件）。 本题关键：根据实际数据选择合适的函数模型，指数函数适合"爆炸式"增长。 高一数学必修一 · 第十九课时 不同函数增长的差异 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $