4.4.2 对数函数的图象和性质 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦对数函数图象与性质，通过基础巩固、性质应用、综合创新三层设计，实现从概念理解到问题解决的进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定点、定义域等单一概念|如第1题求函数过定点，第10题填空强化抽象能力| |中档|单调性比较、不等式求解|如第3题比较对数值大小，第8题多选性质判断，发展推理能力| |拔高|综合应用与创新|如第13题偶函数与对数函数结合，第15题开放题，体现模型意识|

4.4 练习2　对数函数的图象和性质 1. 函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(　 　) A. (1，2) B. (2，1) C. (－2，1) D. (－1，1) 2. 若lg (3x－1)≤1，则x的取值范围是(　 　) A. B. C. D. 3. 已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是(　 　) A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. c＞b＞a D. c＞a＞b 4. 不等式(2x＋3)＜(5x－6)的解集为(　 　) A. (－∞，3) B. C. D. 5. 已知f(x)＝|ln x|，若a＝f，b＝f，c＝f(2)，则(　 　) A. a＜b＜c B. b＜c＜a C. c＜a＜b D. c＜b＜a 6. 已知a＞0，且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象是(　 　) A. B. C. D. 7. 已知a＞0，且a≠1，若函数y＝loga(3a－1)恒为正值，则a的取值范围是(　 　) A. B. C. (1，＋∞) D. ∪(1，＋∞) 8. (多选)下列不等式中，成立的有(　 　) A. log0.20.3＜log0.20.4 B. 20.3＞log32 C. log3e＞ln 3 D. log25＞log35 9. (多选)函数f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)的图象过(　 　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 函数f(x)＝loga(2x－1)(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是　 　.  11. 已知函数f(x)＝若f(a)≥2，则实数a的取值范围是　 　.  12. 已知函数f(x)满足：①定义域为(0，＋∞)；②值域为R；③f(x2)＝2f(x).请写出一个满足上述条件的函数：f(x)＝　 　.  13. (2024·珠海一中高一检测)已知f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x. (1)当x∈(－∞， 0)时，求函数f(x)的解析式； (2)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图象，写出函数f(x)的单调区间，并指出其单调性. 14. (2024·云南昆明高一期末) 设函数f(x)＝loga(x－3)＋1(a＞0，且a≠1). (1)若f(12)＝3，解不等式f(x)＞0； (2)若f(x)在[4，5]上的最大值与最小值之差为1，求a的值. 15. (2024·湖北部分学校高一期中) 已知正实数a，b满足a·＝1，eb＋ln b＝1，则的值是(　 　) A. B. 2 C. e D. 3 16. 已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在区间上的最大值为2. (1)求a的值； (2)如果0＜a＜1，求使f[f(x)－2]＞0成立的x的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 练习2　对数函数的图象和性质(一) 1. 函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(　D　) A. (1，2) B. (2，1) C. (－2，1) D. (－1，1) 【解析】令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1). 2. 若lg (3x－1)≤1，则x的取值范围是(　C　) A. B. C. D. 【解析】∵lg (3x－1)≤1，∴0＜3x－1≤10，解得＜x≤，∴x的取值范围是. 3. 已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是(　A　) A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. c＞b＞a D. c＞a＞b 【解析】∵a＝log23＞b＝log2e＞log22＝1，c＝ln 2＜ln e＝1，∴a，b，c的大小关系为a＞b＞c. 4. 不等式(2x＋3)＜(5x－6)的解集为(　D　) A. (－∞，3) B. C. D. 【解析】由题意可得解得＜x＜3， ∴不等式lo(2x＋3)＜lo(5x－6)的解集为. 5. 已知f(x)＝|ln x|，若a＝f，b＝f，c＝f(2)，则(　D　) A. a＜b＜c B. b＜c＜a C. c＜a＜b D. c＜b＜a 【解析】a＝f＝ln 4，b＝f＝ln 3，c＝f(2)＝|ln 2|＝ln 2，∵y＝ln x为增函数，由4＞3＞2，得ln 4＞ln 3＞ln 2，∴a＞b＞c. 6. 已知a＞0，且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象是(　C　) A. B. C. D. 【解析】∵函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，且当0＜a＜1， y＝ax与y＝logax在其定义域上都单调递减，当a＞1时，y＝ax与y＝logax在其定义域上都单调递增，∴观察图象知，只有C正确. 7. 已知a＞0，且a≠1，若函数y＝loga(3a－1)恒为正值，则a的取值范围是(　D　) A. B. C. (1，＋∞) D. ∪(1，＋∞) 【解析】当a∈(0，1)时，由y＝loga(3a－1)恒为正值可得0＜3a－1＜1，解得 ＜a＜；当a＞1时，由y＝loga(3a－1)恒为正值可得3a－1＞1，解得a＞. 又a＞1，∴a＞1.综上，a的取值范围是＜a＜，或a＞1. 8. (多选)下列不等式中，成立的有(　BD　) A. log0.20.3＜log0.20.4 B. 20.3＞log32 C. log3e＞ln 3 D. log25＞log35 【解析】对于A，函数y＝log0.2x是(0，＋∞)上的减函数，∴log0.20.3＞log0.20.4，A不成立；对于B，20.3＞20＝1＝log33＞log32，B成立；对于C，log3e＜log33＝1＝ln e＜ln 3，C不成立；对于D，log25＞log24＝2＝log39＞log35，D成立. 9. (多选)函数f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)的图象过(　BCD　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【解析】作出函数f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)的大致图象如图所示，则函数f(x)的图象过第二、三、四象限. 10. 函数f(x)＝loga(2x－1)(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是　(1，0)　.  【解析】令2x－1＝1，解得x＝1，此时f(1)＝loga1＝0，∴函数f(x)＝loga(2x－1)(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是(1，0). 11. 已知函数f(x)＝若f(a)≥2，则实数a的取值范围是　(－∞，－1]∪[4，＋∞)　.  【解析】若a≤0，则由≥2，得a≤－1；若a＞0，则由log2a≥2，得a≥4，故a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞). 12. 已知函数f(x)满足：①定义域为(0，＋∞)；②值域为R；③f(x2)＝2f(x).请写出一个满足上述条件的函数：f(x)＝　ln x(答案不唯一)　.  【解析】∵f(x)＝ln x满足：①定义域为(0，＋∞)；②值域为R；③f(x2)＝ln x2＝2ln x＝2f(x)，∴f(x)＝ln x符合题意(答案不唯一). 13. (2024·珠海一中高一检测)已知f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x. (1)当x∈(－∞， 0)时，求函数f(x)的解析式； (2)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图象，写出函数f(x)的单调区间，并指出其单调性. 解：(1)设x∈(－∞， 0)，则－x∈(0， ＋∞)，∴f(－x)＝log2(－x).又f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝log2(－x)(x∈(－∞，0)). (2)由(1)可得函数的图象如下所示. f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0). 14. (2024·云南昆明高一期末) 设函数f(x)＝loga(x－3)＋1(a＞0，且a≠1). (1)若f(12)＝3，解不等式f(x)＞0； (2)若f(x)在[4，5]上的最大值与最小值之差为1，求a的值. 解：(1)由f(12)＝3可得loga(12－3)＋1＝3，∴a＝3，∴f(x)＝log3(x－3)＋1. 若f(x)＞0，则log3(x－3)＋1＞0，可得∴x＞，故不等式f(x)＞0的解集为. (2)∵f(x)在[4，5]上的最大值与最小值之差为1，∴|loga1＋1－(loga2＋1)|＝1，即|loga2|＝1，解得a＝2，或a＝，∴a的值为2或. 15. (2024·湖北部分学校高一期中) 已知正实数a，b满足a·＝1，eb＋ln b＝1，则的值是(　C　) A. B. 2 C. e D. 3 【解析】由a·＝1两边取对数可得ln a＋a－2＝0，即ln a＋a＝2，由eb＋ln b＝1可得eb＋ln b＋1＝2，即eb＋ln(eb)＝2.构造函数f(x)＝ln x＋x(x＞0)，由ln a＋a＝2和eb＋ln(eb)＝2可得f(a)＝f(eb)，∵y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝x在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上单调递增，∴f(a)＝f(eb)等价于a＝eb，故＝e. 16. 已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在区间上的最大值为2. (1)求a的值； (2)如果0＜a＜1，求使f[f(x)－2]＞0成立的x的取值范围. 解：(1)函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在区间上的最大值为2，当a＞1时，函数f(x)在区间上单调递增，最大值为loga3＝2，故a＝，当0＜a＜1时，函数f(x)在区间上单调递减，最大值为loga＝2，故a＝.综上可得，a＝或. (2)∵0＜a＜1，∴a＝，∴不等式f[f(x)－2]＞0即为[f(x)－2]＞0， ∴0＜f(x)－2＜1，即2＜f(x)＜3，即2＜x＜3，解得＜x＜， 故x的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $