2.1等式性质与不等式性质（讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“等式性质与不等式性质”核心知识点，先系统回顾等式对称性、传递性及运算性质，再深入讲解不等式对称性、传递性、可加性、可乘性等核心性质，结合作差法、作商法比较实数大小，通过列不等式关系、性质应用、求范围等题型构建完整知识支架。 资料以生活实例（如糖水不等式、商品利润问题）培养数学眼光，通过作差法符号判断、性质推理训练数学思维，借助符号语言转换与分层练习（基础、素养、创新）提升数学语言表达。课中辅助教师突出重难点，课后学生可通过随学随练、对点练习巩固知识，查漏补缺。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 课标要点 1、系统回顾等式的基本性质，熟练掌握等式对称性、传递性，以及等式两边同时进行加减、乘除（除数不为0）运算后等式仍成立的核心规则，夯实等式变形基础。 2、深度理解不等式的核心基本性质，熟练掌握不等式对称性、传递性、可加性、可乘性，同时了解同向不等式可加、正数同向可乘、倒数法则等拓展性质。 3、精准掌握两个实数大小的比较方法，核心掌握作差比较法、作商比较法，明确两种方法的适用场景与使用前提。 4、能够灵活运用不等式的各类基本性质，对不等式进行合理变形、化简、推理，解决基础的不等式判断、证明和取值范围求解问题。 5、清晰辨析等式性质与不等式性质的异同点，重点掌握两者加减运算的一致性，以及同乘负数、乘除正数、取倒数等运算中的核心差异，规避变形误区。 学习重难点 重点： 1、等式与不等式的核心基本性质：熟练掌握等式的四则运算不变性，精准熟记不等式对称性、传递性、可加性、可乘性四大核心性质，能直接用于基础变形。 2、实数大小比较方法：重点掌握作差法的核心逻辑，明确“差>0则前者大、差<0则前者小、差=0则两数相等”的判断规则，熟练掌握作差法的通用解题步骤。 3、不等式变形核心规则：牢记不等式独有重难点规则，即不等式两边同乘（除）负数，不等号方向必须改变，同乘（除）正数，不等号方向不变。 难点： 1、作差法变形时，符号判断的准确性（需分解因式或配方后分析正负）； 2、同乘负数时忘记变号；同向不等式相加成立但相减不一定成立的区别； 3、倒数法则的适用条件（需考虑正负号，如大于且大于时，小于）。 知识点 不等式关系 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 ______ ______ ______ ______ 特别提醒 文字语言余符号语言转换，要注意“ ≥ ， ≤” 随学随练 1.（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 知识点 不等式的性质（重点） （1）不等式的性质 ①对称性：________； ②传递性：，________； ③可加性：，，； ④可乘性：，；，； ⑤可乘方：________（，）； ⑥可开方：（，）． （2）不等式的倒数性质 ①，． ②． ③，． ④或． 易错提醒 可乘性性质中要注意“c”的符号，倒数的性质中，首先确定符号 随学随练 1.（25-26高一上·湖北孝感·期末）下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 知识点 实数的比较大小 两个实数比较大小的方法 ①作差法横线上为______ ②作商法 随学随练 1.（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 拓展 糖水不等式 1、设糖水克，含糖克，则糖水的浓度为加入m克糖后的糖水浓度为则一定有 2、牢记四个常用不等式 若a>b>0，m>0，则： (1)<； (2)>(b-m>0)； (3)>； (4)<(b-m>0). 活学活用 1.（25-26高二下·江西南昌·期末）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2.（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 题型 列不等式关系 解题贴士 1.设：设未知数，2.审：仔细审题，3.找，找不等式关系，4.列：列出不等式 ▌例1 .（25-26高一上·全国·课后作业）《铁路旅行常识》规定： 一、随同成人旅行，身高达到1.2米且不足1.5米的儿童享受半价客票（以下称儿童票），达到1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票． … 十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克… 设身高为h（米），物品外部长、宽、高尺寸之和为P（厘米），请用不等式表示下表中的不等关系． 文字表述 身高达到1.2米且不足1.5米 身高达到1.5米 身高不足1.2米 物品外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米 符号表示 ▌对点练1-1．（25-26高一上·全国·课前预习）生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志（如图），你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？ ▌对点练1-2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%. 如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是______元. 题型 不等式的性质的应用 解题贴士 熟记不等式的几条性质，特别是可乘性的应用一定注意乘数的符号;小题中，可以代特殊值法解题。 ▌例1.（25-26高二下·上海奉贤·期末）以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 ▌对点练1-1.（25-26高二下·山东泰安·期末）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 ▌对点练1-2.（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-3.（25-26高二下·河南商丘·期末）（多选）若，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-4.（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型 实数（代数式）比较大小 解题贴士 利用不等式的性质比较大小，一般应用作差法，式子符号是正，可以考虑作商法。 ▌例1.（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 ▌对点练1-1.（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，，则（    ） A． B． C． D．与的大小与有关 ▌对点练1-2.（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． ▌对点练1-3.已知，试比较与的大小. ▌对点练1-4.（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 题型 利用不等式的性质求式子的范围 ▌例1.（25-26高一下·广东·期末）已知，且，则的最大值是________． ▌对点练1-1.（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． ▌对点练1-2.（25-26高二下·上海·期末）已知，，则的取值范围是________． ▌对点练1-3.（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 基础通关 1.（2026高二下·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（        ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26高二下·广东广州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.（25-26高二下·天津武清·阶段检测）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.（25-26高二下·山东临沂·期末）（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·云南昭通·期末）（多选）以下四个命题中，是真命题的有（   ） A．若命题，则p的否定为： B．若，则 C．若且，则 D．“”是“”的充分不必要条件 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 9．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．（25-26高二下·重庆璧山·期末）（多选）已知，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 素养提升 11.（25-26高一上·河南平顶山·阶段检测）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 12.（25-26高一下·山东潍坊·期中）（多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 13.（25-26高一上·重庆·期末）（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．“，”是“”成立的充分不必要条件 C．“”是“”的必要条件 D．若，，则 15.（2026·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为________． 迁移创新 16.（2026·安徽滁州·三模）已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17.（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 课标要点 1、系统回顾等式的基本性质，熟练掌握等式对称性、传递性，以及等式两边同时进行加减、乘除（除数不为0）运算后等式仍成立的核心规则，夯实等式变形基础。 2、深度理解不等式的核心基本性质，熟练掌握不等式对称性、传递性、可加性、可乘性，同时了解同向不等式可加、正数同向可乘、倒数法则等拓展性质。 3、精准掌握两个实数大小的比较方法，核心掌握作差比较法、作商比较法，明确两种方法的适用场景与使用前提。 4、能够灵活运用不等式的各类基本性质，对不等式进行合理变形、化简、推理，解决基础的不等式判断、证明和取值范围求解问题。 5、清晰辨析等式性质与不等式性质的异同点，重点掌握两者加减运算的一致性，以及同乘负数、乘除正数、取倒数等运算中的核心差异，规避变形误区。 学习重难点 重点： 1、等式与不等式的核心基本性质：熟练掌握等式的四则运算不变性，精准熟记不等式对称性、传递性、可加性、可乘性四大核心性质，能直接用于基础变形。 2、实数大小比较方法：重点掌握作差法的核心逻辑，明确“差>0则前者大、差<0则前者小、差=0则两数相等”的判断规则，熟练掌握作差法的通用解题步骤。 3、不等式变形核心规则：牢记不等式独有重难点规则，即不等式两边同乘（除）负数，不等号方向必须改变，同乘（除）正数，不等号方向不变。 难点： 1、作差法变形时，符号判断的准确性（需分解因式或配方后分析正负）； 2、同乘负数时忘记变号；同向不等式相加成立但相减不一定成立的区别； 3、倒数法则的适用条件（需考虑正负号，如大于且大于时，小于）。 知识点 不等式关系 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 ______ ______ ______ ______ 【答案】 ＞ ＜ ≥ ≤ 特别提醒 文字语言余符号语言转换，要注意“ ≥ ， ≤” 随学随练 1.（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【知识点】用不等式表示不等关系 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 知识点 不等式的性质（重点） （1）不等式的性质 ①对称性：________； ②传递性：，________； ③可加性：，，； ④可乘性：，；，； ⑤可乘方：________（，）； ⑥可开方：（，）． （2）不等式的倒数性质 ①，． ②． ③，． ④或． 【答案】 ；； 易错提醒 可乘性性质中要注意“c”的符号，倒数的性质中，首先确定符号 随学随练 1.（25-26高一上·湖北孝感·期末）下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 知识点 实数的比较大小 两个实数比较大小的方法 ①作差法横线上为______ ②作商法 【答案】 ；； 随学随练 1.（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 拓展 糖水不等式 1、设糖水克，含糖克，则糖水的浓度为加入m克糖后的糖水浓度为则一定有 2、牢记四个常用不等式 若a>b>0，m>0，则： (1)<； (2)>(b-m>0)； (3)>； (4)<(b-m>0). 活学活用 1.（25-26高二下·江西南昌·期末）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】对于Ａ选项，取，，则，A不正确. 对于Ｂ选项，因为，所以，因为，所以，B正确. 对于Ｃ选项，因为，，所以，则正确. 对于Ｄ选项，取，，，则，故D不正确. 2.（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析 【详解】（1）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. （2）由（1）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 题型 列不等式关系 解题贴士 1.设：设未知数，2.审：仔细审题，3.找，找不等式关系，4.列：列出不等式 ▌例1 .（25-26高一上·全国·课后作业）《铁路旅行常识》规定： 一、随同成人旅行，身高达到1.2米且不足1.5米的儿童享受半价客票（以下称儿童票），达到1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票． … 十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克… 设身高为h（米），物品外部长、宽、高尺寸之和为P（厘米），请用不等式表示下表中的不等关系． 文字表述 身高达到1.2米且不足1.5米 身高达到1.5米 身高不足1.2米 物品外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米 符号表示 【答案】答案见解析 【详解】 文字表述 身高达到1.2米且不足1.5米 身高达到1.5米 身高不足1.2米 物品外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米 符号表示 故答案为：；；；. ▌对点练1-1．（25-26高一上·全国·课前预习）生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志（如图），你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？ 【答案】答案见解析 【详解】①最低限速50km/h，；②限制重量10t，；③限制高度3.5m，； ④限制宽度3m，；⑤通行时间7:30-10:00，. ▌对点练1-2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． ▌对点练1-3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%. 如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是______元. 【答案】201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） 【详解】设购买的商品的标价为元，， 使用优惠券1时减免元；使用优惠券2时减免20元；使用优惠券3时减免元， 由题意，且，解得． 故答案为：201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） 题型 不等式的性质的应用 解题贴士 熟记不等式的几条性质，特别是可乘性的应用一定注意乘数的符号;小题中，可以代特殊值法解题。 ▌例1.（25-26高二下·上海奉贤·期末）以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； ▌对点练1-1.（25-26高二下·山东泰安·期末）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】当时，满足，但，选项错误； 若，则，又，则，选项错误； 若，则，，但不能推出，选项错误； 由得，若，则，，选项正确. ▌对点练1-2.（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C ▌对点练1-3.（25-26高二下·河南商丘·期末）（多选）若，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A，因为，所以，错误. 选项B，因为，所以，又，因此，正确. 选项C，因为，所以，又因为，所以，正确. 选项D，，若，正负性无法确定，错误. ▌对点练1-4.（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】选项A. ，取，则， 则不成立，故选项A错误；     选项B. ，，，，故选项B正确； C.，，， ，，，，，，故选项C错误； D. ， ，，， ，故选项D正确. 题型 实数（代数式）比较大小 解题贴士 利用不等式的性质比较大小，一般应用作差法，式子符号是正，可以考虑作商法。 ▌例1.（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【知识点】作差法比较代数式的大小 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. ▌对点练1-1.（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，，则（    ） A． B． C． D．与的大小与有关 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】由，所以. 故选：C ▌对点练1-2.（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. ▌对点练1-3.已知，试比较与的大小. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . ▌对点练1-4.（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 【答案】 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 题型 利用不等式的性质求式子的范围 ▌例1.（25-26高一下·广东·期末）已知，且，则的最大值是________． 【答案】5 【详解】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． ▌对点练1-1.（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】由于， 则，所以, 即, 则的取值范围为; 故答案为： ▌对点练1-2.（25-26高二下·上海·期末）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】，，又因为， ，即． ▌对点练1-3.（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 基础通关 1.（2026高二下·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】因为，所以，则，则，故B正确，A错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 2．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. 3．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质逐一验证即可求解. 【详解】对于A，由，所以，故A错误； 对于B，由，所以，，所以，故B错误； 对于C，若，由，所以，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 4．（25-26高二下·广东广州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】因为，根据不等式的性质有，所以充分性成立， 当时，满足，但不成立，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5.（25-26高二下·天津武清·阶段检测）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、判断命题的必要不充分条件 【详解】由题意得，，时满足，但不满足且. 当且时，可得， 因此“”是“且”是必要不充分条件. 6.（25-26高二下·山东临沂·期末）（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【详解】由可知，且. 选项A：因为在上单调递增，且，因此，A正确； 选项B：因为，所以，，因此，B错误； 选项C：由，可得，，由得，C正确； 选项D：变形不等式， 已知即，且即，因此乘积为负，不等式成立，D正确. 7．（25-26高二下·云南昭通·期末）（多选）以下四个命题中，是真命题的有（   ） A．若命题，则p的否定为： B．若，则 C．若且，则 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】AC 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、判断命题的充分不必要条件、作差法比较代数式的大小 【详解】对于A，若命题，则的否定为：，故A正确； 对于B，若，则， 即，故B错误； 对于C：因为且， 所以， 则，故C正确； 对于D，因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误． 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【知识点】作商法比较代数式的大小、作差法比较代数式的大小 【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，，故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确． 故选：ABD． 9．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 10．（25-26高二下·重庆璧山·期末）（多选）已知，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】对A，当时，可得；当时，可得；当时，可得.故A错误； 对B，由可得，两边同除以，不等号方向不变，可得.故B正确； 对C，当时，C选项的结论不成立，故C错误； 对D，因为，，所以，， 所以，所以，故D正确. 素养提升 11.（25-26高一上·河南平顶山·阶段检测）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 12.（25-26高一下·山东潍坊·期中）（多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质，可通过特殊值法、作差法逐一验证选项的正确性. 【详解】对于选项A，取，满足，但，故选项A不正确； 对于选项B，因为，，所以，故选项B正确； 对于选项C，因为，所以，又，由不等式的性质，得，故选项C正确； 对于选项D，当，时，，故选项D正确. 13.（25-26高一上·重庆·期末）（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．“，”是“”成立的充分不必要条件 C．“”是“”的必要条件 D．若，，则 【答案】BD 【难度】0.4 【分析】逐一分析每个选项，利用不等式性质、充分必要条件定义及反例法判断正误. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，由，时一定有，充分性成立，由，如，，推不出，，必要性不成立， 因此“，”是“”成立的充分不必要条件，所以B正确； 对于C，“”，如，，推不出“”，所以C错误； 对于D，由，得，又，所以，即，故D正确. 故选：BD 15.（2026·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.4 【分析】通过变量替换将三个差值设为，把用表示，分两种条件情况讨论，利用的不等式放缩，求出的下界，再比较得到最小值． 【详解】令，，，其中，，， 所以 若，则，故， 令， 因此故， 则． 若，则，即， ， 则故， 则，当且仅当且时，等号成立，即时等号成立． 综上可知，的最小值为． 故答案为：． 迁移创新 16.（2026·安徽滁州·三模）已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.55 【分析】对或展开化简，得到，不妨取，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以，即或或. 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故甲能推出乙. 因为，所以， 又， 所以 其中， 若，则，即， 与题设矛盾，所以， 故或或， 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故乙能推出甲. 综上，甲是乙的充要条件. 17.（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1)，证明： 由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. (2) (3) 证明：因为， 根据（1）中的结论，可得， 同向不等式相加可得，①， 又由，同理可得， 则，② 综合①②，得. 【难度】0.4 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由， ，,由即可得证. 【详解】（1）略 （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $