2.1 等式性质与不等式性质 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“等式的性质与不等式性质”核心知识点，从等式与不等式的定义入手，通过作差法比较实数大小建立基础，再对比等式性质系统梳理不等式的对称性、传递性等性质，形成从概念到方法再到性质的学习支架，为后续一元二次函数等内容奠基。 该资料特色在于结合汽车行程、糖水浓度等生活实例引导学生用数学眼光观察现实世界，通过表格对比、作差推理培养数学思维，题型涵盖关系表示、大小比较、性质应用等，助力学生用数学语言表达不等关系。课中辅助教师教学，课后通过跟踪训练和分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式的性质与不等式性质 知识点一、不等关系与不等式 1.等式与不等式 （1）等式：用数学符号“=”连接两个数或代数式，以表示它们之间的相等关系，含有等号 的式子叫做等式. （2）不等式：用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式， 以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式. （3）不等式组：当问题中包含两个或两个以上的不等关系时，需要用不等式组来表示. 2.实数的大小比较 （1）借助数轴上的点和实数一一对应，可以借用数轴上点的位置来比较大小.数轴上右边 的点表示的数大于左边的点表示的数. （2）基本事实（作差法比较大小） 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 3.由基本事实得出一个重要结论 （1）∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． （2）变形形式：,当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点二、等式性质和不等式性质 1.等式性质 （1）如果a＝b，那么b＝a. （2）如果a＝b，b＝c，那么a＝c. （3）如果a＝b，那么a±c＝b±c. （4）如果a＝b，那么ac＝bc. （5）如果a＝b，c≠0，那么. 2.不等式的性质 性质名称 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 性质3的推论 移项法则 a＋b>c⇒a>c-b 可逆 性质4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 性质5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 性质6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 题型一：用不等式（组）表示不等关系 例1.一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为 ；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为 ． 解：由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)>2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即. 故答案为：8(x＋19)>2 200；. 例2.下列关于糖水浓度的问题，你能提炼出怎样的不等式呢？ （1）若再添加糖()，则糖水变甜了； （2）若再添加水()，则糖水变淡了； （3）把淡的糖水和浓的糖水混合在一起，得到的糖水一定比淡的浓，比浓的淡. 解：（1）设糖水中有糖()，则糖的质量和糖水的质量比为，再添加糖，则糖的质量和糖水的质量比为，添加糖后，糖水变甜了，提炼出不等式：（趣称为“糖水不等式”）（真分数的分母分子同时加上一个正数时，分数将变大）. （2）设糖水中有糖()，则糖的质量和糖水的质量比为，再添加水，则糖的质量和糖水的质量比为，糖水变淡了，提炼出不等式：（分式分子不变，分母变大，分式的值变小）. （3）设淡的糖水中有糖()，浓的糖水中有糖()，则淡的糖水中糖的质量和糖水的质量比为，浓的糖水中糖的质量和糖水的质量比为，则混合后糖的质量和糖水的质量比为，混合在一起，得到的糖水比淡的浓，比浓的淡，提炼出不等式：（两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个分式之间）. 跟踪训练： 1.在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为( ) A. B. C. D. 解：因为甲班的分数大于乙班的分数，所以，又甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190，所以.故选：D. 2.某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)． 解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆， 则. 题型二：比较两数（式）的大小 例1.已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解：∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 例2.已知，比较的大小. 解：分析知均大于1，均小于1. 因为，所以. 因为，所以. 综上，. 跟踪训练： 1.比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 解：(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝. ∵≥0，∴＋≥>0. ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2. 2.已知，试比较与的大小. 解：（方法1作差法） . 因为.所以. 所以.所以. (方法2作商法) . 因为.所以.所以. 3.比较和的大小. 解： ，即，故. 4.已知，试比较与的大小. 解：因为，，， 则. 又，所以，所以， 所以，所以，所以A>B. 题型三：不等式性质的应用 例1.对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则 C．若a<b<0，则 D．若a>b，，则a>0，b<0 解：方法一　∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a>b>0，有ab>0⇒⇒，故B为假命题； ⇒，故C为假命题； a>b⇒b-a<0，⇒ab<0. ∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题．故选：D. 例2.若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：. 证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0. ∴(a－c)2>(b－d)2>0. 两边同乘以，得. 又e<0，∴. 例3.已知.分别求： （1）的取值范围； （2）的取值范围； （3）的取值范围； （4）的取值范围. 解：（1）因为，所以，所以，故的取值范围为. （2）因为，所以，所以，故的取值范围为. （3）因为，所以，故的取值范围为. （4）因为，所以，所以，故的取值范围为. 跟踪训练： 1.（多选题）对于实数，下列命题中的真命题有（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 解：对于A，令，则有，故A是假命题.反例法. 对于B，（方法1性质法）由可得， 由可得，所以. 又，所以. （方法2作差法）由，得， 所以，所以，故B是真命题. 对于C，由，知，所以，故C是真命题. 对于D，由可得，由可得，所以，所以，故D是真命题.故选：BCD. 2.（1）已知，求证：； (2)已知，求证：. 证明(1)因为，所以.① 又因为， 两边同乘正数，得.② 由①②得. （2），因为，所以. 又因为，所以， 所以，所以. 3.(1)若，则的取值范围为，的取值范围为. (2)已知，则的取值范围是. (3)已知，求的取值范围. 解：（1）由，可得. 又，所以. 由，可得. 又，所以. （2）方法1：待定系数法 设， 所以，解得. 所以. 因为，所以. 又，所以， 即. 方法2：换元法 令， 则. 由，解得， 所以. 而， 则，即. （3）方法一（换元法）设，则，所以. 因为，所以，即，所以的取值范围为. 方法二（整体法）令， 则解得， 所以. 因为，所以. ,所以,即,故的取值范围为. 1.某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m 解：v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m. 故选：A. 2.设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是 ． 解：∵m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.∴m≥n.故答案为：m≥n. 3.若实数a>b，则a2－ab ba－b2.(填“>”或“<”) 解：因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.故答案为：>. 4.已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．a>b⇒ac2>bc2 B. ⇒a>b C.⇒ D.⇒ 解：当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立；ab<0，a>b⇒，即 ，C成立． 同理可证D不成立．故选：C. 5.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　) A．若a>b，c>d，则a＋b>c＋d B．若a>－b，则c－a<c＋b C．若a>b，c<d，则 D．若a2>b2，则－a<－b 解：选项A，取a＝1，b＝0，c＝2，d＝1，则a＋b<c＋d，A错误； 选项B，因为a>－b，所以－a<b，所以c－a<c＋b，则B正确； 选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0<d时，不成立； 选项D只有a>b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立．故选：B. 6.若8<x<10,2<y<4，则的取值范围为 ． 解:∵2<y<4，∴.又∵8<x<10，∴2<<5.故答案为：2<<5. 7.已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，则2a－b的取值范围是 ． 解：因为0<a＋b<2，－1<－a＋b<1，且2a－b＝(a＋b)－(－a＋b)， 结合不等式的性质可得，－<2a－b<.故答案为：－<2a－b<. 8.若bc－ad≥0，bd>0，求证：. 证明：方法一：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad， ∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)． 又bd>0，两边同除以bd得，. 方法二：. ∵bc－ad≥0， ∴ad－bc≤0，又bd>0， ∴，即. 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” C．某变量x至少为a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≤a” 解：对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x<y，故B不正确；CD正确． 故选：CD. 2.若x∈R，y∈R，则(　　) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2<2xy－1 C．x2＋y2＝2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 解：因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1.故选：A. 3.（多选）下列说法正确的是(　　) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 解：因为，所以，所以，所以，即，A正确； 当时，有，但此时，B错误； 当时，有，但此时，，C错误； 因为，所以，所以，即，所以，D正确.故选：AD. 4.已知0<a1<1,0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N B．M<N C．M＝N D．M≥N 解:∵0<a1<1,0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0， ∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0， ∴M>N.故选：A. 5.若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是(　　) A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5 C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4 解：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.故选C. 6.公园的绿化率是指绿化面积与公园面积之比.已知某公园面积为，绿化面积为()，现将该公园再扩建，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（） A.变大 B.变小 C.当时，变大 D.当时，变大 解：原来公园的绿化率为,扩建后公园的绿化率为 又,所以.所以当时，,绿化率变小；当时，,绿化率变大.故选：D. 7.若x∈R，则与的大小关系为 ． 解：∵,∴.故答案为：. 8.给出下列命题： ①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a3>b3；④|a|>b⇒a2>b2.其中正确命题的序号是 ． 解：①当c2＝0时不成立；②一定成立； ③当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)=成立； ④当b<0时，不一定成立．如|2|>－3，但22<(－3)2.故答案为：②③. 9.已知1<α<3，－4<β<2，若z＝α－β，则z的取值范围是 ． 解：∵1<α<3，∴，又－4<β<2，∴－2<－β<4.∴，即. 故答案为：. 10.若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2 a1b2＋a2b1.(填“>”“<”或“＝”) 解：a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(b1－b2)(a1－a2)， ∵a1<a2，b1<b2，∴b1－b2<0，a1－a2<0，∴(b1－b2)(a1－a2)>0，所以a1b1＋a2b2>1b2＋a2b1.故答案为：>. 11.已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是 ． 解：∵z＝，－2≤≤，5≤≤， ∴3≤－≤8，∴3≤z≤8.故答案为：. 12.若x>0，y>0，M＝，N＝，则M，N的大小关系是 . 解：∵x>0，y>0， ∴x＋y＋1>1＋x>0,1＋x＋y>1＋y>0，∴<，<， 故M＝＝＋<＋＝N，即M<N.故答案为M<N. 13.已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小． 解：∵, 当x＝0时，＝0，∴＝1－x； 当1＋x<0，即x<－1时，<0，∴<1－x； 当1＋x>0且x≠0， 即－1<x<0或x>0时，>0，∴>1－x. 综上，当x<－1时，<1－x；当x＝0时，＝1－x；当－1<x<0或x>0时，>1－x. 14.已知：3<a＋b<4,0<b<1，求下列各式的取值范围． (1)a；(2)a－b；(3). 证明：(1)∵3<a＋b<4，又∵0<b<1，∴－1<－b<0，∴2<a＋b＋(－b)<4，即2<a<4. (2)∵0<b<1，∴－1<－b<0.又∵2<a<4，∴1<a－b<4. (3)∵0<b<1，∴>1，又∵2<a<4，∴>2. 15.(1)a<b<0，求证：<； (2)已知a>b，<，求证：ab>0. 证明：(1)由于， ∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，∴<0，故<. (2)∵<，∴<0，即<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0. 16.阅读材料： （1）若，且，则有； （2）若，，则有. 请依据以上材料解答问题： 已知是三角形的三边，求证：. 证明：因为为三角形的三边长， 所以， 所以， 将以上不等式左右两边分别相加得， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式的性质与不等式性质 知识点一、不等关系与不等式 1.等式与不等式 （1）等式：用数学符号“=”连接两个数或代数式，以表示它们之间的相等关系，含有等号 的式子叫做等式. （2）不等式：用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式， 以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式. （3）不等式组：当问题中包含两个或两个以上的不等关系时，需要用不等式组来表示. 2.实数的大小比较 （1）借助数轴上的点和实数一一对应，可以借用数轴上点的位置来比较大小.数轴上右边 的点表示的数大于左边的点表示的数. （2）基本事实（作差法比较大小） 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 3.由基本事实得出一个重要结论 （1）∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． （2）变形形式：,当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点二、等式性质和不等式性质 1.等式性质 （1）如果a＝b，那么b＝a. （2）如果a＝b，b＝c，那么a＝c. （3）如果a＝b，那么a±c＝b±c. （4）如果a＝b，那么ac＝bc. （5）如果a＝b，c≠0，那么. 2.不等式的性质 性质名称 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 性质3的推论 移项法则 a＋b>c⇒a>c-b 可逆 性质4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 性质5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 性质6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 题型一：用不等式（组）表示不等关系 例1.一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为 ；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为 ． 例2.下列关于糖水浓度的问题，你能提炼出怎样的不等式呢？ （1）若再添加糖()，则糖水变甜了； （2）若再添加水()，则糖水变淡了； （3）把淡的糖水和浓的糖水混合在一起，得到的糖水一定比淡的浓，比浓的淡. 跟踪训练： 1.在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为( ) A. B. C. D. 2.某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)． 题型二：比较两数（式）的大小 例1.已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 例2.已知，比较的大小. 跟踪训练： 1.比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 2.已知，试比较与的大小. 3.比较和的大小. 4.已知，试比较与的大小. 题型三：不等式性质的应用 例1.对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则 C．若a<b<0，则 D．若a>b，，则a>0，b<0 例2.若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：. 例3.已知.分别求： （1）的取值范围； （2）的取值范围； （3）的取值范围； （4）的取值范围. 跟踪训练： 1.（多选题）对于实数，下列命题中的真命题有（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 2.（1）已知，求证：； (2)已知，求证：. 3.(1)若，则的取值范围为，的取值范围为. (2)已知，则的取值范围是. (3)已知，求的取值范围. 1.某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m 2.设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是 ． 3.若实数a>b，则a2－ab ba－b2.(填“>”或“<”) 4.已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．a>b⇒ac2>bc2 B. ⇒a>b C.⇒ D.⇒ 5.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　) A．若a>b，c>d，则a＋b>c＋d B．若a>－b，则c－a<c＋b C．若a>b，c<d，则 D．若a2>b2，则－a<－b 6.若8<x<10,2<y<4，则的取值范围为 ． 7.已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，则2a－b的取值范围是 ． 8.若bc－ad≥0，bd>0，求证：. 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” C．某变量x至少为a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≤a” 2.若x∈R，y∈R，则(　　) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2<2xy－1 C．x2＋y2＝2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 3.（多选）下列说法正确的是(　　) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 4.已知0<a1<1,0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N B．M<N C．M＝N D．M≥N 5.若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是(　　) A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5 C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4 6.公园的绿化率是指绿化面积与公园面积之比.已知某公园面积为，绿化面积为()，现将该公园再扩建，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（） A.变大 B.变小 C.当时，变大 D.当时，变大 7.若x∈R，则与的大小关系为 ． 8.给出下列命题： ①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a3>b3；④|a|>b⇒a2>b2.其中正确命题的序号是 ． 9.已知1<α<3，－4<β<2，若z＝α－β，则z的取值范围是 ． 10.若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2 a1b2＋a2b1.(填“>”“<”或“＝”) 11.已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是 ． 12.若x>0，y>0，M＝，N＝，则M，N的大小关系是 . 13.已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小． 14.已知：3<a＋b<4,0<b<1，求下列各式的取值范围． (1)a；(2)a－b；(3). 15.(1)a<b<0，求证：<； (2)已知a>b，<，求证：ab>0. 16.阅读材料： （1）若，且，则有； （2）若，，则有. 请依据以上材料解答问题： 已知是三角形的三边，求证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $