第14讲 导数的概念与运算 讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数的概念与运算核心考点，涵盖导数的几何意义、运算公式及法则等内容，按考情分析、知识清单、典题精练、高考真题的逻辑架构展开，通过考点梳理明确命题方向，方法指导突破切线问题等难点，真题训练强化实战能力，体现复习的系统性与针对性。 讲义特色在于运用“双切点法”解决公切线问题，通过“由外向内逐层求导”指导复合函数运算，培养学生数学思维与符号表达能力。设置分层练习，如典题精练分考点突破、高考真题分题型训练，配合方法总结提升复习效率，助力学生精准把握考点，为教师把控复习节奏提供有效参考。

第14讲 导数的概念与运算 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 知识点一：导数的概念和几何性质 2 知识点二：导数的运算 2 三、典题精讲 3 考点一：导数的概念与物理意义 3 考点二：导数的运算 4 考点三：导数的几何意义 6 考点四：牛顿迭代法（拓展） 8 四、高考真题 9 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2026 第4题 单选 5分 直接 导数的几何意义，求曲线在某点处的切线方程 2026 第6题 单选 5分 间接 利用导数求函数的最值 2025 第12题 填空 5分 直接 导数的几何意义，已知切线求参数 2025 第16题 解答 15分 直接 导数的运算，多项式求导与数列结合 2025 第19题 解答 17分 间接 利用导数研究三角函数的单调性与最值 2024 第6题 单选 5分 间接 利用导数研究分段函数的单调性 2024 第10题 多选 6分 间接 利用导数研究函数的单调性与极值 2024 第13题 填空 5分 直接 导数的几何意义，求两曲线的公切线 2024 第18题 解答 17分 间接 利用导数研究函数的单调性、最值及恒成立问题 近三年全国一卷中，对导数的概念与运算的直接考查主要集中在导数的几何意义（切线问题）和导数运算上，常以单选题或填空题形式出现.同时，导数运算作为工具，在解答题中被广泛间接考查，是解决压轴题的必备技能. 2. 命题角度与特色 核心考点：导数的几何意义（切线方程、公切线问题、已知切线求参数）是高考高频考点，常在客观题中直接考查.导数的运算则是解决所有导数应用题的基础. 命题趋势：基础题型以切线问题为主，难度中等，侧重考查“在某点处”与“过某点”的切线区别，以及公切线问题.导数运算常与数列、三角函数等其他知识交汇考查. 试题特点：切线问题常结合指数函数、对数函数进行考查，要求熟练掌握基本初等函数的导数公式.解答题中的导数应用题则对导数运算的准确性提出了极高要求. 3. 备考策略 · 熟练掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法则，确保求导过程准确无误. · 深刻理解导数的几何意义，牢记“切点既在曲线上，又在切线上”这一核心条件，熟练处理“在点处”和“过某点”的切线问题. · 掌握公切线问题的通法，即“双切点法”，通过设出两个切点构建方程组求解. 二、知识清单 知识点一：导数的概念和几何性质 1. 概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或. 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于的意义：与之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即. 【易错提醒】利用导数定义求极限时，必须严格保证函数值之差中的自变量增量与分母上的增量在形式上完全一致. 2. 几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率. 3. 物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即. 知识点二：导数的运算 1. 求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） （） （，） （，） 2. 导数的四则运算法则 （1） 函数和差求导法则：； （2） 函数积的求导法则：； （3） 函数商的求导法则：，则. 3. 复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为. 【防坑警示】复合函数求导时，务必由外向内逐层求导，切勿遗漏内层函数的导数，且求导后要将中间变量替换回原自变量. 三、典题精讲 考点一：导数的概念与物理意义 考法1：利用导数定义求极限 例1.若函数在处可导，且，则 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】观察极限式，分子为函数在处的增量，分母为自变量的增量，且两者保持一致，直接利用导数在一点处的定义即可求解. 【解析】由导数定义可得，∴. 【规律】利用导数定义求极限时，核心是凑成导数定义的标准形式，即确保分子中自变量的增量与分母完全一致. 考法2：导数的物理与实际意义 例2.（2026·青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则 A. 随着时间的增加，臭氧含量在增加 B. 当从变化到时，臭氧含量减少 C. 当从变化到时，臭氧含量的平均变化率为 D. 当时，臭氧含量的瞬时变化率为 【答案】D 【思路】根据指数函数的单调性判断A；代入具体时间计算函数值的差判断B；利用平均变化率公式计算判断C；对函数求导，代入求瞬时变化率判断D. 【解析】∵，底数，∴随着时间的增加，臭氧含量在减少，A错误； 当从变化到时，臭氧含量减少，B错误； 当从变化到时，臭氧含量的平均变化率为，C错误； 对求导得，当时，瞬时变化率为，D正确. 【规律】处理实际背景下的变化率问题，需明确：平均变化率是函数增量与自变量增量的比值，而瞬时变化率则是函数在该点处的导数值. 【考点一 方法总结】 · 利用导数定义求极限时，核心是凑成导数定义的标准形式，即确保分子中自变量的增量与分母完全一致. · 处理实际背景下的变化率问题，需明确：平均变化率是函数增量与自变量增量的比值，而瞬时变化率则是函数在该点处的导数值. 考点二：导数的运算 考法1：导数运算法则与公式 例3.求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【思路】根据基本初等函数的导数公式，结合导数的四则运算法则（和、差、积、商的求导法则）逐项求导.对于分式形式且分母为单项式的函数，先化简为幂函数的代数和再求导. 【解析】（1）. （2）∵，∴. （3）. （4）. （5）. （6）∵，∴. 【规律】求导时应遵循“先化简，后求导”的原则.运用乘积或商的求导法则时，务必注意各项的符号和公式的准确性. 考法2：利用导数值求参数或函数值 例4.（2026·泰山联盟·四月）若函数，则 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】将视为一个常数，对函数求导得到的表达式，然后令，构造出关于的一元一次方程，解出即可确定函数解析式，进而判断各选项. 【解析】由，得，令，∴，解得， ∴，， ∴，，.故选A. 【规律】处理含有特定点导数值的函数解析式问题，核心思想是“整体代换”，将该导数值视为常数，求导后代入该特定点的值，通过解方程求出该常数. 【考点二 方法总结】 · 求导时应遵循“先化简，后求导”的原则.对于分式形式且分母为单项式的函数，先化简为幂函数的代数和再求导.运用乘积或商的求导法则时，务必注意各项的符号和公式的准确性. · 复合函数求导时，务必由外向内逐层求导，切勿遗漏内层函数的导数，且求导后要将中间变量替换回原自变量. · 处理含有特定点导数值的函数解析式问题，核心思想是“整体代换”，将该导数值视为常数，求导后代入该特定点的值，通过解方程求出该常数. 考点三：导数的几何意义 考法1：求曲线在某点处的切线方程 例5.（2026·济宁·二模）曲线在处的切线方程为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】先对函数求导，将切点的横坐标代入导函数中求出切线的斜率，再利用直线的点斜式方程写出切线方程并化为一般式. 【解析】由，得，∴曲线在处的切线斜率，∴切线方程为，即. 【规律】求“在点处的切线”，已知点即为切点，直接求导代入横坐标得斜率，用点斜式写方程即可. 考法2：求过某点的切线方程 例6.过点作曲线的切线，写出一条切线方程：＿＿＿＿＿＿. 【答案】或（写出一条即可） 【思路】已知点不在曲线上，不能直接求导代入.需要先设出切点坐标，利用导数表示出切线方程，再将已知点坐标代入切线方程，解出切点坐标，进而得到切线方程. 【解析】由可得，设过点作曲线的切线的切点为，∴，∴该切线方程为，将代入得，解得或，∴切点坐标为或，∴切线方程为或. 【规律】求“过某点的切线”，必须先判断该点是否在曲线上.若不在或不确定，一律设出切点坐标，以切点为核心构建切线方程，再代入已知点求解. 考法3：已知切线求参数 例7.（2025·五个一·四月）若曲线在点处的切线也与曲线相切，则 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】先利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，然后将该切线方程与抛物线联立，利用相切时判别式求出参数. 【解析】由，得，∴曲线在点处的切线斜率为，切线方程为，即.联立，消去整理得，由直线与曲线相切可得，解得. 【规律】直线与二次曲线相切的问题，通常联立方程组消元后，令一元二次方程的判别式等于0来求解参数. 考法4：公切线问题 例8.（2026·周口一高·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】分别设出两条曲线上的切点坐标，利用导数分别写出两条曲线在各自切点处的切线方程.因为是同一条公切线，所以两条切线方程的斜率和截距必须分别相等，由此建立方程组求解. 【解析】设曲线上的切点为，又∵，∴直线，即.设曲线上的切点为，又∵，∴直线，即.∵是公切线，∴，解得，∴，∴在轴上的截距为. 【规律】处理双曲线公切线问题的通法是“双切点法”：分别设出两个切点，写出两个切线方程，利用对应项系数相等构造方程组求解. 考法5：两曲线间的最短距离 例9.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】观察两函数解析式，发现它们互为反函数，图象关于直线对称.因此，两曲线上点之间的最短距离，等于其中一条曲线上点到直线的最短距离的两倍.利用导数求出与平行的切线切点即可. 【解析】∵与互为反函数，它们图象关于直线对称；∴可先求点到直线的最近距离，又，当曲线上切线的斜率时，得，，∴切点到直线的距离为，∴的最小值为.故选D. 【规律】遇到指数函数与对数函数同框求最短距离时，优先考虑两者是否互为反函数.利用对称性将两曲线间的距离转化为单曲线到对称轴直线的距离，再结合导数平行切线法求解. 【考点三 方法总结】 · 求“在点处的切线方程”：已知点即为切点，直接求导代入横坐标得斜率，用点斜式写方程即可.公式：. · 求“过某点的切线方程”：必须先判断该点是否在曲线上.若不在或不确定，一律设出切点坐标，以切点为核心构建切线方程，再代入已知点求解. · 直线与二次曲线相切的问题，通常联立方程组消元后，令一元二次方程的判别式等于0来求解参数. · 处理双曲线公切线问题的通法是“双切点法”：分别设出两个切点，写出两个切线方程，利用对应项系数相等构造方程组求解. · 遇到指数函数与对数函数同框求最短距离时，优先考虑两者是否互为反函数.利用对称性将两曲线间的距离转化为单曲线到对称轴直线的距离，再结合导数平行切线法求解. 考点四：牛顿迭代法（拓展） 考法1：牛顿迭代法的应用 例10.（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法. 具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值. 一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值. 对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是 A. B. 切线： C. D. 【答案】ABD 【思路】先利用零点存在性定理判断根所在的区间；再利用导数求出在一般点处的切线方程，令推导出递推公式；最后根据递推公式和初始值逐次计算，验证各选项. 【解析】由，可得，，即，根据函数零点的存在性定理，可得，∴A正确；又由，设切点，∴切线的斜率为，∴切线方程为，令，可得，∴D正确；当时，可得，∴，，∴的方程为，即，∴B正确；由，可得，，此时，∴C错误.故选ABD. 【考点四 方法总结】 · 解决新定义背景下的切线迭代问题，关键是读懂题意，将文字描述转化为求切线与轴交点的数学操作，推导出递推关系式后按部就班计算即可. 四、高考真题 1.（2026·全国一卷）曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵， ∴. 当时，切线的斜率. 又切点为， ∴切线方程为，即. 2.（2025·全国一卷）若直线是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】对于，其导数为， ∵直线是曲线的切线，直线的斜率为， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， ∴切点坐标为， ∵切点在曲线上， ∴，即，解得. 3.（2024·全国一卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由得，， ∴曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， ∴两曲线有公切线得，解得，∴切点为， 切线方程为， ∵两切线重合，∴，解得. 4.（2025·全国一卷）设数列满足， （1）证明：为等差数列； （2）设，求. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，，在数列中，首项为，公差为， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 5.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知，求导得. 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 假设在处取得最大值，则必有，即. 同时，即. 将代入得. 若，则，此时，代入原函数得，矛盾. ∴，从而，解得. 此时. 检验：当时，，. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. ∴在处取得最大值，符合题意. 6.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵在上单调递增，且时，单调递增， ∴需满足，解得， 即的范围是. 7.（2024·全国一卷）（多选）设函数，则 A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】对A，∵函数的定义域为，且， 易知当时，，当或时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，∴， 而由上可知，函数在上单调递增，∴，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， ∴，即，正确； 对D，当时，， ∴，正确. 8.（2024·全国一卷）已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）时，，其中， 则， ∵，当且仅当时等号成立， ∴，而成立，∴即， ∴的最小值为. （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， ∵在图象上，∴， 而， ∴也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）∵当且仅当，∴为的一个解， ∴即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， ∴恒成立，∴在上为增函数， ∴即在上恒成立. 当时，， ∴恒成立，∴在上为增函数， ∴即在上恒成立. 当，则当时，， ∴在上为减函数，∴，不合题意，舍； 综上所述，在上恒成立时. 且当时，由上述过程可得在单调递增，∴的解为， 即的解确为. ∴的取值范围是. 9.（2025·全国一卷） （1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设为实数，证明：存在，使得； （3）若存在使得对任意，都有，求的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）， ∵，∴，∴， 当时，即， 当时，即， ∴在上为增函数，在为减函数， ∴在上的最大值为. （2）由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解，矛盾. ∴存在，使得， ∴存在，使得成立. （3）记， ∵， ∴为周期函数且周期为，故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，∴， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， ∴，∴， 综上所述，，可取，使得等号成立. ∴. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 导数的概念与运算 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 知识点一：导数的概念和几何性质 2 知识点二：导数的运算 2 三、典题精练 3 考点一：导数的概念与物理意义 3 考点二：导数的运算 4 考点三：导数的几何意义 5 考点四：牛顿迭代法（拓展） 7 四、高考真题 8 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2026 第4题 单选 5分 直接 导数的几何意义，求曲线在某点处的切线方程 2026 第6题 单选 5分 间接 利用导数求函数的最值 2025 第12题 填空 5分 直接 导数的几何意义，已知切线求参数 2025 第16题 解答 15分 直接 导数的运算，多项式求导与数列结合 2025 第19题 解答 17分 间接 利用导数研究三角函数的单调性与最值 2024 第6题 单选 5分 间接 利用导数研究分段函数的单调性 2024 第10题 多选 6分 间接 利用导数研究函数的单调性与极值 2024 第13题 填空 5分 直接 导数的几何意义，求两曲线的公切线 2024 第18题 解答 17分 间接 利用导数研究函数的单调性、最值及恒成立问题 近三年全国一卷中，对导数的概念与运算的直接考查主要集中在导数的几何意义（切线问题）和导数运算上，常以单选题或填空题形式出现.同时，导数运算作为工具，在解答题中被广泛间接考查，是解决压轴题的必备技能. 2. 命题角度与特色 核心考点：导数的几何意义（切线方程、公切线问题、已知切线求参数）是高考高频考点，常在客观题中直接考查.导数的运算则是解决所有导数应用题的基础. 命题趋势：基础题型以切线问题为主，难度中等，侧重考查“在某点处”与“过某点”的切线区别，以及公切线问题.导数运算常与数列、三角函数等其他知识交汇考查. 试题特点：切线问题常结合指数函数、对数函数进行考查，要求熟练掌握基本初等函数的导数公式.解答题中的导数应用题则对导数运算的准确性提出了极高要求. 3. 备考策略 · 熟练掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法则，确保求导过程准确无误. · 深刻理解导数的几何意义，牢记“切点既在曲线上，又在切线上”这一核心条件，熟练处理“在点处”和“过某点”的切线问题. · 掌握公切线问题的通法，即“双切点法”，通过设出两个切点构建方程组求解. 二、知识清单 知识点一：导数的概念和几何性质 1. 概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或. 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于的意义：与之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即. 【易错提醒】利用导数定义求极限时，必须严格保证函数值之差中的自变量增量与分母上的增量在形式上完全一致. 2. 几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率. 3. 物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即. 知识点二：导数的运算 1. 求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） （） （，） （，） 2. 导数的四则运算法则 （1） 函数和差求导法则：； （2） 函数积的求导法则：； （3） 函数商的求导法则：，则. 3. 复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为. 【防坑警示】复合函数求导时，务必由外向内逐层求导，切勿遗漏内层函数的导数，且求导后要将中间变量替换回原自变量. 三、典题精练 考点一：导数的概念与物理意义 考法1：利用导数定义求极限 例1.若函数在处可导，且，则 A. B. C. D. 考法2：导数的物理与实际意义 例2.（2026·青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则 A. 随着时间的增加，臭氧含量在增加 B. 当从变化到时，臭氧含量减少 C. 当从变化到时，臭氧含量的平均变化率为 D. 当时，臭氧含量的瞬时变化率为 【考点一 方法总结】 · 利用导数定义求极限时，核心是凑成导数定义的标准形式，即确保分子中自变量的增量与分母完全一致. · 处理实际背景下的变化率问题，需明确：平均变化率是函数增量与自变量增量的比值，而瞬时变化率则是函数在该点处的导数值. 考点二：导数的运算 考法1：导数运算法则与公式 例3.求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 考法2：利用导数值求参数或函数值 例4.（2026·泰山联盟·四月）若函数，则 A. B. C. D. 【考点二 方法总结】 · 求导时应遵循“先化简，后求导”的原则.对于分式形式且分母为单项式的函数，先化简为幂函数的代数和再求导.运用乘积或商的求导法则时，务必注意各项的符号和公式的准确性. · 复合函数求导时，务必由外向内逐层求导，切勿遗漏内层函数的导数，且求导后要将中间变量替换回原自变量. · 处理含有特定点导数值的函数解析式问题，核心思想是“整体代换”，将该导数值视为常数，求导后代入该特定点的值，通过解方程求出该常数. 考点三：导数的几何意义 考法1：求曲线在某点处的切线方程 例5.（2026·济宁·二模）曲线在处的切线方程为＿＿＿＿＿＿. 考法2：求过某点的切线方程 例6.过点作曲线的切线，写出一条切线方程：＿＿＿＿＿＿. 考法3：已知切线求参数 例7.（2025·五个一·四月）若曲线在点处的切线也与曲线相切，则 A. B. C. D. 考法4：公切线问题 例8.（2026·周口一高·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为＿＿＿＿＿＿. 考法5：两曲线间的最短距离 例9.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 A. B. C. D. 【考点三 方法总结】 · 求“在点处的切线方程”：已知点即为切点，直接求导代入横坐标得斜率，用点斜式写方程即可.公式：. · 求“过某点的切线方程”：必须先判断该点是否在曲线上.若不在或不确定，一律设出切点坐标，以切点为核心构建切线方程，再代入已知点求解. · 直线与二次曲线相切的问题，通常联立方程组消元后，令一元二次方程的判别式等于0来求解参数. · 处理双曲线公切线问题的通法是“双切点法”：分别设出两个切点，写出两个切线方程，利用对应项系数相等构造方程组求解. · 遇到指数函数与对数函数同框求最短距离时，优先考虑两者是否互为反函数.利用对称性将两曲线间的距离转化为单曲线到对称轴直线的距离，再结合导数平行切线法求解. 考点四：牛顿迭代法（拓展） 考法1：牛顿迭代法的应用 例10.（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法. 具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值. 一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值. 对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是 A. B. 切线： C. D. 【考点四 方法总结】 · 解决新定义背景下的切线迭代问题，关键是读懂题意，将文字描述转化为求切线与轴交点的数学操作，推导出递推关系式后按部就班计算即可. 四、高考真题 1.（2026·全国一卷）曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 2.（2025·全国一卷）若直线是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿. 3.（2024·全国一卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿. 4.（2025·全国一卷）设数列满足， （1）证明：为等差数列； （2）设，求. 5.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则 A. B. C. D. 6.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是 A. B. C. D. 7.（2024·全国一卷）（多选）设函数，则 A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 8.（2024·全国一卷）已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围. 9.（2025·全国一卷） （1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设为实数，证明：存在，使得； （3）若存在使得对任意，都有，求的最小值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $