精品解析：浙江省舟山市普陀第二中学2022-2023学年上学期九年级开学考试数学试题

浙江省舟山市普陀二中2022-2023学年八升九期始考数学试题卷 第I卷 一．选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x>8 B. x<8 C. x≤8 D. x≥8 2. 下列图案中，只是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 3. 已知方程的两个根分别是2和－3，则可分解为（ ） A. B. C. D. 4. 2022年3月22日是第三十届“世界水日”，联合国确定本届“世界水日”的主题为“Groundwater−Making the Invisible Visible”．我市政府积极号召居民节约用水，为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果统计如图，则关于这10户家庭的月用水量，下列说法正确的是（ ） A. 众数是5 B. 中位数是6 C. 平均数是7 D. 方差是8 5. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 40 D. 24 6. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝4，CE＝2，T为AF的中点，则CT的长是（ ） A. 3 B. C. D. 7. 如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（ ） A. 20米 B. 18米 C. 10米 D. 8米 8. 如图，一次函数y1＝kx＋b的图像与反比例函数的图像相交于点A（，4）和点B（3，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是（ ） A. x＜0或＜x＜3 B. x＜或x＞3 C. 0＜x＜或x＞3 D. x＜0或x＞3 9. 已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（ ） A. 1或3 B. 4或6 C. 3或6 D. 1或6 10. 如图，矩形中，，，抛物线的顶点为，下列说法正确的结论有（ ） ①当在矩形内部或其边上时，的取值范围是； ②抛物线顶点在直线上； ③如果顶点在内（不包含边界），的取值范围是． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第II卷 二．填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11. 当时，______． 12. 如图，多边形和多边形分别为正六边形和正方形，连接，则_____________． 13. 如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，分别是两个正方形的中心，则阴影（重叠）部分的面积为_____． 14. 图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点C在x轴上，轴，若点B的坐标为，，则k的值____________． 15. 如图，点，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D．直线DE∥AC，交于点E，则的长为______． 16. 如图，矩形ABCD中，，，若点P为BC上动点．以BP为斜边向矩形ABCD内部作等腰直角，∠BQP＝90°．则的最小值为______． 三．解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 完成下列小题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 18. 在边长为1的小正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上， （1）将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，请画出并写出，，的坐标； （2）求的面积． 19. 据联合国统计，至2022年3月12日，俄乌冲突已导致上千平民伤亡，250万人被迫离开乌克兰，此外，在俄乌冲突与对俄制裁的共同作用下，全球粮食供给、芯片制造、能源价格等均受到不同程度的影响．为了呼吁世界和平，某校举行了以“同护一片蓝天·共享一份和平”为主题的征文比赛，八年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示，并根据图示做了表格统计： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 八（1） 85 85 a 八（2） 85 b 100 （1）表中的______，_______； （2）若已知，试说明哪个班的成绩比较稳定？为什么？ （3）若全校参加此次征文比赛复赛的共有100人，请你估计成绩为100分的约有多少人？ 20. 如图，将两张长为10，宽为4的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形AGCH． （1）证明：四边形AGCH是菱形； （2）求菱形AGCH的周长． 21. “你出地、我出苗，你种植、我培训”．在当地政府支持农业发展的政策带领下，李大伯家种植了车厘子和水蜜桃，今年开始收成并批发出售，水蜜桃的产量是300斤，车厘子的产量比水蜜桃产量的两倍多100斤，每斤车厘子批发价比水蜜桃多2元． （1）李大伯把车厘子每斤批发价至少定为多少元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元； （2）某水果店从李大伯家用（1）中的最低批发价购进车厘子销售．第一天每斤售价为40元，卖出了100斤，为了增加销量，水果店决定第二天每斤售价降低m元，销量则在第一天的基础上上涨了2m斤，后结算发现第二天比第一天多盈利320元，已知每天的售价均为整数．求m的值． 22. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（，）（＞0）和点B，且OA=，点C是x轴正半轴上一点，过点C作x轴的垂线，与正比例函数图象交于点P，与反比例函数图象交于点Q． （1）求正比例函数与反比例函数的表达式； （2）当点Q是PC的中点时，求C点的坐标； （3）是否存在点C，使△ABC是直角三角形，若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，说明理由． 23. 如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点、始终在的外面），连接、、、． （1）若，， ①求证：四边形为平行四边形； ②若平分，，求的长． （2）若，，四边形还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由． （3）若，，四边形还是平行四边形吗？请写出结论并证明． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段、、的长满足，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．且． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为D． ①求的最大值； ②连接，当与相似时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省舟山市普陀二中2022-2023学年八升九期始考数学试题卷 第I卷 一．选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x>8 B. x<8 C. x≤8 D. x≥8 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】∵二次根式有意义， ∴x－8≥0， ∴x≥8． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，属于基础题． 2. 下列图案中，只是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形以及中心对称的定义，结合所给图形进行判断即可．． 【详解】解：A、只是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、只是中心对称图形，故本选项符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 已知方程的两个根分别是2和－3，则可分解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次三项式的因式分解法以及根与系数的关系可得：2+（-3）=-1=-p，2×（-3）=-6=q，可知x2-px+q=x2-x-6，然后即可分解． 【详解】解：据题意得 2+（-3）=-1=-p，2×（-3）=-6=q， ∴p=1，q=-6， 可知x2-px+q=x2-x-6， ∴x2-x-6=（x+2）（x-3）． 故选：D． 【点睛】此题十字相乘法分解因式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练应用十字相乘法分解因式． 4. 2022年3月22日是第三十届“世界水日”，联合国确定本届“世界水日”的主题为“Groundwater−Making the Invisible Visible”．我市政府积极号召居民节约用水，为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果统计如图，则关于这10户家庭的月用水量，下列说法正确的是（ ） A. 众数是5 B. 中位数是6 C. 平均数是7 D. 方差是8 【答案】B 【解析】 【分析】现将条形统计图数据转化为有小到大的一组数据，再根据众数、中位数、平均数和方差的计算方法逐项判断即可． 【详解】由条形统计图数据可得：5、5、6、6、6、6、6、6、7、7， 则众数为6，中位数为：6， 平均数为：(5+5+6+6+6+6+6+6+7+7)÷10=6， 方差为：， 故B项正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了条形统计图、众数、中位数、平均数和方差等知识，知晓求解众数、中位数、平均数和方差的方法是解答本题的关键．众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这列数据的众数；将一组数据从小到大排列，如果数据个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数的中位数，如果数据个数是偶数，则中间两个数据的平均数为这组数的中位数；平均数计算公式：，方差计算公式：． 5. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 40 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为40， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A 6. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝4，CE＝2，T为AF的中点，则CT的长是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】据正方形的性质得到AB=BC=4，CG=CE=2，连接AC、CF，求出∠ACF=90°，得到CT=AF，根据勾股定理求出AF的长度即可得到答案． 【详解】解：连接AC、CF，如图， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，AB=BC=4，CG=CE=2， ∴AC＝AB＝4 ，CF＝CE＝2，∠ACD＝45°，∠GCF＝45°， ∴∠ACF＝45°+45°＝90°， 在Rt△ACF中，AF＝， ∵T为AF的中点， ∴CT＝AF＝． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，解题的关键是正确引出辅助线得到∠ACF=90°． 7. 如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（ ） A. 20米 B. 18米 C. 10米 D. 8米 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米， 设抛物线解析式为，将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为 令，解得（负值舍去） 即， 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键． 8. 如图，一次函数y1＝kx＋b的图像与反比例函数的图像相交于点A（，4）和点B（3，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是（ ） A. x＜0或＜x＜3 B. x＜或x＞3 C. 0＜x＜或x＞3 D. x＜0或x＞3 【答案】C 【解析】 【分析】结合图像即可得到y1＜y2时，x的取值范围． 【详解】∵一次函数y1＝kx＋b的图像与反比例函数的图像相交于点A（，4）和点B（3，n）， ∴由图像可知，当y1＜y2时，x的取值范围是：0＜x＜或x＞3， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，熟练掌握函数图像和性质是本题的关键． 9. 已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（ ） A. 1或3 B. 4或6 C. 3或6 D. 1或6 【答案】D 【解析】 【分析】先判断该二次函数的开口方向和对称轴，利用二次函数的增减性，分三种情况讨论h的范围，分别列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 分三种情况讨论： ①若，此时在对称轴右侧，随增大而减小，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； ②若，此时函数在处取最大值为，与题目中最大值为矛盾，此情况无解； ③若，此时在对称轴左侧，随增大而增大，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； 综上，的值为或． 10. 如图，矩形中，，，抛物线的顶点为，下列说法正确的结论有（ ） ①当在矩形内部或其边上时，的取值范围是； ②抛物线顶点在直线上； ③如果顶点在内（不包含边界），的取值范围是． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】①先确定顶点M的表达式，再根据题意列出关于m的不等式组求解即可；②将①确定的顶点坐标代入直线进行判定即可；③先确定直线AC的解析式，然后再列出关于m的不等式组求解即可． 【详解】解：①∵ ∴顶点M的坐标为（m，-m+1） ∵当在矩形内部或其边上 ∴ 即 ∴，故①错误． ②∵顶点M的坐标为（m，-m+1）， ∴当x=m时，有-m+1=-m+1 ∴抛物线顶点在直线上，即②满足题意． ③∵， ∴直线AC的抛物线为y=x+2 ∵顶点M在内（不包含边界） ∴，即 ∴，③正确． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了抛物线与矩形的结合，根据图形列出关于m的不等式成为解答本题的关键． 第II卷 二．填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11. 当时，______． 【答案】2024 【解析】 【分析】将代数式根据完全平方公式化简，再代入，根据二次根式的性质进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，根据代数式的特点利用完全平方公式化简是解题的关键． 12. 如图，多边形和多边形分别为正六边形和正方形，连接，则_____________． 【答案】150 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式及正多边形定义分别求出∠ABC和∠ABG的度数，即可得到答案． 【详解】解：∵多边形为正六边形， ∴∠ABC=(6-2)×180°÷6=120°， ∵多边形为正方形， ∴∠ABG=（4-2）×180°÷4=90°， ∴∠CBG=360°-∠ABC-∠ABG=360°-120°-90°=150°， 故答案为：150． 【点睛】此题考查了多边形的内角和公式：（n-2）×180°，熟记公式是解题的关键． 13. 如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，分别是两个正方形的中心，则阴影（重叠）部分的面积为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意作图，连接O1B，O1C，可得△O1BF≌△O1CG，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接O1B、O1C，如图： ∵∠BO1F+∠FO1C=90°，∠FO1C+∠CO1G=90°， ∴∠BO1F=∠CO1G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠O1BF=∠O1CG=45°， 在△O1BF和△O1CG中， ， ∴△O1BF≌△O1CG（ASA）， ∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形， 同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形， ∴S阴影部分=S正方形=×（2）2=4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，解决本题的关键是把阴影部分进行合理转换． 14. 图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点C在x轴上，轴，若点B的坐标为，，则k的值____________． 【答案】7 【解析】 【分析】过点作轴垂线交轴于点，连接，设，根据解出的值，再将点坐标代入，即可求出的值． 【详解】：过点作轴垂线交轴于点，连接，如图所示 ∵， ∴点纵坐标为3， 设，则， ∵ ∴，解得： ∴ 将代入，解得： 故答案为：7． 【点睛】本题考查了求反比例函数系数的值、反比例函数图象上点坐标的特征，正确作出辅助线，设点坐标是解答本题的关键． 15. 如图，点，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D．直线DE∥AC，交于点E，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由A点坐标为（0，1）结合两个函数解析式求出点C的坐标，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后根据DE∥AC然后利用y2求出点E的坐标，用点E的横坐标减去点D得横坐标即可解答． 【详解】解：∵,AC//x轴 ∴点A、C的纵坐标相同 ∴，解得x=2， ∴点C（2，1）， ∵CD∥y轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同为2， ∴y1=22=4， ∴点D的坐标为（2，4）， ∵DE∥AC， ∴点E的纵坐标为4， ∴，解得:x=4， ∴点E的坐标为（4，4）， ∴DE=4-2=2， 故答案为：2． 【点睛】本题属于二次函数综合题型，主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出相关点的坐标成为是解答本题的关键． 16. 如图，矩形ABCD中，，，若点P为BC上动点．以BP为斜边向矩形ABCD内部作等腰直角，∠BQP＝90°．则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】做点D关于BC的对称点F，连接CF，FQ，交BC于点G，连接DG，过点F作BC的平行线，过点Q作QM⊥BC，延长QM交过点F的平行线与点E，MB=a，列出关于QF2的二次函数解析式，求出QF的最小值，说明此时点P与G重合，得出结果． 【详解】解：做点D关于BC的对称点F，连接CF，FQ，交BC于点G，连接DG，过点F作BC的平行线，过点Q作QM⊥BC，延长QM交过点F的平行线与点E， 则四边形EFCM是矩形， ∴ME=CF=CD=6， CM=EF， ∵△QBP是等腰直角三角形， ∴BM=QM=MP, 设MB=a（0≤a≤15），则EF=CM=15-a,EQ=6+a， ∴ ， ∴当a=时， 最小，值为 ， 此时 ， 此时QE=EF= ， ∴∠EQF=45°，即此时点P与点G重合， 故QP+DP的最小值=QF= , 故答案为． 【点睛】本题考查利用轴对称确定最短路径，利用二次函数求最小值，矩形的判定和性质，解决问题的关键是做出图形，构造最短路径． 三．解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 完成下列小题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简，值为 【解析】 【分析】（1）先求出立方根，绝对值，二次根式，再进行合并同类项即可． （2）利用完全平方公式、平方差公式进行化简，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 当，代入中， 得． 18. 在边长为1的小正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上， （1）将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，请画出并写出，，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析，，， （2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意可得点A（0，4），B（-2，2），C（-1，1），再由平移的性质，即可求解； （2）用所在的长方形的面积减去周围的直角三角形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：点A（0，4），B（-2，2），C（-1，1）， ∵将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， ∴点，，， 如图所示：即为所求； 【小问2详解】 解：的面积为：． 【点睛】本题主要考查了作图——平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 19. 据联合国统计，至2022年3月12日，俄乌冲突已导致上千平民伤亡，250万人被迫离开乌克兰，此外，在俄乌冲突与对俄制裁的共同作用下，全球粮食供给、芯片制造、能源价格等均受到不同程度的影响．为了呼吁世界和平，某校举行了以“同护一片蓝天·共享一份和平”为主题的征文比赛，八年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示，并根据图示做了表格统计： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 八（1） 85 85 a 八（2） 85 b 100 （1）表中的______，_______； （2）若已知，试说明哪个班的成绩比较稳定？为什么？ （3）若全校参加此次征文比赛复赛的共有100人，请你估计成绩为100分的约有多少人？ 【答案】（1）85；80 （2）八（1）班比八（2）班成绩更稳定一些，理由见解析 （3）估计成绩为100分的约有30人 【解析】 【分析】（1）由中位数和众数的定义求解好可； （2）先计算出八（1）班5位同学成绩的方差，再和（2）班5位同学成绩的方差作比较，方差越小成绩越稳定，据此可得． （3）先确定两个班级10名选手的复赛成绩达到100分的人数所占的比例，再乘以100即可． 【小问1详解】 解：∵八（1）班85分的人数最多， ∴其众数为85； 将八（2）班5位同学成绩重新排列为：70、75、80、100、100， ∴其中位数为80． 故答案为：85；80． 【小问2详解】 八（1）班比八（2）班成绩更稳定一些，理由如下： ∵， 又∵， ∴， ∴八（1）班比八（2）班成绩更稳定一些． 【小问3详解】 ∵两个班级10名选手的复赛成绩达到100分的人数有3人， ∴（人）． 答：估计成绩为100分的约有30人． 【点睛】本题主要考查条形统计图，方差，中位数，众数，用样本估计总体等知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．理解平均数、中位数、众数和方差的概念及方差的意义，并能根据它们的意义解决问题． 20. 如图，将两张长为10，宽为4的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形AGCH． （1）证明：四边形AGCH是菱形； （2）求菱形AGCH的周长． 【答案】（1）见解析 （2）菱形AHCG的周长为 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得四边形AHCG是平行四边形，用AAS可证，即可得，即可得； （2）设，则，在中，根据勾股定理得，进行计算即可得，即可得． 【小问1详解】 解：∵证明四边形ABCD，四边形AECF都是矩形， ∴，， ∴四边形AHCG是平行四边形， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形AHCG是菱形． 【小问2详解】 解：设，则， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴菱形AHCG的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． 21. “你出地、我出苗，你种植、我培训”．在当地政府支持农业发展的政策带领下，李大伯家种植了车厘子和水蜜桃，今年开始收成并批发出售，水蜜桃的产量是300斤，车厘子的产量比水蜜桃产量的两倍多100斤，每斤车厘子批发价比水蜜桃多2元． （1）李大伯把车厘子每斤批发价至少定为多少元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元； （2）某水果店从李大伯家用（1）中的最低批发价购进车厘子销售．第一天每斤售价为40元，卖出了100斤，为了增加销量，水果店决定第二天每斤售价降低m元，销量则在第一天的基础上上涨了2m斤，后结算发现第二天比第一天多盈利320元，已知每天的售价均为整数．求m的值． 【答案】（1）李大伯把车厘子每斤批发价至少定为24元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元 （2）30 【解析】 【分析】（1）设李大伯把车厘子每斤批发价定为x元，则把水蜜桃每件批发价定为（x﹣2）元，利用总价＝单价×数量，结合今年这两种水果的收入不低于23400元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论； （2）利用总利润＝每斤的销售利润×销售数量，结合第二天比第一天多盈利320元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合每天的售价均为整数，即可得出m的值为30． 【小问1详解】 解：设李大伯把车厘子每斤批发价定为x元，则把水蜜桃每件批发价定为（x﹣2）元， 依题意得：（300×2+100）x+300（x﹣2）≥23400， 解得：x≥24． 答：李大伯把车厘子每斤批发价至少定为24元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元． 【小问2详解】 依题意得：（40﹣m﹣24）（100+2m）﹣（40﹣24）×100＝320， 整理得：m2﹣70m+1200＝0， 解得：m1＝30，m2＝40． 又∵（40﹣m）为整数， ∴m＝30． 答：m的值为30． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（，）（＞0）和点B，且OA=，点C是x轴正半轴上一点，过点C作x轴的垂线，与正比例函数图象交于点P，与反比例函数图象交于点Q． （1）求正比例函数与反比例函数的表达式； （2）当点Q是PC的中点时，求C点的坐标； （3）是否存在点C，使△ABC是直角三角形，若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）正比例函数解析式为；反比例函数的解析式为 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先求出正比例函数解析式，再利用A点坐标求出反比例函数解析式即可； （2）先设出C点坐标，再分别表示出P点与Q点坐标，最后代入解析式中求解即可； （3）先确定直角顶点，再构造直角三角形，可以利用全等三角形的判定与性质求出G点坐标，即可求解． 【小问1详解】 ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（，）（＞0）， ∴， ∴， ∴正比例函数的解析式为：； ∵OA=， ∴， ∵＞0， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 设 ∴， ∵点Q是PC的中点， ∴， ∴， ∵点C是x轴正半轴上一点， ∴， ∴， ∴C点的坐标为． 【小问3详解】 存在，； 如图，分别过A点作x轴的垂线，过B点作y轴的垂线，两垂线交于点F，AF与x轴交于点E，BF与y轴交于点M，再过A点作AG⊥AB，与x轴交于G点， ∵ ∴， ∴OE=MF=1，AE=EF=2，BM=1， ∴BF=2，AF=4， ∴BF=AE， ∵∠OAG=90°，∠AFB=90°，∠AEG=90°， ∴∠BAE+∠EAG=∠BAE+∠ABF=90°， ∴∠EAG=∠ABF， 由∠AEG=∠F=90°， ∴△AEG≌△BFA（ASA）， ∴EG=AF=4， ∴OG=5， ∴， 当C点位于G点处时，△ABC是直角三角形， ∴存在，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，并且能够通过作辅助线构造直角三角形． 23. 如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点、始终在的外面），连接、、、． （1）若，， ①求证：四边形为平行四边形； ②若平分，，求的长． （2）若，，四边形还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由． （3）若，，四边形还是平行四边形吗？请写出结论并证明． 【答案】（1）①见解析；② （2）是，证明见解析 （3）是，证明见解析 【解析】 【分析】（1）①由平行四边形的性质可知、，再证，即可得出结论； ②证，再证是等边三角形，即可得出结论； （2）证，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得出结论； （3）证，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得出结论． 【小问1详解】 ①证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ， 四边形为平行四边形； ②解：在中，， ． 平分， ， ， ． ， ， 是的垂直平分线， ． ， 是等边三角形， ； 【小问2详解】 解：若，，四边形是平行四边形，理由如下： ，，， ， ， 即， ， 四边形为平行四边形． 【小问3详解】 解：若，，四边形为平行四边形，理由如下： ，，． ， ， 即， ， 四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段、、的长满足，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．且． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为D． ①求的最大值； ②连接，当与相似时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）①②或 【解析】 【分析】（1）求出点A和点B的坐标，然后代入抛物线的关系式求得结果； （2）①作于F交于E，求出的关系式，然后设点，表示出，求出的最值，根据，进而求出的最大值； ②当时，可得点P与点C关于抛物线对称轴对称，求得点P的坐标，当时，作于F，交于E，可推出，进而求得结果． 【小问1详解】 解：对于，当时，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 把代入，得： ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①如图1，作于F交于E， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以，直线的解析式为， 设点， ∴， ∴当时，， ∵， ∴， ∵∠PDE=∠AOC， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2， 当时，， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∴， 如图3， 当时，作于F，交于E， 由①知：， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，符合条件的P的坐标或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，求二次函数扩一次函数关系式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键正确作出辅助线构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $