精品解析：浙江省温州市鹿城区南浦实验中学2021-2022学年开学考试九年级数学试卷

2021-2022学年浙江省温州市鹿城区南浦实验中学九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分．每小题只有一个选项是正确的） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 2. 下列四个奥运会体育比赛项目图标，是中心对称的图标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选D． 3. 全红婵在2021年东京奥运会女子十米跳台项目中获得了冠军，五次跳水成绩分别是（单位：分）：，，，，这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵数据出现次数最多，有3次， ∴众数是分， 将5个数据从小到大排列：，，，，，中间位置的数据为， ∴中位数为分， 故选：B． 【点睛】本题考查众数和中位数，理解众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，若数据是奇数个，则中位数是最中间的那个数，如果数据是偶数个，则中位数是最中间两个数的平均数，注意先进行排序． 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集并在数轴上表示，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 先分别求两个不等式的解集，得到不等式组的解集，进而在数轴上表示即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选：A． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（　　 ） A. 41° B. 42° C. 43° D. 44° 【答案】B 【解析】 【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解． 【详解】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°， ∵ED是AC的垂直平分线， ∴AE＝EC， ∴∠EAC＝∠C＝7x°， ∵∠B＝90°， ∴∠C+∠BAC＝90°， ∴7x+7x+x＝90， 解得：x＝6， ∴∠C＝7×6°＝42°， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键． 6. 某旅行社组织游客到楠溪江乘坐竹筏漂流，若租用8座的竹筏排，则余下6人无座位；若租用12座的竹筏则可少租用1排，且最后一排竹筏还没坐满，则乘坐最后一排12座竹筏的人数是（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用． 根据“租用8座的竹筏排，则余下6人无座位”求出总人数，再减去租用12座的竹筏前排的人数即可． 【详解】解： ， 即乘坐最后一排12座竹筏的人数是人， 故选：C． 7. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息： x的取值 0.4 q 分式的值 无意义 0 3 则q的值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格的数据分别确定m=2，n=-2，然后根据分式的值为3求解即可． 【详解】解：由表格数据得：当x=-2时，分式无意义， ∴-2+m=0， ∴m=2， 当x=0.4时，分式的值为0, ∴， 解得：n=-2， ∴分式为， 当分式的值为3时，即， 解得：x=4， 检验，x=4为分式方程的解， ∴q=4， 故选：D． 【点睛】题目主要考查分式有意义的条件与分式的值为0的条件，解分式方程，熟练掌握运算法则是解题关键． 8. 图1是一块矩形材料，被分割成三块，，将三块材料无缝隙不重叠地拼成图2的形状，此时图2恰好是轴对称图形，则（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是设则 ，利用轴对称图形的性质求出． 【详解】如图， ∵图是轴对称图形， ∴， ， 设，则 ， ∴， ∵， ， ， ， 故选:． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 9. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 10. 如图，是等腰三角形的顶角平分线，，点，分别是，边的中点，连结，，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理即可得到结论，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：，平分， ， ∵点分别是边的中点，， ∴是的中位线， ， 故答案为：． 11. 端午吃粽子是我国的传统习俗，小明的妈妈准备了形状大小一样的豆沙粽3个、红枣粽4个、腊肉粽2个，蛋黄粽3个，其中腊肉粽和蛋黄粽是咸粽，其它粽是甜粽．小明随机选一个，选到咸粽的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求概率． 根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可得：粽子总共有（个），其中5个为甜粽， 所以选到甜粽的概率为：， 故答案为：． 12. 某一次函数的图象经过点，且不经过第一象限，请写一个符合上述条件的函数解析式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，直线不经过第一象限，则，，任意取一个满足的值，再将代入解析式，求出b值即可． 【详解】解：直线不经过第一象限， ， 令， 设函数解析式为， 将代入解析式得， 函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，确定出k和b的取值范围，再固定k的值，利用待定系数法求出函数解析式是解此题关键；此题是开放题，答案不唯一． 13. 如图，点A，B在函数的图象上，过点A，B作x轴的垂线分别交函数（，）的图象于点C，D，连结OB，OD，AD，CD．若，且与的面积之和为4，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积的计算，分别设出点A和点B的坐标，表达出点C和点D的坐标，由，可求出n和m之间的关系；再结合三角形的面积公式分别表达与的面积，根据两个三角形面积之和为4，建立等式，即可求解． 【详解】解：设点A和点B的横坐标分别为m和n， ∵点A，B在函数的图象上， ∴， ∵轴，轴，且点C，D在函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵ ， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【详解】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 三、解答题（本题有6小题，共64分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 15. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了化简二次根式，有理数的混合运算，整式的混合运算． （1）先化简二次根式，计算乘法和乘方，再计算加减即可； （2）先根据完全平方公式、单项式乘以多项式计算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 16. 如图，中，，点E，F在边BC上；． （1）求证：； （2）若点D在AF的延长线上，，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可知，结合题意即可利用“SAS”证明． （2）由，可得出，由等腰三角形的性质可得出，再由三角形内角和定理即可求出，即证明，最后由平行线的判定即可证明． 【详解】证明：（1）∵， ∴． ∵在和中，， ∴． （2）∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 17. 如图，在方格纸中，点A，，都在格点上，请按要求画出以为边的格点多边形． （1）在图甲中画出一个平行四边形，使平分它的面积； （2）在图乙中画一个面积大于5的三角形，使平分它的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形的面积与中线性质以及勾股定理，解题的关键是利用 “过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形面积” 以及 “三角形中线平分三角形面积” 的性质，结合格点构造图形。 （1）利用平行四边形对角线平分面积的性质，构造平行四边形使平分其面积； （2）利用三角形中线平分面积的性质，构造高足够大的三角形使平分其面积且面积大于 5 。 【小问1详解】 解：如图，平行四边形即为所求； 证明：如图，在中，， 是平行四边形， 构造的图形中满足此条件，因此平分平行四边形的面积； 【小问2详解】 解：如图，即为所求 证明：， 三角形面积， ， 在格点上取点，连接、，延长交于， ， D是的中点， ， 此时， 平分它的面积，满足面积要求。 18. 如图，在中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明： 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据平行四边形的性质得到，，证明，得到，证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据全等三角形的性质得到，设，，根据勾股定理求出，根据列方程计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 19. 2021年7月的一场暴雨席卷中原腹地，给河南省带来巨大损失，为了增加排水能力，某市决定购进型与型排水设备若干台，下表是、型号排水设备的每台售价与每台每日排水量的相关数据．已知用72万元购买型排水设备的数量和用48万元购买型排水设备的数量相同． 型号 每台售价（万元） 每台每日排水量（吨 型 18 160 型 150 （1）问型排水设备每台售价多少万元？ （2）现恰好花费了180万元购买型与型排水设备，若要使购进型台数不少于型台数的一半，则如何分配购进型与型排水设备数量，使得每日的排水总量最大？ 【答案】（1）12万元 （2）购进型6台与型6台时，使得每日的排水总量最大 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设型排水设备每台售价万元，根据题意列方程求解即可； （2）设购进型污水处理设备台，根据题意列不等式组求出a的取值范围，求出排水总量w的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 设型排水设备每台售价万元， 依题意，得． 解得． 经检验：是原方程的解． 答：型排水设备每台售价12万元； 【小问2详解】 解：设购进型污水处理设备台， ， 解得， 是整数， 是偶数， 排水总量， 随a的增大而减小， 当时，取得最大值，此时， ， 即购进型6台与型6台时，使得每日的排水总量最大． 20. 如图，点是正方形边上一点，，作交于点，连结，，点是射线上一点，满足，连结． （1）求证：； （2）当四边形中有两条边相等时，求的长； （3）若点关于的对称点落在所在直线上，则_________（直接写出答案）． 【答案】（1）见解析 （2）或或2 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理解三角形，矩形的判定与性质，结合分类讨论的思想并掌握以上知识是解决本题的关键． （1）先由边角边的证明方法证明，由此可得，进而可证明四边形是平行四边形，由此可证； （2）设，由勾股定理可表示出，与，再结合分类讨论的思想，依次分类，，，，，这六种情况求解x的值即可； （3）设，先证明四边形是矩形，即可得，，再根据勾股定理即可求解边长． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：如图2，过点作于点，过点作于点， 设，则， ， ，， 在中，， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， ①当时，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ； ②当时，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ； ③当时，则， 解得：， ； ④当时，则， 解得：或，均不符合题意，舍去； ⑤当时，则， 解得：（不符合题意，舍去）； ⑥当时，则， 解得：或（均不符合题意，舍去）； 综上所述，的长为或或2； 【小问3详解】 解：如图3，过点作于，过点作于，与关于对称，连接， 则， 设，则， 由（2）知：，，， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 由对称得：，，， ， 在中，， ， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ； 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年浙江省温州市鹿城区南浦实验中学九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分．每小题只有一个选项是正确的） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 2. 下列四个奥运会体育比赛项目图标，是中心对称的图标是（ ） A. B. C. D. 3. 全红婵在2021年东京奥运会女子十米跳台项目中获得了冠军，五次跳水成绩分别是（单位：分）：，，，，这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（　　 ） A. 41° B. 42° C. 43° D. 44° 6. 某旅行社组织游客到楠溪江乘坐竹筏漂流，若租用8座的竹筏排，则余下6人无座位；若租用12座的竹筏则可少租用1排，且最后一排竹筏还没坐满，则乘坐最后一排12座竹筏的人数是（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 7. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息： x的取值 0.4 q 分式的值 无意义 0 3 则q的值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 图1是一块矩形材料，被分割成三块，，将三块材料无缝隙不重叠地拼成图2的形状，此时图2恰好是轴对称图形，则（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 9. 分解因式：_____． 10. 如图，是等腰三角形的顶角平分线，，点，分别是，边的中点，连结，，则_____________． 11. 端午吃粽子是我国的传统习俗，小明的妈妈准备了形状大小一样的豆沙粽3个、红枣粽4个、腊肉粽2个，蛋黄粽3个，其中腊肉粽和蛋黄粽是咸粽，其它粽是甜粽．小明随机选一个，选到咸粽的概率是________． 12. 某一次函数的图象经过点，且不经过第一象限，请写一个符合上述条件的函数解析式：________． 13. 如图，点A，B在函数的图象上，过点A，B作x轴的垂线分别交函数（，）的图象于点C，D，连结OB，OD，AD，CD．若，且与的面积之和为4，则__________． 14. 如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 三、解答题（本题有6小题，共64分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 15. （1）计算：； （2）化简：． 16. 如图，中，，点E，F在边BC上；． （1）求证：； （2）若点D在AF的延长线上，，，，求证：． 17. 如图，在方格纸中，点A，，都在格点上，请按要求画出以为边的格点多边形． （1）在图甲中画出一个平行四边形，使平分它的面积； （2）在图乙中画一个面积大于5的三角形，使平分它的面积． 18. 如图，在中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 19. 2021年7月的一场暴雨席卷中原腹地，给河南省带来巨大损失，为了增加排水能力，某市决定购进型与型排水设备若干台，下表是、型号排水设备的每台售价与每台每日排水量的相关数据．已知用72万元购买型排水设备的数量和用48万元购买型排水设备的数量相同． 型号 每台售价（万元） 每台每日排水量（吨 型 18 160 型 150 （1）问型排水设备每台售价多少万元？ （2）现恰好花费了180万元购买型与型排水设备，若要使购进型台数不少于型台数的一半，则如何分配购进型与型排水设备数量，使得每日的排水总量最大？ 20. 如图，点是正方形边上一点，，作交于点，连结，，点是射线上一点，满足，连结． （1）求证：； （2）当四边形中有两条边相等时，求的长； （3）若点关于的对称点落在所在直线上，则_________（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $