3.2.2奇偶性经典题型分类训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数奇偶性，通过基础判断、中档应用到综合探究的三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，适配新授课知识巩固与思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|奇偶性判断、简单解析式求解|以选择填空为主，如题型一判断函数奇偶性，夯实概念理解| |中档层|参数求解、不等式应用、图象特征|含多选与中档解答题，如题型三由奇偶性求参数，培养推理能力| |综合层|抽象函数、性质综合应用|设置开放探究题，如题型八综合问题，发展数学思维与创新意识|

《奇偶性》经典题型分类训练 （八大题型，共47小题） 题型一：奇偶性的判断与证明 1．下列函数中是奇函数的是（　　） A．f（x）＝x+1 B．f（x）＝|x3| C．f（x）＝﹣2x D．f（x）＝x2+x 2．下列函数是偶函数的是（　　） A． B．y＝2|x| C． D． 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（　　） A． B．f（x）＝x2 C．f（x）＝x3 D．f（x）＝x+1 4．下列函数是偶函数，且在区间（0，+∞）上是减函数的是（　　） A． B．y＝|x| C．y＝3x2+x+1 D．y＝2x+1 5．（多选）已知函数f（x）＝|x﹣1|，构造函数g（x）＝f（x）﹣f（﹣x），下列函数g（x）的说法正确的是（　　） A．g（x）﹣g（﹣x）是偶函数 B．g（x）+g（﹣x）是偶函数 C．g（x）|g（x）|是奇函数 D．g（x）g（|x|）是奇函数 6．函数的奇偶性为 　 　 ． 7．设a为实数，函数f（x）＝x2+|x﹣a|+1（x∈R），试讨论f（x）的奇偶性． 8．已知函数的图象经过点，． （1）求f（x）的解析式； （2）判断f（x）的奇偶性． 题型二：由奇偶性求函数的解析式 9．已知f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝3x2+2x﹣1，则当x＞0时，f（x）＝（　　） A．﹣3x2+2x﹣1 B．﹣3x2﹣2x﹣1 C．3x2+2x﹣1 D．3x2﹣2x﹣1 10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）的解析式是f（x）＝（　　） A．﹣x（1+x） B．x（1﹣x） C．x（1+x） D．﹣x（1﹣x） 11．定义在R上的奇函数f（x）满足x＞0时，，则当x＜0时的解析式为（　　） A． B． C． D． 12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x2﹣x﹣1，则函数f（x）的解析式为　 　 ． 13．已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝x2﹣x+1，则g（3）的值是 　 　 ． 14．函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为． （1）求f（2），f（﹣2）的值； （2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数； （3）求函数f（x）的解析式． 题型三：由奇偶性求参数 15．已知f（x）＝ax2+（b+3）x+3，x∈[a2﹣2，a]是偶函数，则a+b＝（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．﹣2或﹣5 16．若为奇函数，则（　　） A． B．2 C． D．﹣2 17．已知函数f（x）＝（x+m﹣2）（x+m﹣1）为偶函数，则m＝（　　） A． B． C． D． 18．函数f（x）＝（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a＝　 　 ． 19．函数f（x）＝ax2+bx+3+b是偶函数，且定义域为[a﹣1，2a]，则a+b＝　 　 ． 20．已知函数是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断f（x）的单调性，并利用定义证明． 题型四：由奇偶性解不等式 21．已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）＝0，则不等式xf（x﹣1）＜0的解集是（　　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2，+∞） C．（1，2） D．（0，1）∪（1，2） 22．设奇函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有不等式，且f（﹣2）＝﹣1，则不等式的解集是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，3） D．（﹣1，1）∪（3，+∞） 23．设f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，满足：，且f（2）＝4，则不等式的解集为（　　） A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣4）∪（0，4） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 24．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，都有，若f（6）＝6，则不等式f（x）＞x的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣6）∪（0，6） B．（﹣6，0）∪（6，+∞） C．（﹣6，0）∪（0，6） D．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） 25．（多选）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）内为减函数，且函数y＝f（x+8）为偶函数，则下列结论正确的是（　　） A．f（6）＞f（5） B．f（6）＝f（10） C．f（7）＞f（9） D．f（7）＞f（10） 26．（多选）已知奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（3）＝0，则下列说法正确的是（　　） A．f（﹣3）＝0 B．f（0）＝0 C．f（2）•f（4）＞0 D．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3） 27．（多选）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则（　　） A．f（x）的最小值为﹣1 B．f（x）在（﹣2，0）上单调递减 C．f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．存在实数x满足f（x+2）+f（﹣x）＝0 28． 已知定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），（x1≠x2），都有0且f（﹣1）＝0，则不等式xf（x）＜0的解集为 　 　 ． 29．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），有，且f（2）＝0，则不等式解集是　 　 ． 30．函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且． （1）求f（x）的解析式； （2）证明f（x）在（﹣1，1）上为增函数； （3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0． 31．奇函数f（x）的定义域为R，且在[0，+∞）上为增函数，问：是否存在m使f（x2﹣3）+f（2m﹣3x）＞f（0）对任意x∈[0，1]都成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 32．已知函数是定义在（﹣2，2）上的奇函数， （1）求证：函数f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增； （2）解关于x的不等式f（x）+f（x﹣2）≤0． 题型五：奇、偶函数的图象特征 33．已知偶函数f（x）与奇函数g（x）的定义域都是[﹣2，2]，它们在[0，2]上的图象如图所示，则使关于x的不等式f（x）•g（x）＞0成立的x的取值范围为（　　） A．（﹣2，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣1，0）∪（1，2） D．（﹣2，﹣1）∪（1，2） 34．已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），它们在（﹣4，0]上的图象分别是图①和图②，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是（　　） A．（﹣2，0）∪（2，4） B．[0，4] C．（2，4） D．（﹣2，0] 题型六：利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小 35．已知函数y＝f（x+2）是偶函数，y＝f（x）在[2，+∞）上是单调减函数，则（　　） A．f（2）＜f（﹣1）＜f（3） B．f（3）＜f（﹣1）＜f（2） C．f（﹣1）＜f（2）＜f（3） D．f（﹣1）＜f（3）＜f（2） 36．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间[0，2]上时增函数，则（　　） A．f（﹣1）＜f（3）＜f（4） B．f（4）＜f（3）＜f（﹣1） C．C．f（3）＜f（4）＜f（﹣1） D．f（﹣1）＜f（4）＜f（3） 37．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）是增函数，设a＝f（﹣3），b＝f（π），c＝f（﹣1），则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 38．（多选）已知函数f（x）＝f（x+2）是偶函数，且y＝f（x）在（0，2）上是增函数，则下列结论中一定正确的有（　　） A．函数y＝f（x﹣2）是偶函数 B．y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称C． D．y＝f（2x）在（1，2）上单调递减 题型七：抽象函数的奇偶性 39．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）不恒为0，若f（x+2）为偶函数，f（3x+1）为奇函数，则下列选项中一定成立的是（　　） A． B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0 40．f（x）是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是（　　） A．f（﹣x）+f（x）＝0 B．f（﹣x）﹣f（x）＝﹣2f（x） C． D．f（﹣x）•f（x）≤0 41．（多选）定义域为R的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0．以下结论正确的是（　　） A．f（x）为奇函数 B．f（x）为偶函数 C．f（x）为增函数 D．f（x）为减函数 42．（多选）已知函数f（x）的定义域为R，且f（0）＝0，若y＝f（x+2）+1为奇函数，y＝f（x+4）为偶函数，则（　　） A．f（4）＝0 B．f（8）＝0 C．f（1）+f（3）＝2 D．f（1）＝f（7） 43．已知奇函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的减函数，不等式f（x﹣3）+f（x2﹣3）＜0的解集为A，集合B＝A∩{x|1≤x}，求函数g（x）＝5x2﹣21x+1，x∈B的最大值和最小值． 题型八：函数奇偶性的综合问题 44．已知函数f（x）的定义域为R+，对任意的a，b∈R+，都有f（a）+f（b）＝f（ab）．当0＜x＜1时，f（x）＞0． （1）求f（1）的值，并证明：当x＞1时，f（x）＜0； （2）判断f（x）的单调性，并证明你的结论； （3）若f（2）＝﹣1，求不等式f（ax2+x﹣ax+1）+1＜0的解集． 45．已知定义在R的函数f（x）满足以下条件： ①对任意实数x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y）+f（x）f（y）； ②当x＞0时，f（x）＞0；③f（2）＝3． （1）求f（1），f（0）的值； （2）若f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x∈R恒成立，求a的取值范围． 46．已知定义域为I＝（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）满足对任意x1、x2∈I都有f（x1x2）＝x1f（x2）+x2f（x1）． （1）求证：f（x）是奇函数； （2）设，证明：对任意x1、x2∈I都有g（x1x2）＝g（x1）+g（x2）； （3）当x＞1时，g（x）＜0，求不等式g（x﹣2）＞g（x）的解集． 47．已知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有0． （1）证明：f（x）在区间[﹣1，1]上是单调减函数； （2）解不等式f（x）＜f（）； （3）若f（x）≤t2﹣mt﹣1对所有x∈[﹣1，1]，m∈[0，1]恒成立，求实数t的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 《奇偶性》经典题型分类训练 （八大题型，共47小题） 题型一：奇偶性的判断与证明 1．下列函数中是奇函数的是（　C　） A．f（x）＝x+1 B．f（x）＝|x3| C．f（x）＝﹣2x D．f（x）＝x2+x 【解析】 对于A：函数f（x）定义域为R，f（﹣x）＝﹣x+1，不满足f（﹣x）＝﹣f（x），故A不符合题意；对于B：函数f（x）定义域为R，f（﹣x）＝|﹣x3|＝|x3|，不满足f（﹣x）＝﹣f（x），故B不符合题意；对于C：函数f（x）定义域为R，f（﹣x）＝2x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），故C符合题意； 对于D，函数f（x）定义域为R，f（﹣x）＝x2﹣x，不满足f（﹣x）＝﹣f（x），故D不符合题意． 2．下列函数是偶函数的是（　B　） A． B．y＝2|x| C． D． 【解析】 对于A：y，是反比例函数，是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于B：f（x）＝2|x|，其定义域为R，有f（﹣x）＝2|﹣x|＝2|x|＝f（x），则f（x）为偶函数，符合题意；对于C：f（x）＝x，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝﹣（x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数不是偶函数，不符合题意； 对于D：f（x）＝x，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝﹣（x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数不是偶函数，不符合题意． 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（　C　） A． B．f（x）＝x2 C．f（x）＝x3 D．f（x）＝x+1 【解析】 f（x）在定义域{x|x≠0}不单调，A错误；f（x）＝x2为偶函数，B错误；f（x）＝x3为奇函数且在R上单调递增，C正确；f（x）＝x+1为非奇非偶函数，D错误． 4．下列函数是偶函数，且在区间（0，+∞）上是减函数的是（　A　） A． B．y＝|x| C．y＝3x2+x+1 D．y＝2x+1 【解析】 根据幂函数性质可知，y为偶函数，且在区间（0，+∞）上是减函数，A正确；y＝|x|在区间（0，+∞）上是增函数，B错误；y＝3x2+x+1，y＝2x+1不是偶函数，CD错误． 5．（多选）已知函数f（x）＝|x﹣1|，构造函数g（x）＝f（x）﹣f（﹣x），下列函数g（x）的说法正确的是（　BCD　） A．g（x）﹣g（﹣x）是偶函数 B．g（x）+g（﹣x）是偶函数 C．g（x）|g（x）|是奇函数 D．g（x）g（|x|）是奇函数 【解析】 f（x）＝|x﹣1|，则函数g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝|x﹣1|﹣|﹣x﹣1|＝|x﹣1|﹣|x+1|．则g（x）﹣g（﹣x）＝|x﹣1|﹣|x+1|﹣|﹣x﹣1|+|﹣x+1|＝﹣2|x+1|，该函数为非奇非偶函数，故A错误；g（x）+g（﹣x）＝|x﹣1|﹣|x+1|+|﹣x﹣1|﹣|﹣x+1|＝0，该函数是偶函数，故B正确；g（﹣x）＝|﹣x﹣1|﹣|﹣x+1|＝|x+1|﹣|x﹣1|＝﹣g（x），函数g（x）为奇函数，则|g（x）|为偶函数，可得g（x）|g（x）|为奇函数，故C正确；g（|x|）＝||x|﹣1|﹣||x|+1|为偶函数，则g（x）g（|x|）是奇函数，故D正确． 6．函数的奇偶性为 　 　 ．非奇非偶函数 【解析】 根据题意，，则有，解可得﹣1≤x＜1，所以f（x）的定义域是[﹣1，1），由于f（x）的定义域不对称，所以f（x）是非奇非偶函数． 7．设a为实数，函数f（x）＝x2+|x﹣a|+1（x∈R），试讨论f（x）的奇偶性． 【解析】 f（﹣x）＝x2+|﹣x﹣a|+1＝x2+|x+a|+1，∴当a＝0时，f（﹣x）＝f（x），函数f（x）为偶函数；当a≠0时，f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），f（x）为非奇非偶函数． 8．已知函数的图象经过点，． （1）求f（x）的解析式； （2）判断f（x）的奇偶性． 【解析】 （1）根据题意，函数的图象经过点，，则，解得，所以f（x）的解析式为． （2） 根据题意，函数f（x）为偶函数，理由：函数的定义域为R，且，所以函数f（x）为偶函数． 题型二：由奇偶性求函数的解析式 9．已知f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝3x2+2x﹣1，则当x＞0时，f（x）＝（　D　） A．﹣3x2+2x﹣1 B．﹣3x2﹣2x﹣1 C．3x2+2x﹣1 D．3x2﹣2x﹣1 【解析】 根据题意，当x＞0时，则﹣x＜0，则f（﹣x）＝3（﹣x）2+2（﹣x）﹣1＝3x2﹣2x﹣1， 又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝3x2﹣2x﹣1． 10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）的解析式是f（x）＝（　A　） A．﹣x（1+x） B．x（1﹣x） C．x（1+x） D．﹣x（1﹣x） 【解析】 因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x（1﹣x），当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣x[1﹣（﹣x）]＝﹣x（1+x）＝f（x），即f（x）＝﹣x（1+x）． 11．定义在R上的奇函数f（x）满足x＞0时，，则当x＜0时的解析式为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）21＝x21，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x21． 12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x2﹣x﹣1，则函数f（x）的解析式为 _______________________f（x） 【解析】 ∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0；又∵x＜0时，f（x）＝x2﹣x﹣1，∴x＞0时，﹣x＜0；∴f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）﹣1＝x2+x﹣1，又f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2+x﹣1）＝﹣x2﹣x+1；综上，f（x）． 13．已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝x2﹣x+1，则g（3）的值是 　　 ．﹣3 【解析】 因为f（x）+g（x）＝x2﹣x+1①，所以f（﹣x）+g（﹣x）＝x2+x+1，由函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则f（x）＝f（﹣x），g（x）＝﹣g（﹣x），所以f（x）﹣g（x）＝x2+x+1②，则①﹣②可得：2g（x）＝﹣2x，所以g（x）＝﹣x，则g（3）＝﹣3． 14．函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为． （1）求f（2），f（﹣2）的值； （2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数； （3）求函数f（x）的解析式． 【解析】 （1）因为x＞0时，函数的解析式为f（x），所以f（2），因为f（x）为R上奇函数，所以f（﹣2）； （2）证明：设0＜x1＜x2，则1＜1+x1＜1+x2，所以，因为x＞0时，f（x）2， 则f（x1）﹣f（x2）0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上是减函数． （3） 当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）f（x），故f（x），（x＜0），所以f（x）． 题型三：由奇偶性求参数 15．已知f（x）＝ax2+（b+3）x+3，x∈[a2﹣2，a]是偶函数，则a+b＝（　B　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．﹣2或﹣5 【解析】 因为f（x）＝ax2+（b+3）x+3，x∈[a2﹣2，a]是偶函数，所以a2﹣2+a＝0，且a2﹣2＜a，解得a＝1；由f（x）为偶函数，得f（﹣x）＝f（x），即ax2+（b+3）x+3＝ax2﹣（b+3）x+3，即2（b+3）x＝0，因x不恒为0，故b＝﹣3，则a+b＝﹣2． 16．若为奇函数，则（　A　） A． B．2 C． D．﹣2 【解析】 若为奇函数，则定义域关于原点对称，即a＝2，因为f（0）0，即b＝1，此时f（x），经检验符合题意，则． 17．已知函数f（x）＝（x+m﹣2）（x+m﹣1）为偶函数，则m＝（　D　） A． B． C． D． 【解析】 根据题意，f（x）＝（x+m﹣2）（x+m﹣1）＝x2+（2m﹣3）x+（m﹣1）（m﹣2），该函数为二次函数，其对称轴为，因为函数f（x）为偶函数，则，解得． 18．函数f（x）＝（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a＝　　 ．4 【解析】 因为函数f（x）＝（x+a）•（x﹣4）是偶函数，所以∀x∈R，都有f（﹣x）＝f（x）．所以∀x∈R，都有（﹣x+a）•（﹣x﹣4）＝（x+a）•（x﹣4）即x2+（4﹣a）x﹣4a＝x2+（a﹣4）x﹣4a 所以a＝4． 19．函数f（x）＝ax2+bx+3+b是偶函数，且定义域为[a﹣1，2a]，则a+b＝　　 ． 【解析】 由题意知，，解得，∴a+b． 20．已知函数是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断f（x）的单调性，并利用定义证明． 【解析】 （1）根据题意，函数是定义在（﹣2，2）上的奇函数，则有f（﹣x）+f（x）＝0，即0，必有b＝0，又由，则，则a＝1；故f（x）； （2）根据题意，f（x）（﹣2，2），在其定义域上是增函数，证明：设﹣2＜x1＜x2＜2，则f（x1）﹣f（x2），若﹣2＜x1＜x2＜2，则x1﹣x2＜0，4﹣x1x2＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x）在其定义域上是增函数． 题型四：由奇偶性解不等式 21．已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）＝0，则不等式xf（x﹣1）＜0的解集是（　C　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2，+∞） C．（1，2） D．（0，1）∪（1，2） 【解析】 因为奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（﹣1）＝0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（1）＝0，不等式xf（x﹣1）＜0可转化为或，或，解得1＜x＜2． 22．设奇函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有不等式，且f（﹣2）＝﹣1，则不等式的解集是（　D　） A．（﹣1，3） B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，3） D．（﹣1，1）∪（3，+∞） 【解析】 令g（x）＝xf（x），因为f（x）为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），所以g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），即g（x）为偶函数，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有不等式，即0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，因为f（﹣2）＝﹣1，所以g（﹣2）＝﹣2f（﹣2）＝2，即g（2）＝2，则不等式可转化为，即，故或，则或，解得x＞3或﹣1＜x＜1． 23．设f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，满足：，且f（2）＝4，则不等式的解集为（　A　） A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣4）∪（0，4） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 【解析】 ∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，都有 ，令F（x）＝xf（x），∴F（x）＝xf（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数， ∴F（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝F（x），∴F（x）为偶函数且F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，又F（2）＝2f（2）＝8，∴，当x＞0时，F（x）﹣F（2）＞0，即|x|＞2，解得：x＞2，当x＜0时，F（x）﹣F（2）＜0，即|x|＜2，解得：﹣2＜x＜0，综上，不等式的解集为：（﹣2，0）∪（2，+∞）． 24．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，都有，若f（6）＝6，则不等式f（x）＞x的解集为（　B　） A．（﹣∞，﹣6）∪（0，6） B．（﹣6，0）∪（6，+∞） C．（﹣6，0）∪（0，6） D．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） 【解析】 当x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，都有，得， 令，则成立，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），则g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且，于是g（x）是偶函数，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，g（﹣6）＝g（6）＝1，当x＝0时，f（0）＝0，不等式f（x）＞x无解；当x＞0时，不等式，解得x＞6；当x＜0时，不等式，解得﹣6＜x＜0，因此﹣6＜x＜0或x＞6，所以不等式f（x）＞x的解集为（﹣6，0）∪（6，+∞）． 25．（多选）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）内为减函数，且函数y＝f（x+8）为偶函数，则下列结论正确的是（　ABD　） A．f（6）＞f（5） B．f（6）＝f（10） C．f（7）＞f（9） D．f（7）＞f（10） 【解析】 ∵y＝f（x+8）为偶函数，∴f（x+8）＝f（﹣x+8），即y＝f（x）关于直线x＝8对称．又∵f（x）在（8，+∞）上为减函数，∴f（x）在（﹣∞，8）上为增函数．由f（8+2）＝f（8﹣2），即f（10）＝f（6），f（8+1）＝f（8﹣1），即f（9）＝f（7），又由5＜6＜7＜8，则有f（5）＜f（6）＜f（7），即f（7）＞f（10），故ABD正确． 26．（多选）已知奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（3）＝0，则下列说法正确的是（　AD　） A．f（﹣3）＝0 B．f（0）＝0 C．f（2）•f（4）＞0 D．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3） 【解析】 奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（3）＝0，可得f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，则当﹣3＜x＜0或x＞3时，f（x）＞0；当x＜﹣3或0＜x＜3时，f（x）＜0，所以f（2）f（4）＜0，所以AD正确，BC错误． 27．（多选）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则（　ACD　） A．f（x）的最小值为﹣1 B．f（x）在（﹣2，0）上单调递减 C．f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．存在实数x满足f（x+2）+f（﹣x）＝0 【解析】 函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，可得f（x），可得x＞0时，f（x）在x＝1时取得最小值﹣1，由偶函数的图象关于y轴对称，可得f（x）在R上取得最小值﹣1，故A正确；f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，0）递增，故B错误；由或，解得x＞2或x＜﹣2，故C正确；由f（0）＝0，f（﹣2）＝f（2）＝0，即存在实数x满足f（x+2）+f（﹣x）＝0，故D正确。 28．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），（x1≠x2），都有0且f（﹣1）＝0，则不等式xf（x）＜0的解集为 　 ．　{x|x＜﹣1或0＜x＜1} 【解析】 定义在R上的偶函数f（x）满足对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），（x1≠x2），都有0，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，根据偶函数的对称性可得，f（x）在（0，+∞）上单调递增，因为f（﹣1）＝0，所以f（1）＝0，则不等式xf（x）＜0可得或，即或，解得x＜﹣1或0＜x＜1． 29．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），有，且f（2）＝0，则不等式解集是　　 ．{x|x＜﹣2或0＜x＜2} 【解析】 根据题意，函数f（x）满足对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），有，则f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，且f（﹣2）＝f（2）＝0，在区间（﹣∞，﹣2）上，f（x）＞0，在区间（﹣2，0）上，f（x）＜0，又由f（x）为偶函数，则在区间（2，+∞）上，f（x）＞0，在区间（0，2）上，f（x）＜0，⇒0⇒或，则有x＜﹣2或0＜x＜2；即不等式的解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2} 30．函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且． （1）求f（x）的解析式； （2）证明f（x）在（﹣1，1）上为增函数； （3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0． 【解析】 （1）因为函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，所以f（0）＝b＝0，此时，又，所以，解得a＝1，所以． （2）证明：任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则，因为x1，x2∈（﹣1，1），所以，因为x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数． （3）函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，由f（t﹣1）+f（t）＜0，得f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），又f（x）在（﹣1，1）上为增函数，所以解得，即t∈（0，）． 31．奇函数f（x）的定义域为R，且在[0，+∞）上为增函数，问：是否存在m使f（x2﹣3）+f（2m﹣3x）＞f（0）对任意x∈[0，1]都成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】 ∵奇函数f（x）的定义域为R，∴f（0）＝0，则不等式f（x2﹣3）+f（2m﹣3x）＞f（0）等价为f（x2﹣3）+f（2m﹣3x）＞0，即f（x2﹣3）＞﹣f（2m﹣3x）＝f（3x﹣2m），∵f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）在R上是增函数，若f（x2﹣3）+f（2m﹣3x）＞f（0）对任意x∈[0，1]都成立， 等价为x2﹣3＞3x﹣2m对任意x∈[0，1]都成立，即x2﹣3x﹣3＞﹣2m对任意x∈[0，1]都成立，设g（x）＝x2﹣3x﹣3，则对称轴为x，则函数g（x）在[0，1]上是减函数，∴g（x）的最小值为g（1）＝1﹣3﹣3＝﹣5，则满足﹣2m＜﹣5，解得m．故存在m使f（x2﹣3）+f（2m﹣3x）＞f（0）对任意x∈[0，1]都成立． 32．已知函数是定义在（﹣2，2）上的奇函数， （1）求证：函数f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增； （2）解关于x的不等式f（x）+f（x﹣2）≤0． 【解析】 （1）证明：因为f（x）为奇函数，则， 设任意的x，x满足﹣2＜x1＜x2＜2，则，因为x1x2﹣4＜0，x2﹣x1＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，故函数f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增． （2）由f（x）+f（x﹣2）≤0，即f（x）≤﹣f（x﹣2）＝f（2﹣x），由函数定义域得，由函数单性得x≤2﹣x＞x≤1，故f（x）+f（x﹣2）≤0的解集为（0，1]． 题型五：奇、偶函数的图象特征 33．已知偶函数f（x）与奇函数g（x）的定义域都是[﹣2，2]，它们在[0，2]上的图象如图所示，则使关于x的不等式f（x）•g（x）＞0成立的x的取值范围为（　A　） A．（﹣2，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣1，0）∪（1，2） D．（﹣2，﹣1）∪（1，2） 【解析】 因为不等式f（x）•g（x）＞0，所以当f（x）＞0，g（x）＞0时，有﹣1＜x＜1，0＜x＜2，∴0＜x＜1；当f（x）＜0，g（x）＜0时，有﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2，﹣2＜x＜0，∴﹣2＜x＜﹣1，综上，x∈（﹣2，﹣1）∪（0，1）． 34．已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），它们在（﹣4，0]上的图象分别是图①和图②，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是（　A　） A．（﹣2，0）∪（2，4） B．[0，4] C．（2，4） D．（﹣2，0] 【解析】 当x＜0时，其解集为 （﹣2，0）∵y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数 ∴f（x）g（x）是奇函数 ∴当x＞0时，f（x）g（x）＜0 ∴其解集为：（2，4）综上：不等式 f（x）•g（x）＞0的解集是 （﹣2，0）∪（2，4） 题型六：利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小 35．已知函数y＝f（x+2）是偶函数，y＝f（x）在[2，+∞）上是单调减函数，则（　D　） A．f（2）＜f（﹣1）＜f（3） B．f（3）＜f（﹣1）＜f（2） C．f（﹣1）＜f（2）＜f（3） D．f（﹣1）＜f（3）＜f（2） 【解析】 y＝f（x+2）是偶函数，所以y＝f（x）的图象关于x＝2对称，因为y＝f（x）在[2，+∞）上单调递减，根据函数对称性可得，f（x）在（﹣∞，2]上是单调递增函数，所以f（2）＞f（3）＞f（5）＝f（﹣1）． 36．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间[0，2]上时增函数，则（　D　） A．f（﹣1）＜f（3）＜f（4） B．f（4）＜f（3）＜f（﹣1） C．C．f（3）＜f（4）＜f（﹣1） D．f（﹣1）＜f（4）＜f（3） 【解析】 ∵奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+4），则f（x+4）＝f（﹣x），∴函数f（x）图象关于直线x＝2对称，∴f（4）＝f（0），f（3）＝f（1），∵奇函数f（x）在区间[0，2]上时增函数，∴f（x）在区间[﹣2，2]上时增函数，∴f（﹣1）＜f（0）＜f（1），即f（﹣1）＜f（4）＜f（3） 37．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）是增函数，设a＝f（﹣3），b＝f（π），c＝f（﹣1），则a，b，c的大小关系是（　D　） A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【解析】 ∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，距对称轴越远，函数值越大，∵f（﹣1）＜f（﹣3）＜f（π），则c＜a＜b。 38．（多选）已知函数f（x）＝f（x+2）是偶函数，且y＝f（x）在（0，2）上是增函数，则下列结论中一定正确的有（　BCD　） A．函数y＝f（x﹣2）是偶函数 B．y＝f（x）的图象关于直线x＝2对C． D．y＝f（2x）在（1，2）上单调递减 【解析】 根据题意，函数y＝f（x+2）是偶函数，则有f（2+x）＝f（2﹣x），则f（x）的对称轴为x＝2，B正确，A错误，f（）＝f（），f（）＝f（），y＝f（x）在（0，2）上是增函数，则f（）＜f（1）＜f（），故有f（）＜f（1）＜f（），C正确，对于y＝f（2x），y＝f（x）在（0，2）上是增函数，而f（x）的对称轴为x＝2，则y＝f（x）在（2，4）上是减函数，设t＝2x，y＝f（t），在区间（1，2）上，t＝2x为增函数，且2＜t＜4，y＝f（t）在2，4）上是减函数，则y＝f（2x）在（1，2）上单调递减，D正确。 题型七：抽象函数的奇偶性 39．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）不恒为0，若f（x+2）为偶函数，f（3x+1）为奇函数，则下列选项中一定成立的是（　B　） A． B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0 【解析】 若f（x+2）为偶函数，f（3x+1）为奇函数，可得f（﹣x+2）＝f（x+2），f（﹣3x+1）＝﹣f（3x+1）， 则f（1）＝f（3），f（1）＝﹣f（1），即有f（1）＝f（3）＝0，由f（x）＝f（4﹣x），f（1﹣x）＝﹣f（1+x），即f（x）＝﹣f（2﹣x），可得f（4﹣x）＝﹣f（2﹣x），即有f（x+2）＝﹣f（x），可得f（﹣1）＝﹣f（1）＝0。 40．f（x）是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是（　C　） A．f（﹣x）+f（x）＝0 B．f（﹣x）﹣f（x）＝﹣2f（x） C． D．f（﹣x）•f（x）≤0 【解析】 由题可知f（﹣x）＝﹣f（x），f（0）＝0，对于A：f（﹣x）+f（x）＝0成立，正确；对于B：f（﹣x）﹣f（x）＝﹣2f（x）成立，正确；对于C：令f（x）＝﹣x，则不成立，故错误；对于D：由f（0）＝0，所以f（﹣x）•f（x）＝﹣f2（x）≤0成立，故正确． 41．（多选）定义域为R的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0．以下结论正确的是（　AC　） A．f（x）为奇函数 B．f（x）为偶函数 C．f（x）为增函数 D．f（x）为减函数 【解析】 取x＝y＝0 则f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，对任意x∈R，取y＝﹣x；则f[x+（﹣x）]＝f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数，所以A正确；任意取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2＝x1+△x （其中△x＞0 ），∴f（x2）＝f（x1+△x）＝f（x1）+f（△x），∴f（x2）﹣f（x1）＝f（△x）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）是R上的增函数，所以C正确． 42．（多选）已知函数f（x）的定义域为R，且f（0）＝0，若y＝f（x+2）+1为奇函数，y＝f（x+4）为偶函数，则（　BD　） A．f（4）＝0 B．f（8）＝0 C．f（1）+f（3）＝2 D．f（1）＝f（7） 【解析】 ∵g（x）＝f（x+2）+1为奇函数，∴g（﹣x）+g（x）＝f（﹣x+2）+1+f（x+2）+1＝0， 即f（2+x）+f（2﹣x）＝﹣2，令x＝1，则f（3）+f（1）＝﹣2，故C错误；令x＝2，则f（4）+f（0）＝﹣2，∵f（0）＝0，∴f（﹣4）＝﹣2，故A错误；又y＝f（x+4）为偶函数，∴f（x+4）＝f（4﹣x），令x＝4，则f（4+4）＝f（0）＝0，即f（8）＝0，故B正确；令x＝3，则f（7）＝f（1），故D正确。 43．已知奇函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的减函数，不等式f（x﹣3）+f（x2﹣3）＜0的解集为A，集合B＝A∩{x|1≤x}，求函数g（x）＝5x2﹣21x+1，x∈B的最大值和最小值． 【解析】 根据题意，可得，解得故0＜x，又∵f（x）是奇函数，∴f（x﹣3）＜﹣f（x2﹣3）＝f（3﹣x2），又f（x）在（﹣3，3）上是减函数， ∴x﹣3＞3﹣x2，即x2+x﹣6＞0， 解得x＞2或x＜﹣3，综上得2＜x，即A＝{x|2＜x}， ∴B＝A∩{x|1≤x}＝{x|2≤x}， 又g（x）＝5x2﹣21x+1＝5（x）2知g（x）max＝g（1）＝﹣15，g（x）min． 题型八：函数奇偶性的综合问题 44．已知函数f（x）的定义域为R+，对任意的a，b∈R+，都有f（a）+f（b）＝f（ab）．当0＜x＜1时，f（x）＞0． （1）求f（1）的值，并证明：当x＞1时，f（x）＜0； （2）判断f（x）的单调性，并证明你的结论； （3）若f（2）＝﹣1，求不等式f（ax2+x﹣ax+1）+1＜0的解集． 【解析】 （1）对于函数f（x），其定义域为R+，且对任意的a，b∈R+，都有f（a）+f（b）＝f（ab）， 令a＝b＝1，有f（1）+f（1）＝f（1），变形可得：f（1）＝0，下面证明当x＞1时，f（x）＜0：因为0＜x＜1时，f（x）＞0，而当x＞1时，有，则，令，得，所以，结论成立； （2）根据题意，f（x）在其定义域上单调递减，证明如下：不妨设0＜x1＜x2，则，故有，令，则，所以，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在R+上单调递减； （3）由f（ax2+x﹣ax+1）+1＜0，得f（ax2+x﹣ax+1）＜﹣1，又f（2）＝﹣1，所以f（ax2+x﹣ax+1）＜f（2），由（2）知f（x）在R+上单调递减，所以ax2+x﹣ax+1＞2，所以ax2+（1﹣a）x﹣1＞0，所以（ax+1）（x﹣1）＞0，当a＞0时，不等式为，由于1，则此时解集为；当a＝0时，不等式为x﹣1＞0，此时解集为（1，+∞）；当a＜0时，不等式为，若a＝﹣1时，则，此时解集为∅，若﹣1＜a＜0时，则，此时解集为，若a＜﹣1时，则，此时解集为，综上所述：a＜﹣1时，不等式的解集为，a＝﹣1时，不等式的解集为∅，﹣1＜a＜0时，不等式的解集为，当a＝0时，不等式的解集为（1，+∞），a＞0时，不等式的解集为． 45．已知定义在R的函数f（x）满足以下条件： ①对任意实数x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y）+f（x）f（y）； ②当x＞0时，f（x）＞0；③f（2）＝3． （1）求f（1），f（0）的值； （2）若f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x∈R恒成立，求a的取值范围． 【解析】 （1）令x＝y＝1，则f（2）＝f（1）f（1）+2f（1）＝3，解得：f（1）＝1或f（1）＝﹣3，又当x＞0时，f（x）＞0，所以f（1）＝1，令x＝1，y＝0可得f（1）＝f（1）f（0）+f（0）+f（1），即f（0）＝0； （2）f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立⇒f2（x）+2f（x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，令f（x）＝t，以下探讨f（x）＝t的取值范围．令y＝﹣x可得，当x＜0时，f（﹣x）＞0，则，∴x∈R时，f（x）＝t∈（﹣1，+∞）．原不等式等价于：t2+2t﹣a≥at﹣5在t∈（﹣1，+∞）恒成立，即．，当t＝1时取等号．∴a≤4，即a的取值范围是（﹣∞，4]． 46．已知定义域为I＝（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）满足对任意x1、x2∈I都有f（x1x2）＝x1f（x2）+x2f（x1）． （1）求证：f（x）是奇函数； （2）设，证明：对任意x1、x2∈I都有g（x1x2）＝g（x1）+g（x2）； （3）当x＞1时，g（x）＜0，求不等式g（x﹣2）＞g（x）的解集． 【解析】 （1）证明：因为函数f（x）的定义域为I＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），对任意x1、x2∈I都有f（x1x2）＝x1f（x2）+x2f（x1），令x1＝x2＝1，得f（1）＝2f（1），故f（1）＝0，令x1＝x2＝﹣1，得f（1）＝﹣2f（﹣1）＝0，可得f（﹣1）＝0，令x1＝x，x2＝﹣1，得f（﹣x）＝﹣f（x）+xf（﹣1）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数； （2）证明：因为f（x1x2）＝x1f（x2）+x2f（x1），且x1≠0，x2≠0，所以， 即g（x1x2）＝g（x1）+g（x2）； （3）设x1＞x2＞0，则，又因为当x＞1时，g（x）＜0，所以，因为，所以g（x1）﹣g（x2）＝g（）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以g（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，因为函数g（x）的定义域为I＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），，且f（x）为奇函数，所以，即函数g（x）是偶函数，由g（x﹣2）＞g（x），可得g（|x﹣2|）＞g（|x|），则，解得x＞1且x≠2，因此，不等式g（x﹣2）＞g（x）的解集为（1，2）∪（2，+∞）． 47．已知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有0． （1）证明：f（x）在区间[﹣1，1]上是单调减函数； （2）解不等式f（x）＜f（）； （3）若f（x）≤t2﹣mt﹣1对所有x∈[﹣1，1]，m∈[0，1]恒成立，求实数t的取值范围． 【解析】 （1）证明：令m＝x1，n＝﹣x2，且﹣1≤x1＜x2≤1，代入0．得0． ∵x1＜x2，∴f（x1）＞f（x2），∴该函数在[﹣1，1]上单调递减． （2）∵f（x）＜f（），∴﹣1x1，解得：﹣1＜x≤0．∴不等式的解集为（﹣1，0]． （3）∵f（x）在区间[﹣1，1]上是单调减函数，且f（﹣1）＝1，∴f（x）max＝f（﹣1）＝1．∵f（x）≤t2﹣mt﹣1对所有x∈[﹣1，1]，m∈[0，1]恒成立，∴1≤t2﹣mt﹣1，即﹣tm+t2﹣2≥0对m∈[0，1]恒成立，∴，解得t≥2或t．∴实数t的取值范围是∪[2，+∞）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/24 8:26:23；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $