3.2.2奇偶性（二）（分层作业·练知识）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层作业3.2.2奇偶性（二）以A组巩固、B组进阶、C组拔高、拓展高考为梯度，覆盖抽象函数奇偶性等7个知识点，从单一性质到综合应用，适配新授课分层教学，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|单一知识点（奇偶性、周期性等）|基础选择/填空（如奇偶性判断）| |B组能力进阶|跨知识点综合（性质推导与应用）|多选/中档解答（如对称性推导周期）| |C组思维拔高|复杂情境综合（对称中心与周期综合）|探究性解答（如对称中心证明）| |拓展链接高考|高考真题（经典考点再现）|高考原题（如2021全国甲卷）|

分层作业 3.2.2奇偶性（二） 目 录 A组 巩固过关 知识点01 抽象函数的奇偶性 知识点02 函数的周期性 知识点03 函数的对称性 知识点04 根据汉书的对称性推导周期 知识点05 根据函数的性质求解不等式 知识点06 抽象函数的性质 知识点07 函数性质的综合应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )抽象函数的奇偶性 1．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及对称性，即可求解. 【详解】由于为偶函数，故， 又是奇函数，故，所以， 故选：A 2．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 3．（20-21高二下·云南玉溪·阶段检测）已知是偶函数，对任意，且，都有，且，的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得的图像关于对称，结合的单调性解不等式即可. 【详解】因为是偶函数，可知的图像关于对称， 且，则， 又因为任意，且，都有， 可知在单调递减，结合函数图像的对称性可知函数在单调递增． 当，，可得； 当，，可得； 所以的解集是． 故选：A. 4．（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ） A．的图象关于直线对称 B．在上为增函数 C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意结合偶函数的性质可得图象关于直线对称，且在上为减函数，然后逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为函数为偶函数，其图象关于对称， 所以函数的图象关于对称，故A正确； 对于B，函数在上为增函数且函数的图象关于对称， 所以函数在上为减函数，故B错误； 对于C，由于函数的图象关于对称，且函数在上为增函数， 所以，故C错误； 对于D，由于， 因为函数在上为减函数，且， 所以，即，故D正确. 故选：AD ( 知识点0 2 )函数的周期性 1．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知是定义在上且周期为4的函数，当时，，则（ ） A．12 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】利用周期性，将所求的x的值转化成在已知解析式范围内的取值进行计算． 【详解】由周期为4，可得； ； 因为时，，则， 所以． 2．（2025-2026高二下·天津滨海·期末）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使用奇偶性的定义与周期性的定义求解. 【详解】. 3．（2026·河北唐山·模拟预测）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】利用偶函数性质得，得. 周期，，因此. ，且， 则 因此. 4．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）设是定义在上且周期为的函数，当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数在区间上的零点，再利用周期性求解在区间的零点. 【详解】当时，， 在区间内的零点为和，共个零点. 已知周期为，即，则函数在区间上的零点为共6个. ( 知识点0 3 )函数的对称性 1．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性解不等式，偶函数在对称区间内单调性相反，可以利用到对称轴的距离列不等式判断． 【详解】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 2．（25-26高一上·安徽·期末）（多选）设函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，当时，.若，则（ ） A．直线是函数图象的对称轴 B．点是函数图象的对称中心 C． D． 【答案】ABC 【分析】依题意由偶函数性质可得关于对称，再由奇函数性质可得关于点中心对称，即AB均正确，再由函数解析式以及所给函数值计算可得C正确，利用对称性计算可得D错误. 【详解】对于A，因为为偶函数，则，即， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，为奇函数，则，即， 从而的图象关于点中心对称，且，故B正确； 对于C，，即， 又，得，故C正确； 对于D，当时，， 又的图象关于直线对称，关于点中心对称， 所以，故D错误. 故选：ABC 3．（2026·河南郑州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 4．（25-26高二下·云南昆明·期末）定义在上的函数，其图象关于点对称，则下列结论一定正确的是（ ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．图象关于点对称 D．图象关于直线对称 【答案】B 【分析】证明到是偶函数A错误，B正确；对于C，D，举反例验证错误.. 【详解】图像关于点中心对称， 所以对任意实数，有， ，则，， 由对称性质，而， 故： ，则， 由对称性质，而，故 综上，对任意，，因此是偶函数，所以A错误，B正确； 取，则， 因为，此时的图象不关于点对称，C错误； 因为，此时的图象不关于直线对称，D错误. 5．（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【答案】(1)； (2)证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. (3)，. 【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可； （2）记，进而证明为奇函数即可得证； （3）令，进而由可求实数、的值. 【详解】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）略 （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 因为时，函数的定义域为x≠,不关于对称，故舍去， 所以解得. ( 知识点0 4 )根据函数的对称性推导周期 1．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知是定义在R上的偶函数，且是奇函数，，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，可得为周期为的偶函数，根据性质求值. 【详解】已知是定义在R上的偶函数，即， 是奇函数，即， 则， 所以， 所以， 则. 2．（24-25高二上·安徽·开学考试）（多选）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（ ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D． 【答案】ACD 【分析】运用奇函数性质和对称性得到原函数的周期性，借助赋值可解. 【详解】为奇函数，得到，向右平移1个单位得到，则的图象关于点中心对称,则A正确. 则，的图象关于直线对称, 则，则, 则，则是周期为4的函数.则C正确. 令，则由，知，则..故D正确. 前面式子推不出，故B错误. 故选：ACD. 3．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）（多选）已知函数，定义域均为R，为奇函数，的图象关于对称，且，则（ ） A． B． C．函数图象关于点对称 D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据奇函数的定义及条件，可判断A的正误；根据条件，结合函数对称性，整理计算，可得关于对称，代入数据，可判断B的正误；根据条件，赋值代入，可得的对称中心，结合其对称轴，分析可判断C的正误；根据函数的周期性，可得，代入数据，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为为奇函数， 所以，则，故A正确； 选项B：由A项得关于对称，即，， ， 因为的图象关于对称，所以， 又，所以， 所以，即， 所以关于对称，即， 因此，， 所以 ，故B正确； 选项C：因为，， 所以，即， 所以关于点对称，又的图象关于， 所以的对称中心为，不是，故C错误； 选项D：因为，所以， 又，所以， 则，所以， 则的周期为4，所以， 又因为，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD 4．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则___________． 【答案】 【分析】根据函数的对称性和奇偶性，已知函数值的方程，求得参数，写出函数解析式，再利用奇偶性转换自变量的值，解得对应函数值. 【详解】已知为奇函数，则，换元得， 已知为偶函数，则，换元得， 则当时，即，因为，所以， 则，当时，，解得， 可知，即，解得， 所以当时，， 当时，，， 所以. 故答案为：. ( 知识点0 5 )根据函数的性质求解不等式 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的对称性得到函数在上单调递减，将不等式转化为含自变量绝对值的不等式，结合定义域求解即可. 【详解】因是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则在上单调递减. 则等价于，可得，即， 由①得；由②得或 故的解集为. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可判断函数的零点与单调性，进而可解不等式. 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 则函数在上单调递增， 又，所以， 即当时，， 当或时，， 又不等式可转化为或， 即或，即不等式的解集为. 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 4．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，结合已知条件判断函数的单调性，再分类讨论解不等式即可. 【详解】因为对任意且， 都有，则在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 又，则，即， 当或时，，当或时，， 对于不等式，当时，则，即， 当时，则，即， 所以不等式的解集是. 5．（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. ( 知识点0 6 )抽象函数的性质 1．（25-26高一上·湖南怀化·期末）（多选）已知函数对任意实数都满足，且，则下列说法中正确的是（ ） A． B． C．是偶函数 D．是周期函数 【答案】BCD 【分析】利用赋值法判断A，B选项，利用赋值法结合函数的奇偶性判断C选项，利用赋值法可求出函数是周期函数判断D选项. 【详解】令，则.因为，所以，A选项错误； 令，则，所以，B选项正确； 令，则，所以，C选项正确； 令，则， 类比得，所以，故是以为周期的函数，D选项正确. 故选：BCD 2．（25-26高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数的定义域为，满足，当时，，且，则（ ） A． B．是偶函数 C．在单调递增 D．的解集为 【答案】AC 【详解】令，得，所以，A正确. 令，得，，所以， 所以为非奇非偶函数，B错误. 设，则，因为当时，，所以， 又因为， 所以，所以在单调递增，C正确. 令，得， 令，得， 所以是的一个解，所以的解集不是，D错误. 3．（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】由函数关系取可求判断A，取可得的关系，结合奇函数定义判断B，利用单调性定义证明函数在上单调递减，判断C，结合函数性质解不等式判断D. 【详解】因为， 取可得， 所以，A正确； 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由， 用替换可得，， 所以，即， 所以函数为奇函数，B正确； 任取，， 则， 又当时，，且， 所以，故， 所以函数在上单调递减，C错误； 因为， 所以不等式可化为， 所以，又函数在上单调递减， 所以， 所以，所以不等式的解集为，D正确. 故选：ABD. 4．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A． B．的图象关于原点对称 C．在上单调递增 D．关于的不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】利用赋值法，结合偶函数的定义性质判断AB；利用增函数的定义推理判断C；利用偶函数的性质及单调性求解不等式判断D. 【详解】对于A，令，得，则，A正确； 对于B，令，得，则， 令，对，， 函数是偶函数，其图象关于轴对称，B错误； 对于C，，则，而当时，，则， ，因此在上单调递增，C正确； 对于D，不等式，则，解得或， 不等式，则，解得或， 不等式化为或，解得或或， 因此不等式的解集为，D正确. 故选：ACD 5．（25-26高一上·海南·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)8106. 【分析】（1）利用恒等式赋值，即可求解； （2）利用恒等式赋值，结合奇函数恒等式即可证明； （3）利用，再利用加法交换律和结合律即可求和. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 所以， 即，所以函数为奇函数. （3）由（2）知，，，则 ( 知识点0 7 )函数性质的综合应用 1．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则所有交点的横坐标与纵坐标之和为（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据题意得到与图象的交点关于对称，则有，，即可得到答案. 【详解】函数，定义域为， 函数为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称； 定义域为的函数满足，则的图象关于点对称. 所以函数与图象的交点也关于点对称. 函数与的图象有四个交点，分别为，，，， 不妨设，则，， 则，， 则所有交点的横､纵坐标之和为. 故选：D 2．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）（多选）已知函数、的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，，下列说法正确的是（ ） A． B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用函数的对称性可判断AB选项；利用已知等式推导出，再由，所以，，可求出的值，由此可得出的值，可判断C选项；求出的值，结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的图象关于直线对称，则，A对； 对于B选项，因为，则， 又因为，联立可得， 即，所以，的图象关于点对称，B对； 对于C选项，因为，所以，， 即， 因为，代入得，即， 因为，所以，， 因为，所以，，所以，，C对； 对于D选项，由B选项可知，， 因为，所以，， 因为， 所以，，，， 因此，，D错. 故选：ABC. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 3．（21-22高一上·重庆北碚·期末）（多选）已知函数为定义在上的奇函数，又函数,且与的函数图象恰好有2022个不同的交点，则下列叙述中正确的是（ ） A．的图象关于对称 B．的图象关于对称 C． D． 【答案】BC 【分析】由函数为定义在上的奇函数，可得的图象关于对称，判断A，B；由函数的图象的对称性，得到两函数交点的对称性，可计算C，D. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数， 所以，即 所以的图象关于对称，故A错误；B正确； 又函数的图象也关于对称， 所以与的函数的交点关于对称， 不妨设， 所以， ， 所以，C正确； ，D错误. 故选：BC 4．（25-26高一上·山东青岛·期末）（多选）已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ） A．的图象关于点对称 B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ACD 【分析】根据题设分析可得，进而判断A；由的图象关于直线对称，可得，进而得到，，即可判断C，并且得到函数是以4为周期的函数，由可得函数也是以4为周期的函数，进而求解判断BD. 【详解】对于A，由，得，即， 由，得， 则，即， 则的图象关于点对称，故A正确； 对于C，因为的图象关于直线对称，所以， 又，所以， 所以，而 则，即， 则，即， 所以，则函数是以4为周期的函数， 由，， 得，则， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于BD，由， 则函数也是以4为周期的函数， 由，得， 即，则 由，得， 而，故B错误，D正确. 故选：ACD 一、单选题 1．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用函数的性质，得，再将代入，即可求解. 【详解】因为奇函数，又，知的一个周期为， 所以， 又当时，，所以，则， 故选：D. 2．（25-26高一上·四川广安·期中）奇函数是定义域为上的增函数.且，则的取值范围是（ ） A． B． C．， D． 【答案】B 【分析】由得到，由是奇函数得到，由是定义域为上的增函数得到，求解此不等式组就是的取值范围. 【详解】，， 是奇函数，转化为， 是定义域为上的增函数， ，，， 的取值范围是. 故选：B. 3．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则错误的是（ ） A．满足 B．在上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图像关于点对称 【答案】B 【分析】根据函数的周期性、单调性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，函数满足，则， 是周期为的周期函数，A正确； 对于B，因为为奇函数，当时，， 则，， 故在上不具有单调性，B错误； 对于C，是周期为的周期函数，则有， 变形可得，的图象关于直线对称，C正确； 对于D，奇函数是周期为的周期函数，则， 变形可得，的图象关于点对称，D正确； 故选：B 4．（25-26高三上·江苏无锡·期末）若奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性转化不等式，利用函数单调性列不等式求的取值范围． 【详解】已知是奇函数，且， ，不等式等价于， 在上单调递减， ，解得，即，故C正确． 故选：C． 5．（25-26高一上·河北唐山·期中）若定义在上的奇函数在上是增函数，且，则的解集为（ ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】找到临界点，由函数的奇偶性与单调性求解即可. 【详解】由是奇函数，且定义域为，则，，则， 又因为其在内是增函数，则有： 当或时，， 当或时，， 的解集为或， 故选：C 6．（25-26高一上·湖北荆州·期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质及函数对称性，结合已知抽象函数推出函数周期，求出一个周期内的和，再利用函数周期性求解． 【详解】已知是定义域为的奇函数，则，且， ，可知图象关于直线对称，即， ，故， 把替换为，则， 把替换为，则， 函数周期， ，，， ， ， ， 由函数周期性知：， ，故C正确． 故选：C． 二、多选题 7．（25-26高一上·四川眉山·期末）若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（ ） A．函数图象关于直线对称 B． C．函数图象关于点中心对称 D．当时， 【答案】BC 【分析】根据函数的奇偶性，对称性和周期性逐个选项进行判断即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且， 又，所以关于对称，故A错误； ， 所以 所以函数的周期为4，，故B正确； 要证明函数图象关于点中心对称，需证明。 由题意，，又因为为奇函数， 又， 因此，故C正确； 因为当时，， 设，则， 所以， 当时也成立， 所以当时，，故D错误. 故选：BC. 8．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知函数的定义域为（不恒为0），且是奇函数，是偶函数，则（ ） A． B．的一个周期为4 C．图象的一个对称中心为 D． 【答案】ACD 【分析】利用函数的奇偶性恒等式可证明函数的对称中心和周期，再通过赋值可求得特殊函数值，从而可判断各选项. 【详解】由是奇函数，可得， 令得，，故A正确； 用代入可得：， 由是偶函数，可得， 上面两式相减得：， 用代入可得：， 若4是函数的一个周期，则， 只有为常数函数时，4才是函数的一个周期， 但只要不是常数0函数，那么4一定不是函数的一个周期，故B错误； 再用代入可得：， 即可得，故的一个周期为， 再由与相结合可得：，再用代入可得：， 从而可得函数图象的一个对称中心为，令可得，则， 再结合周期为，可知是图象的一个对称中心，故C正确； 由函数图象的一个对称中心为， 可知， 因为周期为，所以即 所以， 即根据，所以，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则________． 【答案】 【分析】根据题意，求得的周期为4，且，当时，，得到，结合，即可求解． 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以， 因为函数的图象关于点对称，所以， 所以，可得， 令，可得，即， 所以，即， 所以函数的周期为4， 由，可得，即， 又因为当时，，所以， 所以． 10．（2026·江苏南京·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且．当时，，则__________________． 【答案】/ 【分析】先根据函数的对称性和已知等式推导函数周期，再利用周期性、对称性将所求函数值转化到已知解析式的区间内计算. 【详解】由函数的图象关于直线对称，可得对任意，， 替换得①， 由已知，整理得：②， 联立①②得，替换得， 进一步推导得：，即是周期为的周期函数. 故. 四、解答题 11．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)根据第（1）问的结论，求的值； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 【答案】(1) (2) (3)推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. 【分析】（1）根据函数为奇函数，求出，的值； （2）根据（1）的结论，分组相加即可； （3）利用类比推理即可得出. 【详解】（1）设的对称中心为点，， 则为奇函数，即， ， ，即， ， 整理得，， ，解得，即， 函数图象的对称中心为； （2）由（1）知，， ， 且， ； （3）推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. 1．（25-26高一上·陕西西安·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若，则（ ） A．400 B．200 C．198 D．396 【答案】B 【分析】利用给定性质求出对称中心，再利用中心对称函数的性质求解即可 【详解】设，所以 ， 因为为奇函数，所以，则，所以函数的图象关于点成中心对称图形，所以， 所以， 每对和为，共对，所以总和为. 故选：B. 2．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A． B．的图象关于原点对称 C．在上单调递增 D．关于的不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】利用赋值法，结合偶函数的定义性质判断AB；利用增函数的定义推理判断C；利用偶函数的性质及单调性求解不等式判断D. 【详解】对于A，令，得，则，A正确； 对于B，令，得，则， 令，对，， 函数是偶函数，其图象关于轴对称，B错误； 对于C，，则，而当时，，则， ，因此在上单调递增，C正确； 对于D，不等式，则，解得或， 不等式，则，解得或， 不等式化为或，解得或或， 因此不等式的解集为，D正确. 故选：ACD 3．（25-26高一上·海南·阶段检测）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据以上信息解决下列问题： (1)求函数图象的对称中心； (2)已知函数，写出图象的对称中心，并求的值. 【答案】(1). (2)；. 【分析】（1）首先设出对称中心，根据题设列出奇函数的解析式，分析解析式即可求得对称中心； （2）通过图象的平移可得图象的对称中心，根据对称性可得一个恒等式，进而可化简求解. 【详解】（1）设图象的对称中心为， 由题设结论知为奇函数， 即为奇函数， 因为奇函数的偶次项系数为0，所以，解得， 所以，满足，为奇函数， 所以函数图象的对称中心为. （2），因为的图象关于原点对称，将其平移可知的图象的对称中心为. 根据对称中心的性质可知，当时，. 所以. 4．（23-24高一上·湖北孝感·期中）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. (1)求的值； (2)设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)4； (2)（ⅰ）， 故， 故函数的图像关于点对称； （ⅱ）. 【分析】（1）由对称性得到，故； （2）（ⅰ）计算得到，得到的图像关于点对称； （ⅱ）分离常数得到在上单调递增，求出的值域为，设在上的值域为，由题意得，分，和三种情况，结合对称性，得到的单调性，得到值域，结合得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】（1）函数的图像关于点对称， 故， 令得； （2）（ⅰ）略 （ⅱ）， 故在上单调递增，其中， ， 故的值域为， 设在上的值域为，由题意得， 图象开口向上，对称轴为，且， 当时， 若，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，故在上单调递增， 因为，所以， 所以，由得，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可知，或， 因为，所以， ， 又， 所以， 所以当时，满足； 当，即时，在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，故在上单调递减， 因为，所以， 所以，由得，解得， 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法， 一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 1．（2007·全国·高考真题）已知函数是定义在R上的函数，，则“均为偶函数”是“为偶函数”的（ ） A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 【答案】B 【分析】由函数，均为偶函数，推得，证得的充分性成立，再举例说明必要性不成立，即可得到答案． 【详解】由函数，均为偶函数，则， 又由，即， 所以为偶函数， 例如：函数，此时为偶数， 而函数都不是偶函数， 所以，均为偶函数是为偶函数的充分而不必要的条件． 故选B． 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和判定方法，以及合理利用举例说明是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 2．（2011·广东·高考真题）设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】A 【详解】由题设知:于是有 ， ， ， . 3．（2014·新课标Ⅰ·高考真题）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一说明即可. 【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，，故是奇函数，即A错误； 对于B，，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误； 故选：C. 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 5．（2021·全国甲卷·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值. 【详解】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键. 6．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 7．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 8．（2008·重庆·高考真题）若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是（ ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】C 【详解】x1=x2=0，则，， 令x1=x，x2=-x， 则， 所以， 即，为奇函数，故选C. 9．（2008·湖北·高考真题）已知在R上是奇函数，且，当时，，则（ ） A．-2 B．2 C．-98 D．98 【答案】A 【分析】根据题意可知函数的周期为，即可利用周期性和奇偶性将转化为，即可求出． 【详解】∵，∴是以4为周期的周期函数，由于为奇函数， ∴，而，即. 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数周期性和奇偶性的应用，属于基础题． 10．（2008·全国·高考真题）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由f(x)为奇函数可知， ＝<0. 而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0. 当x>0时，f(x)<0＝f(1)； 当x<0时，f(x)>0＝f(－1)． 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x<1，或－1<x<0.选D 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内 11．（2020·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 12．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 13．（2005·福建·高考真题）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且．则方程在在区间内解的个数的最小值是（ ） A．2 B．3 C．7 D．5 【答案】C 【分析】根据题意，根据函数奇偶性和周期性的关系进行推导即可． 【详解】∵是定义在R上的奇函数，且周期是3，f（2）＝0， 故f（−2）＝−f（2）＝0，f（1）＝f（−2）＝0，f（3）＝f（0）＝0， ∴f（5）＝f（2）＝0，f（4）＝f（1）＝0， 根据周期性，f（−1.5）＝f（−1.5＋3）＝f（1.5）， 再根据奇函数的性质可得f（1.5）＝−f（1.5）， ∴f（1.5）＝−f（1.5）＝0． 又f（4.5）＝f（4.5−3）＝f（1.5）＝0， 故在区间（0，6）内， f（1）＝0，f（1.5）＝0，f（2）＝0，f（3）＝0，f（4）＝0，f（4.5）＝0，f（5）＝0， 故选：C． 14．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 15．（2018·全国II卷·高考真题）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为是定义域为的奇函数，且， 所以, 因此， 因为，所以， ，从而，选C. 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 16．（2009·山东·高考真题）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小. 【详解】因为满足，所以， 所以函数是以8为周期的周期函数， 则. 由是定义在上的奇函数， 且满足，得. 因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数， 所以在区间上是增函数， 所以，即. 【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小． 17．（2017·全国I卷·高考真题）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是奇函数，故；又是减函数，， 即则有，解得，故选D. 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.2.2奇偶性（二) 目录 A组巩固过关 知识点01抽象函数的奇偶性 知识，点02函数的周期性 知识点03函数的对称性 知识点04根据汉书的对称性推导周期 知识点05根据函数的性质求解不等式 知识点06抽象函数的性质 知识，点07函数性质的综合应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组 巩固过关 知识占01 抽象函数的奇偶性 1 1.(2526高一上·江苏南京·期中)已知函数f(y)是定义在R上的偶函数，且f八x+2是奇函数，当 0≤x≤5时，)1-2x,则/()() A.-3 1 B.3 c.-3 1/13 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. (25-26高三上·安徽准北·期中)己知f(x+1)-1是定义在R的奇函数，当x>1时，f()=x之，则 f(-2)=() A.-25 B.-16 C.-14 D.16 3.(20-21高二下·云南玉溪·阶段检测)已知f(x+1)是偶函数，对任意，∈(-0,1，且x≠x,都 f（x）-<0,且f0)=0,f(x)>0的解集是() 有x一 A.（-o,0)U(2,+oo) B.(0,2) c.（-0,0) D.(2,+o) 4.(24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段检测)（多选）已知定义域为R的函数∫(x)在(-0，-)上为增函数， 且f(x-1)为偶函数，则() A.f(x)的图象关于直线x=-1对称 B.f()在(-l,+∞)上为增函数 C.f(0)=f(-2) o.1(-3)<f()<f 如识占02 函数的周期性 1. (25-26高二下·江西南昌·阶段检测)已知∫(x)是定义在R上且周期为4的函数，当2<x≤3时， f(x)=x2-4x,则f(-1)=() A.12 B.-12 C.3 D.-3 2.(2025-2026高二下·天津滨海·期末)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时， f=5-2则/)() A.-2 P. c.4 D. 3.(2026·河北唐山·模拟预测)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时， 2/13 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =5-2,则(9)-() 1 A.-2 1 C.4 D.2 4.(25-26高二下·浙江嘉兴·期末)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，当0≤x<2时， f(x)=x3-2x,则函数y=f(x)在区间[0,6)上的零点个数为() A.4 B.5 C.6 D.7 知识占n3 函数的对称性 1.(25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测)已知函数y=f(x-)是定义域为R的偶函数，且在[0，+∞) 上单调递减，则不等式(2x-)>f(x+2)的解集为() A.{x|-1<x<3} B.x<x<3 c{<3 D.{xx<3} 2.(25-26高一上·安徽·期末)（多选）设函数f(x)的定义域为R,函数f(x+2)为偶函数，函数 f(x+1)为奇函数，当x∈[0，时，f(x)=ar2-8x+c.若f(3)=f(2)+6,则() A.直线x=2是函数f(x)图象的对称轴 B.点（山，0）是函数f(x)图象的对称中心 C.a=2,c=6 3.(2026·河南郑州·模拟预测)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),且f(2x-1)为奇 函数，则一定有() A.f(0)=0 B.f(2)=0 c.f(3)=0 D.f(4)=0 4.(25-26高二下·云南昆明·期末)定义在R上的函数()，其图象关于点山，0)对称， 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f(x+1),x≥0， g(x)= -fx+1),x<0,则下列结论一定正确的是() A.g(x)为奇函数 B.g(x)为偶函数 C.g()图象关于点(2,0)对称 D.8(x)图象关于直线x=2对称 5.(24-25高一上·江苏无锡·期中)有同学发现：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的 充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.运用该结论解决以下问题： ①)直接写出函数（网-二的对称中心， 2)证明：函数g(x)=x+3x的对称中心为(-1,2)： 3)若函数h()=x-ar2+3-2x x-6的对称中心为1,4)求实数。、b的值. 知识占04 根据函数的对称性推导周期 1.(25-26高二下·河南南阳·期末)已知fw)是定义在R上的偶函数，且f(x+1)是奇函数，f(-2)=1, 则f(10)=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(24-25高二上·安徽·开学考试)（多选）已知定义域为R的函数f(x+)为奇函数，f()的图象关 于直线x=2对称，则() A.f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 B.∫(x)为奇函数 C.f(x)是周期为4的函数 D.f(2025)=0 3.(25-26高一上·安徽铜陵·期末)（多选）己知函数f(x),8()定义域均为R,f(x+1)为奇函数， g(x的图象关于x=-1对称，且f(x)=8(x-1)+2,则() A.f(1+x)+f(1-x)=0 B.8(0)+g(2)+g(3)=-6 C.函数8(x)图象关于点(2,2)对称 D.当8(0)=2时，f(2026)=4 4.(24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段检测)设函数f()的定义域为R,f(x-)为奇函数，fx+2)为 佣函数，当xe-12时，f=amr2+6若f0+B=0:且-4+6)-3”则） 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知边占05 根据函数的性质求解不等式 1. (2026·重庆沙坪坝·模拟预测)已知f(x)是定义在[4,4上的偶函数，且在[-4,0上为增函数，则 f(2x+1)sf()的解集为() [- R[3 c.[0,2] 引 2.(25-26高一上·浙江杭州·期末)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递减，若 f(4)=0,则不等式 f(四<0的解集是(） A.（-4,0)U(4,+0) B.（-0,-4)U(0,4) C.（-0,-4)U(4,+∞) D.(-4,4) 3.(25-26高一上·福建泉州·期中)若奇函数f(x)定义域为(-0,0)U(0,+∞)，在区间(-∞，0)上单调递 增且f(2)=0,则不等式(x-)f(x)<0的解集为() A.（-2,0U(12) B.（-2,0)U(2,+∞) c.(-∞，-2)U(1,2) D.（-0,-2U(0,2) 4.(25-26高二下·河北沧州·阶段检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x,x∈(-，0)且 :≠，都有[f()-f(,](:-)<0,且f(-5)=0,则不等式f(x)<0的解集是() A.（-0,-5)U(0,5) B.（-0,-5)U(5,+o) c.（-5,0U(5,+o) D.（-5,5) 5.(25-26高一下·天津河北·开学考试)已知函数f()是定义域在(-1，)上的奇函数，且在[0,1)上为 增函数，若f(a-2)+f(4-a)<0,则实数a的取值范围是 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识占06 抽象函数的性质 1·(25-26高一上·湖南怀化·期末)（多选）已知函数∫(x)对任意实数x,y都满足 fx+)+(x-)2(x)/0),且f)=2:则下列说法中正确的是() A.f(0)=0 B.f(x)2-1 c.f(x)是偶函数 D.f(x)是周期函数 2.(25-26高一上·安徽淮北·期末)（多选)已知函数f四的定义域为R，满足 f(x+)=f)+fy)+2y,当x>0时，f)>0,且f四=2，则() A.f(0)=0 B.f(x)是偶函数 C.f(x)在(0，+o)单调递增 D.f(x)≥12的解集为{xx≥3) 3.(25-26高一上·广东广州·期中)（多选）定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0时，f(x)>0,且()=-2，则下列说法正确的是() A.f(0)=0 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在R上单调递增 D.不等式f(x-1)-f(3-2x)s-4的解集为[2，+∞) 4.（25-26高一上·安徽马鞍山·期末)（多选）已知定义在（←0,0U(0,+0)上的函数y=f(x)满足 f(y)=f(x)+fy),且当x>1时，f(x)>0,则下列说法正确的是() A.f(1)=0 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)在(0，+o)上单调递增 D.关于x的不等式(x-0f()≥0的解集为[-l,0U(0,+∞) 5.(25-26高一上·海南·期末)已知函数f(x)对于任意实数x,yeR,都有f(x+y)=f(x)+f(y)-2, 且f(2)=4 (1)求f(0)的值： 2)令g(x)=f(x)2,求证：函数8(：)为奇函数： 3)求f(-2026)+f(-2025)+…+f(-1)+f(0)+f()+…+f(2025)+f(2026)的值 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识占07 函数性质的综合应用 1.（2526高一上·浙江杭州·期末)已知函数f)3 x,定义域为R的函数g(x)满足 g(-x)+g(x)=6,若函数y=f(x)与y=g()的图象有四个交点，分别为(xy1),(y2),(s), (x4,y4),则所有交点的横坐标与纵坐标之和为（） A.3 B.6 C.9 D.12 2.(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)（多选）已知函数(x)、g(x)的定义域均为R,且 f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=8(x)的图象关于直线x=2对称，g(4)=2,下列说法正确 的是( A.8(2+x)=g(2-x) B.y=8(x)的图象关于点(3,6)对称 c.f(0)=-5 D.f(1)+f(2)+…+f(26)=-28 3.(21-22高一上·重庆北碚·期末)（多选）己知函数y=f(2x+)-2为定义在R上的奇函数，又函数 8(x)=2r-1 x-1,且f()与g()的函数图象恰好有2022个不同的交点P(,y),B(x,乃)，B(x2,ym2) 则下列叙述中正确的是() A.f()的图象关于(2,2)对称 B.(x)的图象关于(1,2)对称 C.X+x32+…+x202=2022 D.y+y2+…+y2022=2022 4,(25-26高一上·山东青岛·期末)（多选）己知函数f(x),8(x)的定义域均为R,且 f(x)+g(2-x)=5,g(x)f(x-4)=7,若g(x)的图象关于直线x=2对称，则() A.f(x)的图象关于点(-l,-1)对称 B.8(3)=5 C.f(x)的图象关于直线x=0对称 D.g(-2025)=6 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 一、单选题 1.(2025·福建泉州·模拟预测)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(),且当0<x≤1时， 11 f)=-2+x,则/2() 1 A B.-2 D.4 2.(2526高一上·四川广安·期中)奇函数f(x)是定义域为(-3,3)上的增函数.且 f(2a+1)+f(a-2)>0,则a的取值范围是( a3j a. c.（-3,+∞）， D.(-3,) 3.(25-26高一下·江西宜春·阶段检测)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当 x∈(0，时，f(x)=1-x,则错误的是() A.f(x)满足f(x+4)=f(x) B.f(x)在(1，)上单调递减 C.f(x)的图象关于直线x=3对称 D.f(x)的图像关于点(2,0)对称 4.(25-26高三上·江苏无锡·期末)若奇函数f()在R上单调递减，且f()=2,则满足 -2≤f(x-I)≤2的x的取值范围是() A.[-2,2] B.1,] c.[0,2] D.,3] 5.(25-26高一上·河北唐山·期中)若定义在R上的奇函数f(x)在(0，+∞)上是增函数，且f(-3)=0, 则对()<0的解集为() A.{x-3<x<3} B.{xx>3或x<-3到 C.{x-3<x<0或0<x<3} D.{xx<-3或0<x<3} 6.(25-26高一上·湖北荆州·期末)已知f(x)是定义域为(（-，+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x), 8/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若f)=3,则f(0)+f(2)+f(3)++f(50)=（) A.-50 B.0 C.3 D.50 二、多选题 7.(25-26高一上·四川眉山·期末)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f()=f(2-x),当0<x≤1 时，()=2-x,则() A.函数f(x)图象关于直线x=2对称 B.f(2026)=0 C.函数f(x)图象关于点(2,0)中心对称 D.当-1≤x≤0时，f()=-x2+x 8.(25-26高一上·湖南常德·期末)已知函数f(x)的定义域为R(f(x)不恒为0)，且f(x-1)是奇函 数，f(x+)是偶函数，则() A.f(-1)=0 B.f(x)的一个周期为4 C.f()图象的一个对称中心为(1,0) D.f(1)+f(2)+…+f(2024)=0 三、填空题 9.(25-26高三·全国·一轮复习)已知函数y=f(:)的图象既关于直线x=1对称，又关于点(2,0)对称， 且当xe0.]时，f()=2024,则/2027)= 10.(2026·江苏南京·模拟预测)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=3对称，且 f+0-=0:当e4则，f=-.则/）= 四、解答题 11.(23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末)函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要 条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对 称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. (1)求函数f(x)=x-6r2图象的对称中心： 9113 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②)根据第(1)间的结论，求f(-100)+f(-99)++f()+f(2)+f(3)++f(103)+f(104)的值： (3)类比上述推广结论，写出“函数y=∫(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶 函数”的一个推广结论 C组 思维拔高 1.(25-26高一上·陕西西安·期末)我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充 要条件是y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(,b)成中心对称图 形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.若f(x)=x+3x2,则 f(-100)+f(-98)+f(96)+…+f(-2)+f(0)+f(2)+f(4)+…+f(94)+f(96)+f(98)=() A.400 B.200 C.198 D.396 2.(25-26高一上·安徽马鞍山·期末)（多选）已知定义在(-∞，0)U(0,+0)上的函数y=f(x)满足 f(y)=f(x)+fy),且当x>1时，f()>0,则下列说法正确的是() A.f(1)=0 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)在(0，+o)上单调递增 D.关于x的不等式(x-)f(,≥0的解集为-l,0U(0,+o) 3.(25-26高一上·海南·阶段检测)我们知道，函数y=f()的图象关于坐标原点成中心对称图形的充 要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数f()的图象关于点P(a,b)成中心对称 图形的充要条件是函数y=f(x+)-b为奇函数.根据以上信息解决下列问题： (1)求函数f(x)=x+3x2图象的对称中心； ②)》已知函数f)=2r x-1 写出f(x)图象的对称中心，并求 f(-2023)+f(-2022)+…+f(-1)+f(0)+f(2)+f(3)++f(2024)+f(2025)的值. 4.(23-24高一上·湖北孝感·期中)“函数p(x)的图像关于点(m,n)对称”的充要条件是“对于函数 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 p()定义域内的任意x,都有p(x)+p(2m-)=2n”.若函数f(x)的图像关于点（山，2）对称，且当x∈[0，刂 时，f(x)=x2-ar+a+l (1)求f(-)+f(3)的值： ②设面数) (1)证明：函数8(x)的图像关于点(2，-2)对称； (i)若对任意x[0,2],总存在5-2,3， 使得f(x)=g(:,)成立，求实数a的取值范围. 拓展 链接高考 1.(2007·全国·高考真题)已知函数f(),g(x)是定义在R上的函数，h(x)=f()+g(),则“ f(x),g()均为偶函数”是“hx)为偶函数”的() A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 2.(2011·广东·高考真题)设函数fx)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 () A.f(x)+|g(x)川是偶函数 B.f(x)g(x)川是奇函数 c.|f(x)川+g(x)是偶函数 D.1f(x)川-g(x)是奇函数 3.(2014·新课标I·高考真题)设函数f(),g(:)的定义域为R,且f(x)是奇函数，8(c)是偶函数， 则下列结论中正确的是() A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(xg(x)是奇函数 c.f(x)g(x是奇函数 D.f(x)g(x)是奇函数 4.(2025·全国一卷·高考真题)已知(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时， =5-2x则（引(） A.-2 B.-4 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &.8 5.(3021·全国甲卷·商考真慰)设/()是定义城为R的奇函数.且f0+对)=若f)号 则)( ) 1 B.3 6.(2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数，f(2x+)为 奇函数，则() 》-0 B.f(-1)=0 c.f(2)=0 D.f(4)=0 .(2021·全国乙卷·高考真题)设函数f)=1-X 14, 则下列函数中为奇函数的是() A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 c.f(x+)-1 D.f(x+1)+1 8,(2008·重庆·高考真题)若定义在R上的函数f()满足：对任意x,∈R有 f(x+x)=f(x)+f(x2)+1则下列说法一定正确的是() A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f()+1为偶函数 9.(2008·湖北·高考真题)已知f(x)在R上是奇函数，且f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时，f(x)=2x2, 则f(7)=() A.-2 B.2 C.-98 D.98 10.(2008·全国·高考真题)设奇函数f)在(0，+∞)上为增函数，且f0)=0,则不等式 f)-f-0<0的解集为 A.(-1,0)U(1,+∞) B.(-o,-1)(0,1) C.(-00,-1)U(1,+o) D.(-1,0)U(0,1) 11.(2020·海南·高考真题)若定义在R的奇函数f(x)在(0,0)单调递减，且f(②)=0，则满足 12/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f(x-)≥0的x的取值范围是() A.[-1,1]U[3,+o) B.[-3,-1U[0,] c.[-1,0U[l,+o) D.[-1,0]U[1,3] 12.(2026·全国二卷·高考真题)已知(x)是定义域为R的偶函数，f()+f(c-2)=0,且当 [所，阳46：别() A.a=-2,b=-3 B.a=-2,b=3 C.a=-4,b=-3 D.a=-4,b=3 13.(2005·福建·高考真题)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0.则方程在 f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( A.2 B.3 C.7 D.5 14.(2021·全国甲卷·高考真题)设函数f()的定义域为R,f(c+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数， 当xs2]时，网=a+6若r0+f)=6则)=() 9 3 A.4 B.-2 > C.4 D.2 15.(2018·全国II卷·高考真题)已知f(x)是定义域为-0，+oo)的奇函数，满足f(1-X)=f(1+).若 f四)=2，则f0+f2)+f3)++f50)=() A.-50 B.0 C.2 D.50 16.(2009·山东·高考真题)己知定义在R上的奇函数f()满足f(x-4)=-f(w),且在区间[0,2]上是增 函数，则() A.f(-25)<f11)<f(80) B.f(80)<f11)<f(-25) c.f1l)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f11) 17.(2017·全国I卷·高考真题)函数f(x)在（一∞，+∞）单调递减，且为奇函数，若f0四=-l,则满足 -1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是() A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.1,3] 13/13 分层作业 3.2.2奇偶性（二） 参考答案 ( 知识点0 1 )抽象函数的奇偶性 1．A；2．C；3．A；4．AD ( 知识点0 2 )函数的周期性 1．D；2．D；3．A；4．C ( 知识点0 3 )函数的对称性 1．A；2．ABC；3．C；4．B 5．【答案】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）略 （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 因为时，函数的定义域为x≠,不关于对称，故舍去， 所以解得. ( 知识点0 4 )根据函数的对称性推导周期 1．C；2．ACD；3．ABD；4． ( 知识点0 5 )根据函数的性质求解不等式 1．A；2．A；3．A；4．B；5． ( 知识点0 6 )抽象函数的性质 1．BCD；2．AC；3．ABD；4．ACD 5．【答案】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 所以， 即，所以函数为奇函数. （3）由（2）知，，，则 ( 知识点0 7 )函数性质的综合应用 1．D；2．ABC；3．BC；4．ACD 一、单选题 1．D；2．B；3．B；4．C；5．C；6．C 二、多选题 7．BC；8．ACD 三、填空题 9．；；10．/ 四、解答题 11．【答案】（1）设的对称中心为点，， 则为奇函数，即， ， ，即， ， 整理得，， ，解得，即， 函数图象的对称中心为； （2）由（1）知，， ， 且， ； （3）推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. 1．B；2．ACD 3．【答案】（1）设图象的对称中心为， 由题设结论知为奇函数， 即为奇函数， 因为奇函数的偶次项系数为0，所以，解得， 所以，满足，为奇函数， 所以函数图象的对称中心为. （2），因为的图象关于原点对称，将其平移可知的图象的对称中心为. 根据对称中心的性质可知，当时，. 所以. 4．【答案】（1）函数的图像关于点对称， 故， 令得； （2）（ⅰ）略 （ⅱ）， 故在上单调递增，其中， ， 故的值域为， 设在上的值域为，由题意得， 图象开口向上，对称轴为，且， 当时， 若，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，故在上单调递增， 因为，所以， 所以，由得，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可知，或， 因为，所以， ， 又， 所以， 所以当时，满足； 当，即时，在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，故在上单调递减， 因为，所以， 所以，由得，解得， 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法， 一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 1．B；2．A；3．C；4．A；5．C；6．B；7．B；8．C；9．A 10．D；11．D；12．D；13．C；14．D；15．C；16．D；17．D 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $