精品解析：2022年山东省潍坊市诸城市皇华初级中学中考考前适应性数学练习 (1)

2022年初三数学中考考前适应性练习 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下面四个数中比小的数是（ ） A. －1 B. －2 C. －3 D. －4 2. 如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，这两棵树之间的坡面距离AB长为6m，则它们之间的水平距离AC长为（　　） A. 3m B. 3m C. 4m D. 6m 3. 近似数1.32×10是精确到（ ） A. 百分位 B. 百位 C. 个位 D. 十分位 4. 已知菱形ABCD的边长为方程x2﹣7x+10＝0的一个根，有一条对角线为5，则这个菱形的周长为（　　） A. 8 B. 20 C. 8或20 D. 10 5. 如图是一个由7个同样的立方体叠成的几何体，则这一几何体的三视图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 俯视图 B. 主视图 C. 俯视图和左视图 D. 主视图和俯视图 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一组数据2，4，3，5，2的中位数是（ ） A. 5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 8. 小聪上午8：00从家里出发，骑“共享单车“去一家超市购物，然后从这家超市原路返回家中，小聪离家的路程（米）和经过的时间（分）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 从小聪家到超市的路程是1300米 B. 小聪从家到超市的平均速度为100米/分 C. 小聪在超市购物用时35分钟 D. 小聪从超市返回家中的平均速度为26米/分 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 9. 化简：（1）_____； （2）_____； （3）_____；（4）_____； （5）_____；（6）_____； （7）_____；（8）_____． 10. 如图，在直角坐标系中，点A是函数图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作．已知点，连接，线段与x轴所成的角为锐角，当与两坐标轴同时相切时，的值为__________． 11. 如图，在中， （1）作AB和BC的垂直平分线交于点O； （2）以点O为圆心，OA长为半径作圆； （3）⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N； （4）连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P. 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中， ①； ②； ③点O是的外心 ； ④点P是的内心. 所有正确结论的序号是___________. 12. 抛物线（）的对称轴为，经过点（1，n），顶点为P，下列四个结论： ①若，则； ②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点； ③方程一定有两个不相等的实数解； ④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线PC始终过定点（3，n）． 其中正确的是_________（填写序号）． 三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分） 13. 如图，当x_____时，；当y_____时，． 14. 的解有_____个． 15. 如图，在平面直角坐标系中，从点，，…依次扩展下去，则的坐标为_______________． 16. 如图，已知反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象，过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，y轴于点D，连接AC，BD，则＝_____． 四．解答题（共7小题，满分68分） 17. (1) (2)已知正比例函数x的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是． ①求反比例函数解析式； ②当时，求反比例函数的取值范围． 18. 如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：，，） 19. 某县九年级一模考试结束后，张老师依据一班考试成绩（单位：分）绘制了频数分布直方图（如图所示） 根据频数分布直方图，解答下列问题． （1）填空：该班有_____人，根据直方图估算该班一模考试数学平均成绩是_____分； （2）请在所给半径为2的圆中，画出成绩在70≤x＜80的人数对应的扇形，并求出该扇形的面积； （3）从成绩在20≤x＜30和90≤x＜100的学生中任选2人，明明的成绩是91分，聪聪的成绩是28分，用树状图或列表法列出所有可能结果，并求明明、聪聪同时被选中的概率． 20. 为了推进乡村振兴道路，解决特产销售困难的问题，云南某乡政府在芒果成熟后，帮助果农引进芒果经销商．已知某经销商从果农处进购芒果的成本价为4元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分． （1）求每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系； （2）当销售单价为多少时，该经销商每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2．AD⊥BC于D．E为边BC上的一个（不与B、C重合）点，且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF相交于点F． （1）填空：AC＝_____；∠F＝______． （2）当BD＝DE时，证明：△ABC≌△EAF． （3）△EAF面积的最小值是____． （4）当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的范围_____． 22. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线与y轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作垂直于点G，作平行于x轴交直线于点H，求周长的最大值及F点坐标； （3）点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标． 23. 【材料阅读】 我们曾解决过课本中的这样一道题目： 如图1，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，延长BA至F，使AF＝CE，连接DE，DF．…… 提炼1：△ECD绕点D顺时针旋转90°得到△FAD； 提炼2：△ECD≌△FAD； 提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式． 【问题解决】 （1）如图2，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠，点C落在G处，EG交AB于点F，连接DF． 可得：∠EDF＝　 　°；AF，FE，EC三者间的数量关系是　 　． （2）如图3，四边形ABCD的面积为8，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，连接AC．求AC的长度． （3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E在边AB上，∠DCE＝45°．写出AD，DE，EB间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年初三数学中考考前适应性练习 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下面四个数中比小的数是（ ） A. －1 B. －2 C. －3 D. －4 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数大小比较的法则比较即可． 【详解】根据有理数比较大小的方法，可得 ﹣|﹣3|=﹣3＜﹣1， ﹣3＜﹣2， ﹣3=﹣3， ﹣3＞﹣4， ∴四个数中比﹣3小的数是﹣4． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答本题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2. 如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，这两棵树之间的坡面距离AB长为6m，则它们之间的水平距离AC长为（　　） A. 3m B. 3m C. 4m D. 6m 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值即可求出AC的长 【详解】根据题意可知： ∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6m， ∴AC＝AB•cos30°＝6×＝3（m）． 答：它们之间的水平距离AC长为3m． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是掌握解直角三角形的方法． 3. 近似数1.32×10是精确到（ ） A. 百分位 B. 百位 C. 个位 D. 十分位 【答案】B 【解析】 【分析】将近似数还原为原数，根据数字2所在的位置即可得到精确的数位. 【详解】1.32×10=13200，数字2在百位， ∴近似数1.32×10精确到百位， 故选：B. 【点睛】此题考查了近似数的精确数位，将用科学记数法表示的近似数还原后找到a中最后一个数字所在的数位即是近似数精确的数位. 4. 已知菱形ABCD的边长为方程x2﹣7x+10＝0的一个根，有一条对角线为5，则这个菱形的周长为（　　） A. 8 B. 20 C. 8或20 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据解一元二次方程的步骤求出菱形的边长，然后根据三角形的三边关系对菱形的边长进行验证，最后根据菱形的周长公式计算即可． 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵x2﹣7x+10＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x﹣5）＝0， 解得：x1＝2，x2＝5， 分两种情况： ①当AB＝AD＝2时，2+2＝4，不能构成三角形； ②当AB＝AD＝5时，可以构成三角形． ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程，三角形的三边关系，菱形的周长，熟练掌握这些知识点是解题关键． 5. 如图是一个由7个同样的立方体叠成的几何体，则这一几何体的三视图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 俯视图 B. 主视图 C. 俯视图和左视图 D. 主视图和俯视图 【答案】A 【解析】 【详解】画出三视图，由此可知俯视图既是轴对称图形又是中心对称图形，故选A. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】∵解不等式得：x＞1， 解不等式得：x＜-2， 在数轴上表示为： ， ∴不等式组无解， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 7. 一组数据2，4，3，5，2的中位数是（ ） A. 5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】把这组数据从小到大的顺序排列，取最中间位置的数就是中位数． 【详解】把这组数据从小到大的顺序排列：2，2，3，4，5，处于最中间位置的数是3， ∴这组数据的中位数是3， 故选：C． 【点睛】本题考查了求中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键． 8. 小聪上午8：00从家里出发，骑“共享单车“去一家超市购物，然后从这家超市原路返回家中，小聪离家的路程（米）和经过的时间（分）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 从小聪家到超市的路程是1300米 B. 小聪从家到超市的平均速度为100米/分 C. 小聪在超市购物用时35分钟 D. 小聪从超市返回家中的平均速度为26米/分 【答案】C 【解析】 【分析】仔细观察图象的横纵坐标所表示的量的意义，从而进行判断 【详解】解:A.由图可知，从小聪家到超市的路程是1800米，故该选项错误； B. 小聪从家到超市的平均速度为1800÷10=180米/分，故该选项错误； C. 小聪在超市购物用时35分钟，故该选项正确； D. 小聪从超市返回家中的平均速度为米/分，故该选项错误. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的图象，能够仔细读图并从中整理出进一步解题的有关信息是解答本题的关键，难度不大． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 9. 化简：（1）_____； （2）_____； （3）_____；（4）_____； （5）_____；（6）_____； （7）_____；（8）_____． 【答案】 ①. ②. ## ③. ④. ⑤. ⑥. ⑦. ## ⑧. 【解析】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 10. 如图，在直角坐标系中，点A是函数图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作．已知点，连接，线段与x轴所成的角为锐角，当与两坐标轴同时相切时，的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】当圆A在第二象限时，，设与x轴切于点D，，计算即可；当圆A在第四象限时，，设与x轴切于点E，，计算即可． 【详解】解：当圆A在第二象限时， ∵点A是函数图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作, ∴当时，设与x轴切于点D，，， ∴； 当圆A在第四象限时，， 设与x轴切于点E，，， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，切线的性质，三角函数，熟练掌握切线的性质，灵活运用三角函数是解题的关键． 11. 如图，在中， （1）作AB和BC的垂直平分线交于点O； （2）以点O为圆心，OA长为半径作圆； （3）⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N； （4）连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P. 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中， ①； ②； ③点O是的外心 ； ④点P是的内心. 所有正确结论的序号是___________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】(1)点O是圆心,ON是半径,由垂径定理得 ,可知 (2) 中,AM=BM,AM+BM=2AM>AB,该结论错误. (3)三角形三边中垂线的交点是外心,正确. (4) 由垂径定理知,所以∠BAN=∠CAN,同理∠BCM=∠ACM,即AN,CM分别为∠BAC和∠ACB的角平分线,因此点P是的内心. 【详解】(1)∵O是的AB边与BC边的中垂线OM、ON的交点，故点O是外接圆圆心,ON是半径,由垂径定理得 ,∴ (2)在 中,AM=BM,由三角形两边之和大于第三边可得AM+BM=2AM>AB,该结论错误. (3) O是的AB边与BC边的中垂线OM、ON的交点，故点O是外接圆圆心,正确. (4) 由垂径定理知,∴∠BAN=∠CAN,同理∠BCM=∠ACM,即AN,CM分别为∠BAC和∠ACB的平分线,因此点P是的内心. 【点睛】本题考查了三角形外心,内心及垂径定理的应用，属于基础知识范畴，难度一般. 12. 抛物线（）的对称轴为，经过点（1，n），顶点为P，下列四个结论： ①若，则； ②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点； ③方程一定有两个不相等的实数解； ④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线PC始终过定点（3，n）． 其中正确的是_________（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用抛物线的对称轴为顶点b=2a，将（1，n）代入解析式得到a+b+c=n，即3a+c=n，n-c=3a，，由此判断①正确；利用∆判断②正确；求出∆，根据a=c，ac判断③错误；求出点P，点C坐标，得到直线PC的解析式，计算当x=3时y=n-c+c=n，判断④正确． 【详解】解：∵抛物线（）的对称轴为， ∴，即b=2a， ∵抛物线过点（1，n）， ∴a+b+c=n，即3a+c=n， ∴n-c=3a，， 若a<0，则n-c<0，即n<c，故①正确； ∆== =4a（a-c） = =， ∵c、n异号， ∴∆>0，则抛物线与x轴有2个交点，故②正确； 方程， ∆=， 当a=c时，∆=0，方程只有一个实数根； 当ac时∆>0，方程有2个实数根，故③错误； ∵P为抛物线顶点， ∴P坐标为（-1，-a+c）， ∵点C坐标为（0，c）， 直线PC的解析式为y=ax+c， 又，则y=x+c， 点（3，n）， 当x=3时y=n-c+c=n， ∴直线PC始终过（3，n），故④正确． 故答案为①②④． 【点睛】此题考查了抛物线的对称轴公式，抛物线与x轴交点情况，利用一元二次方程根的判别式确定方程的根的情况，二次函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分） 13. 如图，当x_____时，；当y_____时，． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据函数图象即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，，当时，． 14. 的解有_____个． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况考虑：底数为；指数为，底数不为，分别求出解即可． 【详解】解：当，即时，方程成立； 当，即时，指数中分母为，不合题意； 当，时， 整理得：，即，， 解得：， 经检验是分式方程的解， 综上，方程的解为或，共个． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解分式方程，绝对值，以及零指数幂，熟练掌握各自的性质及分式方程的解法是解本题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，从点，，…依次扩展下去，则的坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在D第三象限，被4除余3的点在第四象限，点的在第二象限，且纵坐标，再根据第二项象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：根据题意可得到规律，，，……， ， 由规律可得，， ∴点， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的大致位置，该位置处点的规律，然后就可以进一步推得点的坐标． 16. 如图，已知反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象，过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，y轴于点D，连接AC，BD，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】设点P的坐标，根据两个解析式表示出点C，A，B，D的坐标，并证明，，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，得到的比值． 【详解】解：设 ∵过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，y轴于点D， ∴C的纵坐标为，A的横坐标为 将C，A坐标代入中得， ∴ 则， ∵ ∴ ∴ 故填：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，熟知几何条件与函数条件的转化是解题的关键． 四．解答题（共7小题，满分68分） 17. (1) (2)已知正比例函数x的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是． ①求反比例函数解析式； ②当时，求反比例函数的取值范围． 【答案】(1)5；(2)①；② 【解析】 【分析】（1）首先计算特殊角的三角函数值，计算乘方，进行开方，然后合并同类二次根式即可求解； （2）①把代入，求得函数的交点坐标，然后把交点坐标代入反比例函数的解析式即可求得反比例函数； ②求出当和时，反比例函数的函数值，即可确定． 【详解】解：（1）原式 ； （2）①把代入得：，则交点坐标是：，， 代入得：，解得：， 则函数的解析式是：； ②当时，； 当时，， 则反比例函数y的取值范围是：． 【点睛】本题考查了零指数幂以及负指数幂，反比例函数与一次函数的交点，正确求得函数的解析式是关键． 18. 如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：，，） 【答案】有危险；渔船自B处开始，沿南偏东小于45度的方向航行，能够安全通过这一海域． 【解析】 【分析】过点P作PC垂直于AB所在直线，垂足为C，分别在和中利用三角函数用PC表示BC和AC的长度，得到，求解PC的长度，与比较即可得出结论． 【详解】解：如图，过点P作PC垂直于AB所在直线，垂足为C， 根据题意可得，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∵， ∴如果渔船不改变航向有触礁的危险， ∵， ∴若改变航向，刚好到暗礁区域边界时的， 此时， 即如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东小于45度的方向航行，能够安全通过这一海域． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 19. 某县九年级一模考试结束后，张老师依据一班考试成绩（单位：分）绘制了频数分布直方图（如图所示） 根据频数分布直方图，解答下列问题． （1）填空：该班有_____人，根据直方图估算该班一模考试数学平均成绩是_____分； （2）请在所给半径为2的圆中，画出成绩在70≤x＜80的人数对应的扇形，并求出该扇形的面积； （3）从成绩在20≤x＜30和90≤x＜100的学生中任选2人，明明的成绩是91分，聪聪的成绩是28分，用树状图或列表法列出所有可能结果，并求明明、聪聪同时被选中的概率． 【答案】（1）40，62.25；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图，已知每个阶段的人数，加起来就是总人数，平均成绩是每个阶段的成绩的总和除以总人数 （2）用70≤x＜80的人数除以总人数得到该组所占的百分比，然后用圆的面积乘以这个百分比即可得到成绩在60≤x<70的人数对应的扇形面积； （3）先画出树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出有两个人的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）该班人数为：3+5+7+2+4+8+9+2=40（人）， 平均成绩=（3×25+5×35+7×45+2×55+4×65+8×75+9×85+2×95）=62.25（分）； 故答案为40；62.25； （2）扇形圆心角度数为：×360°=72°，如图所示： 该扇形的面积为=； （3）20≤x＜30的同学用A、B、C表示，聪聪记为A，90≤x＜100的两名同学用D、E表示，明明记为D，画树状图为： 由图可得，共有20种等可能的结果，其中明明、聪聪同时被选中的情况有2种， ∴明明、聪聪同时被选中的概率为=． 【点睛】频率分布直方图，扇形统计图，列表法与树状图法． 20. 为了推进乡村振兴道路，解决特产销售困难的问题，云南某乡政府在芒果成熟后，帮助果农引进芒果经销商．已知某经销商从果农处进购芒果的成本价为4元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分． （1）求每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系； （2）当销售单价为多少时，该经销商每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为16时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分段求出二次函数和一次函数解析式合起来即可求出整个函数解析式； （2）设利润为w元，分段表示出利润的表达式，求出各段的利润最大值进行比较即可． 【小问1详解】 当4≤x≤8时，设y与x的函数关系式为， ∵点（4，40）在该函数图象上， ∴，得k＝160， ∴当4≤x≤8时，y与x的函数关系式为， 当8＜x≤28时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b， ， 解得， 即当8＜x≤28时，y与x的函数关系式为， 由上可得； 【小问2详解】 解：设利润为w元， 当4≤x≤8时，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝8时，w取得最大值，此时， 当8＜x≤28时，， ∴当x＝16时，w取得最大值，此时w＝144， ∵144＞80， ∴当销售单价为16时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是144元， 答：当销售单价为16时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【点睛】本题考查了分段函数的实际应用，是二次函数和一次函数的综合题，求出分段函数解析式是做出本题的关键． 21. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2．AD⊥BC于D．E为边BC上的一个（不与B、C重合）点，且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF相交于点F． （1）填空：AC＝_____；∠F＝______． （2）当BD＝DE时，证明：△ABC≌△EAF． （3）△EAF面积的最小值是____． （4）当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的范围_____． 【答案】（1）2，30°；（2）见解析；（3）；（4）． 【解析】 【分析】（1）利用∠B的正切值可求出AC的长；根据直角三角形两锐角互余的关系即可求出∠F的度数； （2）根据垂直平分线的性质可得AB=AE，利用ASA即可证明△ABC≌△EAF； （3）由∠EAF=60°，∠AEF=90°可得EF＝AE，进而可得AE⊥BC时△EAF面积最小，利用∠B的正弦可求出AE的值，进而可求出△EAF的面积； （4）如图，当△EAF的内心在AC边上时，设内心为N，根据内心的定义可知∠EAC=30°，可求出∠BAE=60°，可证明△BAE是等边三角形，可求出AE=AB=2，由（1）可知AC=2，即可得出AE的取值范围． 【详解】（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，tanB＝， ∴AC＝AB•tanB＝2tan60°＝2； ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∵∠EAF＝∠B＝60°， ∴∠F＝90°﹣∠EAF＝90°﹣60°＝30°． 故答案为：2，30°； （2）当BD＝DE时， ∵AD⊥BC于D， ∴AB＝AE， ∵∠AEF＝90°，∠BAC＝90°， ∴∠AEF＝∠BAC， 在△ABC和△EAF中，， ∴△ABC≌△EAF（ASA）； （3）∵∠AEF＝90°，∠EAF＝60°，tan∠EAF＝， ∴EF＝AE•tan∠EAF＝AE•tan60°＝AE， ∴S△EAF＝AE•EF＝AE×AE＝AE2， 当AE⊥BC时，AE最短，S△EAF最小，此时∠AEB＝90°，sinB＝， ∴AE＝AB•sinB＝2sin60°＝2×＝， S△EAF＝AE2＝×3＝， ∴△EAF面积的最小值是， 故答案为：； （4）设△EAF的内心为N， ∵∠AEF=45°，∠B=30°，E为BC上的一点，不与B、C重合， ∴EN与AC一定有交点， 如图：当△EAF内心恰好落在AC上时，连接EN， ∵N是△EAF的内心， ∴AN平分∠EAF，EN平分∠AEF， ∴∠EAC＝∠AEF＝×60°＝30°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°﹣30°＝60°， ∵∠B＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝2， ∵E为BC上的一点，不与B、C重合，由（1）可知AC＝2， ∴当△EAF的内心在△ABC的外部时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、解直角三角形、三角形内心的定义及等边三角形的判定与性质，熟练掌握三角函数的定义是解题关键． 22. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线与y轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作垂直于点G，作平行于x轴交直线于点H，求周长的最大值及F点坐标； （3）点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标． 【答案】（1） （2）的周长最大值为 ，； （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线对称轴为直线，进而求出点D坐标，可得直线解析式为：，则，证明，进而得到，则是等腰直角三角形，推出；设点F坐标，则点H坐标，则，则的周长，由二次函数的性质可得当时，的周长有最大值，最大值为 ，此时点F的坐标为； （3）先求出顶点M的坐标为，则；设，则，，由矩形的性质可得是直角三角形，故可分当时， 当时， 当时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中得： 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵D、C关于对称轴对称，点C坐标， ∴点D坐标， 设直线解析式为， ∴， ∴ ∴直线解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点F坐标，则点H坐标， ∴， ∴的周长 ， ∵， ∴当时，的周长有最大值，最大值为 ，此时点F的坐标为； 【小问3详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴顶点M的坐标为， ∴； 设， ∴，， ∵以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形， ∴是直角三角形， 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于根据矩形的性质得到是直角三角形，进而利用勾股定理建立方程求解即可． 23. 【材料阅读】 我们曾解决过课本中的这样一道题目： 如图1，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，延长BA至F，使AF＝CE，连接DE，DF．…… 提炼1：△ECD绕点D顺时针旋转90°得到△FAD； 提炼2：△ECD≌△FAD； 提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式． 【问题解决】 （1）如图2，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠，点C落在G处，EG交AB于点F，连接DF． 可得：∠EDF＝　 　°；AF，FE，EC三者间的数量关系是　 　． （2）如图3，四边形ABCD的面积为8，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，连接AC．求AC的长度． （3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E在边AB上，∠DCE＝45°．写出AD，DE，EB间的数量关系，并证明． 【答案】（1）45°，AF+EC＝FE；（2）AC＝4；（3）AD2+BE2＝DE2，证明详见解析 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得△CDE≌△GDE，可得CD＝DG，∠CDE＝∠GDE，∠DCE＝∠DGE＝90，证明Rt△DAF≌Rt△DGF，可得∠ADF＝∠GDF，AF＝FG．则结论得出； （2）延长CD到E，使DE＝BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC，可得AE＝AC，∠EAD＝∠CAB．则答案可求出； （3）将△ACD绕点C逆时针旋转90得到△BCH，连接EH．证明△CEH≌△CED．可得EH＝ED．可求得∠EBH＝90．可得出HB2＋BE2＝EH2．则结论得出． 【详解】（1）由折叠的性质可得△CDE≌△GDE， ∴CD＝DG，∠CDE＝∠GDE，∠DCE＝∠DGE＝90， 在Rt△DAF和Rt△DGF中， ， ∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL）， ∴∠ADF＝∠GDF，AF＝FG． ∴∠EDF＝∠EDG+∠FDG＝＝45， EF＝FG+EG＝AF+EC； 故答案为：45，AF+EC＝FE． （2）如图，延长CD到E，使DE＝BC，连接AE． ∵AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90， ∴△ADE≌△ABC（SAS）， ∴AE＝AC，∠EAD＝∠CAB． ∴∠EAC＝90． ∵四边形ABCD的面积为8，可得△ACE的面积为8． ∴． 解得，AC＝4(-4舍去)． （3）AD2+BE2＝DE2．证明如下： 如图2：将△ACD绕点C逆时针旋转90得到△BCH，连接EH． ∴DC＝HC，∠DCE＝∠ECH＝45，∠CAD＝∠CBH＝45， ∵CE＝CE， ∴△CEH≌△CED（SAS）． ∴EH＝ED． ∴∠ABC+∠CBH＝∠EBH＝90． ∴HB2+BE2＝EH2． ∵AD＝BH， ∴AD2+BE2＝DE2． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行计算求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $