辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

沈阳市回民中学2028届高一下学期期末考试试题 数 学 试卷满分：150分时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共计40分） 1.已知cos(a+P)=-1,s血as8=子，则ama:amB=（) A.5 B.3 c D 2.已知向量a=(3,1),i=(1,1),则cos(a+i,a-)=() A B.7 17 C. 5 D.25 5 3.已知A>0,@>0,回<号，函数y=Asim(@x+p)的部分图象如图所示， 则该函数的 表达式是() 12 6 A.y=2sin 2x B.y=2sin 6 C.y=2sin 2+周 D.y=2sin 2x- 4若sin(元+a)=,则cos2a=（） 7 B. 25 c D.-24 5.函数y=tam2x+ 的图象可由函数y=tan2x的图象()个单位得到 6 A.向右平移若 B.向右平移 2 C.向左平移 D.向左平移 2 6.已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，侧面积为3√2元，母线长为√2，则圆台的 体积为() A号 B 3 C.5元 D.7π 7.若复数z满足|z=1,则|z-2的最大值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 试卷第1页，共4页 8.在锐角△ABC中，已知2+c2-a=cosC+cosB a=6,则△4BC周长的取值范围为 bc a ()A.(12,+∞）B.(12,18]C.(63+6,18]D.(63+6,+∞） 二、多选题（每题6分，按选择项平均给分，多选不得分，共计18分。） 9.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若cos2A+cosA=0,BC=3BD, 且AD=2,则() AA=号 B.而-+号C C.b2+2bc+4c2为定值 D.△ABC面积的最大值为3V5 10.下列说法正确的是（) A.已知向量a=(1,1),b=（x,2),且a⊥6，则x=-2 B.向量a=(2,3),6=(x,2),则“a,6的夹角为锐角”是“x>-3”的充要条件 C.若2OA+OB+3OC=0,S。Aoc、SABc分别表示△AOC、△ABC的面积，则 SMOC:S△MBc=1:5 D.在△ABC中，向量AB与AC满足 AB AC BC=0,且 BABC-⊥ ☑B2，则aBC 为等边三角形 11.如图，正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，E,F,G分别为BC,CC,BB,的中点， 则下列说法正确的有() D B A D E B A.三楼锥C-ABF的体积为 B.直线AG与平面AEF平行 12 。,平面4F截正方体所得的裁面面积为？D。点C与点G到平面5的距离相等 三、填空题（每题5分，共计15分） 2.已知am0=7,则+s物2 cos20 试卷第2页，共4页 13.在棱长为4的正方体ABCD-AB,C,D,中，E为棱DD,的中点，F是侧面CDD,C1上的动 点，且B,FII平面ABE,则点F在侧面CDD,C,上的轨迹长度为 A C C 14.函数f(x)=sinox+V3 cos@x-√3(w>0在[0，元)上有三个零点，则w的取值范围是 四、解答题(15题13分，16-17每题15分；18-19题每题17分；共计77分) 15.著名数学家欧拉发现并证明了欧拉公式e9=cos0+isin0(e为自然对数的底数，i为虚 数单位)，从而建立了三角函数和指数函数的关系，已知复数z=e+√i, (0若9=-骨，将复数z表示成a+i(abeR)的形式： (2)若e是关于x的实系数方程x2+mx+nm=0的一个根，求m,n的值； (3)求z的最大值. 16.行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线 性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分 a b 等把符号 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 =ad-bc.已知函数 d c d sinx sinx-cosx f()= sinx+cosx 23cosx (1)当x∈[0，π]时，求f(x)的单调递增区间； 包若对任意的xe0引，[/叮-2f-a=0都有解，求实数a的取值范围， 1.从@a+acoc=5cn(B+c:@cn8+引-生，国n8-n4=(C-小.这 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题， 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 试卷第3页，共4页 (1)求角C的大小： (②)若点D在AB上，CD平分∠ACB,a=2,c=√万，求CD的长； 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分 18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，AD=2AB,M, N分别为PD,AD的中点，PN⊥平面ABCD. (I)求证：PB∥平面ACM; (2)求证：平面PBN⊥平面PCN; (3)若AB=2,PN=√5，求PA与平面PCD所成角的正弦值， 19.如图，设Ox,Oy是平面内相交成a(0<α<π)的两条射线，，e2分别为与Ox,Oy同向的 单位向量，定义平面坐标系xOy为a-仿射坐标系，在一仿射坐标系中，若OP=xg+y吧2， 则记O妒=(x,y) B ①在-仿射坐标系中，a=(-1,②)，求。 4 2在0-仿射坐标系中，若a=(-13),6=(-3,刘，且a与6的夹角为号，求osa: (3)如图所示，在-仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，B可=1， 3 OD=30C,E,F分别为BD,BC中点，求O正.O的最大值. 试卷第4页，共4页参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D ⊙ 0 8 ACD AD 题号 11 答案 BC 1.C 1 【分析】先利用余弦和角公式展开cos(a+B)=-1,结合已知的sin asinB=二求出cos a cos B的值，再将 4 sin asin B tana.tanB变形为 代入数值计算得到结果 cos acos B 【详解】因为cos(a+B)=cosa.cosB-sina·sinB=-1, 又na0-行解得6=-} 4 所以tana.tanB= sina.sinp 1 cosa·cosB31 2.D 【详解】a=(3,1),b=(1,1),.a+b=(4,2),-b=(2,0) cs6)= a+b)(a-b) 4×2+2×0 825 a+a-b√④+2.2+04W55 3.B 【分析】根据图象最高点确定A,利用子周期求出ω，最后代入最低点坐标求出9， 【详解】由y=Asin(@x+p)，A>0,o>0,网<的图象可知，A=2. 因函数图象过最高点 且随后经过点 所以西数的发小正周男满足写产资-票，架行T,网为00.所以0：2江2 即函数表达式为y=2sin(2x+p)· 将点-习代入1，得am2-2，化简符m[后小1 所以名9空2ke乙，因为网行可得9号 2 所以该商数的表达式是y如2：到 4.A 答案第1页，共14页 【详解】由于sin(r+a)=-sina=,所以sina=- 3 5 5 3)2 则cos2a=1-2sin2a=1-2× 7 5 -25 5.D 【分析】先将函数变形为y=tan 再根据函数图象平移变换可得。 【解】肉为=m个2xr引m》 根据图象平移规则，函数y= [+儿图象白y=m2x的图象向东半移后个章位行到 ta 12 因此函数y=tan2x+ 的图象由函数y=tan2x的图象向左平移亚个单位得到. 6 12 6.B 【分析】直接设出圆台的基本量，由侧面积可得圆台上下底面半径，再由勾股定理可得圆台的高，进而可 得圆台体积 【详解】如图， 设圆台OO的上底面半径为r,高为h,母线长为l, 由题可知，下底面半径r'=2r,1=√2， 又由圆台的侧面积公式：3W2π=π(r+r)1=π+2)√2=3V2π，解得r=1. 又由勾股定理得h=2-Gr了=2--1=1， 在圆台00中，r=1,r'=2r=2,h=1, 所以圆台的体积r-写a(如+D。o)背(+机切到-交 因此圆台的体积为 7π 3 7.C 【分析】利用复数模的几何意义，将问题转化为单位圆上的点到点(2,0)的距离最大值求解. 【详解】解法1（几何法）：复数二=x+(x,y∈R)对应复平面内的点Z(x,y),z表示点Z到原点的距离 答案第2页，共14页 由z=1可知，点Z的轨迹是以原点O(0,0)为圆心，半径r=1的单位圆。 |z-2|的几何意义是单位圆上的点Z到点A(2,0)的距离|ZA|, 根据圆的性质：圆上一点到圆外定点的最大距离等于定点到圆心的距离加圆的半径 计算得OA=2,因此|z-2|的最大值为OA|+r=2+1=3. 解法2（代数法）：设：=x+i(x,y∈R),由z=1得x2+y2=1,其中x∈[-1， 则三-2H(x-2)+i=Vx-2)2+y2,代入y=1-x2化简得：1z-2√c2-4x+4)+1-x=V5-4x 当x=-1时，√5-4x取得最大值√5+4=3，即z-2|的最大值为3. 8.C 【分析】先利用余弦定理和正弦定理化简己知条件，再结合三角函数性质求三角形周长的取值范围. 【详解】由余弦定理可得公+c-d=2co4,由正弦定理可得b=2RsiB,c=2 RsinC, bc bcosC+ccosB 2R(sinBcosC+sinCcosB)=2Rsin(B+C)=2RsinA=a, 所以beosc+cc0sB-g=1,化简可得2cos4=1,即cos4=】 a 21 又因为△6c为能角三角形，得4=号B+C-牙， 3 知a=6,由正弦定理可得2R==,=4B,则b=45sm正 sin4 sin元 3 而c=45amc-4san5 所615amc):5a1n号小-4v5m:5osn 0<B< 2 因为△ABC是锐角三角形，所以 2元Dπ付6B<T 0< 6 3 2 则亚<B+<2如.3 +63’2 <simB+s1,所以6N5<b+c≤18， 6 所以6+6V3<a+b+c≤18. 答案第3页，共14页 B a=6 9.ACD 【分析】根据二倍角公式化简求解得到cos4,进而求出角A.根据向量的运算求解选项B.根据选项B平方以 及数量积求解选项C根据基本不等式以及三角形面积公式求解选项D. 详解】因为c0s24+c0sA=0,所以2cos2A+c0s4-1=0,所以c0sA=7或cosA=-山 因为4Q动.所以o4A行A正确， 因为BC=3BD,所以AD=AB+BD=A丽+BC=A店+AC-AB=AB+AC,B错误。 因为AD=AB+AC,所以9AD=4AB2+AC2+4AB.AC,即4C2+b2+2bc=36,C正确. 因为4c2+b2+2bc=36,所以4c2+b2=36-2bc≥4bc,所以bc≤6， 则△ABC的面积S=bcsn4=5c≤35，当且仅当b=2c=25时，等号成立，D正确。 4 2 10.AD 【分析】由平面向量垂直的坐标表示，即可判断A,由向量的坐标运算即可判断B,由向量的线性运算结合 三角形重心的性质即可判断CD, 【详解】对于A,由a⊥b,故ā·=x+2=0,故x=-2,故A正确： 2x+6>0 对于B,由a,五的夹角为锐角，得cos(a,b)>0且a,b不共线，则 3x≠4 4 解得x>-3且x≠。； 3 所以“ā，b的夹角为锐角”是“x>-3”的充分不必要条件， 故B错误： 对于C,如图设OA=20A,OC=30C，,由2OA+OB+30C=0,得OA+OB+0C=0, 答案第4页，共14页 取A'B的中点D,连接OD,则有OA+OB=20D,所以2OD+OC=0, 即OC=2OD,则点O为△BAC的重心， 设△AOC,△AOB,△BOC的面积分别为x,y,z,则△A'OC',△A'OB,△BOC'的面积分别为6x,2y,3=, 2=2x,则S4ae:S=(r+y+)-1:6,故C错误； y=3x 由重心的性质可知6x=2y=3z,所以 E B 对于D,如图，作∠A的内角平分线AE与BC相交于点E, AB AC 因为 为AB的单位方向向量， 为AC的单位方向向量， AB AC AB AC 所以 AB 1AE(2>0) BC=2AE.BC=0(2>0), AC AB AC 所以AE⊥BC,即AE⊥BC,所以△ABC为等腰三角形， BA BC BA BC 又因为 ,且Bc(Q,所以B-号，即ABC为等边三角形，放D正确， 11.BC 【分析】对于A,换底根据体积公式求解：对于B,由面面平行证明线面平行；对于C,作EF∥AD,得到 截面AEFD,根据梯形面积公式求解：对于D,先证明M不是CG的中点，可得点C和点G到平面AEF的 距离不相等 11.1 11 【详解】对于A,VcAr=V-AEc= 322224 三棱锥C-ABF的体积为4，A错误： 对于B,取BC1中点H,连接AH, 因为H,E,G分别为BC,BC,BB中点， 答案第5页，共14页 D C B E 所以GHIEF,AHAE, 可得GH//平面AEF,AH∥平面AEF,GHúAH=H, 可得平面A,GH∥平面AEF, 因为AGc平面AGH,所以AG∥平面AEF,故B正确： 对于C,连接AD,DF,因为E,F为BC,CC的中点， 3W2 所以EF∥AD,所以平面AEF截正方体的截面为AEFD, √5+ 2 4 SAEFD 9, 2 故C正确： 对于D,连接CG交EF于点M,延长FE交BB的延长线于点O, 因为E,F为BC,CC的中点， 所以BQ=FC,GQ=2FC, 又FMCOMG,所以C=} GM2' M为CG的三等分点，M不是CG的中点， 所以点C和点G到平面AEF的距离不相等，故D错. 12.2 【详解】由二信角的正弦、余弦公式，且n9=}所以c0s040, :1+sin201+2sin cos coss0+2sin 0cos0 (cos0+sin) (cos0+sine)2 cos20 cos20-sin20 cos2θ-sin20 cos20-sin20 (cos0+sine)(cose-sine) 答案第6页，共14页 1 cose+sin01+tang 1+ 3=2 cos0-sine 1-tane 1 1 13.2√2 【分析】构造一个过B,且平行于平面ABE的平面，该平面与侧面CDDC的交线即为点F的运动轨迹 【详解】在棱长为4的正方体ABCD-AB,CD中，分别取CC1,CD的中点H,M,连接B,H,HM,MB,连 接CD,HE, A 0 B D 由HE/1CD,C1DI/AB,得HE/AB,,又HE=CD=AB,得四边形ABHE是平行四边形， 则B,H/1AE,BHt平面ABE,AEc平面ABE, 因此B,H∥平面ABE； 又HM11CD,CDI/BA,得HM/BA,M丈平面ABE,BAC平面ABE, 因此M/平面ABE,又B,H∥平面ABE,M,BHc平面B,M,M∩BH=H, 则平面B,HMI1平面ABE,而F∈侧面CDDC,RFI1平面ABE, 于是F∈平面BM,则点F在侧面CDDC与平面B,M的交线上， 即点F的轨迹为线段MH,又MM位=√CM=2V2,所以点F在侧面CDDC1上的轨迹长度为2√2 14. 【分析】对原式化简后通过零点个数对其定义域求解并判断范围即可. 【时解】J)ine c652om司5， 若@动.0m+受任om引 3 答案第7页，共14页 依题意，f田在[Q上的零点个数，即函数y=mr+写到与直线y=5在[0)上的交点个数， 2 又因为sim 可得or+骨能取到不子x 元？云这三个点而取不到8， 333 因此写<am+s8z 7 7 33 2π，解得2<w≤ 3 1s0:9 (2)m=-√5，n=1 3)引zlx=3+1 【分析】(1)代入给定角度，利用欧拉公式将其展开为三角函数形式，合并实部与虚部完成化简： (2)法一：将复数的三角形式转换回z=a+bi,结合复数的运算即可求解，法二：利用实系数一元二次方 程“虚数根成对共轭出现”的性质找出另一根，随后通过韦达定理即可求解： (3)法一：将复数的三角形式转换回z=α+bi,结合正弦函数的取值范围即可求解，法二：将复数模长的 最值问题转化为复平面内单位圆上的动点到定点(0，-V3)的几何距离求最大值即可. 【详1=c+质=on〔引5分9： (2)法一 6 即+5 m+n=0且5+m=0, 2 22 所以m=-√3，n=1: 法二 e专=cos+ism5占为虚数根，所以方程还有另一个根为5_i, 6 62 2 22 根据韦达定理： 所以m=-√3，n=1; 答案第8页，共14页 (3)法一 z=cose+(sine+)i, |=Vcos20+sinm6+5)2=4+25sin6, 故1=la=V4+2W5=V3+1: 法二 |以=e+v3团，令a=e=cos0+isim0,52=-V3i, 则可视为单位圆上的点(cos8,sin8)到点(0，-√3)的距离， (0,-V3)到圆心(0,0)的距离d=√5>1，即(0，-√3)在单位圆外， 所以zlx=d+r=V5+1,其中r为单位圆的半径. 16@准调递猫区间为[0利 (2)a的取值范围为[-1,3] 【详解】 (1)f(x)=sinx.23cosx-(sin x-cosx)(sinx+cosx)=23sinxcosx-(sin2x-cos2x)=3sin2x+cos2x =2m2+引 正孩暖数)=山的单酒递神区间满足2版号m≤2恤受ke乙， 2s2x+ 令a=2x+名则：2版 +石s2m+kez 解得c号srs名keZ,结合xe[Q: 当长=0时，得区间：当k=1时，得医间[故九的华调隧区间为和利乎 (2)方程[f(x]-2f(x)-a=0有解等价于a=[f(x)-2f(x),即a的取值范围为函数g()=t-2t在 1四装限位痘：当引时.2-言后答，放3片 因此f=2sm2x+周e12.令tef121,则g0-i-=--1 该二次函数开口向上，对称轴为t=1: 当t=1时，g()取最小值-1；当t=-1时，8()取最大值3， 即g(t)∈[-1,3]，故a的取值范围为[-1,3]。 答案第9页，共14页 1,@涤件0.C子条件②.C-号条什@，C-号 (2)cD=3 5 【分析】(1)若选条件①，利用正弦定理以及两角差的正弦公式化简求解若选②，利用正弦定理以及两角 和的正弦公式化简求解即可若选③，根据诱导公式以及两角和的正弦公式化简求解即可. (2)根据余弦定理以及三角形面积公式求解即可. 【详解】(1)若选条件①， 依题意，得a+acos C=√3 csin A,根据正弦定理得sinA+sin Acos C=√3 sinCsinA 因为0<A<元，所以sinA>0,则1+cosC=√5sinC,即V3sinC-cosC=1 sincn 即 、62 6G,所以c= 又0<C<π，则C-元-亚， 3 若选条件②， 由正弦定理得sinCsinB+ sinA+sin B 6 2 1 所以sinC 2 -sin B+cos B sin A+sin B sin(B+C)+sin B 2 2 2 sin B cosC+cos Bsin C+sin B 2 3sinCsin B+sinC cos B=sin B cos C+cos B sin C+sinE, 即Gsinc sin B=-sm8eosC+sm8,整理得V3snC-cosC-1,即sm[C- 因为C∈(0，π，所以C-工元，所以C=, 66 若选条件③， 在△ABC中，因为sinB-sinA=sin(C-A),A+B+C=π： 所以sin(C+A)-sinA=sin(C-A) sin C cos A+cosC sin A-sin A=sin C cos A-cosC sin A. 化简得sinA=2 cosC sin A.· 又A∈(0，)，则sinA≠0，故cosC=】 2 答案第10页，共14页 因为0<C<元，所以C= 3· (2)在△ABC中，根据余弦定理， 有c2=a2+b2-2 ab cos sx-d+b-ab 即7=4+b2-2b,解得b=3或b=-1(舍去). 依题意，SACD+SBcD=SABc, a-CD.n+b.cDs咖-absn 62 62 3 即(a+b)CD=Vb,则cD=25b 2+b 所以cD=236_65 2+b5 18.(1)连接BD交AC于点O,连接OM. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是BD中点. 又M是PD中点，所以OMIIPB 因为PBE平面ACM,OMC平面ACM, 所以PB∥平面ACM. (2)由题知，在△ABN中，AB=AN,∠BAD=120°， 由余弦定理，得BNW=AB2+ANP-2AB·ANcos120°=3AB2,所以BN=√3AB. 在△CDN中，CD=ND,∠CDN=60°，所以△CDN是等边三角形，所以CN=CD=AB, 所以BN2+CN2=4AB2=BC2,即BN⊥NC. 因为PN⊥平面ABCD,BNC平面ABCD,所以PN⊥BN. 又PNONC=N,PN,NCc平面PCN,所以BN⊥平面PCN. 因为BNc平面PBN,所以平面PBN⊥平面PCN. 3)段 7 【分析】(1)连接BD交AC于点O,连接OM,根据线面平行的判定定理证明即可： (2)根据余弦定理结合勾股定理可得BN⊥NC,再由线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理证明即可； 答案第11页，共14页 (3)根据等体积法计算点A到平面PCD的距离，再由线面角的定义计算求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)因为PN⊥平面ABCD,NC,NDC平面ABCD,所以PN⊥NC,PN⊥ND 由(2)知NC=ND,所以PC=PD. 设点A到平面PCD的距离为h 因为AB=2,PN=√5，所以PA=PC=PD=√万， c-c八=6.所以266. 、2 等腰△PCD底边上的高为 3 1 又点C到AD的距离为V5,所以Sm=x4k5=25, 所以yAm=SmPN=25x5=}6h,解得n=6 2 3 2 记PA与平面PCD所成角为0，则sin0=h=6-亚 所以PA与平面PCD所成角的正弦值为V至 19.【答案】(1)1 e月 (3) 25+8√7 84 【解析】 【分析】(1)根据题设定义得g日，=5，a=-日+V,再由数量积的运算维，即可求解， 2 (2)根据题设条件求出ā-b,,,再结合题设条件，即可求解： （3)设Bm,0),C(0,m),根据思设条件得02.0F=m2+3+三 n,再由正、余弦定理及三角 28 28 恒等变换，即可求解。 【小问1详解】 答案第12页，共14项 由愿京知，在子仿射丝标系中，马，=1k1xec0s5 4 42 又a=（-l,②)，则a=-e+V2e, 所以a2=(-g+2e=e-22ee+2g2=1-25x5+2=1, 则d=1. 【小问2详解】 因为a=(-13),b=(-3,1),则a=-e,+3e,,b=-3,+e, 则a-b=(-g+3e)(-38+e)）=3e-10eg+3g,=6-10cca, 同=-g+36)=i0-6csa,5=V-32+ej=M0-6cosa, 又a与b的夹角为 3 由cos(a,6）- a.b 元_6-10cosC,解得c0su= 得到cos 310-6c0sa 7 【小问3详解】 设B(m,0),C(0,n),其中m>0,n>0,则OB=e,OC=ne, 因为OD=OC=3e,又E,F分别为BD,BC中点， *拟死-远而)-加音 示-o+ 上ne' 在于仿射坐标系中，日·日=c0s} 32 oE.o际-后eg照 + ,3 13]nn11m2+ 5 n2+ , 28 28 在△0BC中，由余弦定理得BC=m2+n2-2cos=m2+n2-m=1, 所以mn=m2+n2-1, 答案第13页，共14页 则0E.oF=m+3 n2+5 4 28 m+n2-1y2m+2n- 28 > > 28 1 12 在△OBC中，由正弦定理sim∠DCB sin.∠OBC inπV5, 3 设∠0CB=00<6<2π 令y=3m+2n=3m0-2×m（04m0+m） -2p-ow草-uf传w号w0{oa-9a 一十 3 所以，10+27，则0.0F的最大值为×T-3=25+8V7 32884 答案第14页，共14页