专题21.1 一元二次方程的概念（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理从定义（只含一个未知数、最高次数2的整式方程）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及各项系数，到根的定义与检验，再到实际问题列方程的完整知识脉络，搭建递进式学习支架。 资料亮点在于知识点分层呈现（含易错点睛），题型设计梯度鲜明（典例配多变式），助力学生发展抽象能力与推理意识。实际问题建模环节强化模型意识，课中辅助教师系统授课，课后练习题覆盖全面，帮助学生查漏补缺。

专题21.1 一元二次方程的概念 教学目标 1.准确识别一元二次方程，熟练整理成标准一般形式； 2.分清二次项、一次项、常数项，准确写出各项系数； 3.理解一元二次方程根的定义，会检验数值是否为方程的根； 4.通过实际问题列方程，类比一元一次方程归纳一元二次方程特征，提升建模、类比归纳能力。 教学重难点 1.重点 一元二次方程的概念； 2.难点 类比思想的应用。 知识点01 一元二次方程 1. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，未知数最高次数是 2的整式方程叫一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0 (a、b、c为已知数，且a≠0) 二次项：ax²叫作二次项，a是二次项系数； 一次项：bx叫作一次项，b是一次项系数； 常数项：c叫作常数项. 3. 一元二次方程的特殊形式 ①最简形式（缺一次项）：ax²+c=0 ②缺常数项：ax²+bx=0 【易错点睛】 ①一元二次方程满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2； ②一元二次方程辨析时，要先将方程化简为一般式，化简后二次项消失、含分式、含多个未知数的方程都不是一元二次方程。 知识点02 一元二次方程的根 1. 方程的解根 只含有一个未知数的方程的解又叫作方程的根。 2. 一元二次方程的根 一元二次方程只含有一个未知数，所以满足方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的实数x 叫作一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的实数根。 3. 检验一元二次方程的根 根据根的定义，将方程的根代入方程，看方程左右两边是否相等，可以判断一个未知数的值是不是这个方程的根。 4. 特殊根的问题 （1）有根为1的条件：；有根为1的条件：； （2）有根为2的条件：4；有根为2的条件：4； （3）有根为3的条件：9；有根为3的条件：9； （4）有根为0的条件：； 5. 同解方程 如果两个一元二次方程的各项系数完全相同，那么这两个方程是同解方程。 【即学即练】 1. 方程中，，，是一元二次方程有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，逐个判断每个方程是否符合即可． 【详解】解：1．对于方程 ∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． 2．对于方程 ∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． 3．对于方程 ∵展开整理得，化简为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． 4．对于方程 ∵展开整理得，移项合并同类项得，未知数最高次数为1 ∴不是一元二次方程． 综上，是一元二次方程的有3个． 故选：C． 2. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义可得出，然后把化简为，最后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴ ∴ ． 3. 若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 题型01 一元二次方程的辨识 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需要同时满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程需同时满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程， 选项A：中未知数最高次数为1，是一元一次方程，故该选项不符合题意； 选项B：中含有两个未知数，是二元二次方程，故该选项不符合题意； 选项C：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意； 选项D：中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意． 【变式1】下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合一元二次方程定义； B、未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求； C、含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D、分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 【变式2】下列方程属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．所以一元二次方程满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有，两个未知数，不符合定义，故A选项不符合题意； 选项B：方程是整式方程，只含一个未知数，且未知数最高次数为，符合一元二次方程的定义，故B选项符合题意； 选项C：方程中含未知数的项的最高次数为，是一元一次方程，不符合定义，故C选项不符合题意； 选项D：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故D选项不符合题意． 【变式3】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 【变式4】下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一验证即可． 【详解】解：选项A：中未说明，当时方程不是一元二次方程， ∴A错误； 选项B：分母含有未知数，是分式方程，且含有两个未知数， ∴B错误； 选项C：整理得，未知数最高次数为3， ∴C错误； 选项D：整理得，符合一元二次方程的定义， ∴D正确． 题型02 由一元二次方程的定义求参数 【典例1】若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 【变式1】关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 【变式2】已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 【变式3】（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【答案】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 【变式4】已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 题型03 一元二次方程的一般式 【典例1】将一元二次方程化为一般形式为______，其一次项为______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式展开左边，再移项，合并同类项得到一般形式，再根据定义确定一次项． 【详解】解：将原方程左边展开，得， 移项，合并同类项，得， 因此原一元二次方程的一般形 【变式1】关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 【变式2】将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【变式3】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，再对应找出系数即可得到答案． 【详解】原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． 【变式4】．如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 题型04 检验一个数是不是一元二次方程的实数根 【典例1】在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．当时，，不是方程的根； B．当时，，不是方程的根； C．当时，，是方程的根； D．当时，，不是方程的根． 【变式1】下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 【变式2】下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入各方程，看左右的值是否相等即可判断，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以是方程的根，该选项符合题意； 故选：． 【变式3】若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 【变式4】下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程等价于，从表格中直接找出时对应的值即可． 【详解】解：∵等价于， 从表格中，当时，；当时，， ∴方程的根为，． 故选：C． 题型05 一元二次方程的特殊根 【典例1】已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 【变式1】若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 【变式3】若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ） A．6，3 B．6， C．3， D．6， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：C． 【变式4】已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 题型06 已知一元二次方程的根，用整体思想求代数式的值 【典例1】．若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，代数式求值等知识，利用方程根的定义，将所求表达式变形后整体代入求值． 【详解】解：∵ m是方程 的根， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【典例2】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，通过变形将所求方程转化为与已知方程形式一致的式子，利用已知方程的解来求解新方程的根是解题关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴ ∴． ∴一元二次方程必有一根为． 故选：C． 【变式1】已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，首先根据是关于的一元二次方程的根，可得：，再利用整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：是方程 的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 【变式2】若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 【变式3】若是方程的一个根，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键． 将代入方程得到关于m的方程，变形后整体代入求出代数式的值即可． 【详解】 m是方程的一个根，， ， 将代入得 ． 故答案为：9． 【变式4】若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 题型07 列一元二次方程 【典例1】一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为______． 【答案】 【详解】解：设每次降价的百分率都是，由题意可列方程为． 【典例2】以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 【答案】 【分析】根据总利润等于每件利润乘以销售量的等量关系，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程. 【详解】解：设每件文创产品上涨了元，列方程得： . 【典例3】某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 【答案】或 【分析】设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为，根据矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， ∵建成的饲养室面积为， ∴或． 【典例4】冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________． 【答案】或 【分析】根据传染模型，每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以的平方，即可作答． 【详解】解：∵初始患流感人数为1， ∴第一轮传染后，患流感人数为 ∴第二轮传染时，有人，每人传染x人， ∴ 新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为， 又∵ 两轮后共有16人患流感， ∴. 【变式1】年月重庆西洽会展销售某智能设备万台，经过大力宣传，该设备月份的销售量达到万台，设两个月该智能设备销量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】根据增长率问题列出一元二次方程即可． 【详解】由题意可得 【变式2】某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨5元，其销售量就减少50个，为了实现平均每月10000元的销售利润这种台灯的售价应定为多少元？若设台灯的售价为x元，则可列得方程为______． 【答案】 【分析】设这种台灯的售价定为x元，那么就少卖出个，根据利润售价进价，可列方程． 【详解】解：设这种台灯的售价定为x元， 则每个利润为元，每月销售量减少个， 则每月销量为个， 由题意得． 【变式3】某校开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，该矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，设菜地垂直于墙的一边的长为x米，则可建立方程_________________． 【答案】 【分析】设菜地垂直于墙的一边的长为x米，则根据图并利用长宽面积，建立方程并求解即可． 【详解】解：设菜地垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米， 由题意列方程可得：. 【变式4】疫情期间，若有1人染上“新冠”不及时治疗，经过两轮传染后总共有361人染上新冠，平均一个人传染给多少人，设平均一个人传染个人，可列方程为_____． 【答案】 【分析】分别表示出第一轮传染后和第二轮传染后的染病人数，根据两轮传染后的总染病人数列方程． 【详解】解：初始有个感染者，平均一个人传染个人， 则第一轮传染后，染病人数为， 第二轮传染中，这些已感染的每个人又传染个人，因此第二轮新增染病人数为， 则第二轮传染后总染病人数为：， 已知两轮传染后共有人感染， 因此可列方程为． 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，是整式方程，未知数最高次数为2． 【详解】解：A、中含有2个未知数，是二元一次方程，不符合定义； B、，整理得，只含一个未知数，是整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义； C、中 是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义； D、，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义． 2．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 3．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】∵方程是关于的一元二次方程. ∴，解得：， ∴． 4．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，直接找出使代数式的值等于2的值，这些值即为方程的根． 【详解】由表格可知，当时，；当时，． ∴方程的根是， ． 故选：D． 5．若是关于的方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】先得出，再作为一个整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 7．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 【答案】(1)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (2)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义． （1）移项，将方程化为一般形式，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 8．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 9．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了已知一元二次方程的解求参数，先理解题意，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， 则 ． 10．定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 【答案】(1)是，不是 (2)或 【分析】本题考查了“归零方程”的定义，一元二次方程的根及代数式的代入与化简． （1）根据“归零方程”给出的定义，判断题中的两个一元二次方程即可； （2）由是“归零方程”得出，整理得，再将代入原方程后根据m是这个“归零方程”的一个根，将m的值代入，得到一个新的一元二次方程，此时解这个一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，在中， ，，， ∴， ∴是“归零方程”， 在中， ，，， ∴， ∴不是“归零方程”，． 故答案为：是，不是． （2）解：∵是“归零方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是这个“归零方程”的一个根， ∴， 解得或． 1．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 2．下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 3．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 4．若，则下列x的值一定是关于x的方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由题意可将原一元二次方程化为，再逐项分析即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴原方程可化为：， 、当时，，故不符合题意； 、当时，，故不符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故符合题意； 故选：D． 5．已知m，n是方程的两根，则＝________． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 根据，是一元二次方程的两个数根，可得，，则有，，然后代入求解即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，， ，， ，， ． 故答案为：8． 6．若实数x满足，则______． 【答案】 【分析】利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算即可得到结果． 【详解】 ， ∴ 7．将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式中，常数项的概念列式计算即可． 【详解】解：， 整理得，， 常数项为0， ， 解得，， 故答案为：4． 8. 如图，在一块长、宽的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 【答案】 【分析】把所修的两条道路分别移到矩形的最上边和最左边，根据平行四边形与矩形面积公式可知：路的面积没变，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：∵道路的宽为， ∴由题意得，．9．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 【答案】(1)3 (2)是， (3)，0；过程见解析 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可； （3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意，得． 整理，得， 是一元二次方程，化成一般形式为． （3）解：由题意，得． 整理，得． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，，0是方程的根． 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 10．请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2028 【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果； （2）求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ，即 两边同时乘以得． ，； （2）解：， ， ， ， 即， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.1 一元二次方程的概念 教学目标 1.准确识别一元二次方程，熟练整理成标准一般形式； 2.分清二次项、一次项、常数项，准确写出各项系数； 3.理解一元二次方程根的定义，会检验数值是否为方程的根； 4.通过实际问题列方程，类比一元一次方程归纳一元二次方程特征，提升建模、类比归纳能力。 教学重难点 1.重点 一元二次方程的概念； 2.难点 类比思想的应用。 知识点01 一元二次方程 1. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，未知数最高次数是 2的整式方程叫一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0 (a、b、c为已知数，且a≠0) 二次项：ax²叫作二次项，a是二次项系数； 一次项：bx叫作一次项，b是一次项系数； 常数项：c叫作常数项. 3. 一元二次方程的特殊形式 ①最简形式（缺一次项）：ax²+c=0 ②缺常数项：ax²+bx=0 【易错点睛】 ①一元二次方程满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2； ②一元二次方程辨析时，要先将方程化简为一般式，化简后二次项消失、含分式、含多个未知数的方程都不是一元二次方程。 知识点02 一元二次方程的根 1. 方程的解根 只含有一个未知数的方程的解又叫作方程的根。 2. 一元二次方程的根 一元二次方程只含有一个未知数，所以满足方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的实数x 叫作一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的实数根。 3. 检验一元二次方程的根 根据根的定义，将方程的根代入方程，看方程左右两边是否相等，可以判断一个未知数的值是不是这个方程的根。 4. 特殊根的问题 （1）有根为1的条件：；有根为1的条件：； （2）有根为2的条件：4；有根为2的条件：4； （3）有根为3的条件：9；有根为3的条件：9； （4）有根为0的条件：； 5. 同解方程 如果两个一元二次方程的各项系数完全相同，那么这两个方程是同解方程。 【即学即练】 1. 方程中，，，是一元二次方程有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 3. 若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 题型01 一元二次方程的辨识 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式4】下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型02 由一元二次方程的定义求参数 【典例1】若关于的方程是一元二次方程，则________． 【变式1】关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【变式2】已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【变式3】（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【变式4】已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 题型03 一元二次方程的一般式 【典例1】将一元二次方程化为一般形式为______，其一次项为______． 因此原一元二次方程的一般形 【变式1】关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【变式3】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【变式4】．如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 题型04 检验一个数是不是一元二次方程的实数根 【典例1】在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4】下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 题型05 一元二次方程的特殊根 【典例1】已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ） A．6，3 B．6， C．3， D．6， 【变式4】已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型06 已知一元二次方程的根，用整体思想求代数式的值 【典例1】．若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【典例2】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式1】已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【变式2】若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【变式3】若是方程的一个根，则______． 【变式4】若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 题型07 列一元二次方程 【典例1】一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为______． 【典例2】以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 【典例3】某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 【典例4】冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________． 【变式1】年月重庆西洽会展销售某智能设备万台，经过大力宣传，该设备月份的销售量达到万台，设两个月该智能设备销量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 【变式2】某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨5元，其销售量就减少50个，为了实现平均每月10000元的销售利润这种台灯的售价应定为多少元？若设台灯的售价为x元，则可列得方程为______． 【变式3】某校开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，该矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，设菜地垂直于墙的一边的长为x米，则可建立方程_________________． 【变式4】疫情期间，若有1人染上“新冠”不及时治疗，经过两轮传染后总共有361人染上新冠，平均一个人传染给多少人，设平均一个人传染个人，可列方程为_____． 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 3．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 4．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 5．若是关于的方程的一个根，则的值为______． 6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 7．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 8．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 9．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 10．定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 1．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 3．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 4．若，则下列x的值一定是关于x的方程的根的是（   ） A． B． C． D． 5．已知m，n是方程的两根，则＝________． 6．若实数x满足，则______． 7．将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 8. 如图，在一块长、宽的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 9．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 10．请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $