21.1一元二次方程的概念-一元二次方程的概念-课件2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程概念，通过长方形绿地面积问题导入，引导学生列方程x(x+10)=1200并转化为x²+10x=1200，衔接一元一次方程知识，搭建从实际问题到方程模型的学习支架。 特色在于以问题驱动和探究活动培养数学眼光、思维与语言，如通过实例抽象方程定义，例题示范化为一般形式的推理过程，问题探究验证“c=0时方程有根0”。小结分类整式与分式方程，助学生构建知识体系，提升学生抽象与推理能力，为教师提供清晰教学流程。

第21章 一元二次方程 21.1 一元二次方程的概念 一元二次方程的概念 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 中文： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 问题引入 问题 一块长方形绿地的面积为1200m2,且已知长比宽多10m,问长和宽各为多少？ 解 设长方形绿地的宽为 x m，它的长就是(x＋10)m. 因为绿地面积为1200 m2，所以 x(x+10)=1200. 去括号，得 x2+10x=1200. 通过列方程并求出这个方程中未知数的值，就可以求得长方形绿地的宽. 2 新知讲授 一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程. ② ① ③ 等号的两边都是整式，这样的方程是一个整式方程. 思考 有一个用字母x表示的未知数，可知它是一个关于x的一元方程. 它与一元一次方程有什么不同？ 这个方程中未知数x的最高次数是2. x2+10x=1200 是什么方程？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 3 新知讲授 一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程. ② ① ③ 思考 等号的两边都是整式，这样的方程是一个整式方程. 在上面的等式中，有一个用字母x表示的未知数，可知它是一个关于x的一元方程. 其中未知数x的最高次数是2. x2+10x=1200 是什么方程？ 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0 (a、b、c为已知数，且a≠0) ， 其中ax2 叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项. 这四个方程都是一元二次方程. 变 形 变 形 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 4 新知讲授 思考 x2+10x=1200 是什么方程？ x2+10x=1200 是一元二次方程. 可通过移项化成一般形式x2+10x-1200=0 ,其中二次项是x2，二次项系数是1；一次项是10x，一次项系数是10；常数项是-1200. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 5 新知讲授 请你判断30是一元二次方程 x2+10x=1200 的解吗？为什么？ 得左边的值为1200，而右边的值为1200. 所以 x=30 是这个一元二次方程的解. 因为方程左右两边的值相等， 把x=30 代入方程的左边， 如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解. 满足方程 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 的实数x叫作这个方程的实数根（或者实数解），简称实根或者根. 思考 例如：10、-10是 x2=100 的根； 是 x2 =2 的根. 什么叫作方程的解？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 6 例题讲解 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出方程中的各项及各项的系数: 解 （1）去括号，得 移项并合并同类项，得 可知方程中的二次项是 ,二次项的系数是1；一次项是 ，一次项的系数是-2；常数项是4. 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0 (a≠0) ，其中ax2 叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项. 分析 ax2+bx+c=0 变形 去括号 移 项 化 简 例 1 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 7 例题讲解 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出方程中的各项及各项的系数: 解（2）去括号，得 可知方程中的二次项是 ,二次项的系数是 ；一次项是 ，一次项的系数是1；常数项是 . . 移项，得 可知方程中的二次项是 ,二次项的系数是 ；一次项是 ，一次项的系数是-1；常数项是 . 解（2）去括号，得 移项，得 例 1 去括号 移 项 化 简 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 8 × √ × × √ 判断下列方程哪些是一元二次方程: 一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0 (a≠0) × 含有两个未知数 不是整式方程 未知数的最高次数是3 未知数的最高次数是1 去括号后，方程两边未知数的最高次数都是2. 移项、化简后，这个方程是3x+4=0. 例题讲解 例 2 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 9 例题讲解 判断 -4 、 、2 是不是一元二次方程 x2 +2x-8= 0 的根. 所以 x=-4 是这个一元二次方程的根. 因为方程左右两边的值相等， 解 ① 把x=-4 代入方程的左边， 得左边的值为 满足方程 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 的实数x叫作这个方程的实数根（或者实数解），简称实根或者根. 例 3 可以根据根的意义，判断一个未知数的值是不是方程的根. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 10 例题讲解 判断 -4 、 、2 是不是一元二次方程 x2 +2x-8= 0 的根. 例 3 因为方程左右两边的值不相等， 所以 x= 不是这个一元二次方程的根. 得左边的值为 ， 解 ②把x= 代入方程的左边， 满足方程 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 的实数x叫作这个方程的实数根（或者实数解），简称实根或者根. 可以根据根的意义，判断一个未知数的值是不是方程的根. 而右边的值为0. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 11 满足方程 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 的实数x叫作这个方程的实数根（或者实数解），简称实根或者根. 可以根据根的意义，判断一个未知数的值是不是方程的根. 例题讲解 判断 -4 、 、2 是不是一元二次方程 x2 +2x-8= 0 的根. 例 3 所以 x= 2 是这个一元二次方程的根. 因为方程左右两边的值相等， 解 ③把x=2 代入方程的左边， 得左边的值为 这个一元二次方程的根有什么特点？它与一元一次方程有什么不同？ 这个一元二次方程有两个实数根. 答：-4、2 是方程 x2 +2x-8= 0的根， 不是方程 x2 +2x-8= 0 的根. 10、-10是x2=100 的根； 是x2 =2 的根. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 12 课堂练习 练习1 当m为何值时，关于x 的方程 mx2-3x=x2-mx+2 是一元二次方程？ 因为这个关于 x 的方程是一元二次方程， 所以 即 所以，当 时，关于 x 的方程 mx2-3x=x2-mx+2 是一元二次方程. 解 移项、化简得 一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0 (a≠0) 分析 变 形 方程一边为0，另一边化简后按未知数x降幂排列. 与一元二次方程的一般形式对照. 对 照 课堂练习 练习2 x= 是不是关于x的一元二次方程 2x2-(2a-3)x-3a=0 的根？为什么？ 解 把 x= 代入方程 2x2-(2a-3)x-3a=0 的左边，得左边的值为 而右边的值为0. 因为方程左右两边的值相等，所以 x= 是这个一元二次方程的根. a表示已知数 先代入 后计算 课堂练习 练习3 在下列方程中，哪些方程有一个根为0？ ① ② ③ ④ 解 把x=0分别代入方程①②③④的左边， 得方程①左边的值为-1；方程②左边的值为-3； 方程③左边的值为0；方程④左边的值为0. 因为这四个方程右边的值都为0， 所以 这两个方程有一个根为0. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 15 在下列方程中，哪些方程有一个根为0？ ① ② ③ ④ 解 把x=0分别代入方程①②③④的左边， 得方程①左边的值为-1；方程②左边的值为-3； 方程③左边的值为0；方程④左边的值为0. 因为这四个方程右边的值都为0， 所以 这两个方程有一个根为0. 问题探究 猜想:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果c=0，那么这个方程必有一个根为0. 验证:如果c=0，那么ax2+bx+c=0即为 ax2+bx=0. 把x=0代入方程ax2+bx=0的左边， 得左边的值为0，而右边的值为0. 因为左边与右边的值相等， 所以0是这个方程的根. 练习3 哪些一元二次方程有一个根为0？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 16 问题探究 猜想：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果c=0，那么这个方程必有一个根为0. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，a、b、c满足什么条件时，这个方程必有一个根为1？ 把x=1代入方程ax2+bx+c=0的左边，得左边的值为a+b+c. 依据根的意义，要使这个方程有一个根为1，就要使此时方程左边的值a+b+c与右边的值0相等. 因此，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当a+b+c=0时，这个方程必有一个根为1. 这样，我就可以写出一个一元二次方程，使它有一个根为1，比如3x2+2x-5=0. 从特殊到一般 类 比 推 理 从一般到特殊 发现问题 提出问题 分析问题 解决问题 结论： 如果一元二次方程的常数项为0， 那么这个方程必有一个根为0. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 17 课堂小结 整式 方程 一元一次方程 二元一次方程组 三元一次方程组 分式 方程 一元二次方程 … … 一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0 (a、b、c为已知数，且a≠0). 一元二次方程的概念 满足方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数x叫作这个方程的实数根(或者实数解)，简称实根或者根. 一元二次方程的解 概 念 解 法 应 用 实际问题 方程问题 结束语 “方程不仅是数学的语言，更是自然界的密码。” ——高斯 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 19 $