专题21.2 一元二次方程的解法（8大题型+能力训练） 【精英班课程】2025-2026学年（沪教版 ）八年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题12.2 一元二次方程的解法 知识点一、解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点二、解一元二次方程-因式分解法 1、用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2、常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点三、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点四、解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点五、换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点六、配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型01：直接开方法解一元二次方程 【例1】已知关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ． 【例2】若关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是 ． 【例3】方程的解是 ． 【例4】若，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D． 【例5】用直接开平方法解方程：． 【例6】解一元二次方程：（直接开平方法） 题型02：因式分解法解一元二次方程 【例7】解方程 (1) (2) 【例8】解一元二次方程． 【例9】解方程： 【例10】解方程：． 【例11】解方程：． 题型03：配方法解一元二次方程 【例12】用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 【例13】用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例14】解下列方程： (1)（用配方法） (2) 【例15】用适当的方法解下列方程： (1) (2) （配方法） 【例16】用配方法解方程： (1) (2)． （3） ． 题型04：公式法解一元二次方程 【例17】用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0时，计算b2﹣4ac的结果为（    ） A．17 B．14 C．11 D．8 【例18】用配方法解方程：（1）． （2） ． （3）． 【例19】用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【例20】用公式法解下列方程： (1)； (2)． 题型05：换元法解一元二次方程 【例21】解方程： 【例22】解方程： 【例23】已知，求的值． 【例24】已知x是实数，且满足，则的值为 ． 【例25】已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型06：用适当的方法解一元二次方程 【例26】解方程： (1)； (2) 【例27】按要求解方程： (1)（用因式分解法）； (2)（用公式法）． 【例28】解下列方程： (1) (2) 【例29】解下列方程： (1) (2) (3) 题型07：配方法的应用 【例30】代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 【例31】代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【例32】已知为实数，若，那么的值为 ． 【例33】阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为______； (2)用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． (3)若实数，满足，求的最小值． 题型08：一元二次方程解法与三角形结合 【例33】已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【例34】已知等腰三角形的底边长为4，腰长恰好是关于的一元二次方程的一个根，则的周长为（   ） A．6 B．10 C．14 D．6或14 题型09：一元二次方程的新定义问题 【例35】字母x、y表示两个有理数，且，现规定表示x、y中较小的数，例如：，，若，则x的值为（   ） A．3 B．1 C．3或1 D．或1 【例36】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【例37】如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若时，则方程是倍根方程． 一、选择题 1.（2023-24七年级秋上海松江·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解方程时，配方法所得的方程是（      ） A． B． C． D． 3．（2023-24七年级秋上海黄浦·期中）方程的两根是（   ） A． B． C． D． 4．（2023-24七年级秋进华中学期中）代数式的最小值为（    ）． A． B．0 C．3 D．5 5．（2023-24七年级秋上海普陀·期中）已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 6.（2024秋建平中学期中）定义，若，则的值为 ． 2、 填空题 7．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）一元二次方程的根是 ． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）方程的根是 ． 9.（24-25九年级上·江苏常州·期中）一元二次方程的根为 ． 10．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）代数式的最小值是 ． 11．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若x、y为实数，且，则的值是 ． 12．（2023-24七年级秋上海徐汇期中）方程（y﹣2）（y﹣3）＝12解为 ． 13．（2023-24七年级秋上海松江·期中）方程的根是 ． 14．（2023-24七年级秋上海闵行·期中）方程的解是 ． 15．（2023-24七年级秋上海青浦期中）已知为等腰三角形，它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是 ． 16．（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 三、解答题 16．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 18．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 19．（23-24八年级上·上海崇明·期中）解方程： 20.解下列方程： (1)； (2)． 21.（24-25八年级下·北京·期中）用适当的方法解下列关于的方程： （1） （2） （3） （4）； 22．（25-26九年级上·全国·课后作业）【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 23．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 24．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）【阅读材料】分解因式：． 解：原式 ． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项使这三项构成完全平方式，我们称这种方法为“配方法”．本题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点． (1)用“配方法”分解因式． (2)用“配方法”求代数式的最小值． (3)已知，请求以a、b为边的等腰三角形的底边长； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题12.2 一元二次方程的解法 知识点一、解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点二、解一元二次方程-因式分解法 1、用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2、常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点三、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点四、解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点五、换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点六、配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型01：直接开方法解一元二次方程 【例1】已知关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直接开平方法解一元二次方程，涉及平方根的性质，利用平方根的含义解方程，根据非负数才有平方根可得答案． 【详解】解： ∵方程可以用直接开平方法求解， ∴． 故答案为 【例2】若关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方的非负性是解题关键．根据直接开平方法可得关于m的不等式，进而求解可得． 【详解】解：可以用直接开平方法求解， ， ． 故答案为 【例3】方程的解是 ． 【答案】或 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了直接开平方法，掌握直接开平方法解方程是解题的关键．根据直接开平方法求解方程即可． 【详解】解：， ， 或（舍去）， ， 或． 故答案为：或． 【例4】若，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D． 【答案】A 【分析】把看成一个整体，利用直接开平方法求解方程，再根据，即可得到的值． 本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，注意把看成一个整体是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ， ， 故选：A． 【例5】用直接开平方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：根据平方根的意义，得， 解得． 【例6】解一元二次方程：（直接开平方法） 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再利用直接开平方法求解即可. 【详解】解：， 两边都除以3得：， ∴， 解得：，； 题型02：因式分解法解一元二次方程 【例7】解方程 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程解法是解题关键． （1）利用因式分解即可求解． （2）移项，用平方差公式分解因式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【例8】解一元二次方程． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，利用因式分解法进行求解即可． 【详解】解： 或， 解得，． 【例9】解方程： 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法求解是解题关键．先移项，再根据因式分解法求解即可． 【详解】解： ， ∴或， ∴，． 【例10】解方程：． 【答案】， 【分析】利用因式分解法求解即可；本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则或 解得， ． 【例11】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 题型03：配方法解一元二次方程 【例12】用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 【例13】用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到、的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ，， ， 故选：C． 【例14】解下列方程： (1)（用配方法） (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（1）根据配方法，配成完全平方求解即可； （2）先把移到左边，然后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：整理得， 配方得，即， ∴， ∴，； （2）解：， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的配方法和因式分解法是解决本题的关键． 【例15】用适当的方法解下列方程： (1) (2) （配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解： 或 解得：，； （2）解： 或 解得：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【例16】用配方法解方程： (1) (2)． （3） ． 【答案】(1)， (2)，【3】 【详解】（1）解： 方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， （2）解： 方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， （3）， ， ， ， ， ， ， ∴． 题型04：公式法解一元二次方程 【例17】用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0时，计算b2﹣4ac的结果为（    ） A．17 B．14 C．11 D．8 【答案】A 【分析】根据公式法求解一元二次方程可进行求解． 【详解】解：由一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0可知：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查公式法求一元二次方程，熟练掌握公式法是解题的关键． 【例18】用配方法解方程：（1）． （2） ． （3）． 【答案】（1），（2），（3）， 【分析】本题考查配方法求解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元一次方程是解题的关键； 根据配方法解一元一次方程的方法即可求解； 【详解】解：两边都除以，得 配方，得 ∴， （2）∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． （3） ， ，． 【例19】用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）原方程没有实数根；（3）， 【分析】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握，． （1）（2）（3）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； 解：（1）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴原方程没有实数根； （3）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴． ∴， ∴， ． 【例20】用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将方程化为一般形式，再代入公式法即可求解； （2）先将方程化为一般形式，再代入公式法即可求解． 【详解】（1）解：方程可化为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ （2）解：两边同时乘以10，方程最终可化为， ∴， ∴，   ∴， ∴． 【点睛】本题考查利用公式法求解一元二次方程．注意公式法的使用前提为：方程为的一般形式． 题型05：换元法解一元二次方程 【例21】解方程： 【答案】 【分析】方法一：利用因式分解法解方程； 方法二：设，则原方程变为，然后解关于y的方程，最后再来求x的值． 【详解】方法一： 解：． ， ， ∴或， ∴． 方法二： 解：，则有， ∴； 解得，或； ①当时，； ②当时，． ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 【例22】解方程： 【答案】x1=-2，x2=2 【分析】利用换元法解方程． 【详解】解：设y=x+1，则由原方程得到：y2-2y-3=0． ∴（y+1）（y-3）=0． ∴y+1=0或y-3=0． ∴y=-1或y=3． ∴x+1=-1或x+1=3． ∴x1=-2，x2=2． 【点睛】考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 【例23】已知，求的值． 【答案】的值为7或1 【分析】 设，则，对原方程进行变形，求出y的值，即为的值． 【详解】 解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或1， ∴的值为7或1． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法，把看作整体，直接求出的值是解题的关键． 【例24】已知x是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程，先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 则原方程可变形为： ， ， 或 解得，， 则，， 当时，，故该方程无实数根， 当时，，故该方程有两根实数根， 所以， 故答案为：3． 【例25】已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是，， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：B． 题型06：用适当的方法解一元二次方程 【例26】解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可根据方程特点分别用配方法和因式分解法来解． （1）利用配方法求解，即可解题； （2）利用公式法求解，即可解题． 【详解】（1）解： ∴； （2）解：∵，， ， ∴ ， ∴ ， ∴，． 【例27】按要求解方程： (1)（用因式分解法）； (2)（用公式法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ，，， ， ， 解得，． 【例28】解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，平方差公式，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）首先利用平方差公式展开并且移项，合并后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ，， 解得，； （2）解： 或 解得，． 【例29】解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据一元二次方程的特点灵活选择解法是解题的关键． （1）方程两边同时加上4，再利用配方法解一元二次方程即可； （2）方程两边同时除以7，再利用直接开平方法解一元二次方程即可； （3）方程移项得，方程左边提取公因式进行因式分解即可求解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）， ， ， ，； （3）， ， ， ， 或， ，． 题型07：配方法的应用 【例30】代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 【答案】D 【分析】利用配方法把所给代数式变形为，根据偶次方的非负性推出，由此即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值一定不小于1， 故选D． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将所给代数式变形为是解题的关键． 【例31】代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴选项D不可能， 故选：D． 【例32】已知为实数，若，那么的值为 ． 【答案】2或3 【分析】将原方程变形为，然后把看作一个整体运用因式分解法求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴, ∴, ∴， 解解，， 故答案为：2或3． 【点睛】本题主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正确将原方程进行变形运用因式分解法求解是解答本题的关键． 【例33】阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为______； (2)用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． (3)若实数，满足，求的最小值． 【答案】(1)或 (2)最小值为， (3)4 【分析】本题考查了完全平方式以及配方法的应用，在配方法中，通过加上或减去适当的常数，可将代数式凑成完全平方式，在配方时加减的常数为解决本题的关键． （1）根据完全平方式的定义求解即可． （2）由配方法的定义，可将配方成，将配方成，再配平常数，根据完全平方式非负即可求解最值，再由幂的运算法则即可计算． （3）先将转化为，再将配方为，将看做一个整体，根据完全平方式非负即可整体求解的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方式的定义，即， 可知代数式中，， 则， 当时，，解得； 当时，，解得； 所以或． （2）解： ， ，， 当，时，有最小值，最小值为， 此时，，解得：，． 所以． （3）解：， ，， ，，的最小值为4． 题型08：一元二次方程解法与三角形结合 【例33】已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，先利用因式分解法求出方程的解，设第三边为x，根据三角形的三边关系定理得出，再逐个判断即可． 【详解】解： ， 解得：， 则三角形的两边长分别为：2，8， 设第三边为x，则由三角形的三边关系定理得：， 即， 只有8符合题意， 故选：C． 【例34】已知等腰三角形的底边长为4，腰长恰好是关于的一元二次方程的一个根，则的周长为（   ） A．6 B．10 C．14 D．6或14 【答案】C 【分析】通过解一元二次方程求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长． 本题综合考查了一元二次方程-开平方法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想． 【详解】解：由一元二次方程，得， 解得，或； ∴等腰三角形的两腰长是5或1； ①当等腰三角形的腰长是1时，，构不成三角形，所以不合题意，舍去； ②当等腰三角形的腰长是5时，，，所以能构成三角形， 所以该等腰三角形的周长； 故选：C． 题型09：一元二次方程的新定义问题 【例35】字母x、y表示两个有理数，且，现规定表示x、y中较小的数，例如：，，若，则x的值为（   ） A．3 B．1 C．3或1 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意分情况讨论，再分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即：， ∴， 即：， 移项配方得：， 解得：，即：或（舍）， 当时，， 即：， ∴， 即：， 解得：（舍）或， 综上所述：或， 故选：C． 【例36】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【解析】与是“同族二次方程”， ， ， ，解得：， ， 当时，能取的最小值是2019， 故选：． 【例37】如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若时，则方程是倍根方程． 【答案】③④/④③ 【分析】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． ①求出方程的解，再判断是否为倍根方程； ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断； ③当p，q满足，则，求出两个根，进而判断是否为倍根方程； ④用求根公式求出两个根，将变为：，代入进一步化简，得出关系式，利用“倍根方程”定义即可判定． 【解析】解：①解方程得： ，， ， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， 故②错误； ③∵， 方程变为：， 即， ∴， ∴或 ，， ， 关于x的方程是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为： ，， ， ， ，， ， 若时，则方程是倍根方程， 故④正确， 故答案为：③④． 一、选择题 1.（2023-24七年级秋上海松江·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：C． 2．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解方程时，配方法所得的方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法的方法步骤是解本题的关键．方程变形后，配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程， 变形得：， 配方得：，即， 故选：B． 3．（2023-24七年级秋上海黄浦·期中）方程的两根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法，解一元二次方程即可． 【详解】解：方程中，，， ， ∴． 故选：D． 4．（2023-24七年级秋进华中学期中）代数式的最小值为（    ）． A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案． 【详解】代数式 ∵， ∴即代数式， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解． 5．（2023-24七年级秋上海普陀·期中）已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，首先解两个方程，找到它们的解，再根据有相同解的条件建立关于和的关系式． 【详解】解：解方程，得和． 解方程，得． 若是第二个方程的解，则． 若是第二个方程的解，则． ∴或， ∴或即． 故选：D． 6.（2024秋建平中学期中）定义，若，则的值为 ． 【答案】0或4/4或0 【分析】本题考查了新定义，涉及解一元二次方程，正确理解新定义，运用分类讨论的思想是解题的关键． 当时，；当时，，再解方程即可，注意检验的值是否符合讨论的前提条件． 【详解】解：当时，， 经检验，符合题意； 当时，， 解得：或（舍）， 综上，的值为0或4， 故答案为：0或4． 2、 填空题 7．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项再化简，然后利用开平方法可求得结果，正确计算是解答本题的关键． 【详解】解：， 移项得：， 化简得：， 开方得：或， 解得：，， 故答案为：，． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先将方程整理成一般形式，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 解得， 故答案为：，． 9.（24-25九年级上·江苏常州·期中）一元二次方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法，理解非负数的性质是解答此题的关键．首先利用配方法将代数式转化为，然后根据非负数的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴的最小值为， 即代数式的最小值为． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若x、y为实数，且，则的值是 ． 【答案】2 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用得出关于t的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案． 【详解】解：设，， ∴原方程变形为， ∴， ， 或， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：2． 12．（2023-24七年级秋上海徐汇期中）方程（y﹣2）（y﹣3）＝12解为 ． 【答案】， 【分析】将方程转化为一般形式，再根据因式分解法求解即可． 【详解】解： 化简得： 解得， 故答案为， 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 13．（2023-24七年级秋上海松江·期中）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先将方程整理成一般形式，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 解得， 故答案为：，． 14．（2023-24七年级秋上海闵行·期中）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把看做一个整体，把方程左边因式分解得到，则可推出，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 15．（2023-24七年级秋上海青浦期中）已知为等腰三角形，它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是 ． 【答案】6 【分析】先求得的两个根，根据等腰三角形分类计算即可． 【详解】∵， ∴ 解得， ∴为等腰三角形三边长为或（不存在，因,故舍去）， ∴为等腰三角形周长为， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形的存在性，熟练掌握解方程，等腰三角形的分类是解题的关键． 16．（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 三、解答题 16．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用直接开方法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】 ∴ 解得，． 18．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得． 19．（23-24八年级上·上海崇明·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，把看作整体，运用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得：． 20.解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用平方差公式法求解即可． 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： ， ， 21.（24-25八年级下·北京·期中）用适当的方法解下列关于的方程： （1） （2） （3） （4）； 【答案】（1），；（2），，；（3），；（4），． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用适合方法解一元二次方程是解题的关键． （1）整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先因式分解法求得，再利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）先设，方程变形为，再利用配方法解一元二次方程即可． 解：（1）解：， 变形为， ∴或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得， ∴或， 解得：， 解， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， 分解因式得， ∴或， ∴，； （4）解：， 设， 则方程变形为， 分解因式得， ∴或， ∴或， 当时，， 即， ∵， 没有实数解； 当时，， 即， ∵， ∴， 解得：，． 22．（25-26九年级上·全国·课后作业）【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 23．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“黄金方程”，理由见解析 (2)的最小值为． 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【详解】（1）解：是“黄金方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 24．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）【阅读材料】分解因式：． 解：原式 ． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项使这三项构成完全平方式，我们称这种方法为“配方法”．本题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点． (1)用“配方法”分解因式． (2)用“配方法”求代数式的最小值． (3)已知，请求以a、b为边的等腰三角形的底边长； 【答案】(1)(2)4 (3)等腰三角形的底边长为1 【分析】（1）根据“配方法”，将变形为，后用完全平方公式，平方差公式分解因式即可． （2）用“配方法”构造完全平方式，利用非负性求代数式的最小值即可． （3）先将转化为，求得a、b，后分类求等腰三角形的底边长． 【详解】（1）解： ． （2）解： 的最小值是4． （3）∵， ∴， ∴，， ∴，， ①当三边为2，2，1时，能构成三角形， ∴底边长为1； ②当三边为2，1，1时，不能构成三角形， 综上可知：等腰三角形的底边长为1． 【点睛】本题考查了配方法分解因式，求代数式的最值，实数的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系定理应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $