专题19.2（1）实数（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦实数核心知识点，从有理数的小数形式（有限小数、无限循环小数）切入，过渡到无理数的定义及常见类型，进而构建实数的分类体系和与数轴的一一对应关系，形成从有理数到实数的完整知识支架。 资料亮点在于通过面积为2的正方形引入无理数，培养几何直观（数学眼光），夹逼法估算无理数大小提升推理意识（数学思维），数轴表示实数体现模型意识（数学语言）。题型含典例与变式，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题19.2（1） 实数 教学目标 1.理解有理数与小数的关系，能将有理数化成小数，将循环小数化成有理数； 2.理解无理数的意义，会在数轴上表示无理数，能用夹逼法估算无理数的大小； 3.理解实数的意义、分类，理解实数与数轴上的点一一对应。 教学重难点 1.重点 无理数的意义及实数的分类。 2.难点 无理数的辨析与近似值的估算。 知识点01 有理数的小数形式 1. 有理数与有限小数 像…这样分母只含质因数2或5的最简分数都可以化成有限小数； 2. 有理数与无限循环小数 分母除了2或5外还含有其他质因数的最简分数都可以化成无限循环小数； 如：、、、 3. 有限小数和无限循环小数都可以化成分数 【即学即练】 1. 将下列小数化成分数（选学） (1)0.5，(2)0.，（3）1. 解：（1）0. （2）设，那么 所以 化简，得 所以， 即，0. （3）设，那么 所以 化简，得 所以， 即，1. 知识点02 无理数 1.定义 无限不循环小数叫作无理数。 如图，图中阴影正方形的面积为2，所以边长为，因为，所以它肯定不是整数。 通过夹逼法可以得到下表： 如此下去，可以得到=1.414213562373095048801688724209698078569…, 它既不是有限小数，也不是无限循环小数(不能化为分数)。 2.常见的无理数 =3.141592 653 589 793 238462 643 383 279 502 884 197 169 3……… =1.732050 807 568 877 293527 446 341505 872 3669…… 任意写一个无限不循环小数，如1.010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”），它也是无理数。 【即学即练】 1. 在实数，，，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，，中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像（两个1之间依次多一个0）这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可得出答案． 【详解】解：，， 则，，，是有理数， ，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，是无理数，共3个； 故选：D． 知识点03 实数 1.定义 有理数和无理数统称为实数。 2.实数的分类 3.实数与数轴上的点一一对应 题型01 有理数的小数形式 【典例1】将下列分数化成小数： (1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】本题考查了分数化小数，有理数的除法的知识，正确的计算是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据分数化小数依次进行有理数的除法计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为． （2）解：由题意得， 故答案为． （3）解：由题意得， 故答案为． （4）解：由题意得， 故答案为． 【典例2】将下列小数化成分数 (1)4.，(2)0. 解：（1）设，那么 所以 化简，得 所以， 即，4. （2）设，那么 所以 化简，得 所以， 所以，3 即，0. 【变式1】下列分数中，不能化为有限小数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题通过将各选项分数化为小数，即可判断出不能化为有限小数的选项，即可求解． 【详解】解：分别计算各选项得，是有限小数， ，是有限小数， ，是无限循环小数，不能化为有限小数， ，是有限小数， 不能化为有限小数的是． 故选：C． 【变式2】分数，，，中，能化成有限小数的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查的是分数能否化成有限小数的判断方法，关键是掌握“一个最简分数，若分母的质因数只有和，则能化成有限小数”这一规则．通过分解每个分数分母的质因数，判断是否仅含和，进而确定能化成有限小数的分数个数． 【详解】，含质因数，不能化成有限小数； ，只有质因数，能化成有限小数； ，含质因数，不能化成有限小数； ，只有质因数和，能化成有限小数． 能化成有限小数的有个． 故选：． 【变式3】化简的结果是（   ）将，和从小到大排列为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分数化小数，把化成小数，再比较大小即可． 【详解】解：， 所以， 故答案为：． 【变式4】将0.1化成分数 （2）设，那么x 所以 化简，得 所以， 所以，1 即，0.1 题型02 无理数的识别 【典例1】已知实数，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），0.23，，其中无理数有______个． 【详解】解：，是整数，属于有理数；，是有限小数，属于有理数；其中无理数为（相邻两个之间的个数逐次加），，共个． 【变式1】下列实数中，无理数是（     ） A． B． C． D． 【详解】解：A. 是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B. 是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； C. 是无限不循环小数，是无理数，本选项符合题意； D. 是分数，属于有理数，本选项不符合题意． 【变式2】下列各数中，无理数是（     ） A． B． C． D．0 【详解】解：选项A、是整数，不符合题意； 选项B、是无限不循环小数，是无理数，符合题意； 选项C、是分数，不符合题意； 选项D、是整数，不符合题意． 【变式3】在下列各数0.101001000100001、0、、、3.14、、中，无理数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【详解】解：是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，因此是无理数； 综上所述，无理数共有个． 【变式4】在，，，（每两个之间的个数依次增加），，中，无理数的个数有______个． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； （每两个之间的个数依次增加）是无限不循环小数，是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开方开不尽的数，是无理数； 无理数有个． 题型03 实数的分类 【典例1】将下列各数填入相应的括号里：，，0，8，，π，，，，． 非负数：{                              }； 整数：{                               }； 有理数：{                }； 非正整数：{                    }． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了实数的分类，准确分析判断是解题的关键．根据实数的分类判断即可； 【详解】解：非负数：{，0，8，π，，}； 整数：{0，8，}； 有理数：{，，0，8，，，，，}； 非正整数：{0，}． 【变式1】下列四个说法中，正确的有（    ）． （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类，根据有理数和无理数的定义判断各说法的正误． 【详解】解：（1）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故（1）的说法错误； （2）无理数是指无限不循环小数，都是无限小数，故（2）的说法正确； （3）正实数包括正有理数和正无理数，故（3）的说法正确； （4）实数包括正实数、负实数和零，故（4）的说法错误． 综上，正确的说法有（2）和（3），共2个． 故选：B． 【变式2】下列说法中正确的有（    ） ①，，都是无理数；        ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类；        ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的定义，求一个数的算术平方根和平方根，实数与数轴的关系，根据可判断①；根据0是有理数可判断②；根据0是实数可判断③；根据绝对值的非负性可判断④；根据平方根的定义可判断⑤；根据实数与数轴上的点一一对应可判断⑥． 【详解】解：①是有理数，原说法错误； ②无理数包括正无理数、负无理数，不包括零，原说法错误； ③实数分为正实数、负实数和0三类，原说法错误； ④绝对值最小的实数是0，原说法正确； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0，原说法错误； ⑥实数与数轴上的点一一对应，原说法错误； ∴说法正确的只有1个， 故选：A． 【变式3】在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的定义，整数与分数统称有理数，无限不循环小数是无理数，只需逐个判断各数，即可得到有理数的个数，即可求解． 【详解】解： 是有限小数，属于分数，是有理数； 是分数，是有理数； （每两个之间依次多 个 ）是无限不循环小数，是无理数； 中 是无限不循环小数，故是无理数； 是整数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； 综上，有理数共有 个． 【变式4】把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 【详解】（1）正实数：{，，，（两个1之间依次增加一个7）}； （2）负实数：{，}； （3） 有理数：{，，}； （4）无理数：{，，（两个1之间依次增加一个7）}． 题型04 无理数的大小估算 【典例1】对于无理数，因为，所以的整数部分是1，小数部分是．请仿照上面的方法解答下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 则的整数部分是：，小数部分是； （2）解：， 即， ， 的整数部分为11，小数部分为， 即． ． 【变式1】一个正方形的面积是5，估计它的边长大小在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，无理数的估算，根据正方形的面积公式求出边长，夹逼法求出无理数的范围即可． 【详解】解：∵正方形的面积是5， ∴它的边长为， ∵， ∴； ∴它的边长大小在2与3之间； 故选A． 【变式2】若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算．先估算，通过计算两式的差值并判断其正负，从而比较大小． 【详解】解：∵，即， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． 【变式3】阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 【详解】（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． 【变式4】小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等面积法得大的正方形的面积，结合算术平方根的性质，得大的正方形的边长，然后运用无理数的估算，得出边长介于两个连续整数2和3之间； （2）由（1）得，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，列式表达出点在数轴上表示的数为或； （3）先整理得点在数轴上表示的数为，根据数轴上的两点间的距离进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为 ∴大的正方形的边长为， 即 ∵， ∴， 即边长介于两个连续整数2和3之间； （2）解：由（1）得， 把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合， 则点在数轴上表示的数为或； （3）解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为， ∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点所表示的数为， ∴， ∴， 解得， 即点所表示的数为． 题型05 用计算器求无理数的近似值 【典例1】用计算器计算（结果精确到）： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了计算器运算算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用计算器算出，再运算乘法，最后运算加法，即可作答． （2）先运用计算器算出，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 【变式1】用计算器计算（结果精确到0.01）： （1）______； （2）______． 【答案】 4.82 8.02 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 利用立方根的定义即可得到结果． 【详解】（1）； （2）． 故答案为：4.82，8.02． 【变式2】用计算器计算的值大约为（   ） A．3.0482 B．3.0495 C．3.0513 D．3.0525 【答案】B 【分析】此题主要考查了用计算器求数的立方根，以及四舍五入法求近似值问题的应用，要熟练掌握． 利用计算器计算即可． 【详解】解：， 故答案为：B． 【变式3】小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 【详解】解：右图可知：， ∴， ∴； 故选D． 【变式4】计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算以及根式、圆周率的近似值计算，解题的关键是记住，，再进行相应运算． 先确定、、、的近似值，再代入式子进行减法运算，最后按要求保留小数点后两位． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型06 用数轴上的点表示实数 【典例1】已知七个实数，，4，，，0， 其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______； (2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）； (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 【详解】（1）解：根据A、B、C、D在数轴上的位置可知，点A表示数0，点B表示数，点C表示数，点D表示数， 故答案为：0，，，； （2）解：如图所示： ； （3）解：整数：{4，0，…}； 分数：{，…}； 无理数：{，…}． 【变式1】将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【详解】解：∵，，， ∴， 在数轴上表示各数如图： 由数轴可知：． 【变式2】与数轴上的点一一对应的是（   ） A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数 【详解】解：根据题意，得数轴上的点与实数是一一对应的． 故选：D． 【变式3】下列选项中，可以用点表示的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴点表示在和之间，如图： ， 故选：A． 【变式4】如图，是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数所对应的点紧靠着（与数所对应的点重合）．假设硬币的直径为个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵硬币的直径为个单位长度， ∴硬币的周长为个单位长度， ∵ 与数所对应的点重合， ∴点对应的实数是，即， 故选：． 1．下列结论正确的是（        ） A．无限小数是无理数 B．带根号的数是无理数 C．循环小数是实数 D．一个正数的n次方根有n个 【答案】C 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，以及n次方根的性质判断即可． 【详解】解：A、无限小数不一定是无理数，如，故错误，不合题意； B、带根号的数不一定是无理数，如，故错误，不合题意； C、循环小数是实数，故正确，符合题意； D、一个正数的n次方根有一个或两个，故错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数，无理数的定义．无理数有三个来源：（1）开方开不尽的数；（2）与有关的一些运算；（3）有规律的无限不循环小数． 2．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周率的性质、数轴和有理数、无理数、实数的定义等，熟练掌握圆周率是无理数，属于实数是解题的关键． 【详解】选项A：圆周率是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数，不符合题意； 选项B：实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而圆周率是实数，所以数轴上能找到表示它的点，不符合题意； 选项C：实数包含有理数和无理数，圆周率是无理数，也是实数，符合题意； 选项D：圆周率，小于，不符合题意； 故选：C． 3．在实数、0.101001001、、0、、、、3.14、中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数，判断每个数是否为无理数（无限不循环小数），仅需识别无限不循环小数或不能表示为分数的数． 【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数， ∴ 是分数，是有理数； 是有限小数，有理数； 是无理数； 是整数，是有理数； 是无理数； ，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是循环小数，是有理数； ∴ 无理数有和，共2个． 故选：B． 4. 在分数中，不能化成有限小数的分数是___________． 【答案】 【分析】本题考查分数能否化成有限小数的判断方法，核心是先将分数化为最简分数，再看分母的质因数是否只包含2和5． 【详解】解：逐一分析各分数： 化简为，分母，只含质因数2，能化成有限小数； 的分母，只含质因数2和5，能化成有限小数； 的分母，只含质因数2，能化成有限小数； 化为，分母的质因数为，不能化成有限小数（是无限循环小数）． 故答案为：． 5．将、、三个数用“<”连接：___． 【答案】 【分析】此题考查了将分数转化成小数，比较小数大小的方法，解题的关键是将转化成小数．首先将转化成小数，然后根据小数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为 6．写出一个介于3和4之间的一个无理数：_____．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的定义和取值范围，掌握知识点是解题的关键． 考虑无理数的定义和取值范围，选择3和4之间的平方根或圆周率等常见无理数． 【详解】解：无理数是无限不循环小数．由于，，因此、、、、、都是介于3和4之间的无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 8．已知是两个连续整数，若，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算及算术平方根，熟练掌握无理数的估算及算术平方根是解题的关键；首先估算的取值范围，由于，因此，即，从而确定连续整数，；然后计算，并化简为，然后问题可求解． 【详解】解：因为，所以，即． 由于，是两个连续整数，且， 因此，． 则． 故答案为． 9．把下列各数分别填入相应的集合内： ，，，0，，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），3.14 (1)负实数集合{               …}； (2)分数集合{               …}； (3)无理数集合{               …}． 【答案】(1)，，，， (2)，3.14 (3)，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0）， 【分析】本题考查了实数的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据小于0的实数为负实数进行逐个分析，即可作答； （2）结合分数的定义进行逐个分析，即可作答． （3）根据无限不循环小数即为无理数进行逐个分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ∴ ∴负实数集合{，，，，，…}； （2）解：依题意，，不是分数， ∴分数集合{，3.14，…}； （3）解：依题意， ∴，不是无理数， ∴无理数集合{，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），…} 10．如图①，有十个边长为1的小正方形组成的图形．我们可以把这个图形剪开拼成一个正方形，如图②中的虚线． (1)图②中拼成的正方形的边长是_____； (2)在的方格图③中，连接4个格点能组成面积为10的正方形吗？若能，请用直尺画出来． (3)如图④，数轴上点表示的数是_____． 【答案】(1) (2)能，画图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理与网格问题，利用网格特点灵活画出正方形是解答关键． （1）根据10个小正方形组成的面积不变来求解； （2）根据题意画出边长为的正方形图形即可； （3）根据数轴求出的距离，再结合数轴即可求解． 【详解】（1）解：10个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，为10， 所以拼成的正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：能，如图所示： （3）解：由数轴可知， 点表示的数为， 故答案为：． 1．与最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 又， 即， ，，且 ， 更接近，选项符合题意． 2．下列各数中最小的数是（） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据实数的大小比较法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即最小的数是． 3．下列四个数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是开方开不尽的数，是无限不循环小数，∴是无理数． 是有限小数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数． 因此只有A选项是无理数． 4．在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据无理数定义（无限不循环小数是无理数），逐个判断给定实数，统计无理数个数得到结果，常见无理数包括含π的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类． 【详解】∵是分数，0是整数，3.14是有限小数，是整数，以上都属于有理数； 又∵中π是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开平方开不尽，是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开立方开不尽， ∴是无理数， ∵0.202002000…是无限不循环小数， ∴是无理数， 是分数、0是整数、3.14是有限小数、是整数，这些都是有理数， ∴无理数共有4个． 5．已知，则实数m的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定的取值范围，再求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即； 则， ∴， 即． 6．估计的值应在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】D 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式性质得到的范围，即可确定结果． 【详解】解：， ，即， ，即， 的值在到之间． 7．比较大小：____（填“”或“或”）． 【答案】< 【分析】本题考查负数的大小比较，解题思路为先求出两个负数的绝对值，比较绝对值的大小，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”得到结果． 【详解】解：∵ ，，， ． 8．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 【答案】/ 【分析】根据题意得出，结合数轴即可求解． 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 9．把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 【答案】；； 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握实数的分类，实数是有理数和无理数的统称，有理数是整数和分数的统称，无限不循环小数叫做无理数．根据整数、有理数、无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：是无限循环小数，故不是整数，是有理数； ，是整数，也是有理数； 是有限小数，是有理数， 是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，故是无理数； ，是整数，也是有理数； 是整数，也是有理数； （每两个之间多一个）是无限不循环小数，故是无理数； 是分数，故是有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故是无理数． 综上，属于整数的有：； 属于有理数的有：； 属于无理数的有：． 故答案为：；；． 10．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算得出，即可求解； （2）作差可得，根据无理数的估算得出，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为5． （2）解：， ， ， ， ． 11．观察图形，每个小正方形的边长为1． (1)则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ． (2)已知阴影正方形的边长为x，且，若a和b是相邻的两个整数，那么 ， ． (3)若设图中阴影正方形的边长为x，请在下面的数轴上准确地作出数x所表示的点，若还有一个点B与它的距离为1，则这个点B在数轴上所表示的数为 ．      【答案】(1)10， (2)， (3)图见解析， 【分析】（1）先利用大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积即可计算得出阴影部分的面积，再计算其算术平方根即可得出阴影部分的边长； （2）利用无理数的估算得出，即可求得a、b的值； （3）由题意知，阴影部分的边长是边长为3和1的直角三角形的斜边长，作边长为3和1的直角三角形，再以原点为圆心，斜边长为半径画弧交数轴的正半轴于点A，由于斜边长为，则A点表示的数为，然后把加上或减去1得到B点表示的数． 【详解】（1）解：∵图中阴影部分的面积为， 所以图中阴影部分的边长为； 故答案为：10；； （2）解：∵， ∴， ∵，且a和b是相邻的两个整数， ∴； 故答案为：3，4； （3）解：如图，点A为所作， B点表示的数为或． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，实数与数轴．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 【答案】(1)， (2)2， (3)他不能裁出来，理由见详解 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）先列式，则，则长方形纸片的长为，根据，，故，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴ ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得点B表示的数为， 依题意，， ， 的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （3）解：他不能裁出来，理由如下： 依题意，设长方形纸片的长为， ∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为， ∴宽为，， 则， ∴（负值已舍去） 则长方形纸片的长为， ∵， ∴， 依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且 ∵ 即， ∴他不能裁出来． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.2（1） 实数 教学目标 1.理解有理数与小数的关系，能将有理数化成小数，将循环小数化成有理数； 2.理解无理数的意义，会在数轴上表示无理数，能用夹逼法估算无理数的大小； 3.理解实数的意义、分类，理解实数与数轴上的点一一对应。 教学重难点 1.重点 无理数的意义及实数的分类。 2.难点 无理数的辨析与近似值的估算。 知识点01 有理数的小数形式 1. 有理数与有限小数 像…这样分母只含质因数2或5的最简分数都可以化成有限小数； 2. 有理数与无限循环小数 分母除了2或5外还含有其他质因数的最简分数都可以化成无限循环小数； 如：、、、 3. 有限小数和无限循环小数都可以化成分数 【即学即练】 1. 将下列小数化成分数（选学） (1)0.5，(2)0.，（3）1. 知识点02 无理数 1.定义 无限不循环小数叫作无理数。 如图，图中阴影正方形的面积为2，所以边长为，因为，所以它肯定不是整数。 通过夹逼法可以得到下表： 如此下去，可以得到=1.414213562373095048801688724209698078569…, 它既不是有限小数，也不是无限循环小数(不能化为分数)。 2.常见的无理数 =3.141592 653 589 793 238462 643 383 279 502 884 197 169 3……… =1.732050 807 568 877 293527 446 341505 872 3669…… 任意写一个无限不循环小数，如1.010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”），它也是无理数。 【即学即练】 1. 在实数，，，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，，中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 知识点03 实数 1.定义 有理数和无理数统称为实数。 2.实数的分类 3.实数与数轴上的点一一对应 题型01 有理数的小数形式 【典例1】将下列分数化成小数： (1)；(2)；(3)；(4)． 【典例2】将下列小数化成分数 (1)4.，(2)0. 【变式1】下列分数中，不能化为有限小数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】分数，，，中，能化成有限小数的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】化简的结果是（   ）将，和从小到大排列为____________． 【变式4】将0.1化成分数. 题型02 无理数的识别 【典例1】已知实数，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），0.23，，其中无理数有______个． 【变式1】下列实数中，无理数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列各数中，无理数是（     ） A． B． C． D．0 【变式3】在下列各数0.101001000100001、0、、、3.14、、中，无理数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式4】在，，，（每两个之间的个数依次增加），，中，无理数的个数有______个． 题型03 实数的分类 【典例1】将下列各数填入相应的括号里：，，0，8，，π，，，，． 非负数：{                               }； 整数：{                                }； 有理数：{                  }； 非正整数：{                     }． 【变式1】下列四个说法中，正确的有（    ）． （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【变式2】下列说法中正确的有（    ） ①，，都是无理数；        ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类；        ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 【变式4】把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 题型04 无理数的大小估算 【典例1】对于无理数，因为，所以的整数部分是1，小数部分是．请仿照上面的方法解答下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【变式1】一个正方形的面积是5，估计它的边长大小在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【变式2】若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 【变式3】阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 【变式4】小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 题型05 用计算器求无理数的近似值 【典例1】用计算器计算（结果精确到）： （1）______； （2）______． 【变式1】用计算器计算（结果精确到0.01）： （1）______； （2）______． 【变式2】用计算器计算的值大约为（   ） A．3.0482 B．3.0495 C．3.0513 D．3.0525 【变式3】小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【变式4】计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 题型06 用数轴上的点表示实数 【典例1】已知七个实数，，4，，，0， 其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______； (2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）； (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 【变式1】将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【变式2】与数轴上的点一一对应的是（   ） A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数 【变式3】下列选项中，可以用点表示的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数所对应的点紧靠着（与数所对应的点重合）．假设硬币的直径为个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 1．下列结论正确的是（        ） A．无限小数是无理数B．带根号的数是无理数 C．循环小数是实数 D．一个正数的n次方根有n个 2．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 3．在实数、0.101001001、、0、、、、3.14、中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. 在分数中，不能化成有限小数的分数是___________． 5．将、、三个数用“<”连接：___． 6．写出一个介于3和4之间的一个无理数：_____．（只需写出一个） 8．已知是两个连续整数，若，则___________． 9．把下列各数分别填入相应的集合内： ，，，0，，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），3.14 (1)负实数集合{               …}； (2)分数集合{               …}； (3)无理数集合{               …}． 10．如图①，有十个边长为1的小正方形组成的图形．我们可以把这个图形剪开拼成一个正方形，如图②中的虚线． (1)图②中拼成的正方形的边长是_____； (2)在的方格图③中，连接4个格点能组成面积为10的正方形吗？若能，请用直尺画出来． (3)如图④，数轴上点表示的数是_____． 1．与最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 2．下列各数中最小的数是（） A．1 B． C． D．0 3．下列四个数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 4．在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．已知，则实数m的范围是（     ） A． B． C． D． 6．估计的值应在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 7．比较大小：____（填“”或“或”）． 8．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 9．把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 10．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 11．观察图形，每个小正方形的边长为1． (1)则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ． (2)已知阴影正方形的边长为x，且，若a和b是相邻的两个整数，那么 ， ． (3)若设图中阴影正方形的边长为x，请在下面的数轴上准确地作出数x所表示的点，若还有一个点B与它的距离为1，则这个点B在数轴上所表示的数为 ．      12．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $