专题21.3 一元二次方程根的判别式（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦一元二次方程根的判别式核心知识点，从定义（△=b²-4ac）出发，先学习用判别式判断根的个数（△>0有两不等实根、△=0有两相等实根、△<0无实根），再逆用判别式求参数范围，最后结合方程解法综合解决问题，构建从基础到应用的学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计（含基础判断、参数范围、综合应用等），突出易错点提示（如二次项系数不为0、等根情况），搭配即学即练与变式训练。通过具体问题培养学生推理能力（如含字母系数方程根的判定）和应用意识（如综合题求解），课中助力教师系统教学，课后帮助学生强化练习，查漏补缺。

专题21.3 一元二次方程根的判别式 教学目标 1.理解根的判别式的含义，会用判别式判断方程实数根的个数； 2. 能结合含参数方程，利用判别式求字母取值范围。 3.综合利用根的判别式、一元二次方程的解法等知识解决问题。 教学重难点 1.重点 一元二次方程根的判别式的理解与应用。 2.难点 利用根的判别式、一元二次方程的解法等知识综合解决问题。 知识点01 一元二次方程根的判别式 1. 定义 一般地，式子b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的判别式，通常用希腊字母“△”表示它，即△=b²-4ac。 2. 利用一元二次方程的判别式判断方程的根的情况： ①当△>0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△=0时，方程有两个相等的实数根； ③当△<0时，方程无实数根. 【即学即练】 1. 下列关于x的一元二次方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程根的判别式为，根据根的情况，当时，方程有实数根判断即可． 【详解】解：A、由题意得， 则原方程没有实数根，不符合题意； B、由题意得， 则原方程没有实数根，不符合题意； C、由题意得， 则原方程没有实数根，不符合题意； D、由题意得， 则原方程有两个不相等的实数根，符合题意． 2．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算方程的判别式，解答即可； 【详解】解：A．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； B．，在这里，，得，方程有两个相等的实数根，不符合要求； C．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； D．，在这里，，得，方程有两个不相等的实数根，符合要求； 知识点02 一元二次方程根的判别式的逆用 在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中， (1)若方程有两个不相等的实数根b²-4ac >0; (2)方程有两个相等的实数根b²-4ac=0; (3)方程没有实数根b²-4ac<0. 【易错点睛】 （1）讨论一元二次方程根的情况时，不能忽略二次项系数不为0这一前提条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则，则b²-4ac≥0。不能忽略方程有两个相等实数根的情况。 【即学即练】 1. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，联立不等式求解即可． 【详解】解：由题意，该方程为一元二次方程，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式满足， 解得， 因此的取值范围是且． 2.已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】(1)证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； (2)的周长为或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 题型01 不解方程判断根的情况 【典例1】一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据判别式与的大小关系，即可判断方程根的情况. 【详解】解：对于一元二次方程， 可得，，， ， 方程有两个不相等的实数根. 【变式1】下列关于x的一元二次方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程根的判别式为，根据根的情况，当时，方程有实数根判断即可． 【详解】解：A、由题意得， 则原方程没有实数根，不符合题意； B、由题意得， 则原方程没有实数根，不符合题意； C、由题意得， 则原方程没有实数根，不符合题意； D、由题意得， 则原方程有两个不相等的实数根，符合题意． 【变式2】下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算方程的判别式，解答即可； 【详解】解：A．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； B．，在这里，，得，方程有两个相等的实数根，不符合要求； C．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； D．，在这里，，得，方程有两个不相等的实数根，符合要求； 【变式3】下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用判别式的值判断根的情况，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A、，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、，，，方程没有实数根，不符合题意； C、，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、，，，方程有两个相等的实数根，符合题意． 【变式4】关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，只需计算根的判别式的值与0的大小关系即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 可得 ，，， ， ∴ 方程有两个不相等的实数根 题型02 判定带有字母系数的方程根的情况 【典例1】关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】计算方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，利用判别式 时方程有实数根的性质解题. 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∴ ； ∴方程有两个实数根. 【变式1】关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断根的情况． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 【变式2】关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算判别式的值，由判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵，可得 ，，， ∴ 【变式3】关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【详解】解：关于x的一元二次方程中， ∵二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式4】已知关于x的方程． (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由； (2)无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 【答案】(1)时，方程有一个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根 (2)这个根为3 【分析】（1）分及，结合判别式的值即可判断． （2）由无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，又，推出，且即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，方程为，解得， 当时 ∵ ， 若，，则方程有两个相等的实数根； 若且，，则方程有两个不相等的实数根， 综上，当时，方程有一个实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当且时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵， ∴，且 解得， ∴无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3． 题型03 根据根的情况求参数的范围（二次项系数是数字） 【典例1】若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】若一元二次方程有实数根，那么方程根的判别式，可据此求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程中，，，； 若方程有实数根，则 ， 解得； 故的取值范围是：． 【变式1】若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 【答案】 【分析】一元二次方程无实数根时判别式小于零，列出关于的不等式，求解不等式即可得到满足的条件． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， ∴． 【变式2】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【变式3】已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，方程有实数根时根的判别式大于等于0，据此列不等式求解的取值范围． 【详解】解：中，，， ∵关于 的方程有实数根， ∴根的判别式， 解得． 【变式4】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，题目已明确方程为一元二次方程，二次项系数不为0，根据方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 题型04 根据根的情况求参数的范围（二次项系数是字母） 【典例1】若关于的一元二次方程(有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】一元二次方程有两个不相等实数根需同时满足两个条件：①二次项系数不为0，保证是一元二次方程；②判别式，保证两根不等．联立两个不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：由原方程是关于的一元二次方程， ， 解得：， 又原方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 即的取值范围是：且． 【变式1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程定义得到二次项系数不为零，再根据方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于零， 解不等式即可得到结果. 【详解】解：关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ，且， 整理得，解得； 综上，的取值范围是且. 【变式2】若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 将，，代入得， 解得， 满足， ∴的值是． 【变式3】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 【变式4】已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，结合一元二次方程根的判别式求解参数的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ． 方程有两个相等的实数根， ， 变形得， 解得或， 又， ． 题型05 求证一元二次方程根的情况 【典例1】关于x的方程． 求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； 【答案】证明：， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根； (2) 【变式1】已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 【答案】证明：∵， ∴ ∴ ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 【变式2】已知关于的方程． 求证：方程总有两个实数根； 【答案】证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． 【分析】先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根； 【变式3】已知关于的一元二次方程． 求证：该一元二次方程总有两个实数根； 【答案】 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足 ，即 ， 且， 化简得， ∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根； 题型06 一元二次方程根的判别式与解方程的综合 【典例1】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围． (2)若方程的一个根是另一个根的两倍，求a的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式，求解即可； （2）设方程的两个不相等的实数根为m，2m，代入原方程求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 且． （2） 解：设方程的两个不相等的实数根为m，2m， 由题意得 ②－①×4 得,4m+3=0， ∴m=－ 把m=－代入①式子，解得， 经检验，是该分式方程的解． 【变式1】已知关于x的方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2)不存在满足条件的实数 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可； （2）先用求根公式求出方程的根（用含k的代数式表示），再根据，由可得，与矛盾，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，． ∴且， ∵， ∴∆=， ∴-16k+9>0 解得：， ∴k的取值范围为且； （3） 解：求根公式可得， , ， +=0 ∴ 解得， 由（1）得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 不存在实数使得． 【变式2】已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值． 【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． (2)或 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 【变式3】已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 【变式4】关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，只需计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：选项A：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项B：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项C：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项D：方程整理为，得，，方程有两个不相等的实数根． 2．若关于 的一元二次方程无实数根，则 的取值范围是  （    ） A． B． C． D．全体实数 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程（为常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根. 根据题意得到，解不等式即可. 【详解】解：关于 的一元二次方程无实数根， ， 解得：， 故选：A. 3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 4．已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】已知，即判别式为0，方程有两个相等的实数根，通过配方即可得到方程的解． 【详解】解：∵一元二次方程，，且， ∴，方程有两个相等的实数根． 对原方程配方： 移项得， 两边同除以得， 配方得， ∵， ∴， ∴． 5．方程的根的判别式的值是____； 【答案】 【详解】解：方程即为， 根的判别式的值是． 6．判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 【答案】 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 没有实数根 【分析】对于一元二次方程，根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，先确定每个一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再计算根的判别式的值，根据判别式与0的大小关系判断根的情况． 【详解】解：①方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ②方程中，，，， ，因此该方程有两个相等的实数根； ③方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ④方程中，，，， ，因此该方程没有实数根． 7．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 8．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， ∴且． 9．已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一根为4，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）证明即可； （2）把代入原方程得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有一根为4， ∴把代入得， 解得或． 10．已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)若等腰三角形的两条边是方程的两根，边是方程的一个根，求的值． 【答案】(1)当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根 (2)m的值为5或9 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义； （1）求出根的判别式，通过判别式与0的大小关系分类讨论方程实数根的情况； （2）先解方程求出c的值，再分等腰三角形的两腰为方程相等的根、腰长为5两种情况，结合三角形三边关系确定m的取值． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，其中，，， 计算判别式， 当，即时，方程有两个不相等的实数根； 当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程没有实数根； （2）解方程得：， 因为是三角形的边长， 所以， 情况一：若，则方程有两个相等的实数根， 所以， 解得， 将代入方程得， 解得：， 因为，满足三角形三边关系， 所以此情况成立； 情况二：若或，即是方程的根， 将代入方程得， 解得， 将代入方程得， 解得：，， 因为，满足三角形三边关系， 所以此情况成立； 综上，m的值为5或9． 1．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程，判别式为 选项A：方程中，， ， 方程没有实数根，A不符合要求； 选项B：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，B不符合要求； 选项C：方程中， ， 方程有两个不相等的实数根，C符合要求； 选项D：方程中， ， 方程没有实数根，D不符合要求． 2．一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】运用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可求解． 【详解】解：∵，则，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 4．若，则关于的一元二次方程 的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】先计算方程的判别式，再结合已知条件判断判别式的符号，即可得到根的情况． 【详解】关于的一元二次方程 ， 可得， ，即， ， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 5．定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据新定义将方程整理为标准一元二次方程，通过判别式即可判断根的情况． 【详解】解：根据新定义可知， ∴方程整理为， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 6．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 7．若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：， ， ∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ． 8．已知实数满足，则代数式的值是____． 【答案】 【分析】将看作整体，利用因式分解法得到的可能取值，再利用一元二次方程根的判别式判断符合题意的取值，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解： 设， 原方程可化为 或 解得或 当时，，整理得 ，方程无实数根，不符合题意，舍去； 当时，，整理得 ，方程有实数根，符合题意 ． 9．设是实数，已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 【答案】(1)证明：， 该方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）求出根的判别式即可证明结论成立； （2）先用因式分解法求出方程的根，再根据方程的两根都大于列不等式组求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：由得， 或， ，． 方程的两根都大于， ， 解得， 的取值范围是． 10．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.3 一元二次方程根的判别式 教学目标 1.理解根的判别式的含义，会用判别式判断方程实数根的个数； 2. 能结合含参数方程，利用判别式求字母取值范围。 3.综合利用根的判别式、一元二次方程的解法等知识解决问题。 教学重难点 1.重点 一元二次方程根的判别式的理解与应用。 2.难点 利用根的判别式、一元二次方程的解法等知识综合解决问题。 知识点01 一元二次方程根的判别式 1. 定义 一般地，式子b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的判别式，通常用希腊字母“△”表示它，即△=b²-4ac。 2. 利用一元二次方程的判别式判断方程的根的情况： ①当△>0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△=0时，方程有两个相等的实数根； ③当△<0时，方程无实数根. 【即学即练】 1. 下列关于x的一元二次方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 知识点02 一元二次方程根的判别式的逆用 在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中， (1)若方程有两个不相等的实数根b²-4ac >0; (2)方程有两个相等的实数根b²-4ac=0; (3)方程没有实数根b²-4ac<0. 【易错点睛】 （1）讨论一元二次方程根的情况时，不能忽略二次项系数不为0这一前提条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则，则b²-4ac≥0。不能忽略方程有两个相等实数根的情况。 【即学即练】 1. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 2.已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 题型01 不解方程判断根的情况 【典例1】一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式1】下列关于x的一元二次方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． D、，，，方程有两个相等的实数根，符合题意． 【变式4】关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 题型02 判定带有字母系数的方程根的情况 【典例1】关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 【变式1】关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【变式3】关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式4】已知关于x的方程． (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由； (2)无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 题型03 根据根的情况求参数的范围（二次项系数是数字） 【典例1】若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 【变式1】若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 【变式2】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 【变式3】已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是________． 【变式4】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 题型04 根据根的情况求参数的范围（二次项系数是字母） 【典例1】若关于的一元二次方程(有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【变式1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 【变式2】若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________． 【变式3】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【变式4】已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________________． 题型05 求证一元二次方程根的情况 【典例1】关于x的方程． 求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； 【变式1】已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 【变式2】已知关于的方程． 求证：方程总有两个实数根； 【变式3】已知关于的一元二次方程． 求证：该一元二次方程总有两个实数根； 题型06 一元二次方程根的判别式与解方程的综合 【典例1】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围． (2)若方程的一个根是另一个根的两倍，求a的值． 【变式1】已知关于x的方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值． 【变式3】已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【变式4】关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于 的一元二次方程无实数根，则 的取值范围是  （    ） A． B． C． D．全体实数 3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 5．方程的根的判别式的值是____； 6．判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 7．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围________． 8．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 9．已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一根为4，求m的值． 10．已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)若等腰三角形的两条边是方程的两根，边是方程的一个根，求的值． 1．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．若，则关于的一元二次方程 的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 5．定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 8．已知实数满足，则代数式的值是____． 9．设是实数，已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 10．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $