培优课　与圆有关的最值问题 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“与圆有关的最值问题”，系统梳理圆的性质应用（如距离、切线长最值）和代数式几何意义转化（如斜率、截距、距离平方）两类核心内容，通过例题解析、规律总结与变式训练串联知识点，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“问题探究-规律提炼-变式应用”复习策略，如例1结合圆的性质求|MN|最大值，例2将x-y转化为直线截距问题，培养学生几何直观与逻辑推理能力。变式训练分层设计，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

第二章　直线和圆的方程 培优课　与圆有关的最值问题 探究点一　与圆的性质有关的最值问题 【例1】 (1)点M在圆C:x2+(y-1)2=4上,点N(2,3),则|MN|的最大值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 D 解析 圆C:x2+(y-1)2=4的圆心C(0,1),半径为r=2, ∵|NC|==4>2, ∴点N在圆外,∴|MN|max=|NC|+r=4+2=6.故选D. (2)已知P为直线y=x+1上的一点,M,N分别为圆C1:(x-4)2+(y-1)2=1与圆C2: x2+(y-4)2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　) A.5 B.3 C.2 D.1 B 解析 如图所示,由圆C1:(x-4)2+(y-1)2=1,可得圆心C1(4,1),半径为r1=1, 圆C2:x2+(y-4)2=1,可得圆心C2(0,4),半径为r2=1, 可得圆心距|C1C2|==5. 如图,|PM|≥|PC1|-r1,|PN|≥|PC2|-r2, 所以|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-r1-r2 =|PC1|+|PC2|-2≥|C1C2|-2=3, 当M,N,C1,C2,P共线且M,P,N位于C1,C2之间时,取得最小值, 故|PM|+|PN|的最小值为3.故选B. (3)已知圆C的方程为x2+y2=2,P是直线x-2y-5=0上的一个动点,过点P作圆C的两条切线PA,PB,A,B为切点,则四边形PACB的面积的最小值为　　　　. 解析 由圆C的方程为x2+y2=2,得到圆心C(0,0),半径r=. 由题意可得|PA|=|PB|,PA⊥CA,PB⊥CB, ∴S四边形PACB=2S△PAC=2×|PA||AC|=|PA|. 在Rt△PAC中, 由勾股定理可得|PA|2=|PC|2-r2=|PC|2-2, 当|PC|最小时,|PA|最小,此时所求的面积也最小. P是直线x-2y-5=0上的动点,当PC⊥l时,|PC|有最小值d=, 此时|PA|有最小值. ∴所求四边形PACB的面积的最小值为. 变式训练1　(1)(2026广东广州高二期中)已知M是圆x2+y2=1上的动点,N是圆(x-5)2+(y-2)2=4上的动点,点P在直线x+y+5=0上运动,则|PM|+|PN|的最小值为(　　) A.+3 B.+3 C.-3 D.-3 D 解析 设x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r=1,(x-5)2+(y-2)2=4的圆心为O1(5,2),半径r1=2,∴|PM|≥|PO|-r,|PN|≥|PO1|-r1,故|PM|+|PN|≥|PO|+|PO1|-(r+r1) =|PO|+|PO1|-3.设点O关于直线x+y+5=0的对称点为O2(x,y),则OO2垂直于直线x+y+5=0,且OO2的中点在直线x+y+5=0上, 即解得x=y=-5,∴O2(-5,-5). ∵两点之间线段最短,∴|PO|+|PO1|=|PO2|+|PO1|的最小值为|O1O2|, |O1O2|=, ∴|PM|+|PN|的最小值为|O1O2|-3=-3.故选D. (2)(多选题)(2026浙江杭州高二期中)在平面直角坐标系中,已知A(1,0), M(-3,0),N(3,0),直线l:y=kx+12,动点P满足|PM|=2|PN|,则下列说法正确的有 (　 　) A.原点O到直线l的距离的最大值为12 B.△PMA面积的最大值为8 C.点P到l距离的最大值为17 D.sin∠PMN的最大值为 ABC 解析 设P(x,y),由|PM|=2|PN|,得=2, 即(x-5)2+y2=16,则点P的轨迹是圆,且圆心C(5,0),半径r=4. 对于A,由于l恒过定点(0,12),而原点O和点(0,12)之间的距离为12,当直线l与过点O和点(0,12)的直线垂直时,原点O到直线l的距离最大,最大值为12,故A正确; 对于B,点P在圆(x-5)2+y2=16上运动,其圆心C(5,0)在x轴上,则△PMA面积的最大值为|MA|×r=×4×4=8,故B正确; 对于C,由于l恒过定点(0,12),点C(5,0)和点(0,12)之间的距离为13,当直线l与过点C(5,0)和点(0,12)的直线垂直时,点P到直线l的距离最大,最大距离为13+r=17,故C正确; 对于D,当直线PM与圆C相切时,∠PMN最大,此时PM⊥PC,易知|MC|=3+5=8,|PC|=4,则sin∠PMN=,故D错误.故选ABC. 探究点二　利用代数式的几何意义求最值 【例2】 (1)(2023全国乙)已知x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 (　　) A.1+ B.4 C.1+3 D.7 C 解析 由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为3的圆.设x-y=u,则x-y-u=0,且由题意知直线x-y-u=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,则≤3,解得1-3≤u≤1+3,所以x-y的最大值为1+3. (2)若点A(m,n)在圆C:x2+y2-2x-8y+1=0上,则的取值范围为(　　) A.[0,] B.[0,] C.[0,4] D.(-∞,] B 解析 点A(m,n)在圆C:x2+y2-2x-8y+1=0上,则的几何意义为圆上的点与定点P(-4,0)所连直线的斜率.圆C:x2+y2-2x-8y+1=0化为标准方程为(x-1)2 +(y-4)2=16,如图,设圆C的切线的方程为y=k(x+4),则=4,解得k=0或k=,故圆上的点与定点P(-4,0)所连直线的斜率k的取值范围为[0,].故选B. (3)已知实数a,b满足a2+b2-4a+3=0,则a2+(b+2)2的最大值为　　　　　.  4+9 解析 方程a2+b2-4a+3=0整理得(a-2)2+b2=1, 设点A(a,b),即A是圆C:(x-2)2+y2=1上的一点,圆C的半径r=1,圆心C(2,0). 又点B(0,-2)在圆C:(x-2)2+y2=1外,|AB|=, 所以|AB|max=|BC|+r=+1=2+1, 所以a2+(b+2)2的最大值为(2+1)2=9+4. 变式训练2 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则的取值范围为　　　 , y-x的最小值为　　　　　　,x2+y2的取值范围为　　　 　　　.  [-] -2- [7-4,7+4] 解析 圆x2+y2-4x+1=0的标准方程为(x-2)2+y2=3,圆心为(2,0),半径为. 易知x≠0,设=k,可得kx-y=0,则直线kx-y=0与圆(x-2)2+y2=3有公共点,则,解得-≤k≤,则的取值范围为[-]. 设y-x=b,可得x-y+b=0,则直线x-y+b=0与圆(x-2)2+y2=3有公共点, 则,解得-2-≤b≤-2+,则y-x的最小值为-2-. 设x2+y2=r2(r>0), 由于(0-2)2+02>3,则原点在圆(x-2)2+y2=3外, 因为圆x2+y2=r2与圆(x-2)2+y2=3有公共点,圆心距为d=2, 故|r-|≤2≤r+,解得2-≤r≤2+, 故7-4≤x2+y2≤7+4.即x2+y2的取值范围为[7-4,7+4]. 本 课 结 束 $