第三章 椭圆的综合问题 同步练习 培优课　 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦椭圆综合问题，分层梯度清晰，从基础概念到实际应用，强化数学思维与建模能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|椭圆定义与标准方程|直接应用概念（如第1题坐标范围、第2题方程求解），夯实数学抽象基础| |能力提升|性质应用与计算|结合几何直观（第5题影子离心率）、逻辑推理（第7题焦点三角形性质），发展运算能力| |综合应用|实际情境与轨迹问题|通过“挞圆”水池（第11题）、卫星轨道（第6题）等情境，培养数学建模与创新意识|

培优课　椭圆的综合问题 1.（2024·莱芜月考）已知P（m，n）是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是（　　） A.（1，2） B.[1，2） C.[1，2] D.（1，2] 2.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的面积为2π，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3.（2024·徐州月考）已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上有一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，则P点的坐标为（　　） A.（－，） B.（－，） C.（1，3） D.（3，1） 4.已知（2，1）是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积（　　） A.有最小值4 B.有最小值8 C.有最大值8 D.有最大值16 5.如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为（　　） A. B. C. D. 6.（多选）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则（　　） A.a－c＝m＋R B.a＋c＝n＋R C.2a＝m＋n D.b＝ 7.（多选）设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（　　） A.离心率e＝ B.△PF1F2面积的最大值为 C.以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切 D.·的最小值为0 8.（2024·无锡质检）斜率为－1的直线与椭圆C：＋＝1相交于A，B两点，则△AOB面积的最大值为　　　　. 9.已知动点P在椭圆C：＋＝1上，若点A的坐标为（3，0），点M满足｜｜＝1，·＝0，则｜｜的最小值是　　　　　. 10.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P，使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　. 11.（2024·绍兴月考）如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋＝1（x≤0）和＋＝1（x≥0）组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）. （1）求“挞圆”的方程； （2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t（t∈（0，15）），求该网箱所占水面面积的最大值. 12.在平面直角坐标系中，C1（0，－），圆C2：x2＋（y－）2＝12，动圆P过C1且与圆C2相切. （1）求动圆圆心P所在曲线C的方程； （2）若直线l过点（0，1）且与曲线C交于A，B两点，线段AB的中点在直线x＝－上，求直线l的方程. 培优课　椭圆的综合问题 1.C　因为P（m，n）是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，则0≤m2≤1，所以1≤2－m2≤2，即1≤m2＋n2≤2，所以m2＋n2的取值范围是[1，2]. 2.A　由题意得解得所以椭圆C的标准方程是＋＝1.故选A. 3.B　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0（a≠4），由消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，由Δ＝4a2－36（a2－8）＝0，解得a＝3或a＝－3，易知与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，由得即P（－，）. 4.B　因为（2，1）是椭圆C：＋＝1上一点，所以＋＝1，所以＋≥2××（当且仅当＝，即a＝2b时，取等号），所以1≥，即ab≥4，所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为S＝·2a·2b＝2ab≥8，所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积的最小值为8，故选B. 5.B　如图，l1，l2是两条与球相切的直线，分别切于点A，C，与底面交于点B，D，设篮球的半径为R，∴AC＝2R＝22，R＝11，过C作CE∥BD交l1于点E，则CE＝BD，在Rt△ACE中，CE＝，∴CE＝22×＝2a，∴a＝＝，b＝R，∴c＝＝R，∴e＝＝＝. 6.ABD　∵地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据题图可得（*）.∴a－c＝m＋R，故A正确；a＋c＝n＋R，故B正确；（*）中两式相加得m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；由（*）可得两式相乘可得（m＋R）·（n＋R）＝a2－c2.∵a2－c2＝b2，∴b2＝（m＋R）（n＋R）⇒b＝，故D正确. 7.CD　对于A：由椭圆C：＋y2＝1可知，a＝，b＝1，c＝1，所以左、右焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0），离心率e＝＝，故选项A错误；对于B：｜F1F2｜＝2，当P点与椭圆的上、下顶点重合时，△PF1F2的面积最大，所以△PF1F2面积的最大值为×2×b＝×2×1＝1，故选项B错误；对于C：以线段F1F2为直径的圆的圆心为（0，0），半径为1，由圆心（0，0）到直线x＋y－＝0的距离d＝＝1，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，故选项C正确；对于D：设P（x，y），＝（－1－x，－y），＝（1－x，－y），·＝x2＋y2－1＝x2＋1－－1＝≥0，则·的最小值为0，故选项D正确.故选C、D. 8.　解析：设直线AB的方程为y＝－x＋m，联立得3x2－4mx＋2m2－6＝0，所以Δ＝（－4m）2－4×3×（2m2－6）＝72－8m2＞0，得－3＜m＜3，x1＋x2＝，x1x2＝，所以｜AB｜＝｜x1－x2｜＝，原点到直线的距离d＝.所以S△OAB＝×·＝≤·＝.当且仅当m＝±时，等号成立.所以△AOB面积的最大值为. 9.2　解析：因为｜｜＝1，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆，因为·＝0，所以PM⊥AM，要使｜｜最小，只需｜｜最小，设P（m，n），－6≤m≤6，则＋＝1，其中｜AP｜＝＝＝＝，因为－6≤m≤6，所以当m＝6时，｜AP｜min＝3，此时｜｜min＝＝2. 10.（－1，1）　解析：在△PF1F2中，由正弦定理，得＝.∵＝，∴＝，即｜PF1｜＝·｜PF2｜.由椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，则·｜PF2｜＋｜PF2｜＝2a，即｜PF2｜＝.由椭圆的几何性质知｜PF2｜＜a＋c，则＜a＋c，即c2＋2ac－a2＞0，∴e2＋2e－1＞0，解得e＜－－1或e＞－1.又e∈（0，1），∴e∈（－1，1）. 11.解：（1）由题意知b＝15，a＋9＝34， 解得a＝25，b＝15. 所以“挞圆”方程为＋＝1（x≤0）和＋＝1（x≥0）. （2）设P（x0，t）为矩形在第一象限内的顶点，Q（x1，t）为矩形在第二象限内的顶点， 则＋＝1，＋＝1， 可得x1＝－x0. 所以内接矩形的面积S＝2t（x0－x1）＝2t×x0＝15×34×2··≤15×34（＋）＝510， 当且仅当＝时，S取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米. 12.解：（1）连接PC1，PC2（图略），设动圆P的半径为r， 由题知｜PC1｜＝r，｜PC2｜＝2－r，所以｜PC1｜＋｜PC2｜＝2＞｜C1C2｜＝2， 所以点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，其长轴长为2a＝2，焦距为2c＝2， 则a＝，c＝，故b＝＝1， 所以曲线C的方程为＋x2＝1. （2）若直线l的斜率不存在，则线段AB的中点为坐标原点，不符合题意. 若直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋1， 将y＝kx＋1代入＋x2＝1，得（3＋k2）x2＋2kx－2＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝－，即＝－＝－， 所以k2－4k＋3＝0，解得k＝1或k＝3， 所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝3x＋1. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $