第三章 椭圆的综合问题 同步练习 培优课　 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

培优课　椭圆的综合问题

1.（2024·莱芜月考）已知P（m，n）是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是（　　）

A.（1，2） B.[1，2） C.[1，2] D.（1，2]

2.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的面积为2π，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（　　）

A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1

3.（2024·徐州月考）已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上有一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，则P点的坐标为（　　）

A.（－，） B.（－，） C.（1，3） D.（3，1）

4.已知（2，1）是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积（　　）

A.有最小值4 B.有最小值8 C.有最大值8 D.有最大值16

5.如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为（　　）

A. B. 

C. D.

6.（多选）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则（　　）

A.a－c＝m＋R              B.a＋c＝n＋R C.2a＝m＋n   D.b＝

7.（多选）设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（　　）

A.离心率e＝

B.△PF1F2面积的最大值为

C.以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切

D.·的最小值为0

8.（2024·无锡质检）斜率为－1的直线与椭圆C：＋＝1相交于A，B两点，则△AOB面积的最大值为　　　　.

9.已知动点P在椭圆C：＋＝1上，若点A的坐标为（3，0），点M满足｜｜＝1，·＝0，则｜｜的最小值是　　　　　.

10.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P，使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　.

11.（2024·绍兴月考）如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋＝1（x≤0）和＋＝1（x≥0）组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）.

（1）求“挞圆”的方程；

（2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t（t∈（0，15）），求该网箱所占水面面积的最大值.

 

 

 

 

 

 

12.在平面直角坐标系中，C1（0，－），圆C2：x2＋（y－）2＝12，动圆P过C1且与圆C2相切.

（1）求动圆圆心P所在曲线C的方程；

（2）若直线l过点（0，1）且与曲线C交于A，B两点，线段AB的中点在直线x＝－上，求直线l的方程.