第二章 直线和圆的方程单元复习课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件系统梳理了直线与圆的方程的核心知识，通过“知识网络·整合构建”模块将直线的倾斜角、斜率、方程形式等，与圆的标准方程、一般方程及位置关系分类梳理，形成清晰的逻辑脉络，帮助学生建立完整知识体系。 其亮点在于“专题突破·能力提升”采用角度化分类复习，如直线斜率与倾斜角问题结合定点分析，圆的方程求解融合几何法与代数法，搭配变式训练和规律总结，培养数学运算、直观想象与逻辑推理能力。高考真题体验助力学生熟悉考情，分层设计让师生高效复习，提升知识巩固与教学针对性。

本 章 总 结 提 升 知识网络·整合构建 专题突破·能力提升 目 录 索 引 体验高考·素养培优 知识网络·整合构建 专题突破·能力提升 专题一　直线与方程 1.直线与方程多考查以下几个方面:(1)直线的斜率与倾斜角问题;(2)恰当选择直线方程的形式,运用待定系数法求直线方程;(3)两条直线重要的位置关系:平行与垂直;(4)距离问题.其中各种形式下直线方程的应用贯穿解析几何的始终. 2.直线与方程的考查,提升数学运算、直观想象的核心素养. 角度1 直线的斜率与倾斜角 【例1】 已知直线kx-y-k-1=0和以M(-3,1),N(3,2)为端点的线段相交,求实数k的取值范围. 解 直线kx-y-k-1=0,即k(x-1)-(y+1)=0恒过定点A(1,-1),且直线MA的斜率kMA=-,直线NA的斜率kNA=, 由图可知,k≤-或k≥, 即实数k的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞). 例题探究　(变条件)将本例中点N坐标改为(-4,-2),其他条件不变,则实数k 的取值范围是　　　　　.  [-] 解析 直线kx-y-k-1=0,即k(x-1)-(y+1)=0恒过定点A(1,-1),且直线MA的斜率kMA=-,直线NA的斜率kNA=,由图可知,-≤k≤. 角度2 两直线的平行与垂直 【例2】 已知直线l1:3x+(m+1)y-6=0,l2:mx+2y-(m+2)=0,分别求满足下列条件的m的值: (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2. 解 (1)因为l1∥l2,所以解得m=-3,所以当l1∥l2时,m=-3. (2)因为l1⊥l2,所以3×m+(m+1)×2=0,解得m=-,所以当l1⊥l2时,m=-. 变式训练1　(1)(2026陕西高二期末)已知直线l1:ax-2y-2=0与直线l2: x-(a+1)y+2=0平行,则实数a的所有取值之和为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 B 解析 因为直线l1:ax-2y-2=0与直线l2:x-(a+1)y+2=0平行,所以-a(a+1)+2=0,解得a=-2或a=1,经检验,满足题意,所以实数a的所有取值之和为-1.故选B. (2)已知直线l:2x+y+1=0,直线m过点(0,1)且与直线l垂直,则直线m的方程为 　　　 　　.  x-2y+2=0 解析 设直线m的方程为x-2y+c=0,代入点(0,1)的坐标得c=2,所以直线m的方程为x-2y+2=0. 角度3 两直线的交点与距离问题 【例3】 求过直线l1:y=-x+和l2:3x-y=0的交点并且与原点距离为1的直线l的方程. 变式训练2 (1)已知直线l:x+my-2m-1=0,则点P(2,-1)到直线l距离的最大值为(　　) A. B. C.5 D.10 B 解析 直线l:x+my-2m-1=0,即x-1+m(y-2)=0,由 所以直线过定点A(1,2).当直线l垂直于直线AP时,点P到直线l的距离最大,此时最大值为|AP|=.故选B. (2)知直线l经过直线3x-y-7=0和4x+y-14=0的交点,且直线l在坐标轴上的截距相等,则直线l的方程是　　　　 　　　.  2x-3y=0或x+y-5=0 解析 由解得即直线l过点(3,2). 当直线l过原点时,直线l的方程为y=x,即2x-3y=0; 当直线l不过原点时,设直线l的方程为=1,则=1,解得a=5, 此时直线l的方程为x+y-5=0. 所以直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 专题二　圆的方程 1.解析几何中圆的方程的学习是学习圆锥曲线的基础,基于圆良好的形状,对于圆的问题的处理多数情况下都可以采用几何法和代数法两种方法,一般来说几何法较为简单.在高考中对圆的考查多以客观题形式呈现. 2.掌握圆的方程问题,提升数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养. 角度1 求圆的方程 【例4】 已知一圆经过点A(2,-3)和B(-2,-5),且圆心C在直线l:x-2y-3=0上,求此圆的标准方程. 解 因为A(2,-3),B(-2,-5), 所以线段AB的中点D的坐标为(0,-4). 变式训练3 (1)圆心在y轴上,半径为2,且过点(2,4)的圆的方程为(　　) A.x2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+y2=4 C.(x-2)2+(y-4)2=4 D.x2+(y-4)2=4 D 解析 依题意,设圆心为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=4.又22+(4-b)2=4,解得b=4,所以圆的方程为x2+(y-4)2=4.故选D. (2)已知△ABC的三个顶点A(1,-2),B(0,5),C(-3,-4),那么△ABC的外接圆的方程是　　　　　　　 　.  x2+y2+6x-2y-15=0 解析 设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 则解得 所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0. 角度2 直线与圆的位置关系 【例5】 已知直线2x-y+m=0和圆O:x2+y2=5. (1)当m为何值时,直线与圆没有公共点? (2)当m为何值时,直线被圆截得的弦长为2? (3)若直线和圆交于A,B两点,此时OA⊥OB,求m的值. 解 (1)由已知,圆O的圆心为O(0,0),半径r=, 圆心到直线2x-y+m=0的距离d=. 因为直线与圆无公共点,所以d>r,即,得m>5或m<-5. 故当m>5或m<-5时,直线与圆无公共点. (2)由题意知r2-d2=12,即5-=1,解得m=±2, 所以当m=±2时,直线被圆截得的弦长为2. (3)由题意可得△OAB为等腰直角三角形, 所以d=r,即,解得m=±. 变式训练4 (1)(多选题)已知直线l:y=kx-k,圆C: x2+y2=4,则下列结论正确的有(　　 ) A.直线l过定点(1,0) B.直线l与圆C恒相交 C.直线l被圆C截得的弦长最短为4 D.若直线l被圆C截得的弦长为,则k=±1 ABD 解析 对于A,直线l:y=kx-k,即y=k(x-1),则直线恒过定点(1,0),故A正确; 对于B,因为12+02=1<4,所以定点(1,0)在圆C:x2+y2=4内部,所以直线l与圆C恒相交,故B正确; 对于C,当直线l与x轴垂直时,直线l被圆C截得的弦长最短,此时l:x=1,直线l被圆C截得的弦长为2×=2,故C错误; 对于D,直线l:kx-y-k=0,圆心C到直线l的距离d=,得k=±1,故D正确.故选ABD. (2)(2021天津)若斜率为的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|=　　　　　　.  解析 设直线AB的方程为y=x+b,则点A(0,b). 因为直线AB与圆x2+(y-1)2=1相切,且圆x2+(y-1)2=1的圆心为C(0,1),半径为1, 则=1,解得b=-1或b=3,所以|AC|=2. 因为|BC|=1,所以|AB|=. 角度3 圆与圆的位置关系 【例6】 已知圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0. (1)证明圆C1与圆C2相切,并求过切点的两圆公切线的方程; (2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程. 解 (1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式, 得圆C1为(x+2)2+(y-2)2=13,圆C2为(x-4)2+(y+2)2=13. (2)由圆系方程,可设所求圆的方程为 x2+y2+4x-4y-5+λ(3x-2y-3)=0(λ≠-1). 变式训练5 已知圆C1:x2+y2=10与圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0. (1)求证:圆C1与圆C2相交; (2)求两圆公共弦所在直线的方程; (3)求经过两圆交点,且圆心在直线x+y-6=0上的圆的方程. (1)证明 圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0化为标准方程为(x+1)2+(y+1)2=16, ∴圆心为C2(-1,-1),半径为r=4. (2)解 由圆C1:x2+y2=10与圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0,将两圆方程相减, 可得2x+2y-4=0, 即两圆公共弦所在直线的方程为x+y-2=0. 体验高考·素养培优 常考点1　圆的方程 1.(2024北京)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为(　　) A. B.2 C.3 D.3 D 解析 圆x2+y2-2x+6y=0的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=10,圆心坐标为(1,-3),因此圆心到直线x-y+2=0的距离d==3.故选D. 2.(2023上海)已知圆x2+y2-4x-m=0的面积为π,则m=　　　　　.  -3 解析 圆x2+y2-4x-m=0化为标准方程为(x-2)2+y2=4+m, ∵圆的面积为π,∴圆的半径为1,∴4+m=1,∴m=-3. 常考点2　直线与圆的位置关系 3.(2023新高考Ⅰ)过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　) 关键突破　切线的性质,二倍角公式 A.1 B. C. D. B 4.(2025天津)已知直线x-y+6=0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C,D两点.若|AB|=3|CD|,则r=　　　　.  关键突破　弦长公式 2 解析 由题意知,A(-6,0),B(0,6),则|AB|=6. 又|AB|=3|CD|,∴|CD|=2. 该圆圆心(-1,3)到直线x-y+6=0的距离d=, ∴r2=d2+(|CD|)2=2+2=4,∴r=2. 5.(2023新高考Ⅱ)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　　.  2 解析 由条件知圆心C(1,0),点C到直线x-my+1=0的距离d=,|AB|=2. 由△ABC的面积为,得, 整理,得2m2-5|m|+2=0, 解得m=±2,或m=±,不妨取m=2. 本 课 结 束 解 由解得即两直线的交点为(1,3).当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,显然满足与原点距离为1.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1)+3=kx-k+3.由题意可得=1,两边平方整理得8-6k=0,即k=.即直线l的方程为4x-3y+5=0.综上,直线l的方程为x=1或4x-3y+5=0. 又直线AB的斜率kAB=, 所以线段AB的垂直平分线的方程是y=-2x-4. 联立解得 所以,圆心为C(-1,-2),半径r=|CA|=, 所以,此圆的标准方程是(x+1)2+(y+2)2=10. 圆心与半径长分别为C1(-2,2),r1=; C2(4,-2),r2=. 因为|C1C2|==2=r1+r2, 所以圆C1与圆C2相切. 由得12x-8y-12=0, 即3x-2y-3=0,就是过切点的两圆公切线的方程. 点(2,3)在此圆上,将点坐标代入方程解得λ=. 所以所求圆的方程为x2+y2+4x-4y-5+(3x-2y-3)=0,即x2+y2+8x-y-9=0. ∵圆C1:x2+y2=10的圆心坐标为C1(0,0),半径为R=, ∴|C1C2|=.∵4-<4+,∴两圆相交. (3)解 由 解得 则交点为A(3,-1),B(-1,3). ∵圆心在直线x+y-6=0上,∴可设圆心为P(6-n,n), 则|AP|=|BP|,即,解得n=3, 故圆心P(3,3),半径r=|AP|=4. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=16. 解析 由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,故圆心C(2,0),半径R=. 过点D(0,-2)作圆的切线,与圆的两个切点为A,B,连接AC,BC,CD,AB, 则AB⊥CD,∠CAD=∠CBD=,∠ADC=∠BDC=, 由几何知识得,|BC|=|AC|=,|CD|==2. 由勾股定理得,|AD|=|BD|=. cos,sin, sin α=2sincos=2×.故选B. $