第二章 直线和圆的方程 核心素养测评卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 直线和圆的方程单元卷，覆盖直线方程、圆的方程及位置关系等核心知识，通过分层设计与真实情境题，考查抽象能力、几何直观与推理能力，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线截距、法向量、圆的方程|基础巩固，如第1题直线截距| |多选题|3/18|直线位置关系、圆的性质|多选项设计，如第9题直线平行垂直判断| |填空题|3/15|点的坐标、取值范围|情境应用，如第14题以AB为直径的圆| |解答题|5/77|垂直平分线、圆的方程、反射光问题|综合应用，如第17题反射光平分圆周，考查模型意识|

第二章核心素养测评卷 直线和圆的方程 满分150分，限时120分钟 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 直线4x－y＋2＝0在x轴上的截距为( 　) A. －2 B. C. D. 2 2. 若直线l经过点P(－2，1)，且直线l的一个法向量为v＝(2，－1)，则直线l的方程为( 　) A. x＋2y＝0 B. x＋2y－4＝0 C. 2x－y＋5＝0 D. 2x＋y＋3＝0 3. (2025·山东临沂高二检测)直线3x－4y＋10＝0与以点C(－1，－2)为圆心的圆相交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的方程为( 　) A. (x＋1)2＋(y＋2)2＝25 B. (x－1)2＋(y－2)2＝25 C. (x＋1)2＋(y＋2)2＝5 D. (x－1)2＋(y－2)2＝5 4. (2024·宁波高二期中)若圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－5)2＋(y＋6)2＝r2(r＞0)相切，则r等于( 　) A. 9 B. 10 C. 11 D. 9或11 5. (2024·广西玉林高二期中)已知直线l1∥l2，其中l1：x＋2y＋2＝0，l2：mx＋(1－n)y＋1＝0，且m＞0，n＞0，则的最小值是( 　) A. 2 B. 2 C. 4 D. 8 6. (2025·山东青岛高二期中)P为直线y＝kx－2上一点，过点P总能作圆x2＋y2＝1的切线，则k的最小值是( 　) A. B. －2 C. D. 7. 已知点A(1，0)，B(4，0)，C(2，1)，动点P满足，则|PB|＋2|PC|取得最小值时，点P的坐标为( 　) A. (＋1，1) B. (＋1，1) C. D. 8. 已知直线l：x＋y－1＝0与圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，则·的最小值是( 　) A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. (2025·广东江门高二检测)已知直线l1：x＋ay＋1＝0，l2：(a－1)x＋y＋a＝0，则下列说法中，正确的是( 　) A. 当a＝1时，直线l1的倾斜角为135° B. 当l1⊥l2时，a＝ C. 若l1∥l2，则a＝－1 D. 直线l1始终过定点(－1，0) 10. (2025·江苏南通高二期中)已知直线l：mx＋y＋2m＝0(m∈R)，圆C：x2＋y2－4y＋2＝0，则( 　) A. l经过一个定点 B. 当m＝－1时，l平分圆C的周长 C. 当m＝2时，l与圆C相切 D. 圆C上的点到直线l距离的最大值是3 11. 已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝2，圆C2：(x－2)2＋(y－3)2＝2，M，N分别为圆C1，C2上的动点，P为直线l：x－y＋4＝0上的动点，则下列结论中，正确的是( 　) A. 圆C1与圆C2相切 B. 圆心C1，C2到直线l的距离相等 C. |MN|的最小值是2 D. |PM|的最小值是 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为 .  13. 若点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上运动，则x－2y的取值范围是 .  14. 已知A为直线l：y＝3x上一点，且A位于第一象限，点B(10，0)，以AB为直径的圆与l交于点C(异于点A)，若∠CBA≥60°，则点A的横坐标的取值范围是 .  四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (13分)已知点A(－2，－1)，B(6，3). (1)求线段AB的垂直平分线的方程； (2)若点A，B到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，求实数a的值. 16. (15分)圆C过(0，3)，(4，5)两点，且圆心C在直线x－y＋8＝0上. (1)求圆C的方程； (2)若直线l在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍，且被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程. 17. (15分)(2024·山西运城教育发展联盟高二调研)已知圆C经过A(0，2)，B(1，1)，且圆心在直线l1：2x＋y－4＝0上. (1)求圆C的方程； (2)若从点M(3，5)发出的一束光经过直线l2：x＋y－1＝0反射后恰好平分圆C的圆周，求反射光所在直线的方程. 18. (17分)已知以C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点. (1)证明：△OAB的面积为定值； (2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程. 19. (17分)圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0. (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧).过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝9相交于两点A，B.问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章核心素养测评卷 直线和圆的方程 满分150分，限时120分钟 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 直线4x－y＋2＝0在x轴上的截距为(　B　) A. －2 B. C. D. 2 【解析】 令y＝0，解得x＝，显然截距是. 2. 若直线l经过点P(－2，1)，且直线l的一个法向量为v＝(2，－1)，则直线l的方程为(　C　) A. x＋2y＝0 B. x＋2y－4＝0 C. 2x－y＋5＝0 D. 2x＋y＋3＝0 【解析】 ∵直线l的一个法向量为v＝(2，－1)，∴kl＝2，则直线l的方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0. 3. (2025·山东临沂高二检测)直线3x－4y＋10＝0与以点C(－1，－2)为圆心的圆相交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的方程为(　A　) A. (x＋1)2＋(y＋2)2＝25 B. (x－1)2＋(y－2)2＝25 C. (x＋1)2＋(y＋2)2＝5 D. (x－1)2＋(y－2)2＝5 【解析】 点C(－1，－2)到直线3x－4y＋10＝0的距离为d＝＝3，∴圆C的半径为r＝＝5，则圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝25. 4. (2024·宁波高二期中)若圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－5)2＋(y＋6)2＝r2(r＞0)相切，则r等于(　D　) A. 9 B. 10 C. 11 D. 9或11 【解析】 圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心为C1(－1，2)，半径r1＝1，圆C2：(x－5)2＋(y＋6)2＝r2 (r＞0)的圆心为C2(5，－6)，半径r2＝r，∴|C1C2|＝＝10.∵两圆相切，∴|C1C2|＝r1＋r2，或|C1C2|＝r2－r1，故r2＝9或11，即r＝9或11. 5. (2024·广西玉林高二期中)已知直线l1∥l2，其中l1：x＋2y＋2＝0，l2：mx＋(1－n)y＋1＝0，且m＞0，n＞0，则的最小值是(　D　) A. 2 B. 2 C. 4 D. 8 【解析】 ∵直线l1∥l2，其中l1：x＋2y＋2＝0，l2：mx＋(1－n)y＋1＝0，且m＞0，n＞0，∴n≠1且它们的斜率相等，在y轴上的截距不相等，∴，且≠－1，∴2m＋n＝1(m＞0，n＞0)，∴＝(2m＋n)＝4＋≥4＋2＝8，当且仅当，即m＝，n＝时，等号成立，∴的最小值是8. 6. (2025·山东青岛高二期中)P为直线y＝kx－2上一点，过点P总能作圆x2＋y2＝1的切线，则k的最小值是(　D　) A. B. －2 C. D. 【解析】 由题意，P为直线y＝kx－2上一点，过点P总能作圆x2＋y2＝1的切线，可得直线y＝kx－2与圆x2＋y2＝1相切或相离，则满足圆心到直线的距离d＝≥1，解得k2≤3，即≤k≤，∴k的最小值是. 7. 已知点A(1，0)，B(4，0)，C(2，1)，动点P满足，则|PB|＋2|PC|取得最小值时，点P的坐标为(　C　) A. (＋1，1) B. (＋1，1) C. D. 【解析】 设P(x，y)，由，得，化简得x2＋y2＝4，由，得|PB|＝2|PA|，∴|PB|＋2|PC|＝2(|PA|＋|PC|)，故当且仅当P，A，C三点共线，且点P在A，C之间时，|PB|＋2|PC|取得最小值，此时线段AC的方程为y＝x－1(1≤x≤2)，由并结合1≤x≤2，解得故此时点P的坐标为. 8. 已知直线l：x＋y－1＝0与圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，则·的最小值是(　A　) A. B. C. D. 【解析】 圆C的圆心C(a，1－a)，满足a＋(1－a)－1＝0，∴直线l过圆心C，∴·＝()·()＝()·()＝||2－1，当OC垂直直线l时，||2取得最小值，∴|OC|的最小值是，∴||2的最小值是，故·的最小值是. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. (2025·广东江门高二检测)已知直线l1：x＋ay＋1＝0，l2：(a－1)x＋y＋a＝0，则下列说法中，正确的是(　ABD　) A. 当a＝1时，直线l1的倾斜角为135° B. 当l1⊥l2时，a＝ C. 若l1∥l2，则a＝－1 D. 直线l1始终过定点(－1，0) 【解析】 对于A，当a＝1时，直线l1：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，则倾斜角为135°，A正确；对于B，l1⊥l2等价于a－1＋a＝0，解得a＝，B正确；对于C，若l1∥l2，则a(a－1)－1＝0且a≠a－1，故a＝，C错误；对于D，l1：x＋ay＋1＝0，当y＝0时x＝－1，∴直线l1恒过(－1，0)，D正确. 10. (2025·江苏南通高二期中)已知直线l：mx＋y＋2m＝0(m∈R)，圆C：x2＋y2－4y＋2＝0，则(　ABD　) A. l经过一个定点 B. 当m＝－1时，l平分圆C的周长 C. 当m＝2时，l与圆C相切 D. 圆C上的点到直线l距离的最大值是3 【解析】 对于A，l：mx＋y＋2m＝0⇒m(x＋2)＋y＝0，联立解得∴l过定点(－2，0)，A正确；对于B，当m＝－1时，l：x－y＋2＝0，圆C：x2＋y2－4y＋2＝0，即x2＋(y－2)2＝2，圆心C(0，2)，半径为，∵C(0，2)在直线l上，∴l平分圆C的周长，B正确；对于C，当m＝2时，l：(2)x＋y＋4－2＝0，圆心C(0，2)到直线l的距离为≠，故l与圆C不相切，C错误；对于D，定点(－2，0)与圆心C(0，2)的距离为2，当定点与圆心的连线与直线垂直时，2为圆心C(0，2)到直线l的距离最大值，∴圆C上点到直线l距离的最大值是2＋r＝3，D正确. 11. 已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝2，圆C2：(x－2)2＋(y－3)2＝2，M，N分别为圆C1，C2上的动点，P为直线l：x－y＋4＝0上的动点，则下列结论中，正确的是(　BD　) A. 圆C1与圆C2相切 B. 圆心C1，C2到直线l的距离相等 C. |MN|的最小值是2 D. |PM|的最小值是 【解析】 对于A，圆C1的圆心为C1(－1，0)，半径r1＝，圆C2的圆心为C2(2，3)，半径r2＝，∵圆心距|C1C2|＝＝3＞r1＋r2，∴两圆外离，A错误；对于B，圆心C1到直线l的距离d1＝，圆心C2到直线l的距离d2＝，∴d1＝d2，B正确；对于C，|MN|min＝|C1C2|－r1－r2＝，C错误；对于D，∵d1＞r1，∴直线l与圆C1相离，则|PM|min＝d1－r1＝，D正确. [选择题答题区] 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A D D D C A ABD ABD BD 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为　(2，10)或(－10，10)　.  【解析】 设M(x，y)，则|y|＝＝10，解得或∴点M的坐标为(2，10)或(－10，10). 13. 若点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上运动，则x－2y的取值范围是　[]　.  【解析】 令c＝x－2y，则x－2y－c＝0与圆x2＋y2＝1有公共点，可得≤1，即≤c≤，∴x－2y的取值范围是[]. 14. 已知A为直线l：y＝3x上一点，且A位于第一象限，点B(10，0)，以AB为直径的圆与l交于点C(异于点A)，若∠CBA≥60°，则点A的横坐标的取值范围是　[1＋3，＋∞)　.  【解析】 由题意设A(x0，3x0)(x0＞0)，设AB的中点为D，由中点坐标公式可得D，∴以AB为直径的圆的方程为[(10－x0)2＋9]，把y＝3x代入得x＝1，y＝3，∴C(1，3)，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴cos∠CBA＝，∵∠CBA≥60°，∴cos 90°＜cos∠CBA≤cos 60°⇒0＜cos∠CBA≤，即0＜≤⇒0＜≤，化简得2x0－26≥0，而x0＞0，解得x0≥1＋3. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (13分)已知点A(－2，－1)，B(6，3). (1)求线段AB的垂直平分线的方程； (2)若点A，B到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，求实数a的值. 解： (1)线段AB的中点为C(2，1)，kAB＝，故线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0. (2)由题意知线段AB的中点C(2，1)在直线l上或线段AB所在直线与直线l平行，若线段AB的中点C(2，1)在直线l上，则2a＋1＋1＝2a＋2＝0，解得a＝－1；若线段AB所在直线与直线l平行，则－a＝kAB＝，解得a＝.综上，a＝－1或. 16. (15分)圆C过(0，3)，(4，5)两点，且圆心C在直线x－y＋8＝0上. (1)求圆C的方程； (2)若直线l在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍，且被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程. 解： (1)两点(0，3)，(4，5)的中垂线方程为2x＋y－8＝0，联立x－y＋8＝0，解得圆心C(0，8)，则r＝5，故圆C的方程为x2＋(y－8)2＝25. (2)由直线l被圆C截得的弦长为6，故圆心C到直线l的距离为d＝＝4， ①若直线过原点，直线的斜率存在，设直线为y＝kx， d＝＝4⇒k＝±，此时直线l的方程为x±y＝0； ②若直线不过原点，设直线为＝1⇒x＋2y－2a＝0， d＝＝4⇒a＝8±2，此时直线l的方程为x＋2y－16－4＝0，或x＋2y－16＋4＝0. 综上，直线l的方程为x±y＝0，或x＋2y－16－4＝0，或x＋2y－16＋4＝0. 17. (15分)(2024·山西运城教育发展联盟高二调研)已知圆C经过A(0，2)，B(1，1)，且圆心在直线l1：2x＋y－4＝0上. (1)求圆C的方程； (2)若从点M(3，5)发出的一束光经过直线l2：x＋y－1＝0反射后恰好平分圆C的圆周，求反射光所在直线的方程. 解： (1)由题知线段AB的中点为，kAB＝＝－1，∴线段AB的垂直平分线的方程为y＝x，即x－y＋1＝0. 由解得即圆心为(1，2)，∴圆C的半径为＝1，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1. (2)设M关于l2的对称点为N(x0，y0)，则直线MN与l2垂直，且线段MN的中点在直线l2上，则 解得即N(－4，－2).由题意知反射光所在直线过圆心(1，2)及点N，故反射光所在直线的方程为，即4x－5y＋6＝0. 18. (17分)已知以C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点. (1)证明：△OAB的面积为定值； 证明： ∵圆C过原点O，且|OC|2＝t2＋，∴圆C的方程是(x－t)2＋＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝，即B；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，即A(2t，0)，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×|2t|×＝4，即△OAB的面积为定值. (2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程. 解： ∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，∴OC垂直平分线段MN.∵kMN＝－2，∴kOC＝，∴t，解得t＝2，或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1)，|OC|＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点；当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，|OC|＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 19. (17分)圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0. (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧).过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝9相交于两点A，B.问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a；若不存在，请说明理由. 解： (1)由得y2－ay＋a＝0，∵圆与y轴相切，∴Δ＝a2－4a＝0，解得a＝0或4，故所求圆C的方程为x2＋y2－x＝0，或x2＋y2－5x－4y＋4＝0. (2)令y＝0，得x2－(1＋a)x＋a＝0，解得x＝1，或x＝a，而a＞1，即M(1，0)，N(a，0).假设存在实数a，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，由得(1＋k2)x2－2k2x＋k2－9＝0，根据根与系数的关系有　(*). 又∠ANM＝∠BNM，则NA，NB的斜率互为相反数，即＝0，得＝0， 于是(x1－1)(x2－a)＋(x2－1)(x1－a)＝0，即2x1x2－(a＋1)(x1＋x2)＋2a＝0，将(*)代入可得＋2a＝0，化简得＋2a＝0，解得a＝9.当直线AB与x轴垂直时，|AM|＝|BM|，显然满足∠ANM＝∠BNM，即NA，NB的斜率互为相反数.综上，存在a＝9，使得∠ANM＝∠BNM. 学科网（北京）股份有限公司 $