第一章勾股定理单元检测2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学勾股定理单元检测，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖定理应用、逆定理验证及实际问题解决，适配单元复习巩固，体现几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|勾股定理直接计算（1题）、实际应用（7题隧道/门铃问题）|基础巩固与情境化结合，如超市门铃传感器问题（7题）考查建模能力| |填空题|5|直角三角形判定（9题）、梯子问题（13题）|突出逆定理应用，如9题三边长9,12,15判定直角三角形| |解答题|5|四边形面积计算（16题）、定理验证（18题割补法）|综合应用与创新，如18题通过正方形割补验证勾股定理，培养推理意识|

第一章 勾股定理 单元检测 一、单选题 1．在中，若，，，则（　　） A．3 B．4 C．5 D． 2．直角三角形中，斜边长为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．72 B．36 C．66 D．42 4．如图，为修铁路需凿通隧道，测得．若把隧道凿通需要天，则每天凿隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 6．如图，在四边形中，，，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 8．如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为9，12，15，则三角形零件的面积是____． 10．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点_____． 11．如图，在中，，则___________． 12．如图，在中，平分，则________． 13．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为_______米． 三、解答题 14．在中，，，，，求： (1)已知，，求； (2)已知，，求． 15．如图，在中，，平分，交于点，过点作，交于点．若，，求的长． 16．山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． (1)求边的长； (2)求空地的面积． 17．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． (1)求证：． (2)求的长． 18．如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 勾股定理 单元检测》参考答案 1．C 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理直接计算即可；掌握勾股定理内容是关键． 【详解】解：，，， ； 故选：C． 2．B 【分析】此题考查了勾股定理和完全平方公式，根据勾股定理和三角形周长公式列出等式是解决此题的关键． 设该直角三角形的两条直角边分别为a、b，根据勾股定理和三角形周长公式得到，，然后根据完全平方公式的变形即可求出，根据直角三角形的面积公式计算即可． 【详解】解∶设该直角三角形的两条直角边分别为a、b 根据题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴该直角三角形的面积为． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴ ． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解本题的关键是正确计算的长度．由题意知:则，在直角中，已知根据勾股定理即可求，据此即可求得答案． 【详解】解:∵， ∴ 在中，， ∴， ∴每天凿隧道的长度为． 故选:B． 5．B 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么． 根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ∴正方形和正方形的面积和为 36 ， 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理的应用以及几何图形中的垂直关系，证明，通过勾股定理计算出是解题的关键． 首先利用全等三角形对应边相等得到，再通过勾股定理求出的长度，最后依据全等三角形对应边相等得出的长度． 【详解】解：， ， ，且, ， ， ， 即是直角三角形， 在中， ，即：， ， ， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． 8．B 【分析】依据勾股定理以及面积法即可得到的长，再根据是等腰直角三角形，即可得到的长；利用勾股定理求得的长，即可得到的长，进而得出的长．本题考查了折叠问题，我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：中，，，， 由勾股定理可得， 将边沿翻折，使点落在上的点处， ，， ， ， ， 在中，， 将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 9．54 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，求三角形的面积， 先说明这个三角形是直角三角形，再根据面积公式得出答案. 【详解】解：因为， 所以这个三角形是直角三角形. 因为， 所以这个三角形的面积. 故答案为：54. 10． 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 是直角三角形，故点符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 故答案为：． 11． 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知条件，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，， 则． 故答案为： ． 12．8 【分析】本题主要考查等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴，， ∴． 故答案为： 13．2.7 【分析】本题主要考查勾股定理，先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可得： ， 在中， ∵米， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴米， ∴小巷的宽度为（米）． 故答案为：2.7． 14．(1) (2) 【分析】本题考查利用勾股定理解直角三角形，已知两边求第三边时，关键要注意所求边是直角边，还是斜边． （1）由于所求边是斜边，所以利用勾股定理直接可得，代入，的值即可求得的值； （2）由于所求边是直角边，所以利用勾股定理直接可得，代入，的值即可求得的值． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴； （2）解：在中，，， ∴． 15． 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握判定的方法是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，由角平分线的性质推出，进而求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 16．(1) (2) 【分析】本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)利用勾股定理求出即可求解； (2)连接AC，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴； （2）如图，连接AC， ∵，E是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形，， ∴， 答：空地ABCD的面积为． 17．(1)见解析 (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可推出； （2）根据勾股定理求出的长，据此即可求解． 【详解】（1）解：米，米，米， ， ， ； （2）解：， ， （米）， （米）． 18．(1)④；⑤；② (2) 【分析】本题考查面积法验证勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图可知，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，利用图中大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，列出方程可求，再利用完全平方公式求出，则题目可解． 【详解】（1）解：如图所示，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）解：设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， 由题意可知中间小正方形的边长为， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， 所以． 由勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， 则一个直角三角形的周长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $