第二十五章一元二次方程小专题2 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程四种解法及根的判别式，以“方法步骤+典例应用”构建系统性训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|2题|利用平方根定义直接开平方，分情况讨论根|从特殊形式方程切入，奠定降次求解基础| |配方法|3题|一移二除三配四开，转化为完全平方式|衔接直接开平方法，为公式法推导铺垫| |公式法|3题|化为一般式，求判别式，代入求根公式|整合配方法原理，形成普适性解法| |因式分解法|3题|右化零左分解，降次求解，常用四种分解方法|体现代数变形技巧，与整式乘法互逆| |根的判别式|12题|通过Δ判断根的情况，解决参数、证明及根的性质问题|贯穿各解法，深化方程根的性质理解|

第二十五章 一元二次方程专题2 知识点一、直接开平方法 适用形式：形如或的方程. 方法：利用平方根的定义直接开平方.  当时，，方程有两个不相等的实数根；  当时，，方程有两个相等的实数根；  当时，方程无实数根. 1．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． 知识点二、配方法 核心思想：将方程左边配成完全平方式，右边配成非负常数，进而直接开平方求解. 步骤（一移、二除、三配、四开）： （1）移项：将常数项移到等号右边； （2）化1：方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1； （3）配方：两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）开方：化成的形式，若，直接开平方求解. 2．利用配方法解下列方程： (1) （2） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 知识点三、公式法 求根公式：对于一元二次方程（），当时， 步骤： （1）将方程化为一般形式； （2）确定、、的值（注意符号）； （3）计算判别式； （4）若，代入求根公式求解；若，则方程无实数根. 3．用公式法解下列方程． (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：方程整理得：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 知识点四、因式分解法 原理：把方程化为的形式，则或，从而实现降次. 常用方法： 提公因式法：如； 平方差公式：如； 完全平方公式：如； 十字相乘法：如. 步骤：右化零→左分解→两因式→各求解. 4．利用因式分解法解方程 (1)； (2) ． (3) 【答案】(1), (2) , (3) ， 【详解】（1）解：， ， 两边开平方得， 即或， 解得，； （2） 因式分解得 即或 解得，． （3）解：， ， 或， 或， 即原方程的根是，． 5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原方程为， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式整理得． 6．用适当的方法解一元二次方程： (1)； (2)． (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)， (2) ， (3) (4)， (5) (6) 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2） 根据公式法解一元二次方程，即可求解． （3） 利用直接开平方法解答即可； （4）利用公式法解答即可； （5）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （6）把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， 或， ，； （2）解：，其中，，， 则， 原方程有两个不相等的实数根， ， ，． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴； （4）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （5）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； （6）解：方程整理成一般式为 ， ∴， ∴或， ∴． 知识点五、一元二次方程根的判别式 判别式：叫做一元二次方程（）根的判别式. 根的情况： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程无实数根. 7.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A、对于方程，，方程没有实数根，不符合题意； B、对于方程，，方程有两个相等的实数根，符合题意； C、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 8．关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程， 可得，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. 9．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 10．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 11．已知关于x的一元二次方程没有实数根，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，题目已明确方程为一元二次方程，二次项系数不为0，根据方程没有实数根，可得根的判别式小于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 12．若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，结合方程有实根可得根的判别式，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数，解得， 方程有实根， ， 解得， 综上，的取值范围是且． 13．已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】证明： ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【详解】略 14．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求 的值． 【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． (2)或 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 15．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程只有一个根小于0，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：关于x的一元二次方程， ∴ ∵ ， ∴此方程总有两个实数根； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵ ∵ ∴ 解得：， ∵方程只有一个根小于0， ∴， 解得：． 16.关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】 （1） 证明： ， ∵无论为何实数，， ∴， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）0，-2 【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案； （2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得与的、的关系式，进一步可以求出答案. 【详解】(1)略 (2)由一元二次方程根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴，化简得：， 解得，． 17.已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，，∴， 解得． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程专题2 知识点一、直接开平方法 适用形式：形如或的方程. 方法：利用平方根的定义直接开平方.  当时，，方程有两个不相等的实数根；  当时，，方程有两个相等的实数根；  当时，方程无实数根. 1．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 知识点二、配方法 核心思想：将方程左边配成完全平方式，右边配成非负常数，进而直接开平方求解. 步骤（一移、二除、三配、四开）： （1）移项：将常数项移到等号右边； （2）化1：方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1； （3）配方：两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）开方：化成的形式，若，直接开平方求解. 2．利用配方法解下列方程： (1) （2） 知识点三、公式法 求根公式：对于一元二次方程（），当时， 步骤： （1）将方程化为一般形式； （2）确定、、的值（注意符号）； （3）计算判别式； （4）若，代入求根公式求解；若，则方程无实数根. 3．用公式法解下列方程． (1)； (2) (3)． 知识点四、因式分解法 原理：把方程化为的形式，则或，从而实现降次. 常用方法： 提公因式法：如； 平方差公式：如； 完全平方公式：如； 十字相乘法：如. 步骤：右化零→左分解→两因式→各求解. 4．利用因式分解法解方程 (1)； (2) ． (3) 5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．用适当的方法解一元二次方程： (1)； (3) ． (4) ； (5) ； (6) ； (7) 知识点五、一元二次方程根的判别式 判别式：叫做一元二次方程（）根的判别式. 根的情况： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程无实数根. 7.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 8．关于x的一元二次方程（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 9．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．已知关于x的一元二次方程没有实数根，则a的取值范围是__________． 12．若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 13．已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 14．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求 的值． 15．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程只有一个根小于0，求的取值范围． 16.关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 17.已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $