2.4有理数的除法 讲义2025-2026学年浙教版（2024）七年级数学上册

2.4有理数的除法 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】运用有理数除法法则进行计算 2 【题型2】有理数除法与数轴、绝对值的综合 3 【题型3】有理数乘除混合运算 4 【题型4】有理数乘除的实际应用 4 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法  求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 1.（2025•信都区二模）|-3|与-（-3）的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为-9 【知识点2】有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a•  （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 1.（2024秋•绥棱县期末）下列说法正确的是（　　） A．一个有理数不是正数就是负数 B．任何有理数都有倒数 C．两个有理数互为相反数，它们的商是-1 D．相反数等于它本身的数是0 2.（2024春•顺河区校级期末）某同学在计算-8÷a时，误将“÷”看成“+”而算得结果是-12，则-8÷a的正确结果是（　　） A．3 B．2 C．-3 D．-2 【题型1】运用有理数除法法则进行计算 【典型例题】若，，则（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】计算的结果是（    ） A.3 B. C. D.12 【举一反三2】计算：      ． 【举一反三3】计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【举一反三4】化简下列分数： (1)；(2)；(3)；(4)． 【题型2】有理数除法与数轴、绝对值的综合 【典型例题】若，且，则（ ） A.1或 B.或 C.或 D.无法判断 【举一反三1】已知，，且，则的值是（    ） A. B. C.或 D.3 【举一反三2】的值是（    ） A. B. C.或 D.不能确定 【举一反三3】若，且，则的值是        ． 【举一反三4】如果，那么比较        0． 【举一反三5】已知对于非零有理数x，当时，，当时，．请根据上面的知识解答下面的问题： (1)已知a，b是非零有理数，满足，求的值． (2)已知a，b，c是非零有理数，当，求的值． (3)已知a，b，c是非零有理数，满足且，求的值． 【举一反三6】a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“” “”或“”填空：a______0，b______0，c______0，______0； (2)化简：． 【题型3】有理数乘除混合运算 【典型例题】计算：32÷（﹣4）×的结果是（　　） A.﹣16 B.16 C.﹣2 D.﹣ 【举一反三1】观察下列各式，结果小于0的是（       ） A. B. C. D. 【举一反三2】计算的结果为(     ) A. B. C. D. 【举一反三3】计算：的结果为         . 【举一反三4】计算： (1)； (2)． 【题型4】有理数乘除的实际应用 【典型例题】学校原来平均每天用水60吨，现在改用节水水龙头，平均每天用水24吨，原来6天的用水量，现在可以用      天． 【举一反三1】学校体操队参加团体操比赛，每列站4人，分为12列；现在需要变换队形，每列站6人，可以分为       列． 【举一反三2】如图所示，小明7：50从家里先步行到车站，步行速度为1 m/s，公交车车速为350 m/min，他能准时上8：30的第一节课吗？若不能，他最迟什么时刻从家里出发才一定能赶上第一节课（在车站等车时间为分钟） 【举一反三3】王芳买了一盒净含量为72立方厘米的牙膏，牙膏圆形出口直径为8毫米，她早晚各刷牙一次，每次挤出牙膏长约15毫米，这盒牙膏大约能供她使用多少天？（π取3） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4有理数的除法 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】运用有理数除法法则进行计算 3 【题型2】有理数除法与数轴、绝对值的综合 4 【题型3】有理数乘除混合运算 7 【题型4】有理数乘除的实际应用 9 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法  求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 1.（2025•信都区二模）|-3|与-（-3）的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为-9 【答案】A 【分析】首先化简绝对值和多重符号，然后比较即可． 【解答】解：|-3|=3，-（-3）=3， 故选：A． 【知识点2】有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a•  （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 1.（2024秋•绥棱县期末）下列说法正确的是（　　） A．一个有理数不是正数就是负数 B．任何有理数都有倒数 C．两个有理数互为相反数，它们的商是-1 D．相反数等于它本身的数是0 【答案】D 【分析】根据有理数的分类、倒数的定义、相反数的性质逐个判断即可． 【解答】解：A、一个有理数可能是正数，可能是0，可能是负数，原说法错误，故此选项不符合题意； B、0没有倒数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、两个有理数互为相反数（0除外），它们的商是-1，原说法错误，故此选项不符合题意； D、相反数等于它本身的数是0，说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 2.（2024春•顺河区校级期末）某同学在计算-8÷a时，误将“÷”看成“+”而算得结果是-12，则-8÷a的正确结果是（　　） A．3 B．2 C．-3 D．-2 【答案】B 【分析】根据题意先计算出a的值，再将结果代入-8÷a得出本题答案． 【解答】解：∵计算-8÷a时，误将“÷”看成“+”而算得结果是-12， ∴-8+a=-12， ∴a=-4， ∴-8÷a=-8÷（-4）=2， 故选：B． 【题型1】运用有理数除法法则进行计算 【典型例题】若，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，， ∴同号，异号， ∴异号， ∴， 故选：A． 【举一反三1】计算的结果是（    ） A.3 B. C. D.12 【答案】B 【解析】． 故选：B. 【举一反三2】计算：      ． 【答案】0 【解析】． 故答案为：0． 【举一反三3】计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【举一反三4】化简下列分数： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【题型2】有理数除法与数轴、绝对值的综合 【典型例题】若，且，则（ ） A.1或 B.或 C.或 D.无法判断 【答案】A 【解析】∵，且， ∴中负数有一个或三个， 则原式或， 故选A． 【举一反三1】已知，，且，则的值是（    ） A. B. C.或 D.3 【答案】B 【解析】∵，，且， ∴，，， ∴， 故选B. 【举一反三2】的值是（    ） A. B. C.或 D.不能确定 【答案】C 【解析】当a、b、c没有负数时，； 当a、b、c有一个负数时，； 当a、b、c有两个负数时，； 当a、b、c有三个负数时，． 故选：C． 【举一反三3】若，且，则的值是        ． 【答案】 【解析】∵，， ∴，， 又∵， ∴，异号， 当，时，， 当，时，， 故答案为：． 【举一反三4】如果，那么比较        0． 【答案】 【解析】∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三5】已知对于非零有理数x，当时，，当时，．请根据上面的知识解答下面的问题： (1)已知a，b是非零有理数，满足，求的值． (2)已知a，b，c是非零有理数，当，求的值． (3)已知a，b，c是非零有理数，满足且，求的值． 【答案】解：（1）∵， ∴a、b异号， 不妨设， ∴； （2）∵， ∴a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数， 当a、b、c三个都是负数时，； 当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设， ∴； 综上所述，的值为或． （3）∵， ∴， ∵， ∴a、b、c中有三个负数（由题意舍去）或两个正数一个负数， 当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设， ∴ ， 综上所述，的值为． 【举一反三6】a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“” “”或“”填空：a______0，b______0，c______0，______0； (2)化简：． 【答案】解：（1）由数轴可知：，，， ∵， ∴， 故答案为：，，，． （2） . 【题型3】有理数乘除混合运算 【典型例题】计算：32÷（﹣4）×的结果是（　　） A.﹣16 B.16 C.﹣2 D.﹣ 【答案】C 【解析】原式=﹣8×=﹣2． 故选：C． 【举一反三1】观察下列各式，结果小于0的是（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.=50>0； B.==7>0； C.= =>0； D.==<0. 因此结果小于0的是D选项， 故本题选择D. 【举一反三2】计算的结果为(     ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】， 故选：C． 【举一反三3】计算：的结果为         . 【答案】 【解析】 =1×（-2）×（-）×4 =． 故答案为． 【举一反三4】计算： (1)； (2)． 【答案】解：（1） ； （2） ． 【题型4】有理数乘除的实际应用 【典型例题】学校原来平均每天用水60吨，现在改用节水水龙头，平均每天用水24吨，原来6天的用水量，现在可以用      天． 【答案】15 【解析】（天）， 故答案为：. 【举一反三1】学校体操队参加团体操比赛，每列站4人，分为12列；现在需要变换队形，每列站6人，可以分为       列． 【答案】8 【解析】(人)， (列)， 答：每列站6人，可以分为8列， 故答案为：8． 【举一反三2】如图所示，小明7：50从家里先步行到车站，步行速度为1 m/s，公交车车速为350 m/min，他能准时上8：30的第一节课吗？若不能，他最迟什么时刻从家里出发才一定能赶上第一节课（在车站等车时间为分钟） 【答案】解：∵小明从家里到车站的时间为：（秒）＝15（分）， 公交车到学校的时间为：（分）， 在车站等车时间为分钟， ∴小明从家到学校花费的时间为为分钟， 如果小明7：50出发，那么到学校的时间最早为8：38， ∴小明7：50出发不能准时上第一节课， 如果小明能够赶上第一节课，他最迟需要8时30分﹣50分＝7时40分， ∴小明最迟7：40出发才能赶上上第一节课． 答：不能，小明最迟7：40出发才能赶上上第一节课． 【举一反三3】王芳买了一盒净含量为72立方厘米的牙膏，牙膏圆形出口直径为8毫米，她早晚各刷牙一次，每次挤出牙膏长约15毫米，这盒牙膏大约能供她使用多少天？（π取3） 【答案】解：8毫米厘米，15毫米厘米， 每次挤出牙膏的体积的大约为π（立方厘米）， 则每天挤出牙膏的体积大约为（立方厘米）， （天）， 答：这盒牙膏大约能供她使用50天． 学科网（北京）股份有限公司 $