解题大招25 导数问题中的秒杀技——洛必达法则（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优讲义

**基本信息** 以洛必达法则为核心，构建"概念-条件-应用"三层逻辑体系，通过步骤化方法提炼实现导数未定式问题的高效突破，培养逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|2个核心知识点|明确法则1（0/0型）、法则2（∞/∞型）适用条件，归纳"条件核验-分别求导-结果判定"三步法|从概念定义（法则内容）到限制条件（注意事项），形成完整知识链| |题型|3类题型（含3典例+多跟踪训练）|参数分离结合洛必达求最值，解决恒成立问题；分类型突破0/0型、∞/∞型极限计算|典例覆盖基础计算、参数范围等高考高频考法，实现方法迁移|

解题大招25 导数问题的秒杀技——洛必达法则 知识点01 诠释洛必达法则 在解决诸如不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“”型的代数式，就设法求其最值．“”型的代数式，是大学数学中的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则． 洛必达法则 法则1　若函数f(x)和g(x)满足下列条件 (1) f(x)＝0及g(x)＝0； (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3)＝A，那么＝＝A. 法则2　若函数f(x)和g(x)满足下列条件 (1)f(x)＝∞及g(x)＝∞； (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3)＝A，那么＝＝A. 知识点02 洛必达法则中的注意事项 1．将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立. (2)洛必达法则可处理 型. (3)在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限. 4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止., 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。 题型01 洛必达法则的简单计算 这类试题往往以新定义的形式出现，即给出洛必达法则，要求学生利用该法则求极值值. 【典例1】（25-26高二下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】. 故选：B 【跟踪训练】 1．（25-26高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高二下·重庆江北·阶段检测）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 题型02 用洛必达法则处理型函数 此类题型解题步骤可归纳为： 1.条件核验：先确认待求极限属于型未定式，且分子、分母在极限点的去心邻域内均可导、分母的导数不为. 2.分别求导：对分子、分母分别单独求导（不是对整个分式求导），得到新的待求极限分式. 3.结果判定：计算新分式的极限，若结果存在（或为无穷大），即为原极限的结果；若新分式仍为型，可重复上述步骤直到得出确定结果. 【典例2】设函数，若当时，求的取值范围 【解析】方法一：当时，，. 当时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增. 所以 即，当且仅当x=0时取等号. 所以当时，， 从而当，即时，，而， 于是当时，. 由可得. 从而当时， ， 故当时，，而，于是当时，. 综合得的取值范围为. 方法二(洛必达法则法)：当时，，对任意实数a,均在； 当时，等价于 令(x>0),则，令，则，， 知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。 由洛必达法则知，， 故, 综上，知a的取值范围为. 【方法总结】对函数不等式恒成立求参数取值范围时，若采取参数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷．此时，可利用洛必达法则． 【跟踪训练】 1.（2026·河北·三模）已知函数，. (1)证明：在区间上单调递减； (2)对于恒成立，求实数的取值范围. 2．（25-26高二下·辽宁·期末）已知函数，． (1)设函数，若不等式在上恒成立,求的取值范围； (2)证明：，． 题型03 用洛必达法则处理型函数 此类题型解题步骤可归纳为： 1.条件核验：先确认待求极限属于型未定式，且分子、分母在极限点的去心邻域内均可导、分母的导数不为. 2.分别求导：对分子、分母分别单独求导（不是对整个分式求导），得到新的待求极限分式. 3.结果判定：计算新分式的极限，若结果存在（或为无穷大），即为原极限的结果；若新分式仍为型，可重复上述步骤直到得出确定结果. 【典例3】已知函数的定义域为． (1)求m的值； (2)求证：不存在极值点； (3)对任意给定的，求证：关于x的方程恰有一个正根． 【分析】（1）分析出要使函数有意义，须满足，再分和解不等式组即可求出m的值； （2）先求出，构造函数，借助导数研究其单调性及最值，得到，而不在函数的定义域内，即可得证； （3）由（2）推出在上单调递减，再由洛必达法则求出和时的极限值，即时的值域，即可得证. 【解析】（1）要使函数有意义，须满足， 若，解得，不符合题意，舍去； 若，解得， 因为函数的定义域为， 所以，解得； （2）由（1）知，， 所以， 令， 所以 ， 因为在上是单调递增的， 所以当时， ，，在上单调递增； 当时， ，，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即， 但是不在函数的定义域内， 因此在定义域内没有零点，即不存在极值点； （3）由（2）知在上单调递减，且， 所以，即在上单调递减， 当时，由洛必达法则可知， 当时，和都趋近于， 但是的增长速度比慢，所以， 综上可知，当时，， 所以当时，方程恰有一个正根． 【跟踪训练】 1． 已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 2.在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件： ①且（或，）； ②在点的附近区域内两者都可导，且； ③（可为实数，也可为），则． (1)用洛必达法则求； (2)函数（，），判断并说明的零点个数； (3)已知，，，求的解析式． 参考公式：，． 1．______． 2．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 3．，恒成立，求的取值范围. 4． 已知函数．当时，求的取值范围． 5．设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 6．已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有3个不同零点，求实数的取值范围. 7．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招25 导数问题中的秒杀技——洛必达法则 知识点01 诠释洛必达法则 在解决诸如不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“”型的代数式，就设法求其最值．“”型的代数式，是大学数学中的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则． 洛必达法则 法则1　若函数f(x)和g(x)满足下列条件 (1) f(x)＝0及g(x)＝0； (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3)＝A，那么＝＝A. 法则2　若函数f(x)和g(x)满足下列条件 (1)f(x)＝∞及g(x)＝∞； (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3)＝A，那么＝＝A. 知识点02 洛必达法则中的注意事项 1．将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立. (2)洛必达法则可处理 型. (3)在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限. 4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止., 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。 题型01 洛必达法则的简单计算 这类试题往往以新定义的形式出现，即给出洛必达法则，要求学生利用该法则求极值值. 【典例1】（25-26高二下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】. 故选：B 【跟踪训练】 1．（25-26高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意得， 故选：B 2．（25-26高二下·重庆江北·阶段检测）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】， 故选：D 题型02 用洛必达法则处理型函数 此类题型解题步骤可归纳为： 1.条件核验：先确认待求极限属于型未定式，且分子、分母在极限点的去心邻域内均可导、分母的导数不为. 2.分别求导：对分子、分母分别单独求导（不是对整个分式求导），得到新的待求极限分式. 3.结果判定：计算新分式的极限，若结果存在（或为无穷大），即为原极限的结果；若新分式仍为型，可重复上述步骤直到得出确定结果. 【典例2】设函数，若当时，求的取值范围 【详解】方法一：当时，，. 当时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增. 所以 即，当且仅当x=0时取等号. 所以当时，， 从而当，即时，，而， 于是当时，. 由可得. 从而当时， ， 故当时，，而，于是当时，. 综合得的取值范围为. 方法二(洛必达法则法)：当时，，对任意实数a,均在； 当时，等价于 令(x>0),则，令，则，， 知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。 由洛必达法则知，， 故, 综上，知a的取值范围为. 【方法总结】对函数不等式恒成立求参数取值范围时，若采取参数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷．此时，可利用洛必达法则． 【跟踪训练】 1.（2026·河北·三模）已知函数，. (1)证明：在区间上单调递减； (2)对于恒成立，求实数的取值范围. 【详解】(1)证明：， 令，则， 令，则， 若，则单调递减，单调递减，，在上单调递减， 若，则单调递增，，即 存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增， 且， 在区间上单调递减，且在上连续， 综上，在区间上单调递减. (2)当时，，成立.当时，由可得， 令， 由（1）可知在上单调递减，. 由洛必达法则：， . 2．（25-26高二下·辽宁·期末）已知函数，． (1)设函数，若不等式在上恒成立,求的取值范围； (2)证明：，． 【详解】（1）由题意可知不等式0在上恒成立， 当时，不等式可化为恒成立． 令，则， 令，则， 设，则， 设，则． 因为，所以，则在上单调递减，所以，即， 所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，所以． 根据洛必达法则可知 所以， 故的取值范围为． (2)证明：当时，， 设，则， 设，则，所以在上单调递增， 则，即，所以，即， 当且仅当时取得等号． 令，，则，，， 将上面个式子相加得 故，. 题型03 用洛必达法则处理型函数 此类题型解题步骤可归纳为： 1.条件核验：先确认待求极限属于型未定式，且分子、分母在极限点的去心邻域内均可导、分母的导数不为. 2.分别求导：对分子、分母分别单独求导（不是对整个分式求导），得到新的待求极限分式. 3.结果判定：计算新分式的极限，若结果存在（或为无穷大），即为原极限的结果；若新分式仍为型，可重复上述步骤直到得出确定结果. 【典例3】已知函数的定义域为． (1)求m的值； (2)求证：不存在极值点； (3)对任意给定的，求证：关于x的方程恰有一个正根． 【分析】（1）分析出要使函数有意义，须满足，再分和解不等式组即可求出m的值； （2）先求出，构造函数，借助导数研究其单调性及最值，得到，而不在函数的定义域内，即可得证； （3）由（2）推出在上单调递减，再由洛必达法则求出和时的极限值，即时的值域，即可得证. 【详解】（1）要使函数有意义，须满足， 若，解得，不符合题意，舍去； 若，解得， 因为函数的定义域为， 所以，解得； （2）由（1）知，， 所以， 令， 所以 ， 因为在上是单调递增的， 所以当时， ，，在上单调递增； 当时， ，，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即， 但是不在函数的定义域内， 因此在定义域内没有零点，即不存在极值点； （3）由（2）知在上单调递减，且， 所以，即在上单调递减， 当时，由洛必达法则可知， 当时，和都趋近于， 但是的增长速度比慢，所以， 综上可知，当时，， 所以当时，方程恰有一个正根． 【跟踪训练】 1．已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可得，分、、三种情况，结合洛必达法则求解即可. 【详解】因为对任意，不等式恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， ①当时，，不等式成立； ②当时，，不等式成立； ③当时，即， 令， 则 ， 所以在内单调递增， 由洛必达法则得， 所以，故的取值范围是. 2.在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件： ①且（或，）； ②在点的附近区域内两者都可导，且； ③（可为实数，也可为），则． (1)用洛必达法则求； (2)函数（，），判断并说明的零点个数； (3)已知，，，求的解析式． 参考公式：，． 【分析】（1）利用洛必达法则求解即可； （2）构造函数，结合的单调性求解即可； （3）利用累乘法求出的表达式，然后结合，利用洛必达法则求极限即可. 【详解】（1） （2），， 所以，． 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ，， 当时，，所以仅在时存在1个零点． （3），所以，，…， 将各式相乘得， 两侧同时运算极限，所以， 即， 令，原式可化为，又， 由（1）得， 故，由题意函数的定义域为， 综上， 1．______． 【答案】1 【详解】． 故答案为：1. 2．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】当时，，不等式成立； 当时，，令，依题意，， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 函数在上单调递增，由洛必达法则知， 因此恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 3．，恒成立，求的取值范围 【答案】 【详解】当时，; 当时，不等式可化为. 记， 则， 记，则， 当时，则; 当时，则. 因为，并且，所以. 这时符合题意. 综上可知，的取值范围是. 4．已知函数．当时，求的取值范围． 【答案】 【分析】分离参数，构造新函数，及，判定其导函数的符号结合洛必达法则计算即可. 【详解】由题意可知，当时，即等价于． 设，则 设，则，因为，所以， 即当时，，所以在上单调递减， 当时，，当时，满足洛必达法则， 所以， 即当时，的取值范围是． 5．设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 解得， 所以； （2）由（1）可知，时，，此时，； 故时，成立时，成立， 对恒成立， 即对恒成立； 记，则， 记，则， 记 ，则 ， ∴当0时，，在上单调递增； ， 所以在上单调递增；； ∴时，0，即在上单调递增； 记，， 当时，，符合洛必达法则条件， ∴， ∴时，， ∴． 6．已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有3个不同零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）时，   ， 令 得 或 在 时单调递增， 时单调递减， 时单调递增； 所以函数得单调递增区间为 和 ，单调递减区间为； （2）注意到 ， 设 ，则在时有两不同解， ，令 ， ，令 ，则有 ， 是增函数，则 时， ， 时， ， 所以 时， 单调递减， 时， 单调递增， ， 所以 时，  ， 时， ， 所以在 时，单调递减， 时，单调递增， 因为  ， 当 时， ， ， 即 ，当 时， ， 并且 ， ，并且 ， 当 时， ， 函数图像如下： 所以 即 ； 综上，函数得单调递增区间为 和 ，单调递减区间为， . 7．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【详解】（1）， 依据导数的定义： （2）（i）因为，定义域为R， 所以， 令，解之得：， 所以的单调递减区间为， （ii）因为对任意恒成立，且当时，不等式显然成立， 所以，当时，原式可转化为恒成立， 令，即， 因为， 令， ， 当时，， ，在上单调递减， 所以， 即时， 所以在上单调递减， ， 所以， 当时， 因为， 所以， 所以， 所以， 综上可知：实数a的取值范围为 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $