解题大招28 利用指数、对数平均不等式秒杀极值点偏移问题（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优讲义

**基本信息** 聚焦极值点偏移问题，构建指数、对数平均不等式“定义-证明-应用”完整方法链，通过题型分类与高考真题实现靶向突破，培养数学推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|2个核心不等式（含证明）|定义推导+不等式链构建|从对数平均不等式出发，通过代换推导指数平均不等式，形成双变量问题放缩工具| |题型|3类题型（含5道典例+高考真题）|极值点偏移“三步法”（求导定单调-变形分离结构-套用不等式放缩）|针对指数/对数型极值点偏移问题，建立“条件转化-结构识别-不等式应用”的解题逻辑链|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题大招28利用指数、对数平均不等式秒杀 极值点偏移问题 题型01利用指数平均不等式秒杀极值点偏移 利用指数、对数平均不等式 题型02利用对数平均不等式秒杀极值点偏移 秒杀极值点偏移 题型03利用两个平均不等式秒杀其他双变量问题 知识梳理 知识点01对数平均不等式及不等式链 1.对数平均不等式 两个正数和的对数平均定义：L(a,b)= Ca-ba≠b), Ina-Inb a b a(a=b) 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：V品≤1a,)≤a+也 2,此式记为对数平均不等式， 取等条件：当且仅当a=b时，等号成立， 【证明】不失一般性，可设a>b.(1)先证：Vab<L(a,b)…① 不等式D台na-nb<0-b分hg √ab 两t因=2hx-->).则=21-0- 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为x>1时，∫'(x)<0,所以函数f)在（山，+0）上单调递减，故f(x)<f()=0,从而①成立. (2)再证：L(a,b)<a+b 2…② 不等式②9a-h6>20sn (-1) >-6 Ix> (x-1) ( a+b a.,) (,+1) x+) x= >1 两造画突8创=nx-2D,>》,则g=上4= (x+1) x(x+1)2x(x+12· 因为x>1时，g'(x)>0,所以函数g(x)在(L,+∞)上单调递增， 故g()<g()=0,从而不等式②成立；综合(1)(2)知，对Va,b∈R,都有对数平均不等式 vab≤L(a,b)sa+b 成立，当且仅当a=b时，等号成立. 2x-<nx<x-,x>1 注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：X+1 2 X 在双变元情形下的应用. 2.对数不等式链 claxsxe xX+1x2+4X+1 cx121x-1.xe0 Vx,x2+4x+1x+1 知识点02指数平均不等式 指数均值不等式：若X,X∈R则e一 X2-X1 2 【证明】设=lna,名=lhb,则a=e,b=e,将a=e,b=e代入对数均值不等式 Vab<a-b Yeense-er e-e lna-lnb中，可 -,,即e2<x- a-b<a+b→e-e<e'+e 把a=e,b=e代入lha-lnb2 X1-x22 eex ete e 2< 综上，由对数均值不等式可得到指数均值不等式 x-x22 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 典型解析 题型01利用指数平均不等式秒杀极值点偏移 高分因击 1指数平均不等式在大题中不能直接使用，要使用的话需要补充上证明过程（所以需要记一下如何证 明)·因此它更多的是给我们提供一个放缩的思路。 2遇见想用指数平均不等式的问题时，需要从齐次化的角度考虑，把式子往齐次式上转化. 3基本步骤： (1)求导确定极值点xo,验证函数单调性，明确待证偏移结论（如x+x2>2x); (2)利用fx)=fx2)的等式作和或作差变形，分离出指数平均结构； (3)套用指数平均不等式放缩，整理后直接得证. 【典例1】已知函数f)=e-x-mm∈R),若f()有两个零点，x,且<， 求证：，+七2<0 f(x)=e-x-m=0, 【证明】因为f(0有两个零点，，故有/(：)=e西-x-m=0 ex=x+m 即e=名+m,两式相减，得e-e=-,且<x, e-e =1 所以一七2 +e-e e2< 由指数平均不等式，可知 x1-x2, (此处在解答时先证明该不等式，该不等式的证明过程参看知识点02) 为+ x+:<0 于是可得e2<1,即2 所以+x2<0 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【跟踪训练】 1. 已知函数f四)=e-mx,若，6(：<）是函数f()的两个零点，求证：+>2 2.己知函数f()=e-x-a有两个极值点，(：<)， (1)求a的取值范围； (2)求证：e+e>4 。题型2利用对数平均不等式秒杀极值点偏移 需分超击 1.对数平均不等式在大题中不能直接使用，要使用的话需要补充上证明过程（所以需要记一下如何证 明)，因此它更多的是给我们提供一个放缩的思路 2遇见想用对数平均不等式的问题时，需要从齐次化的角度考虑，把式子往齐次式上转化. 4/11 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3基本步骤： (1)求导确定极值点xo,验证函数单调性，明确待证偏移结论（如x1+x2>2x); (2)利用fx)=fx2)的等式取对数变形，分离出对数平均结构： (3)套用对数平均不等式放缩，整理后直接得证. 【典例2-1】已知函数 f(x)=xex(x∈R) ）,如果55，且代x)=) 证明： +x2>2 【分折】先判定=”不符合思意，再两边取对数得到=h5血6，再利用对数平均不等式进行 证明 【解析】由)=f)得e=e,又≠，所以×和同号， X 0时，f()=1-x)e*>0fx)J 当术< 单调递增， 若5<0与<0 f(x)=f(x2),x=x2 则由 得 这与题设不符，所以>0，名>0 将等式e=xe 两边同时取以自然对数得 Inx-=nx- 即5-=n-nx X2-一=1 +龙>，名=1 所以nx2-lnx,由对数平均不等式得2nx-lhx, +2>1,所以x+x>2: 即2 -龙<+龙 下面证明hx-hx2. h克、2与-2)2克-1) 证明： “方++1，构造函数g0=n1-2-山， X2 t+1 所以080所以g0是格脑数。 g点>1，所以8语>g0=0, 又因为 2(4-1) In X2 即"34+1，故-nx<22成立，命题得证 X2 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题后反思】本题主要采用了比值换元+构造函数的方法，不等式同时取以自然对数得 Inx-x =Inx2-x2 x2-x一=1 和lnx3-ln是转化的关键 Inx_Inx2 【典例2-2】已知占五(，*)，求证：xx>e2 设兰-空-0，格间题特化为E其53晚，代入。也年 【分析】设xx x一五得到对数平均不等 式，从而得证 Inx =ax 〔泽解]设-空a测a In x -In x2 两式相减得n5-n6=a5-5)”即a X-x2 不妨设>，所以西>c 两边取对数得 nx+Inx2>2 h五=n飞=aa=血x+n5 由等比性质知结合x为可得+为， 所以n+ln=a(+),故命题等价于证明a(+)>2成立， 将a=血5-h5 -考代入5+>2得g+6>2, x1-x2 -名<+ 即n:-n,2,这就是对数平均不等式，显然成立. 【跟踪训练】 1.已知函数=加和8的=“，若存在两个实数且5≠5，满足儿飞)8(f代)=8(G) 求证： 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x)-e"-Inx+x-a 2.(2022全国甲卷)已知函数 X (1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围； (2)若fx)有两个零点X1X2,证明：X1X2<1 题型03两个平均不等式在双变量中的应用 高分越击 对于其他双变量的问题，若能转化为对数平均数或指数平均数的形式，也可利用两个平均不等式秒杀 f(x)=1 -x+alnx 【典例3-1】(2018新课标1，理21)己知函 (1)讨论(x)的单调性： f(x)-f()sa-2 (2)若()存在两个极值点。，。，证明：西一西 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例32】已知函数 f(x)=Inx-x2+ax x∈(1，+o) f(x) (1)当 时，函数为递减函数，求“的取值范围： (2)设0)是函数/的导函数，X,是函数/的两个零点，且<， 求证：)<0， 【跟踪训练】 1.已知函数f()=血x-ax+(2-a)x若函数y=f()的图像与x轴交于A,B两点，线段AB的中 点的横坐标为6，证明：'(x)<0 2.(25-26高三上河北月考)已知函数 )=h--a,且田f 有两个零点 1,X2 (1)求a的取值范围； (2)证明： +xx2+x>3 8/11 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 巩固提升 1.已知函数f)=mr+3m-e,当f)有两个零点，(：<)时，求证：+>-4 2。（2026天津模拟)设函数f(四=产+nx 求曲线”=f)在点0 处的切线方程 (2)设函数8()=f()-ax(a∈R) ①)当=1时，8(0取得极值，求8 的单调区间； g(x2)-g()4_a (i)若g(x)存在两个极值点，x,证明：x-xa2, 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3. 已知函数f()=ae-x+3(a∈R) ①若方程/儿)=0有3个零点，求实教”的取值范国： @老()f+2x+4-有两个零点西化<).求证，0<a<2 2x+1-e ,且V2x+1x+x. 1(2026广东佛山模拟预测)已知函数()=e+分-x。 ①设)=f(④，求（四的零点并判 f() 的单调性； 2若)=f）,且5<，证明： (i+5<0 (i)ei+e>2. 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.已知函数 =r-2+ (1)求函数 的单调区间. ②设8)=了()-m,若存在两个不相等的实数a,月，当a,B(0m)时，g回)=8(0).求证： 邛<m2 11/11 解题大招28 利用指数、对数平均不等式秒杀 极值点偏移问题 知识点01 对数平均不等式及不等式链 1. 对数平均不等式 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：，此式记为对数平均不等式， 取等条件：当且仅当时，等号成立． 【证明】不失一般性，可设．（1）先证：……① 不等式①（其中） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而①成立. （2）再证：……② 不等式②（） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递增， 故，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立． 注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：在双变元情形下的应用. 2.对数不等式链 ； . 知识点02 指数平均不等式 指数均值不等式：若，则. 【证明】 设，则，将代入对数均值不等式中，可得，即 把代入. 综上，由对数均值不等式可得到指数均值不等式. 题型01 利用指数平均不等式秒杀极值点偏移 1.指数平均不等式在大题中不能直接使用，要使用的话需要补充上证明过程（所以需要记一下如何证明）．因此它更多的是给我们提供一个放缩的思路． 2.遇见想用指数平均不等式的问题时，需要从齐次化的角度考虑，把式子往齐次式上转化． 3.基本步骤： (1)求导确定极值点x₀，验证函数单调性，明确待证偏移结论（如x₁+x₂>2x₀）； (2)利用f(x₁)=f(x₂)的等式作和或作差变形，分离出指数平均结构； (3)套用指数平均不等式放缩，整理后直接得证. 【典例1】已知函数 ,若有两个零点，且， 求证： ． 【证明】因为有两个零点，故有 即 ，两式相减，得，且 ， 所以， 由指数平均不等式，可知， （此处在解答时先证明该不等式，该不等式的证明过程参看知识点02） 于是可得，即， 所以． 【跟踪训练】 1．已知函数，若 是函数的两个零点，求证：. 【证明】因为是函数 的两个零点，故有 两式相加，得 ，即 两式相减，得，即 所以，由指数平均不等式，可知 ， （此不等式在解答过程中需先证明，此处省略） 于是可得，所以． 2．已知函数 有两个极值点， （1）求 的取值范围； （2）求证：. 【详解】（1）,解答过程略． （2）证明：因为，且是的极值点， 故有 即 ， 两式相减，得，即 2， 由指数平均不等式，可知， （此不等式在解答过程中需先证明，此处省略） 于是可得，所以 ． 题型02 利用对数平均不等式秒杀极值点偏移 1.对数平均不等式在大题中不能直接使用，要使用的话需要补充上证明过程（所以需要记一下如何证明）．因此它更多的是给我们提供一个放缩的思路． 2.遇见想用对数平均不等式的问题时，需要从齐次化的角度考虑，把式子往齐次式上转化． 3.基本步骤： (1)求导确定极值点x₀，验证函数单调性，明确待证偏移结论（如x₁+x₂>2x₀）； (2)利用f(x₁)=f(x₂)的等式取对数变形，分离出对数平均结构； (3)套用对数平均不等式放缩，整理后直接得证. 【典例2-1】已知函数，如果，且，证明：． 【分析】先判定不符合题意，再两边取对数得到，再利用对数平均不等式进行证明. 【解析】由得，又，所以和同号， 当时，，单调递增， 若，，则由得， 这与题设不符，所以，． 将等式两边同时取以自然对数得， 即， 所以，由对数平均不等式得， 即，所以． 下面证明． 证明：，构造函数， 所以，所以是增函数， 又因为，所以， 即，故成立，命题得证． 【题后反思】本题主要采用了比值换元+构造函数的方法，不等式同时取以自然对数得和是转化的关键. 【典例2-2】已知，求证：． 【分析】设，将问题转化为证明成立，代入得到对数平均不等式，从而得证. 【详解】设，则， 两式相减得，即， 不妨设，所以两边取对数得， 由等比性质知结合可得， 所以，故命题等价于证明成立， 将代入得 ， 即，这就是对数平均不等式，显然成立． 【跟踪训练】 1．已知函数和，若存在两个实数且，满足， 求证： 【分析】由对数平均不等式，先对变形，进而化简证明即可. 【详解】先证明对数平均不等式 如果要证明且，则需证明，也就是需证明， 构建函数，，所以， 所以当时，，函数单调递增，则， 因为，所以，即，得证． 又因为，不妨令， 所以 得 ， 由上结论可知：，所以. 2.（2022全国甲卷）已知函数. （1）若恒成立，求的取值范围； （2）若有两个零点，证明：. 【解析】(1) 的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 （2）由题意得： 令，则， 所以在上单调递增，故只有1个解 又因为有两个零点，故 两边取对数得：，即 又因为，故，即 下证 因为 不妨设，则只需证 构造，则 故在上单调递减 故，即得证 题型03 两个平均不等式在双变量中的应用 1.对数平均不等式在大题中不能直接使用，要使用的话需要补充上证明过程（所以需要记一下如何证明）．因此它更多的是给我们提供一个放缩的思路． 2.遇见想用对数平均不等式的问题时，需要从齐次化的角度考虑，把式子往齐次式上转化． 3.基本步骤： (1)求导确定极值点x₀，验证函数单调性，明确待证偏移结论（如x₁+x₂>2x₀）； (2)利用f(x₁)=f(x₂)的等式取对数变形，分离出对数平均结构； (3)套用对数平均不等式放缩，整理后直接得证. 【典例3-1】（2018·新课标I，理21）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，，证明：. 【解析】（1）略，可求得，当且仅当a>2时,f(x)存在两个极值点. (2)因为是的两个极值点，所以. 所以. 此时可联想对数平均不等式的倒数形式，代入得 . 得证. 【注意】对数平均不等式由于不属于高中内容，故使用时一定要先证明相应不等式成立，再代入使用. 【典例3-2】已知函数． （1） 当时，函数为递减函数，求的取值范围； （2） 设是函数的导函数，，是函数的两个零点，且， 求证：． 【分析】（1）求导，利用导函数非正恒成立进行求解；（2）带点作差分离得到，再代入.，将问题转化为，进而利用对数平均不等式进行证明. 【解析】（1）（过程略）． （3） 证明：由，是函数的两个零点，且，所以，两式相减得：，所以， 所以， 要证，只需证即可． 由变形得． 由对数平均不等式可知，上式显然成立． 【跟踪训练】 1．已知函数，若函数的图像与轴交于两点，线段的中点的横坐标为，证明： 【详解】，由 ，同除以得， 要证，只需证； 只需证； 根据对数平均不等式，故原命题得证. 2．（25-26高三上·河北·月考）已知函数，且有两个零点. (1)求的取值范围； (2)证明：. 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，结合函数走势，得到不等式，求出答案； （2）先证明对一切不相等的正实数，都有，进而得到，则，由基本不等式得，进而求出. 【详解】（1）定义域为， 由题意可得. 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减. 当时，，当时，，且， 则，解得，即的取值范围为； （2）证明：先证明对一切不相等的正实数，都有. 不妨设，要证，即证 设， 则， 所以在上单调递增，所以，即当时，有， 故，即. 因为是的两个零点，所以 所以，则， 所以，则. 因为，所以. 因为， 所以. 因为，所以，即. 1．已知函数，当有两个零点 时，求证：. 【详解】因为函数有两个零点 ，， 故有 ，即. 两式相加，得，即, 两式相减，得，即, 于是 ，由指数平均不等式，可知， （此处需给出该不等式的证明，证明过程略） 于是可得，于是，所以． 2．（2026·天津·模拟）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）（i），时，取得极值，所以，求出，进而可求出函数的单调区间； （ii），存在两个极值点，即方程，在上有两个不等实根，所以，而等价于，构造函数即可得证. 【详解】（1）， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）（i）， ， ∵时，取得极值，∴，解得， ∴， 令，得或；令，得， ∴的单调增区间为，，单调减区间为； （ii）， ∵存在两个极值点， ∴方程，即在上有两个不等实根. ∵，解得， 则 ∴所证不等式等价于， 即， 不妨设，即证， 令，， 则， ∴在上递增，∴， ∴成立， ∴. 3．已知函数. (1)若方程有3个零点，求实数的取值范围； (2)若有两个零点，求证：，且. 【分析】（1）将问题转化为与有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围； （2）利用导数求得函数的单调性，再利用零点存在定理证得，再利用零点的定义将问题，构造函数，利用导数证得即可得证. 【详解】（1）解：令，即得，即方程有三个零点， 即直线与曲线有三个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为.      （2）解：因为， 当时，单调递增，不可能有两个零点，所以，此时， 令，得，所以当时，； 当时，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 若有两个零点，则，得，所以， 当时，，，， 故存在，使得， 又当趋向于时，趋向于，故存在，使得， 故，则满足，可得，即， 要证，只需证， 两边同乘以，可得， 因为，，所以， 令，即证，即证， 令，可得， 令，，故在区间上单调递增， 故，因此，所以在区间上单调递增， 故，因此原不等式成立. 4．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 【分析】（1）利用导数分析的单调性，可得到在上有唯一零点.利用的单调性得到及的解，从而得到判断的单调性； （2）（i）构造新函数，通过分析新函数的单调性，结合的单调性证得，即； （ii）构造新函数，根据新函数的单调性分析，结合的单调性证得，即． 【详解】（1）由函数，得. 所以. 因为恒成立，且在上单调递增. 因为，所以在上有唯一零点. 所以的零点为0. 所以，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 若，且，则. . 令，则. 所以是增函数，所以. 由（1）知，所以，所以，即. 因为在上单调递增，所以，即. （ii）设，则 令，则. 令，则. 所以在上单调递增，即在上单调递增. 所以，所以在上单调递增. 所以. 所以，当时，恒成立，即. 即. 两边同乘以，得. 因为，所以， 所以， 即. 因为，所以，所以，即. 所以，. 因此，得证. 5． 已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)设，若存在两个不相等的实数，，当，时，．求证：． 【分析】（1）借助导数，对及分类讨论即可得； （2）由题意可得，可构造函数，通过其单调性得到要证，只需证，即证，构造函数，，研究其单调性即可得. 【详解】（1）因为，所以， 若，则，函数单调递增， 若， 则当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为； （2）因为，所以， 因为存在两个不相等的实数，，当，时，， 所以可设，且满足， 所以．构建函数， 所以，当且仅当，时取等号， 所以函数单调递增， 所以，所以， 所以， 所以要证，只需证， 如果要证明， 则需证明，也就是需要证明． 构建函数，，所以， 所以当时，，单调递增， 所以当时，，又， 所以，所以． 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于将双变量，转换为单变量，从而可构造函数得解.. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $