2.5 有理数的混合运算（讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦有理数混合运算核心知识点，系统梳理运算顺序（先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内）、符号处理及运算律应用，作为有理数加减乘除、乘方运算的综合提升，构建从基础到复杂运算的学习支架。 该资料通过分层设计（基础通关、素养提升、迁移创新）与多元题型（错题复原、程序流程图、算24点、新定义运算），培养运算能力与推理意识，如错题复原题型引导学生批判性思维，算24点游戏提升应用意识。课中辅助教学，课后助力查漏补缺，发展数学思维与创新意识。

第二章 有理数及其运算 2.5 有理数的混合运算 课标要点 1. 掌握有理数混合运算的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）。 2. 能正确进行含乘方、乘除、加减及括号的多步有理数混合运算。 3. 在混合运算中能合理运用运算律简化计算，提高运算的准确性和灵活性，发展运算能力。 学习重难点 重点 1. 熟练掌握有理数混合运算的运算顺序及计算步骤，能按规范流程正确计算。 2. 在混合运算中灵活运用运算律（如分配律、结合律）简化运算过程。 难点 1. 在含乘方和括号的复杂算式中，准确识别运算优先级并正确处理各级运算。 2. 负号在乘方、括号及多层括号中变化时的符号处理，确保每一步计算准确无误。 知识点 有理数的混合运算（重点） （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 特别提醒 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。注意运算律使用可简化，但需带符号移动。勿跳步导致符号错误或漏算。 随学随练 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)22 (2) (3)9 (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 拓展 含乘方的有理数混合运算中的探究问题 1. 按常规顺序算，找出规律** 先按先乘方、再乘除、后加减的顺序计算若干组算式，观察结果之间的数量关系（如相等、递增、互为相反数），大胆猜想规律。 **2. 用字母代替数，验证猜想** 设字母表示底数或指数，结合乘方性质推导一般结论，证明猜想的正确性。 **3. 逆向应用，简化计算** 将发现的规律反过来用，把复杂式子变形为简单形式快速求解。注意特殊值（0、1、-1）对规律的影响。 活学活用 1．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 2．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1， (2)D (3)12 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．，或1，故错误；故选D； （3） 3．（25-26七年级上·山东日照·期末）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）： 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图： 将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）． 根据上述材料解答下列问题： 【任务一】 （1）十进制数13对应的二进制数为______． 【任务二】 （2）中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，X，Y来记数，其中X代表10，Y代表11．请结合以上材料计算十进制数982对应的十二进制数为_____． 【任务三】 （3）有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．试破解二进制明码表示的密码． 【答案】（1）；（2）；（3）二进制明码表示的密码为176． 【分析】本题考查了数字规律，有理数的乘方运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答； （2）理解题意，先模仿题干解题过程，即可作答； （3）先将转换成十进制数，再根据题意求解即可． 【详解】解：（1）依题意， ∴十进制数13对应的二进制数为； 故答案为：； （2）依题意，（最低位为10）， （次低位为9）， （最高位为0）， ∴． 故答案为：； （3）依题意， ， 由于是奇数，代入公式得 ∴二进制明码表示的密码为176． 题型 含乘方的有理数混合运算 解题贴士 按“乘方→乘除→加减”顺序，括号优先。先定符号，再算绝对值。合理用运算律简化。逐级逐步化简，避免跳步。 ▌例1（25-26七年级上·安徽合肥·期末）计算： 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，正确掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解：原式 ． ▌对点练1-1（25-26七年级上·福建漳州·期末）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是遵循有理数混合运算的顺序，先计算乘方运算，再计算括号内的运算，最后进行加减运算． 【详解】 解： ． ▌对点练1-2（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的运算法则：乘法分配律，减去一个数等于加这个数的相反数，除以一个不等于的数等于乘这个数的倒数，有理数加减混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，同级运算从左到右进行，有括号按小、中、大括号依次进行，是解题的关键． （1）依据有理数加减混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，同时先计算括号内的算式，依次计算后得出答案． （2）依据有理数加减混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，依次计算后得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． ▌对点练1-3（25-26七年级上·四川达州·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1)3 (2)0 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数混合运算法则进行计算：先乘方，再乘除，最后算加减；有括号先算括号里，同级运算从左到右； （2）根据有理数混合运算法则进行计算：先乘方，再乘除，最后算加减；有括号先算括号里，同级运算从左到右． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型 有理数混合运算错题复原问题 解题贴士 按正确顺序（括号→乘方→乘除→加减）逐层检查。重点看符号、指数、去括号变号。逆推验算，找错因，再重算。 ▌例2（25-26七年级上·河北衡水·期末）嘉琪做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误． 计算：． 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)嘉琪在第__________步开始出现错误． (2)请写出该题正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2) 解： ． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算顺序和运算法则进行计算． （1）根据有理数的混合运算的运算顺序和运算法则判断即可； （2）根据有理数的混合运算的运算顺序和运算法则计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 ▌对点练2-1（25-26七年级上·北京通州·期中）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第______步，小红错误的步骤是第______步． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一、三；二、三、四 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据计算过程分析即可得解； （2）先计算乘方，再计算乘除即可得解． 【详解】（1）解：由计算过程可得：小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第一、三步，小红错误的步骤是第二、三、四步； （2）解： ． ▌对点练2-2（25-26七年级上·山东临沂·期中）阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题． 计算： 解：原式① ② ③ (1)上述运算过程，从第________步出现错误，错误的原因是________； (2)写出正确解答过程． 【答案】(1)①，误将计算为 (2)解答过程见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握运算法则和顺序，正确的计算，是解题的关键． （1）根据运算顺序，先算乘方再算乘除可知第①步出现问题； （2）根据先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的进行计算即可． 【详解】（1）解：上述运算过程，从第①步出现错误，错误的原因是误将计算为； （2）解： ． ▌对点练2-3（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）纠错题：淇淇计算的过程如下： 解：原式① ② ③ (1)淇淇的计算过程中，开始出现错误的步骤是______填序号，错误的原因是______； (2)请给出正确的解题过程． 【答案】(1)①；运算顺序错误并且去括号未变号 (2)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据题干中的解题过程进行判断即可； （2）将错误过程改正后并正确计算即可． 【详解】（1）由题干中的计算步骤可得开始出现错误的步骤是①，错误的原因是运算顺序错误并且去括号未变号， 故答案为：①；运算顺序错误并且去括号未变号； （2）原式 ． 题型 程序流程图与有理数计算 解题贴士 按箭头顺序执行，分支条件判断符号或大小。代入数值逐步骤算，注意循环次数。逆推时从结果反算，列方程求解。 ▌例3（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． ▌对点练3-1（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先根据流程图求出运算结果，再把代入计算即可求解，看懂流程图是解题的关键． 【详解】解：由流程图得，， 当输入时，， ∵， ∴第二次输入， 当时，，输出， ∴输出的结果是． ▌对点练3-2（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）如图，小明设计了一个计算程序．输入值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、有理数的混合运算等知识点，理解程序图是解题的关键． （1）根据程序图输入，分别列式计算即可解答； （2）根据程序图可得，然后解方程即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：当输入时， ，． （2）解：根据题意可得： ， ， ． ▌对点练3-3（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 【答案】(1)65； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘法，最后再计算加减法； （2）根据所给顺序进行运算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：由题意得． 题型 算“24”点 解题贴士 先试乘法（3×8、4×6、12×2），再试加法（24+0）和减法（30-6）。四数组合，括号改变顺序，分数路径也可。多练找感觉。 ▌例4（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． ▌对点练4-1（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． ▌对点练4-2（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． ▌对点练4-3（25-26七年级上·河南新乡·期中）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，并完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子．（写出一种即可） 【答案】(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是 (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和，最大值是20 (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）取最大的整数和最小的负数相乘即可； （2）只有，且的绝对值最大，则为被除数，为除数； （3）根据有理数的运算法则作答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是； （2）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和， 最大值是； （3）解：（答案不唯一）． 题型 新定义型有理数混合运算 解题贴士 先读懂新定义符号的运算法则，按规则代入数值。注意运算顺序和符号，必要时换元。新定义只影响符号，底数不变。 ▌例5（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1)6 (2)480 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． ▌对点练5-1（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义一种运算符号“※”：m※例如：4※根据定义的运算法则，解决下列问题： (1)※______； (2)※※______． 【答案】(1)24 (2)18 【分析】（1）根据定义的运算列式计算即可； （2）根据定义的运算列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：24； （2）解：※ ， 原式※ 故答案为： ▌对点练5-2（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义一种新运算： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算、新定义运算法则等知识点，理解新定义的运算规则是解题的关键． （1）直接理由新定义运算法则以及含乘方的有理数法则计算即可． （2）由（1）可得，将代入的计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：由（1）可得， 将代入可得： ． ▌对点练5-3（25-26七年级上·青海海东·期中）定义一种新运算：． 例如． 求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)32 (2)39 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据新运算的法则，列式计算即可． 【详解】（1）解：； （2） ． 基础通关 一、单选题 1．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值、有理数乘方以及四则运算的法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，运算正确，不符合题意； B、，运算正确，不符合题意； C、，，运算错误，符合题意； D、，运算正确，不符合题意； 2．对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 【答案】A 【分析】本题为新定义运算题，需根据给定的运算规则，将对应数值代入公式计算求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3．根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先输入1，得到结果，再输入，得到结果，即可． 【详解】解：输入1，， 输入，， 所以输出的值为4． 二、填空题 4．计算：________． 【答案】0 【分析】按照先算乘方，再算除法，最后算加法的顺序计算即可． 【详解】解： ． 5．已知互为相反数，互为倒数，的绝对值是1，则的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、倒数和绝对值的性质，有理数的混合运算． 根据相反数、倒数和绝对值的性质，得到，，，代入表达式计算． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∵，互为倒数， ∴， ∵， ∴即， 原式． 故答案为：． 6．定义新运算：对于任意有理数、，都有，例如，那么__________． 【答案】- 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解新定义的运算规则，掌握有理数运算法则即可求解. 【详解】解：由新定义可知. 将，代入得 . 三、解答题 7．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数混合运算法则进行计算，先乘方，再乘除，最后加减； （2）根据有理数混合运算法则进行计算，有括号先算括号里面． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算，再把除法转化为乘法，用； （2）先算中括号内为，再算，再把两个得数相加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8 (2)34 (3)0 【分析】（1）根据有理数的加减法运算计算即可； （2）使用乘法运算律求解即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 11．小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； (2)计算：． 【答案】(1)小明在第一步出现错误；正确计算过程为： ； (2) 【分析】（1）小明在第一步中先计算了，因此出现错误；根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ． 12．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢四进一就是四进制，用数字0，1，2，3记数，四进制数可以转换为十进制数．例如，四进制数记为，由，可得是十进制数102． (1)将转换为十进制数，结果是___________； (2)对于一个用四进制表示的正整数，有下列两个结论： ①如果这个数的末位数字能被2整除，那么这个数就能被2整除； ②如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除． 从中选出正确结论，并以四位的四进制数为例，说明该结论正确的道理，若不成立举反例证明即可． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能熟练将四进制转化为十进制是解答本题的关键． （1）根据题意将四进制转化为十进制即可； （2）根据题意判断出①正确，将四位的四进制数化为十进制的数，经过变形即可验证①． 【详解】（1）解：． （2）解：选①．将四进制数转换为十进制数为． 因为一定能被2整除， 若末位数字能被2整除，那么就能被2整除， 所以如果这个数的末位数字能被2整除，那么这个数就能被2整除． 对于②不一定成立．例如四进制数，其各位数字之和为2（能被2整除），但对应的十进制数65不能被2整除，所以②错误． 素养提升 1．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不同进制之间的转换，解题思路为先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数通过除3取余法转换为三进制数，即可得到结果 【详解】解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为 ∴将转换为十进制数得： 即对应的十进制数为14， 接下来将十进制数14转换为三进制，使用除3取余法： ，余数为2； ，余数为1； ，余数为1； 将所得余数倒序排列，得到三进制数为 2．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 3．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 4．把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． ， 所以二进制数转换成十进制数为89．（注：规定当时，） 请通过计算将二进制数，改写成十进制数是__________． 【答案】51 【分析】根据题干给出的二进制转化为十进制的规则，列式计算即可． 【详解】解： ． 5．（25-26七年级上·广西来宾·期中）平平和安安进行摸球游戏，如图，框1中有A，B两个大小相同的球，框2中有C，D，E，F四个大小相同的球，先从框1中摸出一个球，再从框2中将4个球全部摸出，并按摸出的顺序进行计算． (1)平平先从框1中摸出了球A，再从框2中摸出球的顺序为D→E→C→F，请你帮助平平计算最终结果． (2)①若安安从框1中摸出了球B，从框2中摸出球的顺序为F→E→______→______，计算结果为，请你通过计算判断安安从框2中摸出球的顺序； ②若安安从框1中摸出了球A，从框2中先摸出的球为球D，则摸球游戏计算的最大结果为______．请你写出计算过程． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意，列出计算式，然后计算即可； （2）①根据题意，分别计算出按顺序F→E→→和F→E→→的结果，再结合题意，即可解答本题； ②根据题意可知，当摸出球的顺序为时，摸球游戏计算的结果最大，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：①若摸出球的顺序为F→E→→时， 得：， 若摸出球的顺序为F→E→→时， 得：， 计算结果为， 故摸球顺序为F→E→→， 故答案为：； ②由题意可得：当摸出球的顺序为时，摸球游戏计算的结果最大， ． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·广东深圳·期末）综合与实践 【实践主题】估计某款空心卷筒缎带展开的总长度． 【实践背景】欢欢与乐乐在用某款缎带包扎礼品时，计划在不把缎带全部展开的情况下，分别用不同的方法估计已使用过的两卷不同的空心卷筒缎带还有多长？ 【方法一：称重法】 欢欢用电子秤称出整卷缎带（含中心纸筒，如图1）的总质量，并称出同款已用完全部缎带后的中心纸筒的质量． （1）已知缎带净重总质量中心纸筒的质量，则这卷缎带的净重m是________g； （2）剪下一段长度为的缎带，称出其质量．假设这卷缎带质地均匀，则欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是多少米？ 【方法二：等体积法】 一卷空心卷筒缎带未展开时可近似为“空心圆柱”状，底面可看作圆环，如图2，乐乐测得外直径为，内直径为（不包括中心纸筒）．然后展开一小段缎带，展开后缎带可近似为“薄长方体”状（如图3）．由于一层缎带太薄，无法精确测量，为了减小测量误差，乐乐将展开的这一小段缎带平整折叠成20层，经过多次测量取平均值后，得到20层缎带的总厚度为． （3）为了估计这卷缎带长度，可先求出每层缎带的厚度d为________； （4）若这卷缎带厚度均匀，则乐乐的这卷缎带的总长度大约是多少米？（π的值取3） 【答案】（1）36；（2）欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是20米；（3）；（4）乐乐的这卷缎带的总长度大约是14米 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是： （1）根据缎带净重总质量中心纸筒的质量求解即可； （2）利用缎带净重÷缎带的质量即可求解； （3）利用20层的厚度÷层数（20）即可； （4）根据缎带总长=卷筒缎带底面环形面积÷缎带厚度求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：36； （2）（米） 答：欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是20米． （3）， 故答案为：0.015； （4）这卷缎带的总长度大约 答：乐乐的这卷缎带的总长度大约是14米 迁移创新 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)16 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题干所提供的思路，设，再把这个等式两边同时乘以得到，把这两个等式两边分别相减得到得，然后再把两边同时除以可得结果； （2）根据规律可得第个数是；仿照（1）中的解题思路设，把等式两边同式乘以得到则，把两个等式两边同时相加可得，然后再把两边同时除以即可得到结果． 【详解】（1）解：设， 则． 由，得， ， 即； （2）解：第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 根据规律可得第个数是； 设， 则． 由，得， ， 即这列数中前个数的和是． 3．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）【综合与实践】根据材料，解答下列问题． 问题背景 进位制是人们为了计算方便而约定的，约定逢十进一就是十进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将k进制的数转化为十进制数，例如2进制的数转化为十进制数：． 查阅资料二 例1：根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商0为止，然后逆序取商及余数，得到二进制数．例如：   可得：，所以20转换为二进制数为 例2：将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为 上述方法可以推广为把十进制数转换为进制的算法（除取余法） 查阅资料三 二进制的加法运算法则与十进制的加法运算法则相同，不同的是十进制是满十进一，而二进制是满二进一．例如计算，列竖式如下： 这里的相加，逢2要进位．进位得到，再进位得到，再进位得到． 所以． (1)把二进制数转为十进制数为______；把七进制数转为十进制数为______． (2)把十进制数38转为二进制数，写出过程． (3)计算． 【答案】(1)， (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解进制的转化方法． （1）根据二进制、七进制化十进制的方法求解即可； （2）用2连续去除十进制数，直到商0为止，然后逆序取余数即可求解； （3）根据二进制的加法运算法则：满二进一求解即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：，； （2）解：，余0 ，余1 ，余1 ，余0 ，余0 ，余1 ∴逆序取余数得 （3）解：由二进制是满二进一，得 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章 有理数及其运算 2.5有理数的混合运算 课时目标 1.掌握有理数混合运算的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减：有括号先算括号 内)。 课标要点 2.能正确进行含乘方、乘除、加减及括号的多步有理数混合运算。 3.在混合运算中能合理运用运算律简化计算，提高运算的准确性和灵活性，发展运算能 力。 重点 1. 熟练掌握有理数混合运算的运算顺序及计算步骤，能按规范流程正确计算。 2. 在混合运算中灵活运用运算律（如分配律、结合律）简化运算过程。 学习重难点 难点 1.在含乘方和括号的复杂算式中，准确识别运算优先级并正确处理各级运算。 2.负号在乘方、括号及多层括号中变化时的符号处理，确保每一步计算准确无误。 清主线 课时内容导图 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 先乘方 再乘除 运算顺序规则 最后加减 含乘方的有理数混合运算 括号优先 有理数混合运算错题复原问题 程序流程圈与有理数计算 常见考题 交换律 有 运算律应用 结合律 算"24"点 知识梳理 分配律 新定义型有理数混合运算 数 乘方与乘除组合 乘方与乘除优先级颠倒 运算顺序混淆 运算常见类型 乘方与加减组合 括号内运算顺序漏算 含括号多层运算 乘方底数负号处理失误 符号判断错误 易错点 混 同级运算从左到右 多个负号运算后符号误判 运算技巧 灵活转换运算形式 漏乘括号内项 分配律使用不当 巧用运算律简化 符号错误分配 学法指导 算 混合运算转化为单一运算 转化思想 减法除法转化为加法乘法 按运算类型分步讨论 分类讨论思想 数学思想 按符号正负分类讨论 遵循运算顺序规范 规范思想 书写步骤规范清晰 理新知 教材全盘梳理 知识点 有理数的混合运算（重，点) (1)先乘方，再乘除， 最后加减。 (2)同级运算，从左到右的顺序进行。 (3)如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步 走：先确定符号，再求值。 特别提醒 先乘方，再乘除，最后加减：有括号先算括号内。 注意运算律使用可简化，但需带符号移动。勿跳步 导致符号错误或漏算。 随学随练 1.(26-27七年级全国小升初衔接)计算： @-(号6部 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a--3*[-2-(3] 2.(26-27七年级全国小升初衔接)计算： 0-5×-((-6) a-10+-8+-6*3)x2 3.(26-27七年级全国小升初衔接)计算： (1)(-2)}×5-(-2)°÷4： (2②-(3-5)+32×(1-3)： 3)(-1)×5+(-2)°÷4： ④(-10)9°+[(4}-(1-32)×2； (⑤)4+(-2)°×5-(-0.28)÷4. 破疑难 核心素养拓展 拓展 含乘方的有理数混合运算中的探究问题 1.按常规顺序算，找出规律* 先按先乘方、再乘除、后加减的顺序计算若干组算式，观察结果之间的数量关系（如相等、递增、互为相 反数)，大胆猜想规律。 *2。用字母代替数，验证猜想* 设字母表示底数或指数，结合乘方性质推导一般结论，证明猜想的正确性。 *3.。逆向应用，简化计算* 将发现的规律反过来用，把复杂式子变形为简单形式快速求解。注意特殊值(0、1、-1)对规律的影响。 7活学活用 1.(25-26七年级下·安徽毫州期末)观察以下等式： 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1个等试：》 第2个等式：传》 1111 第3个等式： 62-1257, 第4个式行》】 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： 111,1 (②运用你发现的规律求2一十4一十6一十g一+…+100一的值 2.(26-27七年级江苏·小升初衔接)【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的 运算叫做除方，比如2÷2÷2，（-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等，类比有理数的乘方，我们 (仁3)：(3)(3)(3)写作(3)，读作“(3)的园4次方”，一般地把÷÷a(a≠0)写作 n个a 。D,读作“a的圈n次方”. 【初步探究】 ()直接写出计算结果：2®=二：(-3)°=一： (2)下列关于除方说法中，不正确的是(). A.任何非零数的圈2次方都等于1： B.任何非零数的圈3次方都等于它的倒数： C.(-2)°>(-4) D.1和-1的圈n次方都等于它本身. (3)算一算：-20222 3.(25-26七年级上山东日照期末)综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制， 也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.为了区分不同的进位制，常在数的右下角标 明基数，十进制数一般不标注基数。 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了 4/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 下面的式子（规定当a≠0时，a°=1）： 3721=3×103+7×102+2×10+1×10° 例如，二进制数(10112，转换为十进制数为：1x2+0×22+1x2+1×2°=11. 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式 如图： 25 余数 低位 2 12 2 6 0 23 0 21 1 0 1 高位 将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得25=(11001)2.此方法可推广为把十进制数转换为k进制 数的算法（除k取余法）· 根据上述材料解答下列问题： 【任务一】 (1)十进制数13对应的二进制数为 【任务二】 (2)中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用.十二进制使用0,1,2,3， 4,5,6,7,8,9,X,Y来记数，其中X代表10，Y代表11.请结合以上材料计算十进制数982对应的十 二进制数为 【任务三】 (3)有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时， 3-x 破解公式为2，当x为偶数时，破解公式为2x+3:试破解二进制明码(101101101)，表示的密码. 通题型 解题能力构建 题型 含乘方的有理数混合运算 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 按“乘方一乘除→加减”顺序，括号优先。先定符号，再算绝对值。合理用运算律简化。逐级逐步化 简，避免跳步。 1例1(25-26七年级上安微合肥期末)计算：-×(-3)+(3+2×》 1对点练11(2526七年级上福建浒州期末)计算：-3-（1-×10-5+(3 ■对点练1-2(25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末)计算： w后引6： (2②)-10+8÷(-22-(-4)x(-3). ■对点练1-3(25-26七年级上四川达州期末)计算： (1)17-8÷(-2-4×(-3): @-025÷(x-+g+237524 题型 2 有理数混合运算错题复原问题 解趣贴士 按正确顺序（括号→乘方一乘除→加减）逐层检查。重点看符号、指数、去括号变号。逆推验算，找 错因，再重算。 ■例2(25-26七年级上河北衡水·期末)嘉琪做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误. 计2号[2号 1 =一6+，…第二步 3 6/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 3…第三步 (1)嘉琪在第 步开始出现错误。 (2)请写出该题正确的解答过程. 1对点练21(2526七年级上北京通州期中)小明与小红两位同学计算4(-2×（母 的过程如下： 小明： 原武=84(6)x(司（第步） (第二步) 6(第 小红： 原武=16-(8 (第一步) =168y (第二步) =16+1(第三步) =16(第四步) ()小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第步，小红错误的步骤是第步 (2)写出正确的解答过程 Ⅱ对点练2-2(25-26七年级上山东临沂·期中)阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题. 计算：-1025+4×0.52+6×1_1+5 236 1 5 解：原式=-1+2+6× 1 -6× 2 +6×60 =-1+4+3-2+5② =9③ (1)上述运算过程，从第 步出现错误，错误的原因是 (2)写出正确解答过程. 7/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练23(25-26七年级上·贵州铜仁阶段检测)纠错题：淇淇计算-1+4×0.52-6×) 23的过程 如下： 1 1 解：原式=-1+2-6×26×3① 2 =-1+4-3-2② =-2③ (I)淇淇的计算过程中，开始出现错误的步骤是（填序号)，错误的原因是 (2)请给出正确的解题过程. 题型 程序流程图与有理数计算 解题贴士 按箭头顺序执行，分支条件判断符号或大小。代入数值逐步骤算，注意循环次数。逆推时从结果反算， 列方程求解， I例3(25-26九年级下河北邯郸期中)如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数 进行卡片上的运算，如按“4→A→B”进行运算，则所列算式为“(4-3)×(4)”. A B C D -3 (-4) 平方 ) 3 ()若按“-。→B→A→C”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； 6 (2)若琪琪同学按“2 →D→C→B→A进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果. ■对点练3-1(25-26七年级上广西崇左·期末)如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个 程序回答问题：当输入的x为-16时，最后输出的结果y是多少？（写出计算过程） 输入-吗3到0函 结果是否是输出 小于-9 y 否 ■对点练3-2(25-26七年级上江西南昌·阶段检测)如图，小明设计了一个计算程序.输入x值，由上面 的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到.如： 8/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 输入x=1, 得到m=1×(-4)-2=-6,n=(1+3)÷2=2. m 3) n (1)若输入x=-2,则m= (2)若得到m=14,求输入的x值. ■对点练3-3(25-26七年级上江西上饶·期中)数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A,B,C,D四 个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含x的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运 算完成后再进行下一步运算.例如：小贤先输入一个有理数x,再按A→B→C→D的顺序运算，则可列算 式[(x-3)×(-2)]+1. -3 ×(-2) 立方 ()当x=1时，求算式[(x-3)×(-2)]+1的值， (2)若小艺输入的x的值为2，再按B→D→C→A的顺序运算，请求出运算结果. 题型 4 算 “24”点 解题贴士 先试乘法(3×8、4×6、12×2)，再试加法(24什0)和减法(30-6)。四数组合，括号改变顺序，分数 路径也可。多练找感觉。 ■例4(26-27七年级江苏·小升初衔接)游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中 任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数.请用如图抽取出的4 张牌，写出符合规则的算式 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ⅱ对点练41(25-26七年级上浙江绍兴·期末)学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越 越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法.两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是6，只要其余三个数能算出是4或144,18,30，-18，都可算出24， 如：6,7,8,9，可以列出8÷(9-7)×6=24 兴兴：有时遇到6不能用你的方法算出，可以尝试用6除以4，也能得到24哦！如：1？3：4：6，可以 列出6÷(1-3÷4)=24 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数2,3,5，请从1到10这些自然数中选一个，使四个数能算出24，要求列出算式，并简 单说一下你的思考过程. (2)想一想，数字-1,4,5,6这四个数可以算出24吗？如果可以，请列出算式. ■对点练4-2(25-26七年级上河北邢台·期末)小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片， 完成下列各问题： -3 -5 0 +3 +4 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24.写出运算式子： ■对点练43(25-26七年级上·河南新乡·期中)小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片 (如图)，小刚请小明按要求抽出卡片，并完成下列问题： -3 24 (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子.（写出一种即可） 10/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型 5 新定义型有理数混合运算 解题贴士 先读懂新定义符号的运算法则，按规则代入数值。注意运算顺序和符号，必要时换元。新定义只影响 符号，底数不变。 ■例5(25-26七年级上：陕西咸阳期中)新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定 义了一种新运算“※”，规定如下：对于任意有理数a,b,满足a※b=ab+ab。 (1)求(-2)※3的值： (2)求（-5)※[(-4)※2] ■对点练5-1(25-26七年级上辽宁沈阳阶段检测)定义一种运算符号“※”：m※n=m2-mn.例如：4※ （-2)=42-4×(-2)=24根据定义的运算法则，解决下列问题： (1)(-4)※2= (2[(-3)※(-21※(-3)= ■对点练5-2(25-26七年级上江苏苏州阶段检测)定义一种新运算：a*b=a2-b+ab (1)求2*(-3)的值： (2求(-2)*[2*(-3)]的值， ■对点练5-3(25-26七年级上·青海海东期中)定义一种新运算：a※b=a2-2ab. 例如(-1)※2=(-1)2-2×(-1)×2=5， 求下列各式的值： (1)(4)※2： 2(-3)※[1※(-2] 刷好题 课时巩固精炼 基础通关 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1,下列运算错误的是() a-写 B.2-(-3.5)=7.5 C.(-5)x6+21=9 D.-2×(-3)=6 2.对于有理数a,b,定义一种新运算“△”，规定a△b=a2-ab+7,则-5△9=() A.77 B.-77 C.63 D.13 3.根据如图所示的程序，当输入x的值为1时，输出的'值为() 否 输入x平方→乘2→减去4→结果大于0> 是物出y A.-2 B.3 C.4 D.8 二、填空题 4.计算：（-2)°÷8+(-1}=」 5.已知a,.b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是1，则2(a+b-)+3cd-2m的值为 6.定义新运算：对于任意有理数ab,都有a⑧b=a2-b,例如3⑧2=32-2=7，那么2 三、解答题 7.计算： (①)-2÷8-14×(-2)}月 (2)(-112-116+34-16)×(-48) 8.计算： 24: (2(-103+[(-42-(1-32）x2] 9.计算： O5i2*-1. (2)-14-(1-0.5)×2÷(-3)2 12/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.计算 (1)(-5)+15-(（-2)-4: a传名(0， (3)-127- s-(3], 11 11,小明同学在黑板上计算“5+(4)×。÷。×4”时，他的解答过程如下： 88 11 解：5+(4)*8gx4 …第一步 =5-1…第二步 =4…第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； ②四计算：4÷(2-4)+6×行 12.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢四进一就是四进制，用数字0,1,2,3 记数，四进制数可以转换为十进制数.例如，四进制数1212记为(1212)4，由(1212)，=1×4+2×42 +1×4+2×4°=102，可得(1212)4是十进制数102. (1)将(201)4转换为十进制数，结果是 (2)对于一个用四进制表示的正整数，有下列两个结论： ①如果这个数的末位数字能被2整除，那么这个数就能被2整除： ②如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除， 从中选出正确结论，并以四位的四进制数(bcd),为例，说明该结论正确的道理，若不成立举反例证明即可. ©素养提升 13/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效 率.二进制数的组成数字为0,1，二进制数101102转化为十进制数： 10110,=1×2+0×22+1x22+1×2+0×2°=22.三进制数的组成数字为0,1,2，三进制数211转化为十 进制数：211，=2×32+1×3'+1×3°=22.将二进制数11102化为三进制数为() A.102 B.1013 C.1113 D.112 n 2.定义一种对正整数n的“P运算：①当n为奇数时，结果为3m+5:②当n为偶数时，结果为2，其中 n k取使2为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取n=26时，则有： F② F① F② 26 13 44 将 进行2025次“F运算”的 第一次 第二次 第三次 n=49 结果是( A.19 B.31 C.62 D.98 3.有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中 的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜.现已抽出如图所 示的四张牌(A表示1)，则可算“24'点的算式是 (写出一个即可) 2 的 4.把二进制数(011001)，改写成十进制数，只要把它写成各位数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然 后按通常的方法进行计算即可 (1011001)2=1×26+0×2+1×24+1×23+0×22+0×2+1×2° =64+0+16+8+0+0+1 =89 所以二进制数(1011001)2转换成十进制数为89.（注：规定当a≠0时，°=1） 请通过计算将二进制数(110012，改写成十进制数是 5.(25-26七年级上：广西来宾·期中)平平和安安进行摸球游戏，如图，框1中有A,B两个大小相同的球， 框2中有C,D,E,F四个大小相同的球，先从框1中摸出一个球，再从框2中将4个球全部摸出，并按 14/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 摸出的顺序进行计算. D E B ×(3) +3 平方 框1 框2 (1)平平先从框1中摸出了球A,再从框2中摸出球的顺序为D→E→C→F,请你帮助平平计算最终结果。 (2)①若安安从框1中摸出了球B,从框2中摸出球的顺序为F→E→ → 一，计算结果为3，请 你通过计算判断安安从框2中摸出球的顺序： ②若安安从框1中摸出了球A,从框2中先摸出的球为球D,则摸球游戏计算的最大结果为一·请你 写出计算过程. 6.(25-26七年级上·广东深圳期末)综合与实践 【实践主题】估计某款空心卷筒缎带展开的总长度 【实践背景】欢欢与乐乐在用某款缎带包扎礼品时，计划在不把缎带全部展开的情况下，分别用不同的方 法估计己使用过的两卷不同的空心卷筒缎带还有多长？ 【方法一：称重法】 欢欢用电子秤称出整卷缎带（含中心纸筒，如图1）的总质量M=50.9g,并称出同款己用完全部缎带后的 中心纸筒的质量m=14.9g (1)已知缎带净重m=总质量M-中心纸筒的质量mo,则这卷缎带的净重m是8； (2)剪下一段长度为L,=1m的缎带，称出其质量m=1.8g.假设这卷缎带质地均匀，则欢欢的这卷缎带 在剪下1米之前的总长度大约是多少米？ 【方法二：等体积法】 一卷空心卷筒缎带未展开时可近似为“空心圆柱”状，底面可看作圆环，如图2，乐乐测得外直径为8Cm, 内直径为6Cm(不包括中心纸筒)，然后展开一小段缎带，展开后缎带可近似为“薄长方体”状（如图 3)·由于一层缎带太薄，无法精确测量，为了减小测量误差，乐乐将展开的这一小段缎带平整折叠成20 层，经过多次测量取平均值后，得到20层缎带的总厚度为0.3cm 内径6cm ☑厚度d 宽度1cm 长度L 宽度1cm -外径8cm 图1 图2 图3 15/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)为了估计这卷缎带长度，可先求出每层缎带的厚度为， cm: (4)若这卷缎带厚度均匀，则乐乐的这卷缎带的总长度大约是多少米？（π的值取3） 品迁移创新 1.(26-27七年级全国小升初衔接)计算题. 1 1 (四2-+4-6-++1002- ®246-品） 1 1 1 (3)2×4x6+4x6×86×8x108×10×12T10×12×14 1,4） (④68×45×3131x68/ ×90 2.(2425七年级上全国课后作业)为了计算1+2+2+23+24+…+2+2°的值，我们采用如下的方法： 设S=1+2+2+23+24+…+2°+210，① 则2S=2+22+23+24+25+…+20+2② 由②-①，得S=2”-1. 请你根据上述材料，解答下列问题： (1求1+3+32+33+…+32024的值： (2)已知一组按规律排列的数：-1,5，-5,5，-5，… ①它的第200个数是 ②求这列数中前200个数的和。 3.(25-26九年级上重庆渝北期末)【综合与实践】根据材料，解答下列问题. 问 题 进位制是人们为了计算方便而约定的，约定逢十进一就是十进制，逢几进一就是几进制，几进制 背 的基数就是几.为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数. 景 查 十进制，即“逢十进一”，使用0~9十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）·例如， 16/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子： 阅 3925=3×10+9×102+2×10'+5×10°（规定：当a≠0时，a°-1），可见，一个数可以表示成各 资 数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0 料 和1，基数为2.例如，二进制数10100简记为(10100)，（角标2为基数，除十进制外，基数不能 省略)，可利用上述方法将k进制的数转化为十进制数，例如2进制的数转化为十进制数： (10100),=1×2+0×23+1×2+0×2+0×2°=20 例1：根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商0为止，然后逆 序取商及余数，得到二进制数.例如： 除数 余数 低位 查 220…0 210 *0 阅 25 …1 可得： ，所以20转换为二进制数为 资 22…0 1 料 商 高位 20=(10100)2 (10100)2 例2：将十进制数46转换为三进制数，因为27<46<81，即3°<46<3，则 46=1×33+2×32+0×3+1×3°，所以46转换为三进制数为(1201)， 上述方法可以推广为把十进制数转换为k进制的算法（除k取余法） 二进制的加法运算法则与十进制的加法运算法则相同，不同的是十进制是满十进一，而二进制是 查 满二进一. 例如计算（101)2+(12，列竖式如下： 阅 (101）2 资 +(11)2 (1000)2 料 三 这里的相加， 逢2要进位.(12)，2进位得到(120)2，再进位得到(200)2，再进位得到(1000)2 所以(1012+(112=(1000)2 (1)把二进制数(10010)2转为十进制数为；把七进制数(26)，转为十进制数为】 (2)把十进制数38转为二进制数，写出过程. (3)计算(1011)2+(110)2. 17/17