第二章 有理数及其运算（复习讲义）数学北师大版2024七年级上册

第二章 有理数及其运算（复习讲义） 1. 了解有理数、数轴、相反数、绝对值、科学记数法、近似数的意义，体会有理数及其运算各概念、法则、运算律之间的整体联系。 2. 能用正负数表示相反意义的量，会对有理数按意义、符号分类；能画出数轴，用数轴比较有理数大小，会求相反数、绝对值。 3. 理解并利用有理数加、减、乘、除、乘方运算法则及运算律，进行混合运算；会用科学记数法表示数，按要求取近似数，解决实际问题。 1.大于0的数叫 正数 ，在正数的前面加上负号“-”的数叫 负数 ． 2.数0既不是 正数 ，又不是 负数 ． 3.在同一问题中，分别用正数和负数表示具有 相反 的意义． 4.人们常用正负数来表示一对具有 相反意义 的量． 5.有理数的分类： 6.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 7.相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 8.绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 9.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 10.有理数的运算 (一)运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 11.科学记数法、近似数 （1）科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． （2）近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 题型一 相反意义的量 【例1】如果米表示上升米， 那么下降米表示为 米． 【变式1-1】若逆时针转50度记为度，则顺时针转20度记为 度． 【变式1-2】我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 【变式1-3】一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 题型二 求一个数的相反数 【例2】的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】2025的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 【变式2-2】若的相反数是a，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 题型三 判断是否互为相反数 【例3】下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．4和 【变式3-1】下列各组数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．5与 【变式3-2】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．2025和 C．和2025 D．和 【变式3-3】下列各数对中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型四 求一个数的绝对值 【例4】计算： ． 【变式4-1】计算： ． 【变式4-2】的相反数是 ，的绝对值是 ，绝对值是的数是 ． 【变式4-3】若与互为相反数，则的绝对值等于 ． 题型五 倒数 【例5】的倒数是 ． 【变式5-1】的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 【变式5-2】的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 题型六 绝对值的非负性 【例6】若，则 ， ． 【变式6-1】已知，则，，的值分别是 ． 【变式6-2】已知，则的相反数的绝对值为 ． 【变式6-3】已知，则 ； ． 题型七 有理数大小的比较 【例7】用“”“”填空： ． 【变式7-1】比较大小： ．（填“”或“”或“=”） 【变式7-2】比较大小：（1） ，（2） ；（3） （填“”、“”或“”）． 【变式7-3】比较下列各对数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 题型八 有理数的分类 【例8】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ，，，0，，，，，． (1)整数集合：{                  …}； (2)分数集合：{                  …}； (3)非负整数集合：{                  …}； (4)负有理数集合：{                  …}． 【变式8-1】将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内： ，，，，，，，， 有理数集合：{                                      }； 整数集合：{                                        }； 负数集合：{                                        }． 【变式8-2】把下列数按要求分类： ，，，，，，，， 负整数集合：｛        …｝； 正分数集合：｛        …｝； 整数集合：｛         …｝； 自然数集合：｛         …｝． 【变式8-3】有理数的分类 ；0；π；；；； 正数集合{              …} 整数集合{              …} 负分数集合{              …} 非负有理数集合{              …} 题型九 用数轴上的点表示有理数 【例9】将在数轴上表示，并用“”将它们连接起来． 【变式9-1】在数轴上表示下列各数的绝对值，并按从小到大的顺序用“<”把其连接起来 ；；0；；；；； 【变式9-2】补全数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”将这些数连接起来：，，． 【变式9-3】把下列各数：，，，，，． (1)画出数轴将各数在数轴上表示出来，并把它们用“”连接起来． (2)将上述的有理数填入图中对应的圈内． 题型十 有理数的加减混合运算 【例10】计算下列各题： (1) (2) 【变式10-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式10-2】计算． (1)； (2)． (3)； (4)． 【变式10-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十一 有理数的乘除混合运算 【例11】计算： (1)． (2)． 【变式11-1】计算： (1)； (2)． 【变式11-2】计算： (1)； (2)． 【变式11-3】计算： (1)； (2)； (3)． 题型十二 有理数的混合运算 【例12】计算 (1) (2) (3) (4) 【变式12-1】计算： (1) (2) 【变式12-2】计算 (1)； (2)． 【变式12-3】计算： (1)． (2)． (3)； (4)． 题型十三 有理数的混合运算中错解复原问题 【例13】小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 【变式13-1】阅读下面的解题过程： 计算： ． 解：原式．（第①步） ．（第②步） ．（第③步） 回答： (1)上面解题过程中，第 步开始就出现了错误，错误的原因是 ； (2)请把正确的解题过程写出来． 【变式13-2】计算： 下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务： 原式第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 (1)任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第________步和第________步； (2)任务二：请写出正确的解答过程. 【变式13-3】小林在学习完有理数除法运算后，对算式的计算过程如下： 解：原式        ①     ②             ③ ． 根据小林的计算过程回答下列问题： (1)小林在进行第②步运算时，运用了乘法的 律； (2)小林的运算出现了错误，错在第 （只填写序号）步； (3)请给出正确解法． 题型十四 用科学记数法表示较大的数 【例14】中央电视台2023年春节联欢晚会在除夕夜如约与观众见面，整个节目呈现出“喜气洋洋、欢乐吉祥”的氛围和基调，令人耳目一新．据统计，春晚播出期间，通过电视、网络、社交媒体等多终端多渠道，海内外收看春晚的观众约为1131000000人次，将1131000000用科学记数法表示为 ． 【变式14-1】年高考报名人数再创历史新高，达到了万人，比去年增加了万人．这也是新中国成立以来高考人数首次突破万，万用科学记数法表示为 ． 【变式14-2】麒麟9000是国内首款搭载工艺的自主芯片，有着出色的算力和性能，它集成了153亿个晶体管，153亿用科学记数法可表示为 ． 【变式14-3】2025年，国家反诈中心会同有关部门全力构筑防止群众被骗的“防火墙”，直接推送预警指令4060余万条．4060万用科学记数法表示为 ． 题型十五 有理数的混合运算中应用问题 【例15】中牟“最美”公交线路—“798线路”，是一趟途经方特、绿博园、电影小镇、只有河南、海昌海洋公园等多个景点的环形旅游专线，其中的11个站点如图所示．小明从方特南门开始乘坐这辆公交车，在图中11个公交站点提供志愿服务，到A站下车时，本次志愿者活动结束，约定向海宁皮革城方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，．    (1)请你通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求小明在志愿服务期间乘坐公交车行进的路程是多少千米？ 【变式15-1】为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以分钟跳个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组名同学分钟跳绳个数记录如下： ，，，，，，，，，（单位：个）． (1)求这个小组分钟每人平均跳绳的个数？ (2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准个记“”分，每不足个记“”分，刚好达到标准记“”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 【变式15-2】在“国庆+中秋”的8天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的7天与10月1日比每天旅游人数变化如下表∶(正数表示人数增加) 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化 (单位∶万人) (1)8天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元？(结果用科学记数来表示) 【变式15-3】六月份某天，利民生鲜超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，下表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 销售量（千克） (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？ (2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？ (3)若利民超市以每千克12元的价格开始出售这批香瓜，销售四天后，最后两天决定按原售价打7.5折让利销售．试计算利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润多少元？ 基础巩固通关测 一、单选题 1．如果与互为相反数，那么的值是（    ） A． B． C． D．2025 2．月底我国最新智能软件的下载量已经超过亿次，亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．下列各数：中，负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列四个算式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果对于任意两个非零有理数a、b定义运算如下：则的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 7．按如图所示的程序进行计算，如果输入的数是18，那么最后输出的结果为 ． 8．在东汉许慎所著的《说文解字·序》里记载：“神农氏结绳为治，而统其事．”想象在遥远的神农氏时代，有一位聪慧的村民，为了准确记录每次狩猎所获猎物的数量，采用了结绳计数的方法．他计数时遵循“从右往左，满五进一”的规则（具体示意如图所示）．已知这位村民某次一共狩猎到了43只动物，那么在他所结的绳中，第二根绳子上的打结个数是 个． 9．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上处，且，则C点表示的数是 ． 10．下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 三、解答题 11．计算 (1)； (2)． 12．画数轴，并在数轴上表示下列各数，并用“”符号连接：，0，，，． 13．把下列各数填入相应的大括号里：． 正有理数集合： ； 负有理数集合： ； 非正整数集合： ； 非负分数集合： ． 14．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：、、、、、、、、、． (1)将最后一名乘客送到目的地后，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少？ (3)若一公里需耗油，司机下午出发时油箱内有油，司机结束最后一单后能否返回鼓楼？ 能力提升进阶练 一、单选题 1．如果温度零上记作，那么温度零下记作（    ） A． B． C． D． 2．根据国家统计局统计，我国今年前三季度经济发展良好，国内生产总值突破万亿元，万亿用科学计数可表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如果，，，那么a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．已知且．则x的值为（   ） A．0或1 B．0 C．0或或1 D．0或1或 二、填空题 6．计算 ； ． 7．若，则 ． 8．已知a，b互为倒数，m，n互为相反数，则的值是 ． 9．如图，小李同学设计了一个计算程序．如果输入的数是1，那么最后输出的结果是 ． 10．对任意的非零有理数定义一种运算：．例如，的结果是 ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．下面是李微同学计算一道题的过程： ………① ………② ………③ 李微计算这道题时，哪一步开始出现错误？请你写出正确的计算过程． 13．在如图所示的数轴上表示，并用“”将它们连接起来． 14．把下列各数填在相应的集合内：，，，，10，0． 负数集合：{______…} 分数集合：{______…} 非负整数集合：{______…} 15．定义一种新运算“”，规则为：，例如：， 据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 16．贵州铜仁盛产一种“珍珠豆型”花生，这种花生质地细腻，香味浓郁，营养价值特高，富含氨基酸，蛋白质含量丰富，出油率高，在国内外享有较高声誉．现有一批铜仁花生共20袋，以每袋5千克为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，其中一袋质量达到5千克的铜仁花生称为“达标花生”． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） 袋数 (1)这20袋铜仁花生中“达标花生”有______袋，最重的一袋有______千克； (2)若铜仁花生每千克售价40元，则出售这批铜仁花生总共多少元？ 17．小明有五张写着不同数的卡片（如图），请你按要求选择卡片，回答下列问题∶ (1)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的乘积最大，则这两张卡片上的数分别是 和 (2)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数相除的商最小，则这两张卡片上的数分别是 和 ，商为 ． (3)从中选择四张卡片，每张卡片的数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可）． 18．数轴上有A，，三个不同的点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三个点为“中点关联点”．例如在图中的数轴上，点A，，所表示的数分别为1，3，5，此时点是点A，的“中点”．    (1)若点A表示数，点表示数1，当点是点A与点的“中点”时，求点表示的数； (2)点A表示数，点表示数15，点为数轴上一个动点，若点A，，是“中点关联点”，求此时点表示的数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数及其运算（复习讲义） 1. 了解有理数、数轴、相反数、绝对值、科学记数法、近似数的意义，体会有理数及其运算各概念、法则、运算律之间的整体联系。 2. 能用正负数表示相反意义的量，会对有理数按意义、符号分类；能画出数轴，用数轴比较有理数大小，会求相反数、绝对值。 3. 理解并利用有理数加、减、乘、除、乘方运算法则及运算律，进行混合运算；会用科学记数法表示数，按要求取近似数，解决实际问题。 1.大于0的数叫 正数 ，在正数的前面加上负号“-”的数叫 负数 ． 2.数0既不是 正数 ，又不是 负数 ． 3.在同一问题中，分别用正数和负数表示具有 相反 的意义． 4.人们常用正负数来表示一对具有 相反意义 的量． 5.有理数的分类： 6.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 7.相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 8.绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 9.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 10.有理数的运算 (一)运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 11.科学记数法、近似数 （1）科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． （2）近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 题型一 相反意义的量 【例1】如果米表示上升米， 那么下降米表示为 米． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量，根据相反意义的量进行解答即可． 【详解】解：米表示上升米， 那么下降米表示为米， 故答案为：． 【变式1-1】若逆时针转50度记为度，则顺时针转20度记为 度． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据逆时针旋转为正，则顺时针旋转为负解答． 【详解】解：逆时针转50度记为度，则顺时针转20度记为度． 故答案为． 【变式1-2】我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量的运用，理解题意，掌握相反意义的量的运用是关键． 根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵水库的水位升高时，水位变化记作， ∴水库的水位下降时，水位变化记作， 故答案为：． 【变式1-3】一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数和负数是一组相反意义的量即可求得答案，理解正数和负数是一组相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵食品净重记为， ∴食品净重就记为， 故答案为：． 题型二 求一个数的相反数 【例2】的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【变式2-1】2025的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，直接根据相反数的定义作答即可. 【详解】2025的相反数是， 故选：A. 【变式2-2】若的相反数是a，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】此题考查求一个数的相反数．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：若的相反数是a，则． 故选：A． 【变式3-3】如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，求一个数的相反数；根据数轴知点P表示的数为2，即可求得其相反数． 【详解】解：由数轴知，数轴上点表示的数为2，则其相反数为； 故选：C． 题型三 判断是否互为相反数 【例3】下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．4和 【答案】B 【知识点】化简多重符号、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数， 0的相反数是 0，负数的相反数是正数． 【详解】解：A、，故和不是互为相反数，不符合题意； B、，，故和是互为相反数，符合题意； C、和，不是互为相反数，不符合题意； D、4和，不是互为相反数，不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】下列各组数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．5与 【答案】C 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 利用绝对值的性质以及相反数的定义分别分析得出即可． 【详解】A．与绝对值不同，不满足相反数定义，不是互为相反数，故本选项不符合题意；． B．，这两个数相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意； C．，与只有符号不同 ，满足相反数定义，所以与互为相反数，故本选项符合题意； D．，这两个数相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．2025和 C．和2025 D．和 【答案】A 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查求一个数的绝对值，相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：A、和互为相反数，符合题意； B、2025和不是相反数，不符合题意； C、，不是相反数，不符合题意； D、和不是相反数，不符合题意； 故选A． 【变式3-3】下列各数对中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、相反数的定义 【分析】本题考查相反数，先去绝对值，进行多重符号化简，再根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：A、，，两数相同，不符合题意； B、，，两数相同，不符合题意； C、，，两数互为相反数，符合题意； D、，，两数相同，不符合题意； 故选：C． 题型四 求一个数的绝对值 【例4】计算： ． 【答案】2025 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的化简，掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 【变式4-1】计算： ． 【答案】2 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据，进行作答即可． 【详解】解： 故答案为： 2 【变式4-2】的相反数是 ，的绝对值是 ，绝对值是的数是 ． 【答案】 或 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值等于它的相反数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是，绝对值是的数是或， 故答案为：，，或 【变式4-3】若与互为相反数，则的绝对值等于 ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的意义，由相反数的定义可得，即得，再根据绝对值的意义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五 倒数 【例5】的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”进行解答即可． 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 【变式5-1】的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，倒数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是，倒数是，绝对值是， 故答案为：；；． 【变式5-2】的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查倒数相反数绝对值的概念，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：的倒数是，的相反数是，的绝对值是． 故答案为：；；． 题型六 绝对值的非负性 【例6】若，则 ， ． 【答案】 3 4 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，求出x、y的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：3；4． 【变式6-1】已知，则，，的值分别是 ． 【答案】，， 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任何数的绝对值都是非负数，若几个非负数的和为零，则每个非负数分别为零，据此即可求解． 【详解】∵，，，且， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，，． 【变式6-2】已知，则的相反数的绝对值为 ． 【答案】3 【知识点】绝对值非负性、绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】本题考查了利用绝对值的非负性求参数，代数式求值．首先根据绝对值的非负性，列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算，再根据相反数和绝对值的定义即可求得． 【详解】解：，，， ，， 解得：，， 则， 的相反数为， 的相反数为． 则的相反数的绝对值为． 故答案为3． 【变式6-3】已知，则 ； ． 【答案】 8 6 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了方程的解和非负数的性质等知识点，根据非负数的性质得出，，进而求出x、y的值即可，熟练掌握非负数的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴，， 解得：，， 故答案为：8，6． 题型七 有理数大小的比较 【例7】用“”“”填空： ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可解答． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 【变式7-1】比较大小： ．（填“”或“”或“=”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，首先计算，，然后根据负数比较大小，绝对大的反而小求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】比较大小：（1） ，（2） ；（3） （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是： （1）根据正数大于负数即可判断； （2）根据两个负数比较，绝对值大的反而小即可判断； （3）先化简，然后根据正数大于负数即可判断． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2）∵，，， ∴>， 故答案为：； （3）∵，，， ∴ 故答案为：． 【变式7-3】比较下列各对数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查绝对值，以及有理数的大小比较，解题的关键在于正确掌握有理数的大小比较方法． （1）根据正数大于负数进行判断，即可解题； （2）根据两个负数绝对值大的反而小进行判断，即可解题； （3）根据两个负数绝对值大的反而小进行判断，即可解题； （4）先利用绝对值求出，再根据正数大于负数进行判断，即可解题． 【详解】（1）解：因为正数大于负数， 所以； （2）解：因为，，且， 所以； （3）解：因为，，且， 所以； （4）解：因为，， 所以． 题型八 有理数的分类 【例8】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ，，，0，，，，，． (1)整数集合：{                  …}； (2)分数集合：{                  …}； (3)非负整数集合：{                  …}； (4)负有理数集合：{                  …}． 【答案】(1)，，0，，， (2)，， (3)0，， (4)，，，，， 【分析】本题考查了有理数的分类，理解有理数的意义，能把给出的有理数按要求分类，了解0在有理数中分类是解题的关键． （1）根据整数的定义进行分类； （2）根据分数的定义进行分类； （3）根据非负整数包含正整数和零进行分类； （4）根据负数和有理数的定义进行分类． 【详解】（1）解：∵，， ∴整数集合：{，，0，，，…} （2）解：分数集合：{ ，，…} （3）解：非负整数集合：{ 0，，…} （4）解：负有理数集合：{，，，，，…} 【变式8-1】将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内： ，，，，，，，， 有理数集合：{                                      }； 整数集合：{                                        }； 负数集合：{                                        }． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类．根据有理数的分类对各数进行判断即可得出答案． 【详解】解：，， 有理数数集合：{，，，，，，，，}； 整数集合：{，，，，}； 负数集合：{，，，，，}． 【变式8-2】把下列数按要求分类： ，，，，，，，， 负整数集合：｛        …｝； 正分数集合：｛        …｝； 整数集合：｛         …｝； 自然数集合：｛         …｝． 【答案】，；，；，，，，；，， 【分析】根据有理数的分类进行解答即可． 【详解】解：，，， 负整数集合：｛，，…｝； 正分数集合：｛，，…｝； 整数集合：｛，，，，…｝； 自然数集合：｛，，…｝． 故答案为：，；，；，，，，；，，． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的定义，分类方法． 【变式8-3】有理数的分类 ；0；π；；；； 正数集合{              …} 整数集合{              …} 负分数集合{              …} 非负有理数集合{              …} 【答案】π，，；，0，；，；0，， 【分析】先根据绝对值的性质和有理数的乘方化简，再根据有理数的分类解答，即可求解． 【详解】解：，， 正数集合{π，，，…} 整数集合{，0，， …} 负分数集合{ ，， …} 非负有理数集合{0，，， …} 故答案为：π，，；，0，；，；0，， 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，绝对值的性质和有理数的乘方，是基础题，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型九 用数轴上的点表示有理数 【例9】将在数轴上表示，并用“”将它们连接起来． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，先化简各数，再把它们在数轴上表示出来，最后根据数轴比较大小即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：，，， ∴各数在数轴上表示如下： 由数轴可知，． 【变式9-1】在数轴上表示下列各数的绝对值，并按从小到大的顺序用“<”把其连接起来 ；；0；；；；； 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了相反数，绝对值，有理数的乘方，有理数的大小比较，数轴等知识点，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 先根据相反数，绝对值，有理数的乘方进行计算，再在数轴上表示出各个数，最后比较大小即可． 【详解】解：，，， 在数轴上表示下列各数的绝对值，如图所示： ， ∴ 【变式9-2】补全数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”将这些数连接起来：，，． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了有理数大小比较．先化简，再根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【详解】解：，． 在数轴上表示如下： ． 【变式9-3】把下列各数：，，，，，． (1)画出数轴将各数在数轴上表示出来，并把它们用“”连接起来． (2)将上述的有理数填入图中对应的圈内． 【答案】(1)数轴见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了负数、整数和正数的意义及数轴，熟练掌握负数、整数、正数的意义和数轴是解题的关键． （1）根据有理数在数轴上对应的点，然后根据数轴即可比较大小； （2）根据正数、整数、负数的定义即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴分别在数轴上表示出来，如图， ∴分别在数轴上表示出来，如图， （2）根据有理数的分类可得， 题型十 有理数的加减混合运算 【例10】计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）根据有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式10-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)23 (2)59 (3)1 (4) 【分析】本题考查有理数的加减运算和去绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的加减法则计算即可； （3）利用有理数的加减法则及绝对值的性质计算即可； （4）利用有理数的加减法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【变式10-2】计算． (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算； （1）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （3）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （4）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式10-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)6 (3)1 (4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）先把减法运算变为加法运算，然后根据有理数的加法法则计算即可； （2）先把减法运算变为加法运算，然后根据有理数的加法法则计算即可； （3）把负数与负数、正数与正数结合，然后根据有理数的加法法则计算即可； （4）先去括号，然后根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十一 有理数的乘除混合运算 【例11】计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． （1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可； （2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式11-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，有理数的除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合计算法则求解即可； （2）根据有理数除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式11-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式11-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型十二 有理数的混合运算 【例12】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查含乘方的有理数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减法运算法则进行求解； （2）根据有理数的四则混合运算法则进行求解； （3）根据有理数的乘法运算法则进行求解； （4）根据有理数的混合运算法则进行求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式12-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先按照分配律计算乘法运算，再计算括号内的加减运算，最后合并即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式12-2】计算 (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查的是有理数的混合运算 （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先算括号里面的，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式12-3】计算： (1)． (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的加减计算，有理数乘法分配律： （1）根据有理数加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算括号内的减法，最后计算乘方即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （4）先利用乘法分配律去括号，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十三 有理数的混合运算中错解复原问题 【例13】小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)小红第二步计算出现错误 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除法、有理数的乘方，掌握运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）小红的第二步计算出现错误，第二步运算顺序出现错误； （2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：小红第二步计算出现错误，运算顺序出现了错误； （2）解：原式 ． 【变式13-1】阅读下面的解题过程： 计算： ． 解：原式．（第①步） ．（第②步） ．（第③步） 回答： (1)上面解题过程中，第 步开始就出现了错误，错误的原因是 ； (2)请把正确的解题过程写出来． 【答案】(1)②；运算顺序不对 (2)见解析 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据乘除法的运算法则进行分析即可； （2）根据有理数混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴原解题过程中，第二步出错，没有按运算顺序进行运算，乘除是同级运算，应从左到右依次进行， 故答案为：②；运算顺序不对． （2）解：原式． ． ． 或解：原式． ． ． 【变式13-2】计算： 下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务： 原式第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 (1)任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第________步和第________步； (2)任务二：请写出正确的解答过程. 【答案】(1)一；四； (2)见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其原运算法则． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断； （2）根据有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：解答过程共存在2处错误，分别是第一步和第四步 故答案为：一；四； （2）原式 ． 【变式13-3】小林在学习完有理数除法运算后，对算式的计算过程如下： 解：原式        ①     ②             ③ ． 根据小林的计算过程回答下列问题： (1)小林在进行第②步运算时，运用了乘法的 律； (2)小林的运算出现了错误，错在第 （只填写序号）步； (3)请给出正确解法． 【答案】(1)分配 (2)③ (3) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． （1）（2）根据小林的计算步骤分析即可； （3）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）小林在进行第②步运算时，运用了乘法的分配律． 故答案为：分配； （2）∵第③步计算乘法时符号确定错误， ∴小林的运算出现了错误，错在第③步． 故答案为：③； （3）原式 ． 题型十四 用科学记数法表示较大的数 【例14】中央电视台2023年春节联欢晚会在除夕夜如约与观众见面，整个节目呈现出“喜气洋洋、欢乐吉祥”的氛围和基调，令人耳目一新．据统计，春晚播出期间，通过电视、网络、社交媒体等多终端多渠道，海内外收看春晚的观众约为1131000000人次，将1131000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】1131000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 【变式14-1】年高考报名人数再创历史新高，达到了万人，比去年增加了万人．这也是新中国成立以来高考人数首次突破万，万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为， ∴用科学记数法表示万，则万， 故答案为：． 【变式14-2】麒麟9000是国内首款搭载工艺的自主芯片，有着出色的算力和性能，它集成了153亿个晶体管，153亿用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：153亿， 故答案为：． 【变式14-3】2025年，国家反诈中心会同有关部门全力构筑防止群众被骗的“防火墙”，直接推送预警指令4060余万条．4060万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：4060万用科学记数法表示为． 故答案为：． 题型十五 有理数的混合运算中应用问题 【例15】中牟“最美”公交线路—“798线路”，是一趟途经方特、绿博园、电影小镇、只有河南、海昌海洋公园等多个景点的环形旅游专线，其中的11个站点如图所示．小明从方特南门开始乘坐这辆公交车，在图中11个公交站点提供志愿服务，到A站下车时，本次志愿者活动结束，约定向海宁皮革城方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，．    (1)请你通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求小明在志愿服务期间乘坐公交车行进的路程是多少千米？ 【答案】(1)站是河南这一站 (2)小明在志愿服务期间乘坐公交行进的路程是千米 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解： （站）， 即站是河南这一站； （2）解： （站， （千米）， 即小明在志愿服务期间乘坐公交行进的路程是千米． 【变式15-1】为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以分钟跳个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组名同学分钟跳绳个数记录如下： ，，，，，，，，，（单位：个）． (1)求这个小组分钟每人平均跳绳的个数？ (2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准个记“”分，每不足个记“”分，刚好达到标准记“”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 【答案】(1) (2) 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合计算是解题的关键； （1）根据平均数的意义，可得答案； （2）根据题意列式计算求出该班的总积分即可． 【详解】（1）解：由题意得： 答：这个小组分钟每人平均跳绳的个数个 （2）解：由题意得： 答：这个小组的总积分为分 【变式15-2】在“国庆+中秋”的8天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的7天与10月1日比每天旅游人数变化如下表∶(正数表示人数增加) 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化 (单位∶万人) (1)8天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元？(结果用科学记数来表示) 【答案】(1)3万人 (2)元 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，掌握有理数混合运算顺序和法则是解题的关键． （1）用最多那天的人数减去最少那天的人数即可； （2）先计算出这7天超出6万人的人数变化和，再总人数乘以200即可． 【详解】（1）解：（万人）； （2）解：（万人）， （元）． 【变式15-3】六月份某天，利民生鲜超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，下表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 销售量（千克） (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？ (2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？ (3)若利民超市以每千克12元的价格开始出售这批香瓜，销售四天后，最后两天决定按原售价打7.5折让利销售．试计算利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润多少元？ 【答案】(1)41千克 (2)760千克 (3)3618元 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义，根据题意正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据表格提供的数据可知：销售数量最多的一天是第二天，销售数量最少的一天是第一天，故用表格中第二天的销售数量减去第一天的销售数量即可算出答案； （2）先计算出6天的销售数再加上因质量不佳无法继续售卖的即可得出答案． （3）先计算出前四天的销售额，再计算后两天打折后的销售额，把六天的销售额加起来再减去成本即可得出答案． 【详解】（1）解：（千克） 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售41千克香瓜． （2）（千克） 答：利民超市这次共购进香瓜760千克． （3）， 元 元 元 元 答：利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润3618元． 基础巩固通关测 一、单选题 1．如果与互为相反数，那么的值是（    ） A． B． C． D．2025 【答案】D 【分析】此题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：∵a与互为相反数， ∴， 故选：D． 2．月底我国最新智能软件的下载量已经超过亿次，亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此求解即可． 【详解】解：亿． 故选：B． 3．下列各数：中，负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查正负数，先进行有理数的乘方，化简多重符号，去绝对值运算，再根据小于0的数为负数，进行判断即可． 【详解】解：， ∴负数有，共4个； 故选C． 4．下列四个算式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查有理数的四则运算及乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键 根据有理数的四则运算及乘方运算依次判断即可 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：C 5．如果对于任意两个非零有理数a、b定义运算如下：则的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查定义新运算，根据定义新运算的运算法则进行计算即可解答． 【详解】解：由可知， 故选：B． 二、填空题 6．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较两个负数的大小、绝对值，首先化简绝对值符号可得：，再根据绝对值的性质分别求出和的绝对值，根据两个负数绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 7．按如图所示的程序进行计算，如果输入的数是18，那么最后输出的结果为 ． 【答案】288 【分析】本题考查了程序流程图和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键， 根据程序流程图逐步列式计算即可． 【详解】解：观察流程图，可先计算得到，， 输入18得：， ， ∴输入得：， ， ∴输入72得：， ， ∴输入得：， ， ∴输出的结果为288， 故答案为：288． 8．在东汉许慎所著的《说文解字·序》里记载：“神农氏结绳为治，而统其事．”想象在遥远的神农氏时代，有一位聪慧的村民，为了准确记录每次狩猎所获猎物的数量，采用了结绳计数的方法．他计数时遵循“从右往左，满五进一”的规则（具体示意如图所示）．已知这位村民某次一共狩猎到了43只动物，那么在他所结的绳中，第二根绳子上的打结个数是 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数计算的实际应用，43减去右边第一根绳子上的结数减去左边第一根绳子上的线数的差除以5，即得右边第二根绳了上的结数． 【详解】解：由题意得，， ∴第二根绳子上的打结个数为3个， 故答案为；3． 9．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上处，且，则C点表示的数是 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的减法运算，先求出的长，再由折叠的性质得到，再分当点在的右侧时，当点在的左侧时，两种情况分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵点A、B表示的数分别是，10， ∴， 由折叠可知， 当点在的右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 当点在的左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 故答案为：4或 10．下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了有理数的运算，非负数的性质，绝对值的意义，理解绝对值的意义，非负数的性质，熟练掌握有理数的运算是解决问题的关键． ①根据a为有理数得，由此可对该结论进行判断； ②根据非负数的性质得，，则，由此可对该结论进行判断； ③根据得，当时，，当时，没有意义，由此可对该结论进行判断； ④根据得：（Ⅰ）当a、b、c中有两正一负时，不妨假设a、b为正，c为负，则一，(Ⅱ)当a、b、c都是负数时，则，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①为有理数， ， 故结论①不正确； ②，， 又， ，， ， 故结论②正确； ③， ， 当时，， 当时，没有意义， 故结论③不正确； ④， 有以下两种情况： （I）当a、b、c中有两正一负时，不妨假设a、b为正，c为负， ，，， ； (II）当a、b、c都是负数时，则，，， ， 故结论④不正确； 综上所述：正确的结论是②， 故答案为：②． 三、解答题 11．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)38 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是牢记有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的），以及相关的运算法则（如乘方运算、乘除法法则、绝对值运算等）． （1）按照有理数混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）先算乘方，再算乘法，接着算绝对值，最后算加法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．画数轴，并在数轴上表示下列各数，并用“”符号连接：，0，，，． 【答案】画数轴，并在数轴上表示见解析， 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用．在数轴上找出对应的点，注意在数轴上标数时要用原数，最后比较大小的结果也要用原数 【详解】解：，，，， 如图所示： 故． 13．把下列各数填入相应的大括号里：． 正有理数集合： ； 负有理数集合： ； 非正整数集合： ； 非负分数集合： ． 【答案】正有理数集合：；负有理数集合：；非正整数集合：；非负分数集合： 【分析】本题主要考查了有理数的分类及其相关定义，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键． 根据有理数的分类及其相关定义求解即可． 【详解】解：正有理数集合：； 负有理数集合：； 非正整数集合：； 非负分数集合：． 14．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：、、、、、、、、、． (1)将最后一名乘客送到目的地后，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少？ (3)若一公里需耗油，司机下午出发时油箱内有油，司机结束最后一单后能否返回鼓楼？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地后，出租车离鼓楼出发点，在鼓楼的西方； (2)司机一个下午的营业额是144元． (3)司机结束最后一单后不能返回鼓楼 【分析】本题考查了正数和负数的概念及意义，有理数的运算，解题的关键是正确理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）求出各数的和，看结果是正还是负，就可以确定是向东还是向西； （2）将各数的绝对值相加，得出出租车一个下午的路程，再乘以单价即可求解； （3）根据（2）计算出耗油量，然后结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：， 故将最后一名乘客送到目的地后，出租车离鼓楼出发点，在鼓楼的西方； （2）解：， （元）， 答：司机一个下午的营业额是144元． （3）由（2）得，司机结束最后一单的总路程为60千米， 耗油量为：， 此时离鼓楼还有2千米， ∴司机结束最后一单后不能返回鼓楼． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如果温度零上记作，那么温度零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用正负数表示具有相反意义的量，根据用正负数表示具有相反意义的量进行求解即可得． 【详解】解：∵温度零上记作， ∴温度零下记作， 故选：B． 2．根据国家统计局统计，我国今年前三季度经济发展良好，国内生产总值突破万亿元，万亿用科学计数可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万亿， 故选：D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的除法，有理数的减法，以及有理数的乘法和乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据有理数的减法、乘法、除法、乘方法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A． ，故不正确； B． ，故不正确； C．，故不正确； D． ，故正确． 故选：D． 4．如果，，，那么a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式、零指数幂、有理数的混合运算，有理数大小比较，正确计算是解题的关键．先根据零指数幂、平方差公式、有理数的乘方、乘法法则计算，再比较大小即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故选：D． 5．已知且．则x的值为（   ） A．0或1 B．0 C．0或或1 D．0或1或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到、、的符号有三种情况（，，或，，或，，）是解决问题的关键；由，，可得、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，由此可得、、的符号有三种情况（，，或，，或，，），再根据绝对值的性质分三种情况求得的值即可求解． 【详解】∵，， ∴、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值， ∴，，或，，或，，， 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ 综上，当，时， 故选：B． 二、填空题 6．计算 ； ． 【答案】 / 【分析】本题考查了有理数乘方运算，多重符号化简，先化简中括号里面的，括号里面的应该当作一个整体，优先计算． 【详解】解：； ． 故答案为：，． 7．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，根据非负性求出的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 8．已知a，b互为倒数，m，n互为相反数，则的值是 ． 【答案】-4 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义． 根据倒数的定义，相反数的定义得到，，，再代入计算即可． 【详解】解：∵a，b互为倒数，m，n互为相反数， ∴，，， ∴， 故答案为：． 9．如图，小李同学设计了一个计算程序．如果输入的数是1，那么最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除法，根据运算程序列出算式是解题的关键． 根据程序框图，把代入依次按照步骤计算即可． 【详解】解：输入，则，不能输出； 输入，则，可以输出； 所以最后输出结果为． 故答案为： 10．对任意的非零有理数定义一种运算：．例如，的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，弄清题目中的新定义是解题的关键.根据所给的运算规则，将代入进行计算. 【详解】解： 故答案为：. 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是遵循有理数混合运算顺序：先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的，能运用乘法分配律简便计算的可优先使用． （1）先判断括号内运算符号，利用乘法分配律计算括号内式子与的乘积，再计算括号内的减法并化简符号，最后进行加减运算； （2）先计算乘方和绝对值，再按从左到右顺序进行乘除运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： （2）解： 12．下面是李微同学计算一道题的过程： ………① ………② ………③ 李微计算这道题时，哪一步开始出现错误？请你写出正确的计算过程． 【答案】第步开始出现错误；正确的计算过程见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．根据有理数的混合运算，先乘除，然后加减， 同级运算按照从左到右的顺序进行运算即可． 【详解】解：∵在的计算过程中，应该先计算括号里面的， ∴在第步开始出现错误． ． 13．在如图所示的数轴上表示，并用“”将它们连接起来． 【答案】数轴上表示见解析， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，乘方计算，计算绝对值和化简多重符号，先计算绝对值和化简多重符号以及乘方，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：， 数轴表示如下所示； ∴． 14．把下列各数填在相应的集合内：，，，，10，0． 负数集合：{______…} 分数集合：{______…} 非负整数集合：{______…} 【答案】，，；，；10，0 【分析】本题考查了有理数的乘方，化简绝对值，有理数的分类，根据小于0的数为负数，非负整数包括0和正整数，据此相关性质内容进行分析，即可作答． 【详解】解：， 负数集合：{，，…} 分数集合：{，，…} 非负整数集合：{10，0，…} 15．定义一种新运算“”，规则为：，例如：， 据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新运算，有理数的混合运算，理解规定的运算是关键． （1）按照规定的新运算进行计算即可； （2）按照规定的新运算先算括号里的新运算，再算括号外的新运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 16．贵州铜仁盛产一种“珍珠豆型”花生，这种花生质地细腻，香味浓郁，营养价值特高，富含氨基酸，蛋白质含量丰富，出油率高，在国内外享有较高声誉．现有一批铜仁花生共20袋，以每袋5千克为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，其中一袋质量达到5千克的铜仁花生称为“达标花生”． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） 袋数 (1)这20袋铜仁花生中“达标花生”有______袋，最重的一袋有______千克； (2)若铜仁花生每千克售价40元，则出售这批铜仁花生总共多少元？ 【答案】(1)； (2)出售这批铜仁花生总共元 【分析】本题考查了正负数和有理数的混合运算，理解正负数的意义是解答此题的关键． （1）根据正、负数的意义进行判断即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：“达标花生”有③④⑤⑥共袋，最重的一袋有（千克）． 故答案为：；； （2）解：由题意得： （千克） （元） 答：出售这批铜仁花生总共元． 17．小明有五张写着不同数的卡片（如图），请你按要求选择卡片，回答下列问题∶ (1)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的乘积最大，则这两张卡片上的数分别是 和 (2)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数相除的商最小，则这两张卡片上的数分别是 和 ，商为 ． (3)从中选择四张卡片，每张卡片的数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可）． 【答案】(1) (2)，； (3)（答案不唯一），运算过程见解析． 【分析】（1）找出两个数字，要使其积最大，必须是同号相乘，即可作答； （2）找出两个数字，要使其商最小，必须是异号，即可作答； （3）利用24点游戏规则判断即可． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：找出两个数字，要使其商最小，必须是异号， ∴，， ，， ∵， ∴这个最小的商为； 故答案为：，；； （3）解：由题意得： ． 18．数轴上有A，，三个不同的点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三个点为“中点关联点”．例如在图中的数轴上，点A，，所表示的数分别为1，3，5，此时点是点A，的“中点”．    (1)若点A表示数，点表示数1，当点是点A与点的“中点”时，求点表示的数； (2)点A表示数，点表示数15，点为数轴上一个动点，若点A，，是“中点关联点”，求此时点表示的数． 【答案】(1) (2)40或或 【分析】（1）根据题意求得与的关系，得出答案； （2）分点P为A、B的中点关联点，A为P、B的中点关联点，B为A、P的中点关联点列式解答即可． 【详解】（1）解：因为点A表示数，点表示数1，且点是点与点的中点， 所以， 所以点表示的数为； （2）解：分三种情况： ①若点是点，的“中点”则点表示的数是：； ②若点是点，的“中点”则点表示的数是：； ③若点是点，的“中点”则点表示的数是：． 故点表示的数为40或或． 【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离，理解新定义，分类讨论是解题关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$