2.5有理数的混合运算（融汇贯通讲义）2025-2026学年北师大版 七年级数学上册

2.3 有理数的混合运算（融汇贯通讲义） 北师大版（2024）七年级数学上册 知识目录 【知识点1：含乘方的有理数混合运算】 1 【知识点2：算24点（运算应用拓展）】 3 【知识点3：计算器应用】 4 【知识点4：近似数】 5 巩固与提升 【知识点1：含乘方的有理数混合运算】 这是本章节核心内容，是对有理数加、减、乘、除、乘方五种运算的综合运用，核心是严格遵循运算顺序和准确处理符号。 混合运算口诀：有理数混合算，顺序千万记心间；先算乘方再乘除，最后才把加减算；同级运算从左算，括号优先里到外；符号法则要牢记，正负结果先判断；运算律来巧帮忙，凑整约分更简便。 1. 运算顺序规则 （1）括号优先：有括号时，先算小括号内的运算，再算中括号，最后算大括号，括号内仍遵循分级运算规则。 示例：计算 步骤：① 小括号内乘方：；② 括号内除法：；③ 括号内减法：；④ 括号外乘法： （2）分级运算：无括号时，先算乘方，再算乘除，最后算加减。 （3）同级运算：乘除为同级，加减为同级，同级运算按从左到右的顺序依次进行。 2. 符号处理关键 （1）乘方的符号：负数的奇次幂为负，偶次幂为正；正数的任何次幂都是正；0的正整数次幂为0。 示例：，， （2）乘除的符号：同号得正，异号得负，先定符号再算绝对值。 （3）加减的符号：减法转化为加法后，按加法法则判断符号。 3. 运算律的简化作用 合理运用运算律能减少计算步骤，降低错误率： · 加法交换律、结合律：常将互为相反数的数、和为整数的数结合。 · 乘法交换律、结合律：将能约分的数结合。 · 乘法分配律：是去括号、简化含括号混合运算的核心技巧。 【练习加强：含乘方的有理数混合运算】 （25-26七年级上·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． （25-26七年级上·安徽阜阳·期中）要使算式的计算结果最大，则在“”里填入的运算符号应是（   ） A．+ B．－ C． D．÷ （25-26七年级上·湖南常德·期中）现定义一种新运算：，如：，则等于（　　） A．18 B．10 C．10 D．18 （25-26七年级上·云南昆明·期中）下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 （25-26七年级上·山西朔州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【知识点2：算24点（运算应用拓展）】 这是有理数混合运算的趣味实践，目的是巩固运算顺序和符号规则，提升运算组合能力。 算24点口诀：4数凑24，逆向思维先；紧盯3和8，4与6也沾；2乘12易，加减凑整甜；负号巧运用，负负得正添；括号定顺序，组合多试验。 1. 游戏规则 给定4个有理数（可包含负数），每个数必须用且只能用1次，通过加、减、乘、除、乘方运算，或添加括号改变运算顺序，使最终结果为或。 2. 解题核心技巧 （1）逆向凑数：优先思考如何凑出、、、、等能得到24的基础算式。 示例：用算24点，可列式（错误），调整为（错误），最终正确式（错误），再调整为（错误），换思路。 （2）灵活用括号：括号可以改变运算优先级，是凑出目标数的关键工具。 （3）关注负数：负数参与运算时，可通过“负负得正”凑出正数，或用减法转化为加法。 【练习加强：算24点（运算应用拓展）】 （25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． （24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 （23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 （25-26七年级上·四川·期中）请选择使用“加、减、乘、除和括号”，将四个数3，4，，7组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24或，你列出的算式是 （写出一种即可）． 【知识点3：计算器应用】 该章节核心是借助计算器简化复杂混合运算，同时培养工具使用能力。 1. 基础按键认知 · 功能键：ON/C（开机/清除）、AC（全部清除）、±（正负号转换）、（平方）、（任意次乘方）、()（括号键）。 注意事项：不同型号计算器的按键布局和操作逻辑略有差异，使用前需阅读说明书。 2. 混合运算操作步骤 按算式的运算顺序依次输入数字和符号，有括号时需按括号键确定运算优先级。 示例：计算，输入步骤：→→→→→→→，得出结果。 3. 拓展应用：探索运算规律 用计算器计算一组有规律的算式，总结规律。 示例：计算；；，可总结出的规律。 【练习加强：计算器应用】 （24-25六年级上·山东淄博·期末）科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（   ） A． B． C． D． （24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）下面各题中不需要用计算器计算的是（　　） A． B． C． （24-25六年级上·山东淄博·期中）下面是科学计算器的按键顺序： 0 ． 6 × 5 6 + 2 3 其对应的计算列式为（   ） A． B． C． D． （2024七年级上·全国·专题练习）使用计算器时，下列按键顺序正确的是（    ） A．： B．： C．： D．： （2024七年级上·全国·专题练习）在计算器的键盘中，表示开启电源的键是（    ） A． B． C． D． 【知识点4：近似数】 1. 基本概念区分 · 准确数：与实际完全符合的数，如“班级有42名学生”中的42。 · 近似数：与实际接近但存在误差的数，多来自测量、估算或除不尽的计算，如“课桌高度约0.75米”中的0.75。 2. 精确度的判定 精确度表示近似数与准确数的接近程度，判断标准是看近似数最后一位有效数字所在的数位。 示例： · 精确到百分位（小数点后第二位）； · ，精确到百位（4所在的数位）； · 精确到十分位，而精确到个位，二者精确度不同。 3. 四舍五入法取近似值 取近似数的常用方法，步骤如下： （1）确定需要精确到的数位； （2）看该数位的后一位数字； （3）若后一位数字≥5，则向前一位进1；若后一位数字＜5，则舍去后面的尾数。 示例：将精确到千分位，看万分位数字5，向前一位进1，结果为；将精确到千位，结果为。 【练习加强：近似数】 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）下列说法正确的是（  ） A．5.78万精确到百分位 B．近似数3千和3000的精确度是相同的 C．547500精确到万位可以表示为 D．若数x四舍五入后是5.20，则数x的取值为 （25-26七年级上·福建龙岩·期中）用四舍五入按要求对0.06028分别取近似值，其中错误的是（ ） A．0.1精确到0.1 B．0.06精确到千分位 C．0.06精确到百分位 D．0.0603精确到0.0001 （25-26七年级上·山东济宁·期中）约1500年前，我国古代伟大的数学家和天文学家祖冲之计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的科学家．用四舍五入法将圆周率的值精确到千分位，则得到的近似数为（   ） A．3.14 B．3.141 C．3.142 D．3.1416 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）港珠澳大桥自开通以来，充分助力粤港澳大湾区深度融合，其主桥长约千米，近似数千米精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．个位 D．十位 （25-26七年级上·浙江丽水·期中）数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 有理数的混合运算（融汇贯通讲义） 北师大版（2024）七年级数学上册 知识目录 【知识点1：含乘方的有理数混合运算】 1 【知识点2：算24点（运算应用拓展）】 4 【知识点3：计算器应用】 7 【知识点4：近似数】 9 巩固与提升 【知识点1：含乘方的有理数混合运算】 这是本章节核心内容，是对有理数加、减、乘、除、乘方五种运算的综合运用，核心是严格遵循运算顺序和准确处理符号。 混合运算口诀：有理数混合算，顺序千万记心间；先算乘方再乘除，最后才把加减算；同级运算从左算，括号优先里到外；符号法则要牢记，正负结果先判断；运算律来巧帮忙，凑整约分更简便。 1. 运算顺序规则 （1）括号优先：有括号时，先算小括号内的运算，再算中括号，最后算大括号，括号内仍遵循分级运算规则。 示例：计算 步骤：① 小括号内乘方：；② 括号内除法：；③ 括号内减法：；④ 括号外乘法： （2）分级运算：无括号时，先算乘方，再算乘除，最后算加减。 （3）同级运算：乘除为同级，加减为同级，同级运算按从左到右的顺序依次进行。 2. 符号处理关键 （1）乘方的符号：负数的奇次幂为负，偶次幂为正；正数的任何次幂都是正；0的正整数次幂为0。 示例：，， （2）乘除的符号：同号得正，异号得负，先定符号再算绝对值。 （3）加减的符号：减法转化为加法后，按加法法则判断符号。 3. 运算律的简化作用 合理运用运算律能减少计算步骤，降低错误率： · 加法交换律、结合律：常将互为相反数的数、和为整数的数结合。 · 乘法交换律、结合律：将能约分的数结合。 · 乘法分配律：是去括号、简化含括号混合运算的核心技巧。 【练习加强：含乘方的有理数混合运算】 （25-26七年级上·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方和乘法运算，再进行加法运算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． （25-26七年级上·安徽阜阳·期中）要使算式的计算结果最大，则在“”里填入的运算符号应是（   ） A．+ B．－ C． D．÷ 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算和的值，然后分别代入四种运算，比较结果大小，最大结果对应的运算符号即为答案． 【详解】解：，， 则算式为． 分别计算：，，，， ∵， ∴计算结果最大为， 对应运算符号为． 故选：D． （25-26七年级上·湖南常德·期中）现定义一种新运算：，如：，则等于（　　） A．18 B．10 C．10 D．18 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算的应用，解题的关键是根据新运算的规则，先计算括号内的式子，再计算括号外的式子． 根据新运算的定义，先计算的结果，再将其作为新的“”与3进行新运算． 【详解】解： ， ， ． 故选：D． （25-26七年级上·云南昆明·期中）下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算． 计算每组数据，判断是否相等即可． 【详解】解：选项A：； 选项B：； 选项C：； 选项D：； ∴数值相等的是选项D． 故选：D． （25-26七年级上·山西朔州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算和乘方，解答的关键在于掌握有理数的各种运算法则．按照有理数减法、乘法、除法和乘方运算法则，逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A． ，故A选项错误，不符合题意； B． ，故B选项错误，不符合题意；     C． ，故C选项正确，符合题意； D． ，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 【知识点2：算24点（运算应用拓展）】 这是有理数混合运算的趣味实践，目的是巩固运算顺序和符号规则，提升运算组合能力。 算24点口诀：4数凑24，逆向思维先；紧盯3和8，4与6也沾；2乘12易，加减凑整甜；负号巧运用，负负得正添；括号定顺序，组合多试验。 1. 游戏规则 给定4个有理数（可包含负数），每个数必须用且只能用1次，通过加、减、乘、除、乘方运算，或添加括号改变运算顺序，使最终结果为或。 2. 解题核心技巧 （1）逆向凑数：优先思考如何凑出、、、、等能得到24的基础算式。 示例：用算24点，可列式（错误），调整为（错误），最终正确式（错误），再调整为（错误），换思路。 （2）灵活用括号：括号可以改变运算优先级，是凑出目标数的关键工具。 （3）关注负数：负数参与运算时，可通过“负负得正”凑出正数，或用减法转化为加法。 【练习加强：算24点（运算应用拓展）】 （25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． （24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A （23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． （25-26七年级上·四川·期中）请选择使用“加、减、乘、除和括号”，将四个数3，4，，7组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24或，你列出的算式是 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，需使用加、减、乘、除和括号将给定数字组合，使结果为24或，通过考虑乘法运算得到24，结合数字特点进行组合，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∴满足题意的算式是， 故答案为： 【知识点3：计算器应用】 该章节核心是借助计算器简化复杂混合运算，同时培养工具使用能力。 1. 基础按键认知 · 功能键：ON/C（开机/清除）、AC（全部清除）、±（正负号转换）、（平方）、（任意次乘方）、()（括号键）。 注意事项：不同型号计算器的按键布局和操作逻辑略有差异，使用前需阅读说明书。 2. 混合运算操作步骤 按算式的运算顺序依次输入数字和符号，有括号时需按括号键确定运算优先级。 示例：计算，输入步骤：→→→→→→→，得出结果。 3. 拓展应用：探索运算规律 用计算器计算一组有规律的算式，总结规律。 示例：计算；；，可总结出的规律。 【练习加强：计算器应用】 （24-25六年级上·山东淄博·期末）科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查科学计算器的使用，根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：用计算器计算得． 故选：A． （24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）下面各题中不需要用计算器计算的是（　　） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查运算的灵活性，解题的关键是判断哪个算式能利用运算定律进行简便计算。A选项和C选项的数额较大，直接计算繁琐，通常需要使用计算器；B选项可利用乘法分配律进行简便计算，不需要使用计算器． 【详解】解：A．，计算比较繁琐，需要计算器，不符合题意； B．，不需要用计算器计算，符合题意； C．，计算比较繁琐，需要计算器，不符合题意． 故选：B． （24-25六年级上·山东淄博·期中）下面是科学计算器的按键顺序： 0 ． 6 × 5 6 + 2 3 其对应的计算列式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用计算器进行计算，根据计算器各键的含义即可得出． 【详解】解：按键顺序对应的计算列式为， 故选：B． （2024七年级上·全国·专题练习）使用计算器时，下列按键顺序正确的是（    ） A．： B．： C．： D．： 【答案】D 【分析】本题主要考查正确使用科学计算器进行有理数的加减乘除计算，解决本题的关键是要熟练掌握正确使用计算器． 根据计算器书写顺序直接输入得出即可，进而判断得出即可． 【详解】 解：A．：，原顺序错误，不符合题意； B．：，原顺序错误，不符合题意； C．：，原顺序错误，不符合题意； D．：，原顺序正确，符合题意； 故选：D． （2024七年级上·全国·专题练习）在计算器的键盘中，表示开启电源的键是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．根据计算器的各个按键的功能判断即可． 【详解】 解：根据科学记算器的使用，开启电源的键是， 故选：B． 【知识点4：近似数】 1. 基本概念区分 · 准确数：与实际完全符合的数，如“班级有42名学生”中的42。 · 近似数：与实际接近但存在误差的数，多来自测量、估算或除不尽的计算，如“课桌高度约0.75米”中的0.75。 2. 精确度的判定 精确度表示近似数与准确数的接近程度，判断标准是看近似数最后一位有效数字所在的数位。 示例： · 精确到百分位（小数点后第二位）； · ，精确到百位（4所在的数位）； · 精确到十分位，而精确到个位，二者精确度不同。 3. 四舍五入法取近似值 取近似数的常用方法，步骤如下： （1）确定需要精确到的数位； （2）看该数位的后一位数字； （3）若后一位数字≥5，则向前一位进1；若后一位数字＜5，则舍去后面的尾数。 示例：将精确到千分位，看万分位数字5，向前一位进1，结果为；将精确到千位，结果为。 【练习加强：近似数】 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）下列说法正确的是（  ） A．5.78万精确到百分位 B．近似数3千和3000的精确度是相同的 C．547500精确到万位可以表示为 D．若数x四舍五入后是5.20，则数x的取值为 【答案】D 【分析】本题考查近似数的精确度和四舍五入法．根据相关知识点逐一进行判断即可． 【详解】解：A、5.78万，精确到百位，原说法错误，不符合题意； B、近似数3千精确到千位，3000精确到个位，两数的精确度不同，原说法错误，不符合题意； C、547500精确到万位可以表示为，原说法错误，不符合题意； D、若数x四舍五入后是5.20，则数x的取值为；正确，符合题意； 故选D． （25-26七年级上·福建龙岩·期中）用四舍五入按要求对0.06028分别取近似值，其中错误的是（ ） A．0.1精确到0.1 B．0.06精确到千分位 C．0.06精确到百分位 D．0.0603精确到0.0001 【答案】B 【分析】本题考查了近似数和精确度，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位．根据近似数的精确度对各选项进行求解判断即可． 【详解】解：A、∵ 精确到0.1（十分位），0.06028的百分位为，向十分位进1，得0.1，正确； B、∵ 精确到千分位，0.06028的万分位为，千分位保持0，得0.060，但选项B为0.06（相当于精确到百分位），错误； C、∵ 精确到百分位，0.06028的千分位为，百分位保持6，得0.06，正确； D∵ 精确到0.0001（万分位），0.06028的十万分位为，向万分位进1，得0.0603，正确； 故选：B． （25-26七年级上·山东济宁·期中）约1500年前，我国古代伟大的数学家和天文学家祖冲之计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的科学家．用四舍五入法将圆周率的值精确到千分位，则得到的近似数为（   ） A．3.14 B．3.141 C．3.142 D．3.1416 【答案】C 【分析】本题考查近似数的四舍五入，将圆周率精确到千分位（小数点后第三位），需看万分位（第四位小数）的数字决定是否进位，据此进行求解即可． 【详解】解：∵，精确到千分位时，万分位数字为5， ∴根据四舍五入规则，需进位，千分位1变为2， ∴近似数为3.142； 故选C． （25-26七年级上·浙江宁波·期中）港珠澳大桥自开通以来，充分助力粤港澳大湾区深度融合，其主桥长约千米，近似数千米精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．个位 D．十位 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，近似数的最后一位数字6位于十分位，因此精确到十分位． 【详解】解：∵ 近似数的最后一位数字6在十分位上， ∴ 它精确到十分位． 故选：A． （25-26七年级上·浙江丽水·期中）数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查四舍五入取近似值的方法，关键注意精确到的位数及进位规则． 近似值2.0表示精确到十分位，根据四舍五入规则，百分位数字决定是否进位． 【详解】解：∵数x四舍五入后的近似值为 2.0，精确到十分位， ∴需看百分位数字：若百分位数字，则十分位进1；若百分位数字，则十分位不变． 但近似值为2.0，因此x的最小值为1.95（百分位为5，进1后得2.0），最大值为2.05（百分位为5时进1得2.1，故不包括2.05）， ∴x的取值范围是． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $