2.4 有理数的乘方（讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统构建从乘方意义（底数、指数、幂的概念）到运算（符号法则、转化为乘法）再到科学记数法的学习支架，衔接乘法运算与实际问题（如细胞分裂），形成完整知识脉络。 资料以数学文化（杨辉三角、二进制）和新定义问题为亮点，通过“随学随练”“活学活用”培养抽象能力与运算能力，题型分类助学生掌握符号规律，科学记数法应用强化模型意识，课中辅助教师教学，课后便于学生查漏补缺。

第二章 有理数及其运算 2.4 有理数的乘方 课标要点 1. 理解乘方的意义，掌握an的表示方法，能正确区分底数、指数和幂的概念。 2. 能熟练进行简单的有理数乘方运算，理解乘方与乘法的联系与区别。 3. 能用科学记数法表示大数，体会乘方在解决实际问题（如细胞分裂）中的应用。 学习重难点 重点 1. 理解乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念，能将乘方转化为乘法进行计算。 2. 能准确进行有理数的乘方运算，特别是正数、负数、分数的乘方。 难点 1. 区分负数乘方与乘方的相反数（如(-2)⁴与-2⁴），理解底数为分数或负数时需加括号。 2. 掌握乘方运算的符号法则，判断负数的奇次幂和偶次幂的符号规律。 知识点 有理数的乘方（重点） 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 特别提醒 an表示n个a相乘。注意区分(-2)4=16与-24=-16；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。指数为1时结果为其本身。勿混淆底数与指数位置。 随学随练 1．（2026八年级上·云南保山·竞赛）的意义是（     ） A．乘以 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加 【答案】C 【详解】解：的意义是个相乘． 2．（25-26七年级上·全国·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【答案】A 【详解】解：A．表示的是3个相乘，即选项A错误，符合题意； B．的底数是，故选项B正确，不符合题意； C．的指数是3，故选项C正确，不符合题意；   D．，故选项D正确，不符合题意． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在中，底数是____，指数是____． （2）在中，底数是____，指数是____． 【答案】 3 5 7 【分析】本题主要考查了乘方的定义，根据乘方的定义，在中，是底数，是指数． （1）对于，负号是运算符号，底数是 3； （2）对于，括号内整体是底数． 【详解】解：（1）在中，乘方部分是，因此底数是3，指数是5； 故答案为：3；5 （2）在 中，括号表示底数是，指数是7， 故答案为：；7 知识点 有理数的乘方运算（重点） （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 特别提醒 先确定幂的符号（负数奇次幂为负，偶次为正），再算绝对值。注意底数为分数或负数要加括号，如= ，而 = 不同。勿漏指数。 随学随练 1．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 2．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】（1）；（2）；（3）； （4）0.001；（5）；（6）1 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：. 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：． 知识点 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 特别提醒 形式为a×10n，其中1≤|a| < 10，n为整数。注意a是整数部分仅一位的数，n等于原数整数位数减1或小数点移动位数。单位需在括号外。 随学随练 1．（2026·江苏苏州·一模）根据苏州市文化广电和旅游局及官方媒体发布的最新数据，2026年春节期间（含除夕至正月十五或法定假期延长段，具体统计口径为春节假日期间），苏州市各景区共接待游客约为17500000人次，可用科学记数法表示为__________人次． 【答案】 【分析】当原数的绝对值大于等于10时，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．根据科学记数法的定义，确定参数a和n的值即可． 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·四川凉山·期末）南丝路集团年一季度外贸出口订单超万美元，若美元兑换元人民币，将万美元兑换成人民币后用科学记数法表示为_______元． 【答案】 【分析】把美元转化为人民币，然后根据科学记数法表示为，其中，即可． 【详解】解：∵美元兑换元人民币， ∴万美元等于． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·四川攀枝花·期末）据报道今年国庆出游的全国旅客数达到826000000人次，数据826000000用科学记数法可表示为____． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，熟练掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数是解题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．根据科学记数法的表示方法，确定a和n的值即可． 【详解】解：． 故答案为：． 拓展 与有理数乘方有关的数学文化问题 1. 读懂文化背景，提炼数学模型 仔细阅读故事（如棋盘放米、折纸高度），从中提取底数、指数，转化为乘方表达式。注意单位换算，保持数据一致。 2. 巧用估算，感受增长速度 乘方增长极快，用科学记数法或对数估算结果大小。比较时统一化成同底数或同指数形式，便于判断数量级。 3. 对比生活实例，验证合理性 将计算结果与生活常识对比（如珠峰高度、地球周长），判断是否合理。若异常，检查是否误将加法当乘方运算。 活学活用 1．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一．若正整数，其中，或1（），则可用二进制表示为，即，记．例如：，则，． (1)用二进制表示整数11； (2)求的值； (3)判断与的值是否相等，并说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)相等． 理由：令， 则 由， 得 ， 由， 得 所以． 【分析】（1）根据题意将整数用二进制表示出来即可； （2）根据题意得出，然后再由求解即可； （3）令，得出，确定，同理化简，即可判断． 【详解】（1）解：由得 （2）， ∴； （3）略 2．（2026·安徽六安·模拟预测）【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为_____． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 【答案】(1)①1，8，28，56，70，56，28，8，1；② (2)55 (3)754 【分析】（1）①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和，即可求得答案； ②分别求出每一行的数字之和，并找出规律即可； （2）找出每条斜线经过的数之和的规律，即可得到答案； （3）找出后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和这一规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和， 所以第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1； ②观察发现 第0行的和为， 第1行的和为， 第2行的和为， 第3行的和为， 第4行的和为， 故可得第100行的数之和为； （2）解：观察可知，第1条斜线经过的数之和为1， 第2条斜线经过的数之和为1， 第3条斜线经过的数之和为， 第4条斜线经过的数之和为， 第5条斜线经过的数之和为， 第6条斜线经过的数之和为， 第7条斜线经过的数之和为， 发现从第3条开始，每条斜线经过的数之和都为前两条斜线的数据之和， 所以第8条斜线经过的数之和为， 第9条斜线经过的数之和为， 故第10条斜线经过的数之和为； （3）解：观察：长方形①的长与宽的和为， 长方形②的长与宽的和为， 长方形③的长与宽的和为， 长方形④的长与宽的和为， 发现后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和， 所以长方形⑤的长与宽的和为， 长方形⑥的长与宽的和为， 长方形⑦的长与宽的和为， 长方形⑧的长与宽的和为， 长方形⑨的长与宽的和为， 长方形⑩的长与宽的和为， 长方形⑪的长与宽的和为， 故长方形⑪的周长为． 拓展 与有理数乘方有关的新定义型问题 1. 理解新定义，明确底数与指数 仔细阅读规定（如a△b=ab−a），识别哪个数作底数、哪个作指数，按规则转化为常规乘方算式，注意运算顺序。 2. 若含嵌套定义，先内后外逐步算 新定义中若含括号或定义嵌套，先计算最内层结果，再代入外层规则。每步结果作为下一步的输入值。 3. 灵活运用乘方性质简化 底数为0、1或−1时直接写结果。大指数用幂的运算性质化简，避免繁琐计算。 活学活用 1．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）定义新运算∶，如，计算下列各式． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)8 【分析】本题考查了新定义问题，有理数的乘方及加减运算，理解新定义运算是解题的关键； （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义先算，再算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以． 2．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）（1）计算：①______；______； ②______；______． （2）根据乘方的定义和乘法交换律、结合律，可以作出如下推导：______ （3）猜想：当n为正整数时，______． （4）利用上述结论，求：①；② 【答案】（1）①，；②225，225；（2）；（3）；（4）①；② ； 【分析】本题考查有理数的乘方、有理数的乘法，掌握乘方的意义是解题的关键． （1）①根据乘方的意义直接计算即可； ②根据乘方的意义直接计算即可； （2）根据乘方的意义直接计算即可； （3）根据以上的规律猜想，并利用乘方的意义求解即可； （4）②逆用（3）中得到的结论计算即可；②变形后逆用（3）中得到的结论计算即可． 【详解】（1）①；； ②；； 故答案为：36；36；225；225； （2） ， 故答案为：； （3）当n为正整数时，， 故答案为：； （4）① ； ② ． 题型 有理数幂的概念理解 解题贴士 aⁿ表示n个a相乘，a为底数，n为指数。区分(-a)ⁿ与-aⁿ：前者负号在括号内，指数为奇数时结果为负；后者负号在括号外，结果恒负。 ▌例1（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列算式可以表示成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即记作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 依据乘方的概念判断选项中哪个算式符合的意义即可． 【详解】解：∵乘方的定义为：n个相同因数a相乘，记作， ∴表示3个2相乘，即． 故选C． ▌对点练1-1（25-26七年级上·山西晋中·期末）的4次幂应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的表示方法，熟练掌握乘方的书写是解题的关键，根据乘方中底数与指数的对应关系即可得到答案． 【详解】解：∵求的4次幂，是将作为底数，4作为指数， ∴应记为， 故选：C． ▌对点练1-2（25-26七年级上·广东肇庆·期中）表示（   ） A．与5相乘的积 B．5个相乘的积 C．3个5相乘的积的相反数 D．5个2相乘的积 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解题的关键． 根据乘方运算的定义， 表示n个a相乘判断即可． 【详解】解：A、与5相乘的积：，故选项不符合题意； B、5个相乘的积：，故选项符合题意； C、3个5相乘的积的相反数：，故选项不符合题意； D、5个2相乘的积：，故选项不符合题意． 故选： B． ▌对点练1-3（25-26七年级上·广东珠海·期中）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．计算结果为 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．底数是，指数是4 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方运算，幂的定义，熟练掌握有理数乘方运算法则，是解题的关键．根据幂的定义，有理数乘方运算法则，进行求解即可． 【详解】解：表示，而非， ，，因此， 的底数为2，指数为4，故A正确，B、C、D错误． 故选：A． 题型 有理数的乘方运算 解题贴士 先定符号：正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正。再算绝对值。底数为分数或负数时加括号。0的正次幂为0。 ▌例2（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． （2）解：． ▌对点练2-1（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． ▌对点练2-2（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． ▌对点练2-3（26-27七年级·全国·暑假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ； （5）解：； （6）解：； 题型 乘方运算的符号规律 解题贴士 正数乘方恒正；负数乘方：指数奇为负、偶为正；0乘方得0（0指数无意义）。带括号看底数整体，无括号负号在外。 ▌例3（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B ▌对点练3-1（25-26七年级上·重庆·期中）当n为正整数时，的值是（ ） A．0 B．2 C． D．2或 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的乘方，乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．利用的幂次性质：偶次幂为1，奇次幂为． 【详解】解：∵ n为正整数， ∴为偶数，为奇数， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． ▌对点练3-2（25-26七年级上·全国·期末）若，均为正有理数，且，，则下列叙述正确的是（） A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法符号法则，通过计算表达式中负因数的个数判断符号：有四个负因数，乘积为正；有三个负因数，乘积为负． 【详解】，，，，． 对于a：，共有四个负因数， ∵偶数个负数相乘为正， ． 对于b：， ，再乘以， ． 为正数，为负数． 故选C． ▌对点练3-3（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 题型 乘方的应用 解题贴士 审题确定底数（初始量）和指数（次数），按“每次×倍数”列式。注意单位换算，分清是求总量还是增量，指数加1勿漏。 ▌例4（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【答案】（1）10；（2）25；（3）69天 【分析】本题考查有理数乘方的应用，理解二进制、五进制的意义是解题的关键． （1）根据题干中的方法计算即可； （2）分别将和转化为十进制数，相加即可； （3）仿照二进制数转化成十进制数的方法计算． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2） ； （3）由题意知，图示中的五进制数为， ， 即孩子已经出生69天． ▌对点练4-1（2025七年级上·全国·专题练习）一种细胞，每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个．那么，1个细胞经过能分裂成多少个？ 【答案】个 【分析】本题考查了有理数的乘方应用，先理解题意，得里面有6个，根据每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，里面有6个， ∵每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个． ∴， 即1个细胞经过能分裂成个． ▌对点练4-2（25-26七年级上·重庆·期中）我们平时用的是十进制数，例如，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下： (1)求二进制中的数等于十进制的数多少？ (2)已知：，请计算并写出的值（结果仍用二进制数表示）； (3)仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于七进制的数多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是有理数的乘方，解题的关键在于阅读材料，明确十进制与二进制的转化． （1）根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法计算； （2）根据满二进一的方法将两个二进制数相加即可； （3）先将转化为十进制数，再将转化为七进制数． 【详解】（1）解：， 二进制中的数等于十进制的数； （2）解：； （3）解： ， ， 八进制中的数等于七进制的数． ▌对点练4-2（25-26七年级上·山东济南·期中）利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．我们刚学过的《从面积到乘法公式》就很好地体现了这一思想方法，你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？ (1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形的，，，…，，根据图示我们可以知道： 第一次取走后还剩，即； 前两次取走后还剩，即； 前三次取走后还剩，即；…， 前n次取走后，还剩______，即______． (2)如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示计算：； (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形类变化规律问题，乘方的应用，数形结合思想， 对于（1），根据前三次变化规律可得答案； 对于（2），仿照（1）分别求出第n次截取后剩余，再用总数1减去剩余可得答案； 对于（3），仿照（2）解答即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴； （3）解：如图 ∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 题型 用科学记数法表示绝对值大于1的数 解题贴士 写成a×10ⁿ（1≤|a|<10，n为正整数）。n等于整数位数减1。移动小数点，从左起第一个非零数后开始，移几位n为几。 ▌例5（2026·广东东莞·三模）近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需先将亿化为普通整数，再按规则改写即可得到结果． 【详解】解：∵亿， ∴将其改写为符合要求的科学记数法，可得． ▌对点练5-1（2026·安徽合肥·二模）据预测，到2026年，安徽省常住人口约6113万人，6113万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，比原整数位数少1，解答即可． 【详解】解： 万， ． ▌对点练5-2（2026·陕西榆林·模拟预测）根据西安市文化和旅游局数据统计，某年春节假期，全市3A级以上景区共接待游客超1300万人次，数据“1300万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，比原整数位数少1． 【详解】1300万， ． ▌对点练5-3（2026·河南周口·二模）2026年河南文旅市场持续升温，一季度全省文旅总收入约亿元，数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：亿． 基础通关 一、单选题 1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算每个选项的结果，判断结果的正负性即可得到答案． 【详解】解：∵，是正数， ∴ A不符合题意． ∵，是正数， ∴ B不符合题意． ∵，是正数， ∴ C不符合题意． ∵，是负数， ∴ D符合题意． 2．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和3 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，先化简每个选项中的两个数，再判断是否符合定义即可． 【详解】解：∵ 相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数. 对各选项化简判断， 选项A： ，9和3不互为相反数，A错误； 选项B： ，，两个数相等，不互为相反数，B错误； 选项C： ，两个数相等，不互为相反数，C错误； 选项D： ，，3和只有符号不同，互为相反数，D正确． 3．第57次《中国互联网络发展状况统计报告》于2026年2月5日发布．报告显示，截至2025年12月，我国网民规模达11.25亿人，互联网普及率达．数据“11.25亿”用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 亿． 4．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 【详解】解：依次判断各数： ∵ ，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ，是负数， ，是正数， 既不是正数也不是负数， ∴负数共有个． 二、填空题 5．的底数是________，读作________． 【答案】 负的的次方 【详解】解：根据乘方的定义，在中，叫做乘方的底数，叫做乘方的指数． 对于，该式表示的相反数，负号不属于底数部分，因此底数是，该式读作负的的次方． 6．2026年，我国天问二号深空探测器按计划开启小行星探测任务，探测器往返星际飞行的总里程约720000000千米．其中数据720000000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【详解】解：． 7．定义一种运算：．例如：．那么______． 【答案】79 【分析】根据新定义，按照先算括号内，再算括号外的顺序，套用给定运算规则计算即可． 【详解】解：根据规则， 再计算 ． 8．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 【答案】1 【分析】分别计算出前几次输出的结果，再根据规律可得答案． 【详解】解：当输入时，第1次输出的结果是； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． （1）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （2）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （3）按照有理数的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 10．规定一种新运算：，，请计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据定义列式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 素养提升 1．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 2．上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字．我们常用的数是十进制数，如；在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数；八进制数字换算成十进制是_________． 【答案】 【分析】根据题意推断即可求解． 【详解】等于十进制的数． 3．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，一般地，把个相除记作，读作“的下次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：___________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：（幂的形式）； （2）试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式．___________；___________； （3）算一算：． 【答案】 （1） （2）； （3） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解表示“a的下n次方”的意义是正确计算的关键． （1）根据表示“a的下n次方”的意义进行计算即可; （2）根据表示“a的下n次方”的意义，进行计算进而得出答案； （3）按照有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2） ； ； 故答案为: ；； （3） ． 4．阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． (2)的个位数字为________． 【答案】(1)的个位数字为3，的个位数为2. (2)7. 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． 【详解】（1），，，，，， 7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为3． ，，，，，， 8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2． （2）与（1）同理可得，2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为7， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为8， ， 的个位数字是. 5．[阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）x．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数（1111）x中，右起第一位上的1表示   第二位上的1表示 第三位上的1表示 第四位上的1表 故 即： 转化为了十进制表示的数 如： 即二进制的数1111等于十进制数15． [问题解决]： (1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个．（用十进制数表示） (2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． （i）图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是_______；（直接写出答案．） （ii）若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形．请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整． 【答案】(1) (2)（i）；；（ii）见解析 【分析】（1）首先明确是满七进一的七进制计数，从右到左对应七进制的位，所以先读取每根绳子上的结数，再根据七进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的7的幂次后求和． （2）（i）首先明确编码规则是黑色为1、白色为0，从左到右对应二进制的高位到低位，所以先读取图③第四行的颜色得到二进制数，再按二进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的2的幂次后求和得到考场号．（ii）首先拆分准考证号，找到第三行和第五行对应的十进制数，然后将这两个十进制数分别转化为5位二进制数，再根据二进制数的0、1对应白色、黑色，确定需要涂黑的位置． 【详解】（1）满七进一为七进制，从右到左的结点数依次为：右起第一位（最右）2个，第二位（中间）3个，第三位（最左）1个，转换为十进制： ， 答案：； （2）（i）根据规则，黑色为1，白色为0，图③第四行从左到右为：黑、白、黑、白、黑，即二进制数， 转换十进制： ， 答案：；； （ii）小芳准考证号为，按规则，第一到第五行依次对应两位十进制， 因此第三行对应，第五行对应． 设五位二进制从左到右为，对应十进制为：． ∵， ∴二进制为， 因此需要将第三行左数第3格、第5格涂黑． ∵， ∴ 二进制为， 因此需要将第五行左数第4格、第5格涂黑． 如图所示． 迁移创新 1．（25-26七年级上·四川南充·期末）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 【答案】（1）；9；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解除方的定义是解题关键． （1）根据除方的运算法则计算即可； （2）根据除方的运算法则作答即可； （3）根据乘方和除方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；9； （2）解： ； ， 故答案为：； （3） ． 2．（25-26七年级上·山东潍坊·期中）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色小正方形代表1，白色小正方形代表0）．二进制是逢2进1的计数制，有别于我们常用的逢10进1的十进制，如十进制数，二进制数11000转化成十进制数为：．（注：任意不为0的有理数，） 图是某次考试中三位同学的准考证二维码．图1是小亮的准考证二维码，其中第一行至第五行代表的二进制数分别为11000、1100、111、11100、1101，转化成十进制分别为24、12、07、28、13，将五行编码组合到一起就是小亮的准考证号2412072813． (1)若图2是本次考试小莹的准考证二维码，其中第四行表示考场号，那么其代表的二进制数字是________，转化成十进制后可得到她的考场号是________； (2)若本次考试中，小刚的准考证号是2921051510，图3是小刚自己绘制的二维码，但少涂黑了几个小正方形．请你通过计算或推理说明第几行漏涂了小正方形，并帮他在图中补充完整； (3)除了二进制，在计算机系统中，八进制表示法也很常见，比如系统中“文件权限”（读、写、执行）常用八进制数字表示，八进制是逢8进1的计数制． ①参考二进制的计算方法，请你将八进制数字2617转化成十进制数字； ②将十进制数字376转化为八进制为________． 【答案】(1)10101,21 (2)过程见解析，作图见解析 (3)①1423 ②570 【分析】本题主要考查了代数式表示，数字变化规律， 对于（1），根据二进制的表示方法“黑色代表1，白色代表0”解答，再根据转化十进制的例子解答； 对于（2），分别将二进制写成十进制，再根据不符合情况推理得出答案； 对于（3），①由题意得，再计算可得答案； ②分别用376除以8根据余数得出答案． 【详解】（1）解：第四行代表二进制的数字是； 故答案为：； （2）解：小亮的准考证号为：2921051510， 根据图3可知二进制数分别为： ； ；； ； ， 补充完整如图所示： （3）解：①； ②余0 余7， 余5， 从下向上写出答案570． 故答案为：570． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）综合探究 数形结合和归纳法是解决数学问题的重要思想方法和策略． 探究一：如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… （1）根据图形填写下表： ① ② ③ 阴影面积 面积 （2）计算：；(请写出计算过程) 探究二：小华在计算时，类比探究一利用如图2所示的正方形模型．设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；；… （3）第次分割后，空白部分的面积是___________； （4）由此计算的值．(请写出计算过程) （5）通过以上探究，小华得出结论：___________． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； （4）根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可； （5）类比前面的方法，推导式子的结果． 【详解】（1）解：观察图形可知：部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 阴影部分的面积是， 故答案为：； （2）解：根据图形规律可得：； （3）解：根据题意：设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分， 阴影部分的面积为，空白部分面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为， 则第n次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， 故答案为：； （4）解：根据第n次分割阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， ，两边同除以2，得算． （5）解：根据（4）可得 ． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数及其运算 2.4 有理数的乘方 课标要点 1. 理解乘方的意义，掌握an的表示方法，能正确区分底数、指数和幂的概念。 2. 能熟练进行简单的有理数乘方运算，理解乘方与乘法的联系与区别。 3. 能用科学记数法表示大数，体会乘方在解决实际问题（如细胞分裂）中的应用。 学习重难点 重点 1. 理解乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念，能将乘方转化为乘法进行计算。 2. 能准确进行有理数的乘方运算，特别是正数、负数、分数的乘方。 难点 1. 区分负数乘方与乘方的相反数（如(-2)⁴与-2⁴），理解底数为分数或负数时需加括号。 2. 掌握乘方运算的符号法则，判断负数的奇次幂和偶次幂的符号规律。 知识点 有理数的乘方（重点） 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 特别提醒 an表示n个a相乘。注意区分(-2)4=16与-24=-16；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。指数为1时结果为其本身。勿混淆底数与指数位置。 随学随练 1．（2026八年级上·云南保山·竞赛）的意义是（     ） A．乘以 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加 2．（25-26七年级上·全国·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在中，底数是____，指数是____． （2）在中，底数是____，指数是____． 知识点 有理数的乘方运算（重点） （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 特别提醒 先确定幂的符号（负数奇次幂为负，偶次为正），再算绝对值。注意底数为分数或负数要加括号，如= ，而 = 不同。勿漏指数。 随学随练 1．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 特别提醒 形式为a×10n，其中1≤|a| < 10，n为整数。注意a是整数部分仅一位的数，n等于原数整数位数减1或小数点移动位数。单位需在括号外。 随学随练 1．（2026·江苏苏州·一模）根据苏州市文化广电和旅游局及官方媒体发布的最新数据，2026年春节期间（含除夕至正月十五或法定假期延长段，具体统计口径为春节假日期间），苏州市各景区共接待游客约为17500000人次，可用科学记数法表示为__________人次． 2．（25-26七年级上·四川凉山·期末）南丝路集团年一季度外贸出口订单超万美元，若美元兑换元人民币，将万美元兑换成人民币后用科学记数法表示为_______元． 3．（25-26七年级上·四川攀枝花·期末）据报道今年国庆出游的全国旅客数达到826000000人次，数据826000000用科学记数法可表示为____． 拓展 与有理数乘方有关的数学文化问题 1. 读懂文化背景，提炼数学模型 仔细阅读故事（如棋盘放米、折纸高度），从中提取底数、指数，转化为乘方表达式。注意单位换算，保持数据一致。 2. 巧用估算，感受增长速度 乘方增长极快，用科学记数法或对数估算结果大小。比较时统一化成同底数或同指数形式，便于判断数量级。 3. 对比生活实例，验证合理性 将计算结果与生活常识对比（如珠峰高度、地球周长），判断是否合理。若异常，检查是否误将加法当乘方运算。 活学活用 1．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一．若正整数，其中，或1（），则可用二进制表示为，即，记．例如：，则，． (1)用二进制表示整数11； (2)求的值； (3)判断与的值是否相等，并说明理由． 2．（2026·安徽六安·模拟预测）【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为_____． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 拓展 与有理数乘方有关的新定义型问题 1. 理解新定义，明确底数与指数 仔细阅读规定（如a△b=ab−a），识别哪个数作底数、哪个作指数，按规则转化为常规乘方算式，注意运算顺序。 2. 若含嵌套定义，先内后外逐步算 新定义中若含括号或定义嵌套，先计算最内层结果，再代入外层规则。每步结果作为下一步的输入值。 3. 灵活运用乘方性质简化 底数为0、1或−1时直接写结果。大指数用幂的运算性质化简，避免繁琐计算。 活学活用 1．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）定义新运算∶，如，计算下列各式． (1) (2) 2．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）（1）计算：①______；______； ②______；______． （2）根据乘方的定义和乘法交换律、结合律，可以作出如下推导：______ （3）猜想：当n为正整数时，______． （4）利用上述结论，求：①；② 题型 有理数幂的概念理解 解题贴士 aⁿ表示n个a相乘，a为底数，n为指数。区分(-a)ⁿ与-aⁿ：前者负号在括号内，指数为奇数时结果为负；后者负号在括号外，结果恒负。 ▌例1（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列算式可以表示成的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26七年级上·山西晋中·期末）的4次幂应记为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26七年级上·广东肇庆·期中）表示（   ） A．与5相乘的积 B．5个相乘的积 C．3个5相乘的积的相反数 D．5个2相乘的积 ▌对点练1-3（25-26七年级上·广东珠海·期中）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．计算结果为 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．底数是，指数是4 题型 有理数的乘方运算 解题贴士 先定符号：正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正。再算绝对值。底数为分数或负数时加括号。0的正次幂为0。 ▌例2（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算题 (1)； (2)． ▌对点练2-1（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练2-2（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练2-3（26-27七年级·全国·暑假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型 乘方运算的符号规律 解题贴士 正数乘方恒正；负数乘方：指数奇为负、偶为正；0乘方得0（0指数无意义）。带括号看底数整体，无括号负号在外。 ▌例3（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 ▌对点练3-1（25-26七年级上·重庆·期中）当n为正整数时，的值是（ ） A．0 B．2 C． D．2或 ▌对点练3-2（25-26七年级上·全国·期末）若，均为正有理数，且，，则下列叙述正确的是（） A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 ▌对点练3-3（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 题型 乘方的应用 解题贴士 审题确定底数（初始量）和指数（次数），按“每次×倍数”列式。注意单位换算，分清是求总量还是增量，指数加1勿漏。 ▌例4（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） ▌对点练4-1（2025七年级上·全国·专题练习）一种细胞，每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个．那么，1个细胞经过能分裂成多少个？ ▌对点练4-2（25-26七年级上·重庆·期中）我们平时用的是十进制数，例如，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下： (1)求二进制中的数等于十进制的数多少？ (2)已知：，请计算并写出的值（结果仍用二进制数表示）； (3)仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于七进制的数多少？ ▌对点练4-2（25-26七年级上·山东济南·期中）利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．我们刚学过的《从面积到乘法公式》就很好地体现了这一思想方法，你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？ (1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形的，，，…，，根据图示我们可以知道： 第一次取走后还剩，即； 前两次取走后还剩，即； 前三次取走后还剩，即；…， 前n次取走后，还剩______，即______． (2)如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示计算：； (3)求的值． 题型 用科学记数法表示绝对值大于1的数 解题贴士 写成a×10ⁿ（1≤|a|<10，n为正整数）。n等于整数位数减1。移动小数点，从左起第一个非零数后开始，移几位n为几。 ▌例5（2026·广东东莞·三模）近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． ▌对点练5-1（2026·安徽合肥·二模）据预测，到2026年，安徽省常住人口约6113万人，6113万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-2（2026·陕西榆林·模拟预测）根据西安市文化和旅游局数据统计，某年春节假期，全市3A级以上景区共接待游客超1300万人次，数据“1300万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． ▌对点练5-3（2026·河南周口·二模）2026年河南文旅市场持续升温，一季度全省文旅总收入约亿元，数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 基础通关 一、单选题 1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和3 B．和 C．和 D．和 3．第57次《中国互联网络发展状况统计报告》于2026年2月5日发布．报告显示，截至2025年12月，我国网民规模达11.25亿人，互联网普及率达．数据“11.25亿”用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 4．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 5．的底数是________，读作________． 6．2026年，我国天问二号深空探测器按计划开启小行星探测任务，探测器往返星际飞行的总里程约720000000千米．其中数据720000000用科学记数法表示为___________． 7．定义一种运算：．例如：．那么______． 8．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)． 10．规定一种新运算：，，请计算下列各式的值： (1)； (2)． 素养提升 1．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字．我们常用的数是十进制数，如；在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数；八进制数字换算成十进制是_________． 3．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，一般地，把个相除记作，读作“的下次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：___________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：（幂的形式）； （2）试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式．___________；___________； （3）算一算：． 4．阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． (2)的个位数字为________． 5．[阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）x．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数（1111）x中，右起第一位上的1表示   第二位上的1表示 第三位上的1表示 第四位上的1表 故 即： 转化为了十进制表示的数 如： 即二进制的数1111等于十进制数15． [问题解决]： (1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个．（用十进制数表示） (2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． （i）图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是_______；（直接写出答案．） （ii）若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形．请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整． 迁移创新 1．（25-26七年级上·四川南充·期末）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 2．（25-26七年级上·山东潍坊·期中）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色小正方形代表1，白色小正方形代表0）．二进制是逢2进1的计数制，有别于我们常用的逢10进1的十进制，如十进制数，二进制数11000转化成十进制数为：．（注：任意不为0的有理数，） 图是某次考试中三位同学的准考证二维码．图1是小亮的准考证二维码，其中第一行至第五行代表的二进制数分别为11000、1100、111、11100、1101，转化成十进制分别为24、12、07、28、13，将五行编码组合到一起就是小亮的准考证号2412072813． (1)若图2是本次考试小莹的准考证二维码，其中第四行表示考场号，那么其代表的二进制数字是________，转化成十进制后可得到她的考场号是________； (2)若本次考试中，小刚的准考证号是2921051510，图3是小刚自己绘制的二维码，但少涂黑了几个小正方形．请你通过计算或推理说明第几行漏涂了小正方形，并帮他在图中补充完整； (3)除了二进制，在计算机系统中，八进制表示法也很常见，比如系统中“文件权限”（读、写、执行）常用八进制数字表示，八进制是逢8进1的计数制． ①参考二进制的计算方法，请你将八进制数字2617转化成十进制数字； ②将十进制数字376转化为八进制为________． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）综合探究 数形结合和归纳法是解决数学问题的重要思想方法和策略． 探究一：如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… （1）根据图形填写下表： ① ② ③ 阴影面积 面积 （2）计算：；(请写出计算过程) 探究二：小华在计算时，类比探究一利用如图2所示的正方形模型．设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；；… （3）第次分割后，空白部分的面积是___________； （4）由此计算的值．(请写出计算过程) （5）通过以上探究，小华得出结论：___________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $