2.4有理数的乘方 讲义 2025-2026学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘方，构建“概念-规律-辨析-运算-应用”递进式学习支架，从乘方的定义及各部分名称入手，梳理正数、负数、0的乘方运算规律，辨析易混淆表达式，详解混合运算顺序，最终延伸至基于乘方的科学计数法。 资料以“相同因数乘法简化”抽象乘方概念培养抽象能力，通过表格对比规律和口诀强化运算能力，科学计数法联系现实问题发展模型意识。课中辅助教师突破重难点，课后练习帮助学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

2.3 有理数的乘方（融汇贯通讲义） 北师大版（2024）七年级数学上册 知识目录 【知识点1：乘方的核心概念】 1 【知识点2：有理数乘方的运算规律】 4 【知识点3：易混淆表达式辨析】 6 【知识点4：有理数乘方的混合运算详解】 8 【知识点5：科学计数法】 10 巩固与提升 【知识点1：乘方的核心概念】 · 定义：从运算本质来看，乘方是“相同因数乘法的简便运算”，具体指求n个相同因数a积的运算，记为，其中乘方运算的结果被称为“幂”。这一概念的核心是“简化表达”——当需要书写或计算多个相同因数相乘时，乘方能极大精简形式。比如3×3×3×3，是4个相同因数3连续相乘，若用乘法书写，因数个数越多越繁琐，而用乘方表示为，既清晰又高效。 再举实例：2×2可表示为（2个2相乘），(-5)×(-5)×(-5)可表示为（3个-5相乘），这些都体现了乘方对相同因数乘法的简化作用。需要注意的是，乘方是一种“运算”，就像加法、乘法一样是独立的运算形式，而“幂”是这种运算的结果，二者不可混淆。 · 各部分名称：乘方表达式的组成、名称及含义如下所示： 表达式组成 名称 核心含义 示例说明（以为例） 底数 被重复相乘的因数 底数是5 指数 相同因数的个数 指数是3 幂 n个a相乘的结果，读作“a的n次方”或“a的n次幂” 读作“5的3次方”，表示3个5相乘 特殊说明：指数为1时，通常省略不写，比如，也就是说任何数的1次方都等于它本身。 【练习加强：乘方的核心概念】 对于算式，正确的说法是（   ） A．2是底数，3是指数 B．是底数，3是幂 C．2是底数，3是幂 D．是底数，3是指数 计算：（分子是个6相乘，分母是个7相加），则计算结果是（   ） A． B． C． D． 下列说法不正确的是（   ） A．可表示两个5相加 B．可表示五个2相加 C．可表示两个5相乘 D．可表示五个2相乘 计算的结果是（    ） A． B． C． D．故选：B． 关于，下列语句不正确的是（    ） A．表示 B．底数是，指数是3 C．读作的3次方 D．计算结果等于125 【知识点2：有理数乘方的运算规律】 不同类型有理数的乘方运算遵循特定规律，具体如下表所示： 乘方类型 核心规律 规律依据 示例 正数的乘方 正数的任何次幂都是正数 正数相乘，积的符号始终为正，与相乘次数无关 、 负数的乘方 符号由指数奇偶性决定：奇次幂为负，偶次幂为正 两个负数相乘得正数，偶数个负数相乘负号成对抵消，奇数个负数相乘剩余一个负号 奇次幂：；偶次幂： 0的乘方 0的任何正整数次幂都是0 0与任何数相乘都得0，多个0相乘结果仍为0 、（为正整数） 核心口诀（方便记忆）：正的次方全为正，负的次方看指数；奇次负，偶次正，0 的正次还是 0。 【练习加强：有理数乘方的运算规律】 有理数，，，，，中，其中等于的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．5个 D．6个 下列各式中，不相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．将，，从小到大排列正确的是（　　） A． B． C． D． 【知识点3：易混淆表达式辨析】 这是本节的易错点，关键在于判断底数是否包含负号，常见的是区分与： · ：表示个相乘，这里的底数是，负号参与乘方运算。比如，底数是，表示4个相乘，结果为16。 · ：表示的相反数，其底数是，先计算的次方，再取结果的相反数。比如，先算，再取相反数，结果为。 【练习加强：易混淆表达式辨析】 下列各对数中，相等的一对数是（   ） A．与 B． 与 C．与 D．与 下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 下列各组数中，数值互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A． B． C． D． 给出6个数：，0，，，，，其中非负数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【知识点4：有理数乘方的混合运算详解】 有理数乘方的混合运算，核心是遵循先乘方，再乘除，最后加减的运算顺序，有括号的先算括号内的运算。下面从运算顺序、分步例题、易错点三个方面详细讲解。 · 乘方混合运算的核心顺序 1. 优先算括号内：有括号的先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 2. 再算乘方：计算所有乘方运算（注意区分底数是否含负号）。 3. 接着算乘除：按照从左到右的顺序进行乘除运算。 4. 最后算加减：按照从左到右的顺序进行加减运算。 5. 可以总结成口诀：括号优先，乘方其次；乘除随后，加减收尾。 核心口诀（方便记忆）：括号优先，乘方其次；乘除随后，加减收尾。 【练习加强：有理数乘方的混合运算详解】 若，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 计算（    ） A． B． C． D． 观察下列算式： ……通过仔细观察，的末尾数字是（  ） A．1 B．3 C．7 D．9 如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ）      A． B． C． D． 【知识点5：科学计数法】 科学记数法是基于有理数乘方衍生的一种大数/小数的简便表示方法，核心是利用 的乘方，将数表示为 的形式，便于书写、计算和比较。 乘方是科学记数法的基础，科学记数法的形式为（，为整数）。当表示绝对值大于10的数时，是正整数，且等于原数的整数位数减1，如1200可表示为；表示绝对值小于1的数时，是负整数，的绝对值等于原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数，如0.00012可表示为。 · 科学记数法的分类与表示方法：根据原数绝对值的大小，分为绝对值大于10的数和绝对值小于1的数两种情况： 类别 原数特征 的确定方法 示例 绝对值大于10的数 整数位数 原数 （整数位数6位） 科学记数法： 绝对值小于1的数 纯小数（整数部分为0） −(原数左边第一个非0数字前所有0的个数) 原数 （第一个非0数字3前有5个0） 科学记数法： · 科学记数法的还原:把科学记数法表示的数还原为原数，分两种情况： 1. 当为正整数时：把 的小数点向右移动位，位数不够补0。 示例：（小数点右移4位） 2. 当为负整数时：把 的小数点向左移动位，位数不够补0。 示例：（小数点左移3位） 3. 常见易错点： 易错类型 错误示例 正确解法 的范围错误 把 写成 必须满足 ，正确形式： 混淆的正负 把 写成 原数绝对值小于1，为负，正确形式： 还原时移错小数点方向 把 还原成 ，小数点左移2位，正确结果： 【练习加强：科学计数法】 2024年深圳市总量为万亿元，按不变价格计算同比增长，人均为万元．数据“万元”用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 月球到地球的平均距离约为380000千米，这个数据用科学记数法表示为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 我省坚持实施就业优先战略，持续打好减负稳岗扩就业政策“组合拳”，2025年上半年，全省城镇新增就业人，用科学记数法表示的数据的原数是（   ） A．2787 B．27870 C．278700 D．2787000 2025年贵州足球超级联赛如火如荼地进行，贵州队一路高歌猛进，展现出贵州人拼搏向上的精神．据统计，联赛期间累计观赛人次突破，创下历史新高，展现了贵州人民对足球的热爱和文化自信．若用普通数字表示“”，正确的是（    ） A．350，000，000 B．3，500，000 C．350，000 D．35，000 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 有理数的乘方（融汇贯通讲义） 北师大版（2024）七年级数学上册 知识目录 【知识点1：乘方的核心概念】 1 【知识点2：有理数乘方的运算规律】 4 【知识点3：易混淆表达式辨析】 6 【知识点4：有理数乘方的混合运算详解】 8 【知识点5：科学计数法】 10 巩固与提升 【知识点1：乘方的核心概念】 · 定义：从运算本质来看，乘方是“相同因数乘法的简便运算”，具体指求n个相同因数a积的运算，记为，其中乘方运算的结果被称为“幂”。这一概念的核心是“简化表达”——当需要书写或计算多个相同因数相乘时，乘方能极大精简形式。比如3×3×3×3，是4个相同因数3连续相乘，若用乘法书写，因数个数越多越繁琐，而用乘方表示为，既清晰又高效。 再举实例：2×2可表示为（2个2相乘），(-5)×(-5)×(-5)可表示为（3个-5相乘），这些都体现了乘方对相同因数乘法的简化作用。需要注意的是，乘方是一种“运算”，就像加法、乘法一样是独立的运算形式，而“幂”是这种运算的结果，二者不可混淆。 · 各部分名称：乘方表达式的组成、名称及含义如下所示： 表达式组成 名称 核心含义 示例说明（以为例） 底数 被重复相乘的因数 底数是5 指数 相同因数的个数 指数是3 幂 n个a相乘的结果，读作“a的n次方”或“a的n次幂” 读作“5的3次方”，表示3个5相乘 特殊说明：指数为1时，通常省略不写，比如，也就是说任何数的1次方都等于它本身。 【练习加强：乘方的核心概念】 对于算式，正确的说法是（   ） A．2是底数，3是指数 B．是底数，3是幂 C．2是底数，3是幂 D．是底数，3是指数 【答案】A 【分析】本题考查乘方表达式中底数、指数和幂的概念。在算式 中，负号不是底数的一部分，指数运算优先于负号，因此底数是2，指数是3． 【详解】解：∵， ∴ 底数是2，指数是3， 故选：A． 计算：（分子是个6相乘，分母是个7相加），则计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查乘方运算，理解乘方的意义是解题的关键；根据分子是幂运算（x个6相乘），分母是乘法运算（y个7相加），直接计算即可． 【详解】∵ 分子是x个6相乘， ∴ 分子； ∵ 分母是y个7相加， ∴ 分母； ∴ 原式； 故选：D． 下列说法不正确的是（   ） A．可表示两个5相加 B．可表示五个2相加 C．可表示两个5相乘 D．可表示五个2相乘 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和乘方，根据有理数的乘法和乘方的定义判断即可得出答案． 【详解】解：A、可表示两个5相加，正确，故不符合题意； B、可表示五个2相加，正确，故不符合题意； C、可表示五个2相乘，原说法不正确，故符合题意； D、可表示五个2相乘，正确，故不符合题意； 故选：C． 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查乘方的定义，熟练掌握乘方的运算定义是解题的关键．根据乘方的定义：n个4相乘表示为，由此求解即可． 【详解】n个4相乘表示为， ， 故选：B． 关于，下列语句不正确的是（    ） A．表示 B．底数是，指数是3 C．读作的3次方 D．计算结果等于125 【答案】D 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解，乘方的运算，根据的底数为，指数为3，表示3个的乘积，即，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：的底数为，指数为3，表示3个的乘积，即，读作的3次方，故正确，不符合题意；错误，符合题意． 故选：D． 【知识点2：有理数乘方的运算规律】 不同类型有理数的乘方运算遵循特定规律，具体如下表所示： 乘方类型 核心规律 规律依据 示例 正数的乘方 正数的任何次幂都是正数 正数相乘，积的符号始终为正，与相乘次数无关 、 负数的乘方 符号由指数奇偶性决定：奇次幂为负，偶次幂为正 两个负数相乘得正数，偶数个负数相乘负号成对抵消，奇数个负数相乘剩余一个负号 奇次幂：；偶次幂： 0的乘方 0的任何正整数次幂都是0 0与任何数相乘都得0，多个0相乘结果仍为0 、（为正整数） 核心口诀（方便记忆）：正的次方全为正，负的次方看指数；奇次负，偶次正，0 的正次还是 0。 【练习加强：有理数乘方的运算规律】 有理数，，，，，中，其中等于的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，化简多重符号，有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．逐个计算，判断是否等于，然后统计个数，即可解答 ． 【详解】解：∵，，，，，， ∴等于的个数有2个． 故选：A． 下列各式中，不相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，化简绝对值．通过直接计算每个选项中两个表达式的值，判断它们是否相等，即可作答． 【详解】解：A、，，∴该选项中的各式相等，故不符合题意； B、，，∴该选项中的各式不相等，故符合题意； C、，，∴该选项中的各式相等，故不符合题意； D、，，∴该选项中的各式相等，故不符合题意； 故选：B． 如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 10．将，，从小到大排列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方法则计算各数，根据有理数大小比较的法则比较即可． 本题考查的是有理数的大小比较、有理数的乘方，掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ． 故选：B． 【知识点3：易混淆表达式辨析】 这是本节的易错点，关键在于判断底数是否包含负号，常见的是区分与： · ：表示个相乘，这里的底数是，负号参与乘方运算。比如，底数是，表示4个相乘，结果为16。 · ：表示的相反数，其底数是，先计算的次方，再取结果的相反数。比如，先算，再取相反数，结果为。 【练习加强：易混淆表达式辨析】 下列各对数中，相等的一对数是（   ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，求相反数，求绝对值． 通过直接计算每个选项中两个表达式的数值，比较它们是否相等． 【详解】选项A： ，，，不相等； 选项B：，，，相等； 选项C：，，，不相等； 选项D：，，，不相等； 故选：B． 下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方计算，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A：，， ∴，故A错误； B：∵，， ∴，故B错误； C：∵，， ∴，故C正确； D：∵，， ∴，故D错误． 故选：C． 下列各组数中，数值互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算及绝对值，相反数的定义，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键，根据有理数的乘方运算及绝对值可进行求解，然后根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：A．，，2和2不互为相反数，故该选项不符合题意； B．，，和4互为相反数，故该选项符合题意； C．，，和不互为相反数，故该选项不符合题意； D．，，8和不互为相反数，故该选项不符合题意； 故选：B． 下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义、有理数的乘方、绝对值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 分别计算每个选项中式子的值，再判断其正负性即可得出答案． 【详解】解：A、，运算结果为正数，不符合题意； B、，运算结果为正数，不符合题意； C、，运算结果为负数，符合题意； D、，运算结果为正数，不符合题意； 故选：C． 给出6个数：，0，，，，，其中非负数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了求绝对值，求乘方，非负数的定义． 先计算绝对值，乘方，再根据非负数的定义作答即可． 【详解】解：，，， 则非负数有0，，共3个． 故选：A． 【知识点4：有理数乘方的混合运算详解】 有理数乘方的混合运算，核心是遵循先乘方，再乘除，最后加减的运算顺序，有括号的先算括号内的运算。下面从运算顺序、分步例题、易错点三个方面详细讲解。 · 乘方混合运算的核心顺序 1. 优先算括号内：有括号的先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 2. 再算乘方：计算所有乘方运算（注意区分底数是否含负号）。 3. 接着算乘除：按照从左到右的顺序进行乘除运算。 4. 最后算加减：按照从左到右的顺序进行加减运算。 5. 可以总结成口诀：括号优先，乘方其次；乘除随后，加减收尾。 核心口诀（方便记忆）：括号优先，乘方其次；乘除随后，加减收尾。 【练习加强：有理数乘方的混合运算详解】 若，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方； 根据偶次方的非负性求出，，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法与乘方的定义．解题关键在对乘法与乘方定义的区分，本题的易错点在于因没有注意观察，而把两种运算当成一种运算．根据乘法的定义：求几个相同加数的运算，叫做乘法，和乘方的定义：求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 观察下列算式： ……通过仔细观察，的末尾数字是（  ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 先找出7的幂的个位数字的排列规律，再计算求解． 【详解】解；观察等式知：的个位数字分别为：循环出现， ，， 的末尾数字是0， ∴的末尾数字是1， 故选：A． 如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第6次裁剪后剩下的长方形的面积． 故选：A． 【知识点5：科学计数法】 科学记数法是基于有理数乘方衍生的一种大数/小数的简便表示方法，核心是利用 的乘方，将数表示为 的形式，便于书写、计算和比较。 乘方是科学记数法的基础，科学记数法的形式为（，为整数）。当表示绝对值大于10的数时，是正整数，且等于原数的整数位数减1，如1200可表示为；表示绝对值小于1的数时，是负整数，的绝对值等于原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数，如0.00012可表示为。 · 科学记数法的分类与表示方法：根据原数绝对值的大小，分为绝对值大于10的数和绝对值小于1的数两种情况： 类别 原数特征 的确定方法 示例 绝对值大于10的数 整数位数 原数 （整数位数6位） 科学记数法： 绝对值小于1的数 纯小数（整数部分为0） −(原数左边第一个非0数字前所有0的个数) 原数 （第一个非0数字3前有5个0） 科学记数法： · 科学记数法的还原:把科学记数法表示的数还原为原数，分两种情况： 1. 当为正整数时：把 的小数点向右移动位，位数不够补0。 示例：（小数点右移4位） 2. 当为负整数时：把 的小数点向左移动位，位数不够补0。 示例：（小数点左移3位） 3. 常见易错点： 易错类型 错误示例 正确解法 的范围错误 把 写成 必须满足 ，正确形式： 混淆的正负 把 写成 原数绝对值小于1，为负，正确形式： 还原时移错小数点方向 把 还原成 ，小数点左移2位，正确结果： 【练习加强：科学计数法】 2024年深圳市总量为万亿元，按不变价格计算同比增长，人均为万元．数据“万元”用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，熟练掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，注意中a的范围是，n是正整数．本题，． 【详解】解：数据“万元”用科学记数法表示为元． 故选：C． 月球到地球的平均距离约为380000千米，这个数据用科学记数法表示为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，n比原整数位数少1，解题的关键是准确确定a与n值． 【详解】解：， 故选：B． 据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 我省坚持实施就业优先战略，持续打好减负稳岗扩就业政策“组合拳”，2025年上半年，全省城镇新增就业人，用科学记数法表示的数据的原数是（   ） A．2787 B．27870 C．278700 D．2787000 【答案】C 【分析】此题考查的是将用科学记数法表示的数改为原数．通过科学记数法换算成原数，正负符号不变，乘以几次幂就将小数点后移几位，不足的补0． 【详解】解：用科学记数法表示的数据的原数是278700； 故选：C． 2025年贵州足球超级联赛如火如荼地进行，贵州队一路高歌猛进，展现出贵州人拼搏向上的精神．据统计，联赛期间累计观赛人次突破，创下历史新高，展现了贵州人民对足球的热爱和文化自信．若用普通数字表示“”，正确的是（    ） A．350，000，000 B．3，500，000 C．350，000 D．35，000 【答案】B 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的数，熟记科学记数法的定义是解题关键．根据科学记数法中的指数的绝对值可得将中的小数点向右移动6位即可得． 【详解】解：， 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $