2.1 认识有理数（讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦有理数的核心知识，从负数意义及相反意义的量入手，系统梳理有理数的概念与分类，进而深入讲解相反数、绝对值的代数与几何意义，结合数轴实现数与形的结合，构建从具体到抽象的认知支架。 资料通过“特别提醒”强化易错点，“随学随练”即时巩固，拓展内容如绝对值几何意义、数轴规律探究等培养数学思维。以《九章算术》实例引入相反意义的量，发展数学眼光，分类讨论绝对值化简提升推理意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第二章 有理数及其运算 2.1 认识有理数 课标要点 1. 理解负数的意义，会用正数和负数表示生活中具有相反意义的量，体会负数产生的必要性。 2. 理解有理数的概念，能按一定标准对有理数进行分类，掌握整数与分数的统属关系。 3. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数与绝对值，能用绝对值比较两个负数的大小。 学习重难点 重点 1. 会用正、负数正确表示具有相反意义的量，理解有理数的概念及分类方法。 2. 理解相反数与绝对值的概念，会求一个数的相反数和绝对值。 难点 1. 理解负数的意义及0的特殊性（既不是正数也不是负数），准确区分有理数分类标准。 2. 利用绝对值比较两个负数的大小，以及绝对值非负性的应用。 知识点 正数和负数 正数的概念：大于0的数叫做正数. 负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） 特别提醒 0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点。特别要注意的是，判断一个数正负不能只看它前面有没有“+”或“-”号，化简后的结果才是关键，同时必须带单位才能表示具有相反意义的量。 随学随练 1．（2026·江苏常州·一模）下列四个数中，负数是（   ） A． B．0 C． D． 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测），，0，，3这几个数中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，，，中，负数的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点 相反意义的量（重点） 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 特别提醒 - 两大要素：意义相反 + 同类数量，缺一不可。如“上升”与“下降”只是意义相反，缺少数量，不能称为相反意义的量。 - 不要求数量相等：只要求意义相反，数量可以不同。 随学随练 1．（2026·广东梅州·二模）中国古代数学著作《九章算术》中最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算．若向东走记作，则向西走可记作（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川成都·中考真题）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作（     ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）月球表面昼夜温差非常大，白天平均温度零上，夜间平均温度零下．若将零上记作，则零下可记作（     ） A． B． C． D． 知识点 有理数的概念和分类（重点） 1.概 念：整数和分数统称有理数. 整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 2.两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 特别提醒 - 概念核心：整数和分数统称为有理数（有限小数和无限循环小数都可化为分数，属有理数；无限不循环小数不是有理数）。 - 分类标准：按定义分（整数、分数）和按性质分（正有理数、0、负有理数）。分类必须做到“不重不漏”，且 0既不是正数也不是负数。 随学随练 1．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{___________}； 负分数：{___________}； 负有理数：{___________}． 3．（25-26七年级上·重庆·期末）把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． 负有理数集合：{                         …}； 整数集合：{                             …}； 负分数集合：{                           …}； 非负有理数集合：{                       …}． 知识点 相反数 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 特别提醒 - 概念核心：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。特别要注意，相反数是成对出现的，不能单独说一个数是相反数。 - 重要性质：互为相反数的两个数之和为0，即若a与b互为相反数，则 a+b=0。多重符号化简时，“奇负偶正”，看负号的个数决定最终符号。 随学随练 1．（2026·四川乐山·中考真题）的相反数是_________． 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）填空： （1）的相反数是________； （2）的相反数是________； （3）的相反数是________． 3．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）填空： （1）2.5的相反数是___________； （2）___________是的相反数； （3）是___________的相反数；   （4）___________的相反数是； （5）8.2和___________互为相反数． （6）a和___________互为相反数． （7）___________的相反数比它本身大，___________的相反数等于它本身． 知识点 绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 特别提醒 - 几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离，距离非负，所以绝对值一定大于或等于0。 - 代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 - 易错点：若|a| = -a，则a ≤ 0（a为负数或0），不要漏掉0的情况；若|a| = |b|，则a = b或a = -b（即相等或互为相反数）。 - 比较大小：两个负数比较，绝对值大的反而小。 随学随练 1．（25-26七年级上·广东东莞·期末）计算：______． 2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如果，则______，如果，则______．化简：______． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 知识点 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 特别提醒 - 核心法则：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 - 关键步骤：先求绝对值，再比较绝对值大小，最后得出原数大小关系。 - 易错点：比较负数大小时，绝对值越大，数值越小（如 |-5| > |-3|，但 -5 < -3）。切记不可直接比较绝对值，必须结合负号判断。 随学随练 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）比较 和 的大小． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． 知识点 数轴的概念与性质 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2. 数轴的性质 （1）所有的有理数都可以在数轴上表示。 （2）应用 ：①比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 ②求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 特别提醒 - 三要素缺一不可：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。单位长度要统一，正方向通常向右。 - 数与点的对应：数轴上的每一个点都表示一个数，但不是所有的点都表示有理数（如π对应的点表示无理数）。 - 位置与大小：数轴上，右边的数总比左边的数大。原点右侧为正数，左侧为负数，0在中间。 随学随练 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）把这些数在数轴上表示出来： 0，，，，，，再将这些数用“”连接起来． 3．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）解决下列问题： (1)把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）⑤；⑥；⑦；⑧；⑨； ⑩0.618． 负数集合{___________} 分数集合{_________} 正有理数集合{_______}； (2)在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大顺序排列． 拓展 带“非”字的有理数 1. 拆解“非”字，转化为数学符号 “非”即“不是”，非负数=不是负数=正数+0；非正整数=不是正整数=零+负整数。先将文字转化为明确范围，再列举。 2. 画数轴，找分界点 在数轴上标出0和正负分界，非负数在原点及右侧，非正数在原点及左侧，直观判断是否包含0。 3. 注意0的归属，避免漏判 0既非正也非负，但属于非负数和非正整数。判断时先圈出0，再分类，防止遗漏或错分。 活学活用 1．（25-26七年级上·重庆·期末）把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． 负有理数集合：{                         …}； 整数集合：{                             …}； 负分数集合：{                           …}； 非负有理数集合：{                       …}． 2．（25-26七年级上·河南三门峡·期末）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合：{   …}； 分数集合：{   …}； 非负整数集合：{   …}． 拓展 化简多重符号 1. 数负号个数，定最终符号 看数字前面负号“-”的个数。奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。正号“+”可直接忽略。 2. 从左到右，逐层化简 有括号时，先去掉最内层括号，逐步向外化简。每步只处理一个符号，避免跳步出错。 3. 巧用“相反数”理解 每加一个负号，就是取一次相反数。两次相反数等于回到原数，三次等于取反，以此类推。 活学活用 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）（1）______；（2）______；（3）______． 2．（25-26六年级下·全国·单元复习）化简下列各数： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 拓展 绝对值的几何意义 1. 距离定义，非负性 绝对值表示数轴上该点到原点的距离，距离非负。任何数绝对值都≥0，|a| ≥ 0，解题时优先判断符号。 2. 分类讨论，去绝对值 |a| = a（a≥0）或 -a（a<0）。未知数范围不确定时，分“≥0”和“<0”两类讨论，去掉绝对值符号。 3. 数轴图像，解方程不等式 |a-b|表示a与b两点间距离。解|x-2|=3即找数轴上到2距离为3的点，得x=-1或5。画图比代数更直观。 活学活用 1．（25-26七年级上·天津·阶段检测）在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 拓展 数轴上的规律探究问题 1. 观察起始位置与运动方向 确定第一个点的初始位置和每次移动的单位数及方向（左减右加），用含序号n的式子表示第n次移动后的位置。 2. 找周期，化繁为简 若点的运动呈现循环规律（如左右往返），先确定一个完整周期的步数与位移，再用带余除法将大序号转化为周期内的对应位置。 3. 列通项公式，求任意项 对于等差或等比变化，直接写出位置与序号n的关系式，代入验证前几项是否吻合，再求解目标项。 活学活用 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 2．（25-26七年级上·江苏·期中）数轴上，点的初始位置表示的数为，现将点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至，第2次点由位置向右移动2个单位长度至，第3次点由位置向左移动3个单位长度至，第4次点由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是__________． 题型 正数、负数的识别 解题贴士 大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数。带“+”号不一定是正数（如+0），带“-”号不一定是负数（如-(-3)）。 ▌例1（25-26七年级上·吉林长春·期中）在，，0，，中，正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌对点练1-1（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌对点练1-2（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）在和2025这四个有理数中，正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌对点练1-3（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，12，0，，这6个数中，负数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型 相反意义的量 解题贴士 抓住“意义相反”和“数量相关”，如收入和支出、上升和下降。用正负数表示时，指定一个方向为正，则另一个为负，0表示基准。 ▌例2（2026·黑龙江绥化·三模）《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数”．如果气温为“零下”记作“”，那么气温“”可表示为（   ） A．零上 B．零下 C．上升 D．下降 ▌对点练2-1（2026·河南三门峡·三模）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．中国古代用红算筹表示正数，黑算筹表示负数，如果3根红算筹记作，那么10根黑算筹可记作（     ） A．10 B． C． D． ▌对点练2-2（2026·山西阳泉·三模）在我国气象标准里，是认定高温天气的起始温度．如果气温高于起始温度记作，那么“”表示气温（     ） A．低于起始温度 B．低于起始温度 C．高于起始温度 D．高于起始温度 ▌对点练2-3（25-26七年级上·福建福州·期末）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 题型 有理数的分类 解题贴士 按定义分：整数（正整数、0、负整数）和分数（正负分数）；按性质分：正有理数、0、负有理数。分类标准统一，不重不漏。 ▌例3（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）将下列各数填入对应集合： ，，，，，，，，， 整数集合：｛　　　…｝ 分数集合：｛　　　…｝ 正数集合：｛　　　…｝ 负数集合：｛　　　…｝ ▌对点练3-1（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ ▌对点练3-2（25-26七年级上·吉林长春·期中）把下列各数填在相应的横线上． 负数：{                          }； 正整数：{                          }； 负分数：{                          }； 非负数：{                          }； ▌对点练3-3（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里． (1)正整数集合｛      ⋯} (2)正分数集合｛      ⋯} (3)负分数集合｛      ⋯} (4)非正整数集合｛      ⋯} (5)非负有理数集合｛      ⋯} 题型 求一个数的相反数、绝对值 解题贴士 相反数变符号（a的相反数为-a），绝对值看距离（|a|非负）。正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0的绝对值是0。 ▌例4（25-26九年级上·四川成都·期中）3的相反数是______，的绝对值是______． ▌对点练4-1（25-26七年级上·天津·期末）的相反数是___________；的绝对值是___________． ▌对点练4-2（25-26七年级上·福建厦门·期末）绝对值等于7的数是_________ ；的相反数是_____ ． ▌对点练4-3（2026七年级下·全国·专题练习）的相反数为________，绝对值为________． 题型 判断是否互为相反数 解题贴士 相反数判断：符号相反且绝对值相等，和为0。绝对值判断：看数轴上到原点的距离是否相等，|a|=|b|则a=±b。 ▌例5（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列各对数中互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．5和 ▌对点练5-1（25-26七年级上·江苏南通·期末）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 ▌对点练5-2（2025七年级上·全国·专题练习）下列各数中互为相反数的是（   ） A．和2 B．和 C．和 D．和 ▌对点练5-3（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 题型 绝对值的非负性 解题贴士 |a|≥0恒成立。多个非负数和为0，则每个数必为0。利用此性质可求字母取值，如|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 ▌例6（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）已知，则 ______，______． ▌对点练6-1（25-26七年级上·湖北十堰·期中）若，则___________，___________． ▌对点练6-2（25-26七年级上·广东茂名·期中）若a是任意的有理数，则式子的最大值是_________． ▌对点练6-3（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若为有理数，则式子的最小值为______ 　． 题型 绝对值的应用 解题贴士 |a-b|表示数轴上a、b两点间距离。求最值时用几何意义，化简时看正负分段讨论。实际问题中，绝对值表示偏差、误差等，注意基准。 ▌例7（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：）： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王莉 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 请用绝对值的相关知识解答下列问题： (1)有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？ ▌对点练7-1（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检验结果如下表． 型号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 长短/mm (1)哪个零件的质量最好，请用绝对值的知识进行说明． (2)若规定与标准直径相差不大于为合格产品，则这6件产品中有哪几件产品不合格? ▌对点练7-2（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ ▌对点练7-3（25-26七年级上·全国·单元复习）在活动课上，名同学用橡皮泥各做了个乒乓球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表所示： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 (1)哪些同学做的乒乓球是符合要求的？ (2)在符合要求的乒乓球中，哪名同学做的质量最好？这名同学中，哪名同学做的质量最差？ (3)请你对这名同学按照做的乒乓球质量从最好到最差排名； (4)请你用学过的绝对值知识来说明解答以上问题的依据． 题型 利用绝对值比较大小 解题贴士 正数比较看绝对值，绝对值大的数大；负数比较看绝对值，绝对值大的数反而小。正数>0>负数。多个数比较，先分类再比较。 ▌例8（25-26七年级上·四川达州·开学考试）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． ▌对点练8-1（25-26七年级上·青海西宁·期中）比较大小． (1)和 (2)和 ▌对点练8-2（25-26七年级上·全国·课后作业）比较下面有理数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． ▌对点练8-3（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）比较下列各对数的大小： (1)3和； (2)0和 (3)和 (4)和 题型 数轴的三要素及其画法 解题贴士 三要素：原点、正方向、单位长度。画法：画直线→定原点→标正方向（右为正）→取单位长度均匀标数。缺一不可。 ▌例9（25-26七年级·全国·暑假作业）下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练9-1（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确且合理的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练9-2（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列数轴画法正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练9-3（25-26七年级上·湖南湘西·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型 用数轴上的点表示有理数 解题贴士 先看符号定方向（正右负左），再看绝对值定距离。找准原点，按单位长度均匀标点。分数先化小数再定位，注意刻度精确。 ▌例10（25-26七年级上·广东珠海·期中）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“<”连接起来． ； ▌对点练10-1（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）（1）指出图中数轴上各点分别表示的有理数； （2）用数轴上的点表示下列各数，并用“”将这些数连接起来． ▌对点练10-2（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）如图所示为一个不完整的数轴． (1)请将该数轴补充完整，并将数表示在数轴上； (2)将（1）中的各数按从小到大的顺序用“”连接起来． ▌对点练10-3（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）有一列数：，，， (1)把它们填入所属集合内∶ 正数集合：（              … ）；负数集合：（               …）； 整数集合：（               …）；分数集合：（              … ）； (2)在数轴上把它们表示出来，并用“”将它们连接起来． 基础通关 1．下列各数是正数的是( ) A． B．0 C．5 D． 2．下列各项中的两个量不具有相反意义的是（   ）． A．身高增长和体重下降 B．仓库运进箱榴莲与售出箱榴莲 C．电梯上升层与下降层 D．聪聪向前走步与向后走步 3．下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 5．对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（    ） A．与3相比，点M表示的数离0更接近 B．2.1和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负数 6．的相反数是 ，的绝对值是 ． 7．在、、、中，负数有___________个． 8．如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 9．把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 10．若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 11．画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：并将每个数用“”连接起来： 4，，，，0． 12．把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 13．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 素养提升 1．（25-26六年级下·山东泰安·期末）在，，，，中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·广东东莞·二模）我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（     ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A． B． C． D． 3．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）下列各对数中互为相反数的有（   ） （1）与        （2）与 （3）与        （4）与 （5）与    （6）与 A．对 B．对 C．对 D．对 4．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北武汉·一模）正负数在日常生活中有着广泛的应用．若存入银行300元记作元，则从银行取出150元记作______元． 6．（25-26八年级下·山东威海·阶段检测）如图，长方形纸片放置在数轴上，若将长方形纸片在数轴上水平向右移动，点B所对应的数为17；若将长方形纸片在数轴上水平向左移动，点A所对应的数为5，则如图所示的（未移动前）点A在数轴上表示的数为___________ ． 7．（26-27七年级·全国·暑假作业）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 8．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在数轴上，点表示数，现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向右移动2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达点，第三次将点向右移动6个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第2026次移动到点，那么点所表示的数为______． 9．（25-26七年级上·江西上饶·期末）把下列各数填入它所属的集合内，并将上面各数用“”号连接起来： 0，，，，，， (1)整数集合{            …}；非正有理数集合{            …}； (2)__________；(将上面各数用“”号连接起来)． 10．（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 迁移创新 1．阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得． 2．如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 3．在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的特征值，记作【】，即，例如：当点在上且时，点的特征值． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点的数是，点与表示的数互为相反数，点为1到2之间的一个点： ①点表示的数是_______； ②【】=_______，【】=_______； ③比较【】、【】、【】的大小_______（用“<”连接）； (2)数轴上的点满足，求【】； (3)若数轴上有一点，初始位置表示的数是，现在点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，请求出为何值时，使得； (4)数轴上的点表示有理数，已知且【】为整数，则所有满足条件的的倒数之和是多少？请直接写出答案． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数及其运算 2.1 认识有理数 课标要点 1. 理解负数的意义，会用正数和负数表示生活中具有相反意义的量，体会负数产生的必要性。 2. 理解有理数的概念，能按一定标准对有理数进行分类，掌握整数与分数的统属关系。 3. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数与绝对值，能用绝对值比较两个负数的大小。 学习重难点 重点 1. 会用正、负数正确表示具有相反意义的量，理解有理数的概念及分类方法。 2. 理解相反数与绝对值的概念，会求一个数的相反数和绝对值。 难点 1. 理解负数的意义及0的特殊性（既不是正数也不是负数），准确区分有理数分类标准。 2. 利用绝对值比较两个负数的大小，以及绝对值非负性的应用。 知识点 正数和负数 正数的概念：大于0的数叫做正数. 负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） 特别提醒 0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点。特别要注意的是，判断一个数正负不能只看它前面有没有“+”或“-”号，化简后的结果才是关键，同时必须带单位才能表示具有相反意义的量。 随学随练 1．（2026·江苏常州·一模）下列四个数中，负数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负数的定义，根据小于0的数是负数，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A：，是正数，不符合要求； 选项B：既不是正数也不是负数，不符合要求； 选项C：，是正数，不符合要求； 选项D：，是负数，符合要求． 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测），，0，，3这几个数中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题根据正数的定义进行判断，大于0的数是正数，0既不是正数也不是负数，逐个判断给定的数，统计正数的个数即可得到结果． 【详解】解：∵正数的定义为大于0的数，0既不是正数也不是负数 给定的数分别为，，0，，3， 其中大于0的数为，，，共3个 ∴正数有3个． 3．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，，，中，负数的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据负数“小于0”的定义，逐个判断给定的数，统计负数的个数即可得到结果． 【详解】解：∵ 负数是小于0的数，对给出的数逐个判断： ，是负数； 既不是正数也不是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； ∴ 一共有3个负数． 知识点 相反意义的量（重点） 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 特别提醒 - 两大要素：意义相反 + 同类数量，缺一不可。如“上升”与“下降”只是意义相反，缺少数量，不能称为相反意义的量。 - 不要求数量相等：只要求意义相反，数量可以不同。 随学随练 1．（2026·广东梅州·二模）中国古代数学著作《九章算术》中最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算．若向东走记作，则向西走可记作（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵向东记为正， ∴向西记为负， ∴向西走记作． 2．（2026·四川成都·中考真题）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作（     ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 【答案】A 【详解】解：∵顺时针方向与逆时针方向的意义相反， ∴如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作圈． 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）月球表面昼夜温差非常大，白天平均温度零上，夜间平均温度零下．若将零上记作，则零下可记作（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正负数表示一对相反意义的量，根据题干对零上温度的记法，即可推出零下温度的记法． 【详解】∵题干规定零上温度记作正数， ∴与零上意义相反的零下温度记作负数， ∴零下可记作． 知识点 有理数的概念和分类（重点） 1.概 念：整数和分数统称有理数. 整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 2.两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 特别提醒 - 概念核心：整数和分数统称为有理数（有限小数和无限循环小数都可化为分数，属有理数；无限不循环小数不是有理数）。 - 分类标准：按定义分（整数、分数）和按性质分（正有理数、0、负有理数）。分类必须做到“不重不漏”，且 0既不是正数也不是负数。 随学随练 1．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类与定义． 根据有理数的相关概念逐一判断选项正误． 【详解】解：有理数分为正有理数、0和负有理数，A选项错误； 整数分为正整数、0和负整数，B选项错误； 有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数，C选项正确； 0是有理数，D选项错误； 故选：C． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{___________}； 负分数：{___________}； 负有理数：{___________}． 【答案】0，；，，；，，， 【详解】解：非正整数：{0，}； 负分数：{，，}； 负有理数：{，，，}． 3．（25-26七年级上·重庆·期末）把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． 负有理数集合：{                         …}； 整数集合：{                             …}； 负分数集合：{                           …}； 非负有理数集合：{                       …}． 【答案】；；； 【分析】本题考查了有理数的分类，根据负有理数、整数、负分数及非负有理数的定义将各有理数进行分类即可． 【详解】解：，， 负有理数集合：是负整数，属于负有理数；是负分数，属于负有理数；是负分数，属于负有理数；是负无限循环小数，属于负有理数， ∴负有理数集合为； 整数集合：是负整数，属于整数；0是整数；是正整数，属于整数， ∴整数集合为； 负分数集合：是负分数；是负分数；是负无限循环小数，可化为负分数，属于负分数， ∴负分数集合为； 非负有理数集合：0.6是正分数，属于非负有理数；0是非负有理数；是正整数，属于非负有理数， ∴非负有理数集合为． 知识点 相反数 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 特别提醒 - 概念核心：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。特别要注意，相反数是成对出现的，不能单独说一个数是相反数。 - 重要性质：互为相反数的两个数之和为0，即若a与b互为相反数，则 a+b=0。多重符号化简时，“奇负偶正”，看负号的个数决定最终符号。 随学随练 1．（2026·四川乐山·中考真题）的相反数是_________． 【答案】3 【分析】根据符号不同，绝对值相等的两数是相反数，直接求解即可． 【详解】解：的相反数是． 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）填空： （1）的相反数是________； （2）的相反数是________； （3）的相反数是________． 【答案】 / 【详解】解：（1）的相反数是； （2）的相反数是； （3）的相反数是． 3．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）填空： （1）2.5的相反数是___________； （2）___________是的相反数； （3）是___________的相反数；   （4）___________的相反数是； （5）8.2和___________互为相反数． （6）a和___________互为相反数． （7）___________的相反数比它本身大，___________的相反数等于它本身． 【答案】 100 1.1 负数 0 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：（1）2.5的相反数是 （2）是的相反数； （3）是的相反数；   （4）的相反数是； （5）8.2和互为相反数． （6）a和互为相反数． （7）负数的相反数比它本身大，0的相反数等于它本身． 知识点 绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 特别提醒 - 几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离，距离非负，所以绝对值一定大于或等于0。 - 代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 - 易错点：若|a| = -a，则a ≤ 0（a为负数或0），不要漏掉0的情况；若|a| = |b|，则a = b或a = -b（即相等或互为相反数）。 - 比较大小：两个负数比较，绝对值大的反而小。 随学随练 1．（25-26七年级上·广东东莞·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的定义，依据绝对值的代数意义进行计算． 【详解】解：根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数，则 故答案为：． 2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如果，则______，如果，则______．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义与化简，根据绝对值的性质求解即可. 绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数，化简绝对值需先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号． 【详解】解：根据绝对值的定义，若，则. 当时， 解得． 当时， 由， 故， 因此． 因为，所以， 根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得： ． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 知识点 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 特别提醒 - 核心法则：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 - 关键步骤：先求绝对值，再比较绝对值大小，最后得出原数大小关系。 - 易错点：比较负数大小时，绝对值越大，数值越小（如 |-5| > |-3|，但 -5 < -3）。切记不可直接比较绝对值，必须结合负号判断。 随学随练 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）比较 和 的大小． 【答案】 【分析】把分数化成小数即可得出两数相等． 【详解】解：∵， ∴． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，求解绝对值； （1）先求解两数的绝对值，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案； （2）先化简各数，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）， ∵，，， ∴． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵， ∴． 知识点 数轴的概念与性质 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2. 数轴的性质 （1）所有的有理数都可以在数轴上表示。 （2）应用 ：①比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 ②求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 特别提醒 - 三要素缺一不可：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。单位长度要统一，正方向通常向右。 - 数与点的对应：数轴上的每一个点都表示一个数，但不是所有的点都表示有理数（如π对应的点表示无理数）。 - 位置与大小：数轴上，右边的数总比左边的数大。原点右侧为正数，左侧为负数，0在中间。 随学随练 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数轴的三要素是：原点、单位长度和正方向．A选项的图中符合所有条件，是数轴； B选项图中没有原点， C选项图中单位长度不一样长， D选项图中原点左边数据标错，则B、C、D三个选项图中均不是数轴． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）把这些数在数轴上表示出来： 0，，，，，，再将这些数用“”连接起来． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】把各数按照所在位置表示在数轴上，然后根据数轴上从左到右的点表示的数从大到小即可用“<”连接起来． 【详解】解：， 各数在数轴上表示为： 这些数用“”连接为： ． 3．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）解决下列问题： (1)把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）⑤；⑥；⑦；⑧；⑨； ⑩0.618． 负数集合{___________} 分数集合{_________} 正有理数集合{_______}； (2)在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大顺序排列． 【答案】(1)③⑥⑦⑧；③⑤⑨⑩；①⑤⑨⑩ (2)图见解析， 【分析】（1）根据有理数的分类，即可求解； （2）根据数轴上点对应的数的特点即可求解． 【详解】（1）解：⑦， 负数集合{③⑥⑦⑧} 分数集合{③⑤⑨⑩} 正有理数集合{①⑤⑨⑩} （2） 解： 从小到大顺序排列：． 拓展 带“非”字的有理数 1. 拆解“非”字，转化为数学符号 “非”即“不是”，非负数=不是负数=正数+0；非正整数=不是正整数=零+负整数。先将文字转化为明确范围，再列举。 2. 画数轴，找分界点 在数轴上标出0和正负分界，非负数在原点及右侧，非正数在原点及左侧，直观判断是否包含0。 3. 注意0的归属，避免漏判 0既非正也非负，但属于非负数和非正整数。判断时先圈出0，再分类，防止遗漏或错分。 活学活用 1．（25-26七年级上·重庆·期末）把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． 负有理数集合：{                         …}； 整数集合：{                             …}； 负分数集合：{                           …}； 非负有理数集合：{                       …}． 【答案】；；； 【分析】本题考查了有理数的分类，根据负有理数、整数、负分数及非负有理数的定义将各有理数进行分类即可． 【详解】解：，， 负有理数集合：是负整数，属于负有理数；是负分数，属于负有理数；是负分数，属于负有理数；是负无限循环小数，属于负有理数， ∴负有理数集合为； 整数集合：是负整数，属于整数；0是整数；是正整数，属于整数， ∴整数集合为； 负分数集合：是负分数；是负分数；是负无限循环小数，可化为负分数，属于负分数， ∴负分数集合为； 非负有理数集合：0.6是正分数，属于非负有理数；0是非负有理数；是正整数，属于非负有理数， ∴非负有理数集合为． 2．（25-26七年级上·河南三门峡·期末）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合：{   …}； 分数集合：{   …}； 非负整数集合：{   …}． 【答案】正数集合：{①⑤…} 分数集合：{③④⑤⑦…} 非负整数集合：{①⑥…} 【分析】本题考查有理数的分类，需明确正数、分数、非负整数的定义，逐一判断各数所属类别后完成归类，即可求解． 【详解】解：正数是大于的数和都大于所以正数集合：{①⑤…} 分数包含正分数、负分数，有限小数与百分数也属于分数范畴、、、都满足分数的定义所以分数集合：{③④⑤⑦…} 非负整数是正整数和0，是正整数，属于非负整数所以非负整数集合：{①⑥…} 拓展 化简多重符号 1. 数负号个数，定最终符号 看数字前面负号“-”的个数。奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。正号“+”可直接忽略。 2. 从左到右，逐层化简 有括号时，先去掉最内层括号，逐步向外化简。每步只处理一个符号，避免跳步出错。 3. 巧用“相反数”理解 每加一个负号，就是取一次相反数。两次相反数等于回到原数，三次等于取反，以此类推。 活学活用 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）（1）______；（2）______；（3）______． 【答案】 【详解】解：； ； ． 2．（25-26六年级下·全国·单元复习）化简下列各数： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多重符号的化简，解题的关键是掌握多重符号的化简法则． 根据多重符号化简的法则，化简结果的符号由负号的个数决定：如果负号的个数为偶数，结果为正；如果负号的个数为奇数，结果为负． 【详解】解：（1） =3， 故答案为：3； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 拓展 绝对值的几何意义 1. 距离定义，非负性 绝对值表示数轴上该点到原点的距离，距离非负。任何数绝对值都≥0，|a| ≥ 0，解题时优先判断符号。 2. 分类讨论，去绝对值 |a| = a（a≥0）或 -a（a<0）。未知数范围不确定时，分“≥0”和“<0”两类讨论，去掉绝对值符号。 3. 数轴图像，解方程不等式 |a-b|表示a与b两点间距离。解|x-2|=3即找数轴上到2距离为3的点，得x=-1或5。画图比代数更直观。 活学活用 1．（25-26七年级上·天津·阶段检测）在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． 【答案】(1)，3 (2)，8 【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算． （1）由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数“”和“2”的点的距离之和，当时，取最小值，据此求解即可； （2）同（1）可知式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：表示在数轴上代表x的点到数字“”的距离， 表示在数轴上代表x的点到数字“2”的距离， 则表示在数轴上代表x的点到数字“”和“2”的距离之和， 所以，当代表x的点在数字“”和“2”之间， 即时，此距离之和最小，且最小值为3； 故答案为：，3； （2）解：∵看成数轴上数x到数a的距离， ∴式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小， ∴当时，有最小值8， 故答案为：，8． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)1,10 (4)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，求绝对值和平方的非负性，点平移的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握数形结合以及分类讨论的数学思想． （1）利用绝对值和平方的非负性及有理数的定义进行求解即可； （2）利用中点公式进行点的平移的性质进行求解即可； （3）利用绝对值的几何意义和两点之间线段最短进行求解即可； （4）根据点平移的性质，分类进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为最小正整数， ∴， 故答案为：； （2）解：根据点与点重合得出中点为， ∴点的重合点为， 故答案为：； （3）解：根据绝对值的几何意义得， 表示到的距离之和， 根据两点之间线段最短，结合各点在数轴上的位置可得， 当时，的值最小， 此时，， 故答案为：1,10； （4）解：乙球到达挡板所需时间为， ①当时，； ②当时，． 拓展 数轴上的规律探究问题 1. 观察起始位置与运动方向 确定第一个点的初始位置和每次移动的单位数及方向（左减右加），用含序号n的式子表示第n次移动后的位置。 2. 找周期，化繁为简 若点的运动呈现循环规律（如左右往返），先确定一个完整周期的步数与位移，再用带余除法将大序号转化为周期内的对应位置。 3. 列通项公式，求任意项 对于等差或等比变化，直接写出位置与序号n的关系式，代入验证前几项是否吻合，再求解目标项。 活学活用 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·江苏·期中）数轴上，点的初始位置表示的数为，现将点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至，第2次点由位置向右移动2个单位长度至，第3次点由位置向左移动3个单位长度至，第4次点由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律．奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第n次移动n个单位．每左移右移各一次后，点A右移1个单位，故第2025次右移后，点A向右移动个单位，第2025次左移2025个单位，据此列式计算即可求解． 【详解】解：第n次移动n个单位，第2025次左移个单位，每左移右移各一次后，点A右移1个单位， 所以表示的数是． 故答案为：． 题型 正数、负数的识别 解题贴士 大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数。带“+”号不一定是正数（如+0），带“-”号不一定是负数（如-(-3)）。 ▌例1（25-26七年级上·吉林长春·期中）在，，0，，中，正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了正数的定义，解题的关键是明确正数是大于0的数，0既不是正数也不是负数；逐一判断所给数是否大于0，统计正数的个数． 【详解】解：逐一判断：（非正数），（正数），既不是正数也不是负数，（非正数），（正数），故正数有2个． 故选：B． ▌对点练1-1（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：根据定义，小于0的数是负数． ∵，，，，既不是正数也不是负数，， ∴ 题目中的负数为，，，一共3个． ▌对点练1-2（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）在和2025这四个有理数中，正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了正数的定义，解题的关键是明确大于0的数是正数． 根据正数的定义，判断这四个有理数中大于0的数的个数． 正数是大于0的数． 【详解】解：在和2025这四个有理数中： ，不是正数；，是正数；，不是正数；，是正数． 所以正数有和2025，共2个． 故选：B． ▌对点练1-3（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，12，0，，这6个数中，负数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】小于0的数是负数，由此逐个判断给定的数，统计得到负数的个数． 【详解】解：∵，，，既不是正数也不是负数，，， ∴负数为和，共2个． 题型 相反意义的量 解题贴士 抓住“意义相反”和“数量相关”，如收入和支出、上升和下降。用正负数表示时，指定一个方向为正，则另一个为负，0表示基准。 ▌例2（2026·黑龙江绥化·三模）《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数”．如果气温为“零下”记作“”，那么气温“”可表示为（   ） A．零上 B．零下 C．上升 D．下降 【答案】A 【详解】解：∵“零下”记作“”， ∴正数表示与零下意义相反的量，可得“”可表示为零上． ▌对点练2-1（2026·河南三门峡·三模）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．中国古代用红算筹表示正数，黑算筹表示负数，如果3根红算筹记作，那么10根黑算筹可记作（     ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正负数表示具有相反意义的量，结合题意解答即可． 【详解】解：由题意可知“红正”“黑负”，如果3根红算筹记作，那么10根黑算筹记作． ▌对点练2-2（2026·山西阳泉·三模）在我国气象标准里，是认定高温天气的起始温度．如果气温高于起始温度记作，那么“”表示气温（     ） A．低于起始温度 B．低于起始温度 C．高于起始温度 D．高于起始温度 【答案】B 【分析】根据题目给定的正的含义，推出负数对应的相反含义即可得出结果． 【详解】解：题目规定气温高于起始温度记为正，高于起始温度记作， 负数表示与规定相反的意义，即低于起始温度， 表示低于起始温度． ▌对点练2-3（25-26七年级上·福建福州·期末）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 【答案】C 【详解】解：∵题目规定向南行走步记作， 又∵向南与向北是一对相反意义的方向， ∴表示向北行走步． 题型 有理数的分类 解题贴士 按定义分：整数（正整数、0、负整数）和分数（正负分数）；按性质分：正有理数、0、负有理数。分类标准统一，不重不漏。 ▌例3（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）将下列各数填入对应集合： ，，，，，，，，， 整数集合：｛　　　…｝ 分数集合：｛　　　…｝ 正数集合：｛　　　…｝ 负数集合：｛　　　…｝ 【答案】，，，，；，，，，；，，，，；，，， 【分析】根据整数，分数，正数，负数的定义，把各数填入相应的集合里面即可． 【详解】解：整数集合：｛，，，，…｝ 分数集合：｛，，，，…｝ 正数集合：｛，，，，…｝ 负数集合：｛，，，…｝ ▌对点练3-1（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ 【答案】(1)，， (2)，，，， (3)，， (4)，，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类， （1）根据正数的定义，逐一分析各数即可； （2）根据负数的定义，逐一分析各数即可； （3）根据整数的定义，逐一分析各数即可； （4）非负有理数是正有理数和零的统称，据此即可获得答案． 【详解】（1）解：正数集合｛，，，…｝ （2）负数集合｛，，，，，…｝ （3）整数集合｛，，，…｝ （4）非负有理数集合｛，，，，…｝ ▌对点练3-2（25-26七年级上·吉林长春·期中）把下列各数填在相应的横线上． 负数：{                          }； 正整数：{                          }； 负分数：{                          }； 非负数：{                          }； 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数：实数分为有理数与无理数，整数和分数统称为有理数，无理数为无限不循环小数．有理数的分类：按整数、分数的关系分类；按正数、负数与0的关系分类． 根据实数的分类对各数进行判断，且填入对应的集合中． 【详解】解：， 负数：， 正整数：； 负分数：}； 非负数：． ▌对点练3-3（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里． (1)正整数集合｛      ⋯} (2)正分数集合｛      ⋯} (3)负分数集合｛      ⋯} (4)非正整数集合｛      ⋯} (5)非负有理数集合｛      ⋯} 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键． （1）正整数是大于0的整数，据此可得答案； （2）正分数是大于0的分数，据此可得答案； （3）负分数是小于0的分数，据此可得答案； （4）非正整数集合是等于0或小于0的整数，据此可得答案； （5）非负有理数集合是大于或等于0的整数和分数，据此可得答案． 【详解】（1）解：， 正整数集合｛}； （2）解：正分数集合｛}； （3）解：负分数集合｛}； （4）解：非正整数集合｛}； （5）解：非负有理数集合｛}． 题型 求一个数的相反数、绝对值 解题贴士 相反数变符号（a的相反数为-a），绝对值看距离（|a|非负）。正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0的绝对值是0。 ▌例4（25-26九年级上·四川成都·期中）3的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 7 【分析】本题主要考查相反数的意义及绝对值的意义，熟练掌握相反数的意义及绝对值的意义是解题的关键；根据相反数和绝对值的定义进行解答即可． 【详解】解：3的相反数是；的绝对值是7； 故答案为；7． ▌对点练4-1（25-26七年级上·天津·期末）的相反数是___________；的绝对值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和绝对值，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号不同的数；根据绝对值的定义，一个负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是， 故答案为：，． ▌对点练4-2（25-26七年级上·福建厦门·期末）绝对值等于7的数是_________ ；的相反数是_____ ． 【答案】 7或 6 【分析】本题考查绝对值的意义和相反数的定义，解题的关键是知道绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数；根据绝对值的意义和相反数的定义直接求解即可． 【详解】解：根据绝对值的意义，绝对值等于7的数有7和； 根据相反数的定义，的相反数是6． 故答案为：7或；6 ▌对点练4-3（2026七年级下·全国·专题练习）的相反数为________，绝对值为________． 【答案】 【分析】根据相反数的定义，的相反数是 ；根据绝对值的定义，由于，则． 本题主要考查了相反数的定义和绝对值的定义，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 【详解】解： 的相反数为 ； ∵， ∴， 因此绝对值为 故答案为：；． 题型 判断是否互为相反数 解题贴士 相反数判断：符号相反且绝对值相等，和为0。绝对值判断：看数轴上到原点的距离是否相等，|a|=|b|则a=±b。 ▌例5（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列各对数中互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．5和 【答案】B 【详解】解：A、∵，，两数相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意； B、∵，，3和只有符号不同，符合相反数定义，∴两数互为相反数，该选项符合题意； C、∵，与相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意； D、∵，与5相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意． ▌对点练5-1（25-26七年级上·江苏南通·期末）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，求绝对值． 先化简各选项中的数，再根据相反数的定义判断是否互为相反数即可． 【详解】解：，与是同一个数，不是互为相反数； ，3与只有符号不同，互为相反数； ，与是同一个数，不是互为相反数； ，与是同一个数，不是互为相反数； 故选：B． ▌对点练5-2（2025七年级上·全国·专题练习）下列各数中互为相反数的是（   ） A．和2 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是明确互为相反数的两个数和为0，即符号相反且绝对值相等． 先化简各选项中的数，再判断是否互为相反数． 【详解】解：A、，与2相等，此选项不符合题意； B、与互为相反数，此选项符合题意； C、，两数相等，此选项不符合题意； D、，两数相等，此选项不符合题意； 故选：B． ▌对点练5-3（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，掌握相关知识是解题的关键．判断每组数是否互为相反数，需化简表达式后比较符号是否相反、绝对值相等． 【详解】解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． 题型 绝对值的非负性 解题贴士 |a|≥0恒成立。多个非负数和为0，则每个数必为0。利用此性质可求字母取值，如|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 ▌例6（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）已知，则 ______，______． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，根据绝对值和平方的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零即可求解． 【详解】解： ， ，且 ， 且． ，， 解得，． 故答案为：，． ▌对点练6-1（25-26七年级上·湖北十堰·期中）若，则___________，___________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是绝对值和平方的非负性，解题关键是熟练掌握绝对值和平方的非负性． 根据几个非负数的和为零，则每个非负数都为零即可得解． 【详解】解：，，且， 且， 且， 解得，． 故答案为：；． ▌对点练6-2（25-26七年级上·广东茂名·期中）若a是任意的有理数，则式子的最大值是_________． 【答案】2025 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的大小比较．根据绝对值的非负性，，当取最小值0时，原式取得最大值． 【详解】解：当时，， ∵， ∴； 当时，； 当时，， 综上所述，的最大值为2025， 故答案为：2025． ▌对点练6-3（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若为有理数，则式子的最小值为______ 　． 【答案】2025 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．利用绝对值的性质得出的最小值为0，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴当时，取最小值，最小值为2025． 故答案为：2025． 题型 绝对值的应用 解题贴士 |a-b|表示数轴上a、b两点间距离。求最值时用几何意义，化简时看正负分段讨论。实际问题中，绝对值表示偏差、误差等，注意基准。 ▌例7（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：）： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王莉 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 请用绝对值的相关知识解答下列问题： (1)有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？ 【答案】(1)2位 (2)蔡玮 【分析】本题考查绝对值的应用： （1）检查结果的绝对值小于或等于则合乎要求； （2）比较（1）中合乎要求的同学的乒乓球的检查结果的绝对值，绝对值越小，误差越小，质量越好． 【详解】（1）解：∵乒乓球直径可以有的误差， 故检查结果的绝对值小于或等于即为合乎要求， 下列数字的绝对值小于或等于：，， 故有2位同学做的乒乓球是合乎要求的； （2）解：∵， ∴张冰同学做出的乒乓球误差大于蔡玮做出的乒乓球， 故蔡伟同学做的质量更好． ▌对点练7-1（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检验结果如下表． 型号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 长短/mm (1)哪个零件的质量最好，请用绝对值的知识进行说明． (2)若规定与标准直径相差不大于为合格产品，则这6件产品中有哪几件产品不合格? 【答案】(1)4号，见解析 (2)1号和5号产品不合格 【分析】本题主要考查绝对值在实际中的应用，掌握绝对值的运算是解题的关键． （1）计算出每个型号偏差的绝对值，再判断即可； （2）根据检验表格直接写出结果即可． 【详解】（1）解：，，，，，． 因为， 所以4号零件最好，因为与标准直径相差的绝对值最小． （2）解：， ， 1号和5号产品不合格． ▌对点练7-2（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 【答案】(1)编号为4的样品的大小最符合要求 (2)见解析 【分析】本题考查正负数的应用、绝对值的应用、有理数的大小比较，理解绝对值的性质是解答的关键． （1）先求得各数据的绝对值，再比较大小，根据绝对值最小的最符合要求即可解答； （2）比较各绝对值与、的大小，根据正品、次品和废品定义可得结论． 【详解】（1）解：，，，，， ∵， ∴编号为4的样品的大小最符合要求； （2）解：因为，，， 所以编号为1，2，4的样品是正品； 因为， 所以编号为3的样品是次品； 因为， 所以编号为5的样品是废品． ▌对点练7-3（25-26七年级上·全国·单元复习）在活动课上，名同学用橡皮泥各做了个乒乓球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表所示： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 (1)哪些同学做的乒乓球是符合要求的？ (2)在符合要求的乒乓球中，哪名同学做的质量最好？这名同学中，哪名同学做的质量最差？ (3)请你对这名同学按照做的乒乓球质量从最好到最差排名； (4)请你用学过的绝对值知识来说明解答以上问题的依据． 【答案】(1)张兵和蔡伟做的乒乓球是符合要求的 (2)蔡伟做的乒乓球质量最好，李明做的乒乓球质量最差 (3)按照做的乒乓球质量从最好到最差的排名为蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明 (4)这是绝对值在实际生活中的应用，对于误差来说，绝对值越小越好 【分析】本题考查绝对值的应用、正负数的应用，理解绝对值的意义是解答的关键． （1）求出每个数据的绝对值，再与0.02比较大小即可得出结论； （2）比较绝对值的大小即可得出结论； （3）比较绝对值的大小即可得出结论； （4）根据绝对值的性质可得结论． 【详解】（1）解：，，，，，． 因为，， 所以张兵和蔡伟做的乒乓球是符合要求的． （2）解：绝对值越小，质量越好． 因为， 所以蔡伟做的乒乓球质量最好，李明做的乒乓球质量最差． （3）解：因为， 所以这6名同学按照做的乒乓球质量从最好到最差的排名为蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明． （4）解：这是绝对值在实际生活中的应用，对于误差来说，绝对值越小越好． 题型 利用绝对值比较大小 解题贴士 正数比较看绝对值，绝对值大的数大；负数比较看绝对值，绝对值大的数反而小。正数>0>负数。多个数比较，先分类再比较。 ▌例8（25-26七年级上·四川达州·开学考试）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数大小的比较，熟知有理数大小比较规则是解答的关键． （1）先求绝对值，再根据正数大于负数求解即可； （2）根据负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可； （3）先化简各数，再根据负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ∴； （3）解：，， ∵，，， ∴． ▌对点练8-1（25-26七年级上·青海西宁·期中）比较大小． (1)和 (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简多重符号，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”即可求解； （2）分别化简两个有理数，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：，， ∴． ▌对点练8-2（25-26七年级上·全国·课后作业）比较下面有理数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，正负数的比较，两个负数的比较，绝对值，正确理解两个负数的比较：两个负数，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】（1）解：，且， ； （2）且， ； （3），且， ， （4）, ． ▌对点练8-3（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）比较下列各对数的大小： (1)3和； (2)0和 (3)和 (4)和 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较． （1）根据正数大于负数判断即可． （2）根据正数负数判断即可． （3）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小判断即可． （4）先化简多重符号，化简绝对值，再比较大小即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：，，， 则． （4）解：，， ， ∴． 题型 数轴的三要素及其画法 解题贴士 三要素：原点、正方向、单位长度。画法：画直线→定原点→标正方向（右为正）→取单位长度均匀标数。缺一不可。 ▌例9（25-26七年级·全国·暑假作业）下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数轴的定义要求必须同时具备三个要素：原点、正方向、统一的单位长度； 【详解】解：选项A：没有画出正方向，不符合要求，错误； 选项B：没有标出原点，不符合要求，错误； 选项C：到0的单位长度和0到1、1到2的单位长度不一致，单位长度不统一，错误； 选项D：同时满足原点、正方向、统一单位长度三个要求，是正确的数轴． ▌对点练9-1（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确且合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据数轴定义，负数位于原点的左侧，正数位于原点的右侧， ∴选项A和选项C错误； 选项B单位长度错误，间隔不相等； 选项D正确． ▌对点练9-2（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列数轴画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，规定了原点，单位长度和正方向的一条直线叫做数轴，根据数轴的定义进行判断即可． 【详解】解：A、没有单位长度，不符合题意； B、没有规定正方向，不符合题意； C、画法正确，符合题意； D、负半轴部分从左到右没有从小到大排列，不符合题意； 故选C． ▌对点练9-3（25-26七年级上·湖南湘西·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的概念．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.数轴的三要素缺一不可． 【详解】A、没有原点，数轴错误，不符合题意； B、单位长度不统一，数轴错误，不符合题意； C、数字顺序混乱，数轴错误，不符合题意； D、符合数轴的概念，数轴正确，符合题意． 故选：D． 题型 用数轴上的点表示有理数 解题贴士 先看符号定方向（正右负左），再看绝对值定距离。找准原点，按单位长度均匀标点。分数先化小数再定位，注意刻度精确。 ▌例10（25-26七年级上·广东珠海·期中）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“<”连接起来． ； 【答案】，图见解析 【分析】本题考查的是有理数的大小比较及数轴的特点，相反数，绝对值，解题的关键是掌握相关知识．先把各数化简，在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点从左到右用“”把各数连接起来． 【详解】解：， 在数轴上表示为： ∴． ▌对点练10-1（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）（1）指出图中数轴上各点分别表示的有理数； （2）用数轴上的点表示下列各数，并用“”将这些数连接起来． 【答案】（1）各点表示的有理数分别为，，，；（2）见解析，． 【分析】本题考查了有理数与数轴，利用数轴比较有理数大小 （1）根据数轴写出有理数即可； （2）先在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数，按从小到大的顺序排列即可．． 【详解】（1）解：各点表示的有理数分别为，，，； （2）在数轴上表示如下： ▌对点练10-2（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）如图所示为一个不完整的数轴． (1)请将该数轴补充完整，并将数表示在数轴上； (2)将（1）中的各数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了数轴三要素，求相反数，求绝对值，在数轴上表示有理数并比较大小． （1）根据数轴三要素将数轴补充完整，化简多重符号，绝对值，最后将各数表示在数轴上即可； （2）根据数轴作答即可． 【详解】（1）解：数轴补充如下： ；， 表示如下： ； （2）解：用“”连接如下： ． ▌对点练10-3（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）有一列数：，，， (1)把它们填入所属集合内∶ 正数集合：（              … ）；负数集合：（               …）； 整数集合：（               …）；分数集合：（              … ）； (2)在数轴上把它们表示出来，并用“”将它们连接起来． 【答案】(1)答案见解析 (2)数轴见解析， 【分析】本题考查了有理数的分类，在数轴上表示有理数并比较大小． （1）根据正数包括正分数和正整数、负数包括负分数和负整数、整数包括正整数和0以及负整数、分数包括正分数和负分数作答即可； （2）将各有理数在数轴上表示出来，并根据数轴比较大小即可． 【详解】（1）解：正数集合：； 负数集合：｛，…｝； 整数集合：｛，…｝； 分数集合：． （2）解：在数轴上表示各数： 用“”将它们连接起来：． 基础通关 1．下列各数是正数的是( ) A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【详解】解：是负数，选项A不符合要求； 0既不是正数也不是负数，选项B不符合要求； 是正数，选项C符合要求； 是负数，选项D不符合要求． 综上，答案选C． 2．下列各项中的两个量不具有相反意义的是（   ）． A．身高增长和体重下降 B．仓库运进箱榴莲与售出箱榴莲 C．电梯上升层与下降层 D．聪聪向前走步与向后走步 【答案】A 【分析】具有相反意义的量必须是同一类量，且意义相反，据此分析各选项即可． 【详解】A、身高增长是身高的变化，体重下降是体重的变化，二者不属于同一类量，因此不具有相反意义，故符合题意； B、仓库运进箱榴莲和售出箱榴莲，都是仓库榴莲数量的变化，运进和售出意义相反，具有相反意义，故不符合题意； C、电梯上升层和下降层，都是电梯高度的变化，上升和下降意义相反，具有相反意义，故不符合题意； D、向前走步和向后走步，都是行走位置的变化，向前和向后意义相反，具有相反意义，故不符合题意． 3．下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：① 不是最小的整数，∵负整数比小，不存在最小的整数，∴①错误； ② 非负数包含正数和，因此非负数不只是正数，∴②错误； ③ 是无限不循环小数，不属于有理数，∴③错误； ④ 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，该说法正确； 综上，错误的说法共有个． 4．下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． 5．对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（    ） A．与3相比，点M表示的数离0更接近 B．2.1和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负数 【答案】D 【详解】解：A、与3相比，点M表示的数离0更接近，说法正确，该选项不符合题意； B、2.1和点M表示的数之间有5个整数，说法正确，该选项不符合题意； C、点M表示的数在与之间，说法正确，该选项不符合题意； D、点M表示的数和0之间有无数个负数，原说法错误，该选项符合题意． 6．的相反数是 ，的绝对值是 ． 【答案】 5 9 【分析】本题主要考查了相反数、绝对值的性质，掌握相反数定义和绝对值的性质成为解题的关键． 直接根据相反数的定义和绝对值的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴的相反数是5， ∵， ∴． 故答案为：5，9． 7．在、、、中，负数有___________个． 【答案】 【分析】依据负数的定义，找出所有小于的有理数，统计其数量即可． 【详解】解：在、、、中， ，，， 这三个数为负数，其余数中、、是正数，既不是正数也不是负数． 故负数有个． 8．如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【分析】本题考查数轴的有关知识以及相反数的性质，关键是先求出、两点在直尺上的距离，再结合“互为相反数的两点到原点距离相等”确定原点对应的刻度． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点对应刻度， ∴、在直尺上的距离为， ∵点、表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为； 故答案为：6． 9．把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 【答案】 ，5，1.2 ，， ，0，5 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类，正数是大于0的数，负数是小于0的数，整数包括正整数、0和负整数，据此进行分类判断即可． 【详解】解：正数集合：{ ，5，1.2 }；负数集合：{ ，， }；整数集合：{ ，0，5 }． 故答案为：，5，1.2；，，；，0，5． 10．若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 11．画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：并将每个数用“”连接起来： 4，，，，0． 【答案】，． 【详解】略． 12．把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 【答案】，，；，，；， 【分析】根据有理数的分类进行逐个分析，即可得答案． 【详解】解：分数集合：{，，，…}； 负数集合：{，，，…}； 非负整数集合：{，，…}． 13．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析 【分析】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 素养提升 1．（25-26六年级下·山东泰安·期末）在，，，，中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； 综上，负数共有个． 2．（2026·广东东莞·二模）我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（     ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，利用有理数比较大小的规则即可找出最低气温； 【详解】解：四个城市的平均气温分别为，，，. ∵ 正数大于一切负数， ∴ 和都大于两个负数，只需比较两个负数的大小. ∵ ，，且， ∴ 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得. ∴ 最低气温是； 3．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）下列各对数中互为相反数的有（   ） （1）与        （2）与 （3）与        （4）与 （5）与    （6）与 A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】B 【分析】先根据去括号法则化简每组中的两个数，再根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，逐一判断，统计符合条件的对数即可． 【详解】解：（）与只有符号不同，互为相反数； （），与互为相反数，即：与互为相反数； （），，与互为相反数，即：与互为相反数； （），，两数相等，即：与不是互为相反数； （），，与互为相反数，即：与互为相反数； （），，与互为相反数，即：与互为相反数； 综上，共有对互为相反数． 4．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 5．（2026·湖北武汉·一模）正负数在日常生活中有着广泛的应用．若存入银行300元记作元，则从银行取出150元记作______元． 【答案】 【详解】解：存入银行元记作元， 从银行取出元记作元． 6．（25-26八年级下·山东威海·阶段检测）如图，长方形纸片放置在数轴上，若将长方形纸片在数轴上水平向右移动，点B所对应的数为17；若将长方形纸片在数轴上水平向左移动，点A所对应的数为5，则如图所示的（未移动前）点A在数轴上表示的数为___________ ． 【答案】9 【详解】解：，． ∴点A在数轴上表示的数为9． 7．（26-27七年级·全国·暑假作业）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【答案】 【分析】利用绝对值的非负性，得出的最小值进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：为有理数， ， ， ，当且仅当时，即时取等号， 最大值为． 8．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在数轴上，点表示数，现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向右移动2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达点，第三次将点向右移动6个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第2026次移动到点，那么点所表示的数为______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及数字的变化规律，找出点的变化规律是解题的关键． 根据题意可知从第一次开始计算，每两次移动的结果都是向左2个单位，因此先计算出有多少个两次移动，再将数量乘以，与原始位置的数据相加即可． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·江西上饶·期末）把下列各数填入它所属的集合内，并将上面各数用“”号连接起来： 0，，，，，， (1)整数集合{            …}；非正有理数集合{            …}； (2)__________；(将上面各数用“”号连接起来)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查有理数的分类及实数的大小比较，关键是先化简各数，明确相关概念和大小比较规则． （1）先化简含绝对值、符号的数，再根据整数(正整数、0、负整数的统称)的定义筛选整数；根据非正有理数(和负有理数的集合，有理数包含整数和分数)的定义，排除无理数后筛选符合条件的数； （2）先将各数转化为直观的数值形式，再依据“负数绝对值大的反而小，0大于负数，正数大于0，正数按数值从小到大排列”的规则，将所有数从小到大连接． 【详解】（1）解：先化简各数：，，； 整数集合为； 非正有理数集合为； （2）解：将各数转化为便于比较的形式：，，，； 根据实数大小比较规则：负数的绝对值越大，数值越小；正数大于0，0大于负数，正数按数值从小到大排列， 可得． 10．（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； 迁移创新 1．阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得． 【答案】(1)， (2)， (3)这样的整数x有，，0，1，2 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识，掌握两点间的距离公式，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （2）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （3）根据两点间的距离，由可得到x在到2之间，即可得出结论． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； 故答案为：，； （2）解：表示数轴上有理数x所对应的点到3所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； 故答案为：，． （3）解：表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4， ∵到2之间的距离为4， ∴x在到2之间， ∴这样的整数x有，，0，1，2． 2．如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 3．在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的特征值，记作【】，即，例如：当点在上且时，点的特征值． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点的数是，点与表示的数互为相反数，点为1到2之间的一个点： ①点表示的数是_______； ②【】=_______，【】=_______； ③比较【】、【】、【】的大小_______（用“<”连接）； (2)数轴上的点满足，求【】； (3)若数轴上有一点，初始位置表示的数是，现在点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，请求出为何值时，使得； (4)数轴上的点表示有理数，已知且【】为整数，则所有满足条件的的倒数之和是多少？请直接写出答案． 【答案】(1)①；②，；③ (2)或 (3)或 (4) 【分析】（1）①根据相反数的定义解答即可； ②根据特征值的定义进行计算即可； ③根据特征值的定义，结合②进行比较即可； （2）根据特征值的定义进行解答即可，注意有两种情况； （3）根据题意，用代数式表示运动的长度，从而代入求值计算即可； （4）根据新定义，用不同的求出的值，找出规律，计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意得，点的数是，点与表示的数互为相反数， 则点表示的数为， 故答案为：； ②点表示的数是，点表示的数是， 则， 由于， 即 因此 同理得， 因此， 故答案为：，； ③由图可知， 因此， 故答案为：； （2）解：由、得， 则、或 因此或； （3）解：根据题意得，点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，运动时间为， 则运动距离为， 根据得， 即 即或 解得或； （4）解：根据得，， 由于且【】为整数，得，为1到99的自然数， 则且为的整数倍， ， 当时，或（舍去），此时， 当时，或，此时或， 当时，或，此时或， 以此类推，所有满足条件的的倒数之和是 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $