2.1 认识有理数（二）——数轴、相反数（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 2.1认识有理数（二）——数轴、相反数 知识归纳与题型总结 考点01 数轴 一、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 考向01 数轴的三要素及其画法 【例1】下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键． 【详解】 解：A． 单位长度不同， 该选项错误，不符合题意； B． 负数的标记位置错误， 该选项错误，不符合题意； C． 没有原点， 该选项错误，不符合题意； D． 表示正确， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 考向02 数轴上点的平移（动点问题） 【例2】如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 考向03 数轴上找原点 【例3】如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 考向04 数轴上整点覆盖问题 【例4】如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点左侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小． 【详解】解：因为被遮住的左边是整数，右边的整数是0， 因此被遮挡的整数是． 考向05 数轴上的规律探究 【例5】如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 【对点1】下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数轴的三要素是：原点、单位长度和正方向．A选项的图中符合所有条件，是数轴； B选项图中没有原点， C选项图中单位长度不一样长， D选项图中原点左边数据标错，则B、C、D三个选项图中均不是数轴． 【对点2】如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 【答案】或 【分析】分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，进而求出点A移动的距离，得出点所表示的数． 【详解】解：根据题意可得， ∵等于原长方形面积的一半， ∴， 当向左运动时，如图1， 即，解得， ∴， ∴表示的数为2； 当向右运动时，如图， ， 表示的数为． 故答案为或． 【对点3】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【答案】(1)；4； (2)， 【分析】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）略 （2）略 【对点4】如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的特征写出被遮住的点即可得到答案． 【详解】解：被盖住的整数有，共9个． 故选：C． 【对点5】正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 考点02 数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 考向01 用数轴上的点表示有理数 【例1】在数轴上方空格里填上适当的整数或分数． 【答案】如图所示： 【分析】在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【详解】略 【对点1】画出数轴，表示下列有理数， 并用“”将各数连接起来．   ，，0，， 【答案】， . 【分析】先化简题目给出的各有理数，再在数轴上表示出各数，利用数轴上右边的数总比左边的数大的性质，即可将各数按从小到大连接． 【详解】解 先化简各数：；， 画出数轴，在数轴上标出五个数对应的点，如图所示： 根据数轴上右边的数总比左边的数大，可得． 考点03 相反数 1. 相反数的定义：像和，和这样只有符号不同的两个数，互为相反数． 2. 相反数的表示方法：一般地，a和互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0． 例如：当时，，1的相反数是，同时，的相反数是． 特别地，0的相反数是0. 3. 相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 4. 求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数． 5. 多重符号的化简：与“”号个数无关，有奇数个“”号，结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 考向01 相反数的定义 【例1】5的相反数是（     ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 考向02 化简多重符号 【例2】下列各组数中，互为相反数的是（     ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】A 【详解】解：对选项A： ， 与 绝对值相等，符号相反， 二者互为相反数，符合题意； 对选项B： ，两数相等， 不是互为相反数，不符合题意； 对选项C：2与 绝对值不相等，不是互为相反数，不符合题意； 对选项D： 与 绝对值不相等，不是互为相反数，不符合题意； 考向03 相反数的应用 【例3】数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于原点对称的两点所表示的数互为相反数解答即可． 【详解】解：∵数轴上点P表示的数是， ∴点P关于原点对称的点表示的数是． 【对点1】的相反数是（     ） A． B．2026 C． D． 【答案】B 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：的相反数是2026． 【对点2】下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． 【对点3】我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【详解】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思·七年级上册数学暑期培优专项讲 2.1认识有理数 (二) 数轴、相反数 知识归纳与题型总结 思 图 定义 一规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 数轴 原点 满足条件 正负方向 单位长度 数轴、相反数 数轴上的点与有理数之间的关系 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示 定义 表示方法 一般地，a和-a互为相反数 相反数 几何意义一到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数 求一个数的相反数一 在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数 多重符号的化简一 与“+“号个数无关，有奇数个“-“号，结果为负，有偶数个“-“号，结果为正 考点01数轴 考点梳理 一、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： (1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点： (2)通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向： (3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次 表示1,2,3，“；从原点向左，用类似的方法依次表示一1，一2，一3，…. 1/7 暑季研思·七年级上册数学暑期培优专项讲 单位长度 1y原点 -3-2-10123正方向 典例引领 考向01数轴的三要素及其画法 【例1】下列数轴表示正确的是() A201克→ B.1-2401 c.2123→ 0.9-63036g→ 考向02数轴上点的平移（动点问题） 【例2】如图，在数轴上将点A向右移动4个单位长度得到点B,则点B表示的数是() 古4名012}45一 A.-5 B.1 C.2 D.3 考向03数轴上找原点 【例3】如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数， 则可以是原点的为() ABCD→ A.点A B.点C C.点D D.点A或点C 考向04数轴上整点覆盖问题 【例4】如图，数轴上被遮挡住的整数是() 2★012→ 2/7 暑季研思·七年级上册数学暑期培优专项讲 A1 B.-2 c.-1 D.0 考向05数轴上的规律探究 【例5】如图所示，圆的周长为4个单位长度，A,B,C,D是圆周的4等分点，其中点A 与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A,B,C,D能与数轴上的数字 2026所对应的点重合的是点() B D A 5-432-1012345→ A.A B.B CC DD 对点提升 【对点1】下列图形中是数轴的是() A.-10123→ B 4 -1012 D.-1-20123 【对点2】如图，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为l2, OC边长为3，将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为OAB'C',移动后的 长方形OAB'C'与原长方形OABC重叠部分的面积恰好等于原长方形OABC面积的一半时， 数轴上点A'表示的数为 B A 【对点3】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是-3. 3/7 暑季研思·七年级上册数学暑期培优专项讲 A (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是 (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“<”号把这些数按从小到大连接起来， 25,43,1,-42 【对点4】如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有() 6.3 -10 4.156 A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 【对点5】正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图所示，点A和F对应的数分别为1和 O,若正六边形ABCDEF绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点E所 对应的数为-1.按此规律继续翻转下去，数轴上-2026所对应的顶点是() -5-4-3-2-101 23 A.A B.B C.C D.D 考点02数轴上的点与有理数之间的关系 考点梳理 1.每个有理数都可以用数轴上的二点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的二 点 2.一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数α的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是 丝个单位长度：表示数~Q的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是4个单位长度. 表示-a的 表示a的 点到原点 点到原点 ←的距离水的距离 -a -101a 4/7 暑季研思·七年级上册数学暑期培优专项讲 典例引领 考向01 用数轴上的点表示有理数 【例1】在数轴上方空格里填上适当的整数或分数. 0 对点提升 【对点1】画出数轴，表示下列有理数，并用“<”将各数连接起来. 考点03相反数 考点梳理 1.相反数的定义：像3和-3， 和-这样只有符号不同的两个数，互为相反数。 2 2 数字部分相同 囱 ② 只有符号不同 2.相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数.这里，a表示任意一个数，可以是正 数、负数，也可以是 例如：当a=1时，-a=-1,1的相反数是-1，同时，-1的相反数是1. 特别地，0的相反数是0. 3.相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数 5/7 暑季研思·七年级上册数学暑期培优专项讲 -1与1互为相反数 距离1距离1 0 距离2 距离2 -2与2互为相反数 4.求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数， 5.多重符号的化简：与“+”号个数无关，有奇数个“-”号，结果为负，有偶数个“一” 号，结果为正 典例引领 考向01相反数的定义 【例1】5的相反数是() 1 A.5 B.-5 c.5 D.-5 考向02化简多重符号 【例2】下列各组数中，互为相反数的是() c2时 1 A.2与-2 B.2与-(-2) D.2与2 考向03相反数的应用 【例3】数轴上点P表示的数为2028，则与点P关于原点对称的点表示的数是() 1 A.2028 B -2028 C.2028 D.-2028 对点提升 【对点1】-2026的相反数是() 1 A. 2026 B.2026 C.-2026 D.±2026 6/7 暑季研思·七年级上册数学暑期培优专项讲 NH 【对点2】下列各组数中，互为相反数的是(). A十2与+-2)g.(-2)与*(-2）c.(2)与2 。.2与2 【对点3】我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完 美地将“数”和“形”结合起来.如图，数轴上表示数a,b的点如图所示，把a,一a, b,-b按照从小到大的顺序排列，正确的是() A.-b<-a<a<b B.-a<-b<a<b C.-b<a<-a<b D.-b<b<-a<a 7/7