3.2.2 双曲线的简单几何性质（十二大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 题型一 根据双曲线的渐近线求标准方程 1．已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线焦点为，可得，且焦点在轴上，再根据渐近线方程求解，即可. 【详解】由双曲线的一个焦点是，可知，且焦点在轴上， 由渐近线方程为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以的方程是. 故选：C. 2．已知双曲线的一条渐近线为，则 . 【答案】5 【分析】利用双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】经化简双曲线的渐近线方程为， ∵已知渐近线是，解得. 故答案为：5 3．已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即. 经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 题型二 求共渐近线的双曲线的标准方程 4．已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据共渐近线方程可设双曲线的方程为，代入点坐标，解出即可. 【详解】设双曲线的方程为， 将点代入得，得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 5．双曲线与双曲线共渐近线且过点，则的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据两个双曲线共渐近线，设双曲线的方程为，，再代入点的坐标，即可求双曲线方程. 【详解】设双曲线的方程为，， 代入点，得，即， 所以双曲线方程为，整理为. 故答案为： 6．回答下面两个问题 (1)求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程； (2)求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求和，再根据双曲线的定义，即可求解； （2）首先设双曲线方程为，再代入点，即可求解. 【详解】（1）由题意知，双曲线的焦点在轴上，且半焦距， 故设所求双曲线的标准方程为，         ，，         所以，所以，         所以， 故所求双曲线的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为，         将点代入上述方程，得，         所以，所以，             故所求双曲线的方程为. 题型三 根据a、b、c齐次式关系求渐近线方程 7．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由离心率的定义得到，再利用关系求出，然后可得渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为，即， 由， 所以渐近线方程为. 故选：A 8．已知双曲线的左､右焦点分别为，一条渐近线为，设过点且与垂直的直线为，交于点，交双曲线右支于点，若，则双曲线的两条渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，结合图形几何关系求出渐近线方程即可. 【详解】由题可得渐近线的一条方程为，即， 则由题可得到该渐近线的距离为， 又，所以， 由题知为的中点，则，所以， 故， 又因为，所以，所以即， 所以双曲线的渐近线方程为． 故答案为：. 9．已知，双曲线，椭圆，与的离心率之积为. (1)求的渐近线方程； (2)设M，N分别是的两条渐近线上的动点，且，若O是坐标原点，，求动点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线. 【答案】(1) (2)，点轨迹是长轴是，焦距是的椭圆. 【分析】（1）先表示出双曲线和椭圆的离心率，然后离心率乘积列方程计算即可得，从而直接求出双曲线的渐近线方程； （2）设出M，N的坐标，根据两点距离公式及已知可得，再利用向量坐标运算公式得，代入化简即可求得动点轨迹方程，并根据椭圆定义说明轨迹. 【详解】（1）离心率是，离心率是. 由得，所以的渐近线方程是. （2）不妨设在上，在上，则，. 因为，所以， 即， 因为，设，则，故， 化简得点轨迹方程是. 则点轨迹是长轴是，焦距是的椭圆. 题型四 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 10．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值． 【详解】如下图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为，    由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，可知， 在中，则，，， 可得， 由余弦定理得， 整理得，即， 所以双曲线的离心率为. 故选：D． 11．已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 的渐近线上一点 满足 ，且 ，则双曲线 的离心率 为 . 【答案】 【分析】根据题上的条件把用表示出来，在借助余弦定理求出，最后求出，即为其中一条渐近线的斜率，根据渐近线斜率与离心率的关系，从而得到正确答案. 【详解】由P为双曲线渐近线上一点，， 又，设，则，由， 即，解得 又在中，为斜边中线，因此， 在中，由余弦定理可求得，则为锐角， 则，即其中一条渐近线的斜率，即， 而离心率， 故答案为：. 12．设经过点的椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，双曲线的离心率为，若. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点. （i）是椭圆上位于直线右侧的点，设点 到直线的距离的最大值为，求的最小值； （ii）设线段的垂直平分线与轴交于点，与直线交于点，求证：点 在同一个圆上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的离心率求得椭圆的离心率，进而可得关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得解； （2）（i）由题意当椭圆在点处的切线与直线平行时，取得最大.设椭圆在点处的切线为，与椭圆方程联立，利用判别式法得，则，利用不等式性质求得最值即可； （ii）设，，联立方程，韦达定理得线段的中点C的坐标，进而求得线段的垂直平分线和， ，利用弦长公式，结合距离公式求得，即可证明. 【详解】（1）双曲线 的离心率为，因为， 所以，由题意得，解得， 故椭圆的方程为. （2）（i）由题意当椭圆在点处的切线与直线平行时，取得最大. ，直线：，设椭圆在点处的切线为， 联立方程，得， 则， 即，所以，即，又， 所以， 当且仅当时取到等号，所以， 所以当即时，取得最小值； （ii）设，，联立方程得， 则，，，故， 因此线段的中点C为， 故线段的垂直平分线为，即， 当时，，所以， 当时，，所以，，因此， 又，， 因此， 所以点在同一个圆上，且该圆的直径为. 题型五 双曲线离心率大小与双曲线形状的关系 13．已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（    ） ①的开口最为开阔； ②的开口比的更为开阔； ③和的开口的开阔程度相同. A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．均正确 D．均不正确 【答案】D 【分析】分别计算出四条双曲线的离心率，根据离心率越大开口更开阔进行比较. 【详解】依题意，依次计算出各自的离心率可得： ，比较大小知： 可知：三个结论均为错误； 故选：D 14．将双曲线经过平移和旋转后，得到的新双曲线是以为一个焦点，且过点，则当的离心率最大时，它的另一个焦点的坐标为 ． 【答案】 【分析】新双曲线的实轴长为2, 若的离心率最大，即焦距最大,由双曲线的定义可求得的值，从而知道点的轨迹，进而知道在何时取得最大值，即能求出点坐标. 【详解】由题意知，新双曲线的实轴长为2．若的离心率最大，则最大． 由双曲线定义可知，，又， 所以或， 所以点在以为圆心，7为半径的圆上，或者点在以为圆心，3为半径的圆上， 故，或， 所以，此时点在的延长线上， 设，则，解得，，即． 故答案为：. 15．已知双曲线E：的左，右焦点分别为，离心率为2，点B为，直线与圆相切. (1)求双曲线E方程； (2)过的直线l与双曲线E交于M，N两点， ①若，求的面积取值范围： ②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②不存在，理由见解析 【分析】（1）根据直线与圆相切，及离心率的定义可解； （2）①设直线l的方程为，联立方程组，利用韦达定理和三角形面积公式求的面积，再利用函数性质求最值； ②假设存在两点，使得四边形PMQN为菱形，直线l的方程为，联立方程组得，利用韦达定理求出MN的中点坐标，再由菱形性质求出PQ的直线方程，从而确定点Q的坐标，又点Q在双曲线上，代入可求 ，与题意不符，得解. 【详解】（1），圆：，因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 即，即，又，且， 所以，所以双曲线E的标准方程为；    （2）①设直线l的方程为， 代入，得， 设，所以， 则， 因为，所以，所以 即，所以， 令，所以， 又因为在上递减，所以： ②假设存在两点，使得四边形PMQN为菱形，直线l的方程为， 联立，得， 所以， 由题，设MN的中点为， ， 所以PQ的直线方程：， 所以，因为Q在双曲线上， 所以，即， 令，即，即， 即，所以，即，与题意不符， 因此不存在P、Q两点，使得四边形PMQN为菱形.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 题型六 根据离心率求双曲线的标准方程 16．记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由椭圆、双曲线离心率的计算公式列出等式，求解即可. 【详解】， 则，即， 由，可知，于是． 故选：C． 17．已知双曲线的离心率为，过右焦点的直线交双曲线于两点，当轴时，，则双曲线方程为 . 【答案】 【分析】先求出，进而得到，再结合离心率和关系式求解即可. 【详解】令，则，解得，则，则 则，解得，则双曲线方程为. 故答案为：. 18．已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组解出即可； （2）根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程，求出的坐标，再利用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）由题得:，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）设， 如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：，整理得：， 所以， 所以 所以. 题型七 求共离心率的双曲线的标准方程 19．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由离心率，求出，可得渐近线方程. 【详解】由题知，，解得， 又双曲线的焦点在轴上，所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 20．已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为 ． 【答案】 【解析】由椭圆方程求出焦点坐标，得出的值，再由双曲线的离心率得出，进而可得双曲线的标准方程． 【详解】由椭圆方程，可得焦点为 设双曲线的半焦距为，则，因双曲线的离心率为，则 故，所以， 所以双曲线的标准方程为： 故答案为： 21．（1）求过点，与双曲线离心率相等的双曲线的标准方程. （2）已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据双曲线所过点和两双曲线离心率相同可设所求方程为，代入点即可整理求得结果； （2）方法一：设所求直线为，与双曲线方程联立可得，结合中点坐标可构造方程求得的值，由此可得直线方程； 方法二：利用点差法可求得直线斜率，由此可得直线方程. 【详解】 （1）双曲线过点，所求双曲线的焦点在轴上， 又所求双曲线离心率与双曲线离心率相同， 可设其方程为：， 将代入双曲线方程得：，则所求双曲线标准方程为：. （2）方法一：由题意知：所求直线的斜率存在， 可设其方程为：，即， 由得：， 设，，， 又为中点，，解得：， 当时，满足，符合题意； 所求直线的方程为：，即； 方法二：设，， 均在双曲线上，， 两式作差得：， 直线的斜率， 又为中点，，，， 经检验：该直线存在， 所求直线的方程为：，即. 题型八 由双曲线的离心率求参数的取值范围 22．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用即可得解. 【详解】双曲线的离心率， ，， 因为双曲线的渐近线方程为，即为. 故选：C． 23．已知双曲线的离心率是，则双曲线的实轴长为 . 【答案】 【分析】根据离心率的公式以及可求解出的值，则结果可知. 【详解】因为，解得，所以实轴长为， 故答案为：. 24．已知双曲线C：（）. (1)若双曲线的离心率，求实数m的值； (2)若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； (3)直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式求解即可； （2）根据双曲线的离心率公式的运用，计算求解即可； （3）联立直线与双曲线C，消去y解一元二次方程，再由双曲线C与直线相交于互异两点列出不等式组，求解即可； 【详解】（1）由已知，可得， 解得； （2）由已知，可得； 解得； （3）； 消去y，得 双曲线C与直线相交于互异两点， 等价于不等式组， 解得或； 依题意： 当时，；当时，； 所以k的取值范围是. 题型九 双曲线与桥梁问题 25．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】将代入双曲线得到，当得到，进而求得拱顶到水面的距离，即可判断. 【详解】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D 26．江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【答案】D 【分析】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为CD，设D.由题可得，代入方程可得，后可得x，即可得答案. 【详解】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中. 又由题可得，代入双曲线方程可得： ，则D. 将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D. 又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米. 故选：D 27．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（    ） A．4米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】将代入双曲线得到，当得到，得到答案. 【详解】根据题意：，，故，解得，即， 当水面宽度为米时，即时，， 拱顶M到水面的距离为. 故选：D 题型十 双曲线与反光镜的设计问题 28．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 29．“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】结合双曲线的光学性质可知，为双曲线的左焦点，进而结合正弦定理可设，，，，再根据双曲线的定义可得，进而得到，再结合勾股定理可得，进而求解即可. 【详解】由双曲线的光学性质可知，直线，的交点为双曲线的左焦点， 在中，由正弦定理得， 则，设，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 两式作商得， 设，， 由双曲线的定义可知，， ， 解得，则，，，， 所以，则，即， 在中，， 则，则，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 30．双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴时，求出点坐标，结合的斜率为，列式求出得解； （2）设，由，可得，结合，求出点坐标，得解. 【详解】（1）由光学性质知，三点共线， 因为，所以， 当轴时，在双曲方程中令，解得，则， 所以，即， 又因为，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设，因为， 所以，即，可得， 又，所以，，所以 所以方程为，即：. 题型十一 双曲线与声音探测问题 31．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（    ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上) A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置. 【详解】如图，    以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系．设分别是西、东、北观测点，则 设为巨响为生点，由 同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声，故， 由双曲线定义知点在以为焦点的双曲线左支上， 依题意得 故双曲线方程为，将 代入上式，得 ，即 故 . 故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处． 故选：A. 32．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚.已知各观测点到该中心的距离是.则该巨响发生在接报中心的（  ）处.（假定当时声音传播的速度为3，相关各点均在同一平面上） A．西偏北方向，距离 B．东偏南方向，距离 C．西偏北方向，距离 D．东偏南方向，距离 【答案】A 【分析】以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系；设、、分别是西、东、北观测点，写出、、点的坐标，设为巨响生成点，由双曲线定义知点在以、为焦点的双曲线上，依题意求出双曲线方程，从而确定该巨响发生的位置． 【详解】解：如图，以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系． 设、、分别是西、东、北观测点，则，，， 设为巨响为生点，由、同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声， 故由双曲线定义知点在以、为焦点的双曲线上，依题意得，，， 故双曲线方程为，将代入上式，得，，， ，即 故 . 故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处． 故选：A 33．如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播） (1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； (2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？ 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设观察员可能出现的位置为点,由题意可知,即可判断出观察员所有可能出现的位置为双曲线的左支.结合，，即可求出其轨迹； （2）设轨迹上一点为，利用两点的距离公式则可表示出，再结合点在轨迹上，消元后利用二次函数的单调性，即可得出的最小值.即可写出答案. 【详解】（1）设观察员可能出现的位置为点， 由题意，得， 故点的轨迹为双曲线的左支， 设双曲线方程为，又，， 所以， 故点的轨迹方程为； （2）设轨迹上一点为，则， 又，所以， 所以|， 当且仅当时，取得最小值， 故扫描半径r至少是． 题型十二 双曲线的其他应用 34．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】设小球圆心，双曲线上的点的坐标，求出点到球心的距离的平方，根据的最小值在处取到，即求清洁钢球能擦净凹槽的最底部时只需对称轴在的左边，进而求出的范围，求出半径的范围． 【详解】由题意画出轴截面如下图所示：    设小球的截面圆圆心为，设双曲线上的点的坐标为， 则点到圆心的距离的平方，对称轴为， 若最小值在时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在的左边，所以，则， 所以，即清洁钢球的最大半径为. 故选：A 35．如图所示，双曲线，又，已知，，若由射至的光线被双曲线反射，反射光通过，则 ．    【答案】 【分析】利用双曲线的光学性质，反射后的光线反向延长线经过另一个焦点，从而确定反射光线的路径，进而求出的值. 【详解】入射线反射后得到的光线的反向延长线定过双曲线的另一个焦点， ． 故答案为： 36．某苗圃有两个入口A、B，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有150株树苗放在P处，已知，，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系．计划将树苗种在以，，，为顶点的矩形内呈15列10行等距排列．    (1)种在点处的树苗应通过哪个入口运输路程较短？ (2)能否在苗圃内确定一条界线，使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近，而另一侧的树苗沿PB运输较近？若能，求出这条界线；若不能，说明理由． (3)有多少株树苗沿PB运输较近？ 【答案】(1)应通过入口运输路程较短. (2)能，界线的方程为：. (3)一共有30株树苗沿PB运输较近. 【分析】（1）通过与的比较，可以确定树苗应从哪个入口运输路程最短. （2）在以，，，为顶点的矩形内的点，可以分为三类，第一类沿PA运输较近，第二类沿PB运输较近，第三类沿PA、PB运输一样近,由题可知，界线应该是第三类点的轨迹.设界线上的点为，则满足关系式，带入坐标即可求出对应边界线. （3）通过点带入，判断其位于边界线上的位置，确定沿PB运输较近的点. 【详解】（1）由题可知，因为，，， 所以，，. 则与. 所以从应通过入口运输路程较短. （2）存在这样一条界线，使得从两边运输的距离一样. 设点在界线上，有，整理，    根据双曲线的定义可知，这条界线是以为、为焦点的双曲线的右支. 则，即，又因为， 所以界线的方程为：. （3）判断在双曲线中的位置，，在双曲线的右侧，所以一共有30株树苗沿PB运输较近. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 双曲线的简单几何性质 题型一 根据双曲线的渐近线求标准方程 1．已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一条渐近线为，则 . 3．已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 题型二 求共渐近线的双曲线的标准方程 4．已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 5．双曲线与双曲线共渐近线且过点，则的标准方程为 ． 6．回答下面两个问题 (1)求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程； (2)求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 题型三 根据a、b、c齐次式关系求渐近线方程 7．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左､右焦点分别为，一条渐近线为，设过点且与垂直的直线为，交于点，交双曲线右支于点，若，则双曲线的两条渐近线方程为 ． 9．已知，双曲线，椭圆，与的离心率之积为. (1)求的渐近线方程； (2)设M，N分别是的两条渐近线上的动点，且，若O是坐标原点，，求动点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线. 题型四 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 10．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（　　） A． B．2 C． D．3 11．已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 的渐近线上一点 满足 ，且 ，则双曲线 的离心率 为 . 12．设经过点的椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，双曲线的离心率为，若. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点. （i）是椭圆上位于直线右侧的点，设点 到直线的距离的最大值为，求的最小值； （ii）设线段的垂直平分线与轴交于点，与直线交于点，求证：点 在同一个圆上. 题型五 双曲线离心率大小与双曲线形状的关系 13．已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（    ） ①的开口最为开阔； ②的开口比的更为开阔； ③和的开口的开阔程度相同. A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．均正确 D．均不正确 14．将双曲线经过平移和旋转后，得到的新双曲线是以为一个焦点，且过点，则当的离心率最大时，它的另一个焦点的坐标为 ． 15．已知双曲线E：的左，右焦点分别为，离心率为2，点B为，直线与圆相切. (1)求双曲线E方程； (2)过的直线l与双曲线E交于M，N两点， ①若，求的面积取值范围： ②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 题型六 根据离心率求双曲线的标准方程 16．记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（ ） A． B． C．2 D．3 17．已知双曲线的离心率为，过右焦点的直线交双曲线于两点，当轴时，，则双曲线方程为 . 18．已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 题型七 求共离心率的双曲线的标准方程 19．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 20．已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为 ． 21．（1）求过点，与双曲线离心率相等的双曲线的标准方程. （2）已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 题型八 由双曲线的离心率求参数的取值范围 22．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 23．已知双曲线的离心率是，则双曲线的实轴长为 . 24．已知双曲线C：（）. (1)若双曲线的离心率，求实数m的值； (2)若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； (3)直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 题型九 双曲线与桥梁问题 25．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 26．江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 27．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（    ） A．4米 B．米 C．米 D．米 题型十 双曲线与反光镜的设计问题 28．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 29．“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ． 30．双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程. 题型十一 双曲线与声音探测问题 31．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（    ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上) A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m 32．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚.已知各观测点到该中心的距离是.则该巨响发生在接报中心的（  ）处.（假定当时声音传播的速度为3，相关各点均在同一平面上） A．西偏北方向，距离 B．东偏南方向，距离 C．西偏北方向，距离 D．东偏南方向，距离 33．如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播） (1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； (2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？ 题型十二 双曲线的其他应用 34．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 35．如图所示，双曲线，又，已知，，若由射至的光线被双曲线反射，反射光通过，则 ．    36．某苗圃有两个入口A、B，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有150株树苗放在P处，已知，，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系．计划将树苗种在以，，，为顶点的矩形内呈15列10行等距排列．    (1)种在点处的树苗应通过哪个入口运输路程较短？ (2)能否在苗圃内确定一条界线，使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近，而另一侧的树苗沿PB运输较近？若能，求出这条界线；若不能，说明理由． (3)有多少株树苗沿PB运输较近？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $