第25讲 机械能守恒定律及其应用（专项训练）（北京专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以“概念-原理-应用”逻辑链构建机械能守恒专项训练，通过分层演练实现科学思维与模型建构能力的系统提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |巩固·知识解构|4知识点|守恒判断三法、单物体解题四步、系统关联速度分析、弹簧势能极值条件|从重力做功与势能概念切入，推导守恒条件，递进至单物体、系统、含弹簧应用| |模拟·基础演练|4题型12题|判断类抓做功条件、计算类选参考平面、系统类找速度关系|对应知识点设题，覆盖基础情景与易错点| |重难·创新演练|6题|粘滞阻力模型、非质点机械能分析、轨道设计对比|结合新情景拓展方法迁移，深化科学探究| |真题·实战演练|7题|高频考点突破（守恒判断、单物体计算）|对接高考命题趋势，强化科学论证能力|

第25讲 机械能守恒定律及其应用（专项训练） 目 录 巩固·知识解构 1 知识点1 机械能守恒的判断 1 知识点2 单个物体的机械能守恒问题 2 知识点3 系统机械能守恒问题 2 知识点4 含弹簧的机械能守恒问题 2 模拟·基础演练 4 题型01 机械能守恒的判断 4 题型02 单个物体的机械能守恒问题 5 题型03 系统机械能守恒问题 4 题型04 含弹簧的机械能守恒问题 5 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 巩固·知识解构 知识点1 机械能守恒的判断 1.重力做功与重力势能 （1）重力做功的特点：重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关，重力做功不引起物体机械能的变化。 （2）重力势能 ①表达式：Ep=mgh。 ②重力势能的特点：重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 （3）重力做功与重力势能变化的关系：重力对物体做正功，重力势能减小，重力对物体做负功，重力势能增大，即WG=Ep1-Ep2=-ΔEp。 2.弹性势能 （1）定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。 （2）弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小;弹力做负功，弹性势能增加。即W=-ΔEp。 3.机械能守恒定律 （1）内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 （2）表达式：mgh1+m=mgh2+m或Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。 （3）守恒条件：只有重力或弹力做功。 （4）机械能是否守恒的三种判断方法 知识点2 单个物体的机械能守恒问题 1.机械能守恒定律的三种表达式 2.求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 （1）选取研究对象——物体。 （2）根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。 （3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。 （4）选取方便的机械能守恒定律的方程形式（Ek1+Ep1=Ek2+Ep2、ΔEk=-ΔEp）进行求解。 知识点3 系统机械能守恒问题 1.解决多个物体机械能守恒问题的注意点 （1）对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。 （2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 （3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk=-ΔEp或ΔEA=-ΔEB的形式。 2.几种实际情景的分析 （1）速率相等的情景 注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。 （2）角速度相等的情景 ①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ②由v=ωr知，v与r成正比。 （3）某一方向分速度相等的情景（关联速度情景） 两物体速度的关联实质：沿绳（或沿杆）方向的分速度大小相等。 （4）非质点的情景 ①在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。 ②物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀、形状规则的物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 知识点4 含弹簧的机械能守恒问题 1.由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。 2.弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能有最大值。 3.对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。 模拟·基础演练 考查重点：机械能守恒的判断、单个物体的机械能守恒问题、系统机械能守恒问题、含弹簧的守恒问题…… ⏳题型01 机械能守恒的判断 1．（2026·北京西城）（多选）如图所示，静止的足球被运动员以速度从水平地面的位置1踢出后，沿如图所示的轨迹运动到位置3。足球在最高点2时距地面高度为且速度大小为。已知足球质量为，重力加速度为。下列说法正确的是（ ） A．足球在空中运动的过程中，机械能不守恒 B．从位置2到位置3的过程，足球的动能增加 C．踢球时，运动员对足球做的功大于 D．从位置1到位置2的过程，阻力对足球做功 【答案】AC 【解析】A．若足球做斜抛运动可知12间的水平距离等于23间的水平距离，由于两段水平距离不等，故足球做的不是斜抛运动，受到空气阻力，所以机械能不守恒，故A正确； B．足球受到空气阻力，从位置2到位置3的过程，设克服空气阻力做功为，根据动能定理有，故B错误； C．踢球时，运动员对足球做的功为 设1到2过程中克服空气阻力做功为，根据动能定理有 可得，故C正确； D．从位置1到位置2的过程，阻力对足球做功为，故D错误。故选AC。 2．（2026·北京西城·二模）如图所示，一辆汽车通过一段水平路面后平缓开上立交桥的引桥，图中ab段为水平路面，cd段为平直上坡路面。行驶过程中汽车的速率保持不变，不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（　　） A．汽车在行驶过程中牵引力保持不变 B．汽车在行驶过程中机械能保持不变 C．在cd段汽车的输出功率逐渐增大 D．在cd段汽车的输出功率比ab段的大 【答案】D 【解析】A．在ab段，有 在cd段，有 由此可知，汽车在行驶过程中牵引力改变，故A错误； B．汽车在ab段动能不变，重力势能不变，则机械能不变，汽车在cd段，动能不变，重力势能增大，则机械能增大，故B错误； C．在cd段汽车的输出功率为 即汽车的输出功率不变，故C错误； D．在cd段汽车的牵引力大，速度不变，则在cd段汽车的输出功率比ab段的大，故D正确。故选D。 3．（2026·北京师大附中）下列情形中，物体与地球构成的系统机械能守恒的是（　　） A．自由下落的重物 B．滑块沿斜面匀速下滑 C．火箭点火后徐徐上升 D．在路面上刹车的汽车 【答案】A 【解析】A．自由下落的重物仅受重力作用，只有重力对重物做功，系统机械能守恒，故A正确； B．滑块沿斜面匀速下滑时，受滑动摩擦力作用，滑动摩擦力对滑块做负功，系统机械能减少，不守恒，故B错误； C．火箭点火上升时，发动机推力对火箭做正功，系统机械能增加，不守恒，故C错误； D．路面上刹车的汽车，受地面摩擦力作用，摩擦力对汽车做负功，系统机械能减少，不守恒，故D错误。故选A。 4．（2026·北京第十三中学）（多选）一物块从高、长的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示。关于物块从斜面顶端下滑到底端的过程中，下列说法正确的是（　　） A．重力做功为30J B．摩擦阻力做功为-10J C．合力做功为20J D．物块的机械能不守恒 【答案】AD 【解析】A．物块从斜面顶端下滑到底端的过程中，由图可知重力势能减少30J，则重力做功30J，故A正确； B．由图知，物块从斜面顶端下滑到底端的过程中，动能增加10J，则根据动能定理有 代入数据解得摩擦阻力做功，故B错误； C．动能增加10J，根据动能定理可知合力做功为10J，故C错误； D．运动过程中有阻力做负功，物块的机械能不守恒，故D正确。故选AD。 5．（2026·北京一七一中学）如图所示，某同学乘坐摩天轮随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，依次从A到B到C的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．该同学的机械能守恒 B．座舱对该同学的作用力大小一直不变 C．仅减小摩天轮匀速圆周运动的转速，该同学在C点受座舱作用力一定减小 D．仅增大摩天轮匀速圆周运动的转速，该同学在A点受座舱作用力一定增大 【答案】C 【解析】A．该同学的重力势能减小，动能不变，则机械能减小，A错误； B．同学随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，则座舱对该同学的作用力和重力的合力提供向心力，则向心力指向圆心，且大小不变，因重力也不变，所以座舱对该同学的作用力不断变化，故B错误； C．在C点时，由牛顿第二定律可得 又，仅减小摩天轮匀速圆周运动的转速，该同学在C点受座舱作用力一定减小，故C正确； D．在A点时，若初始转速较小（）， 由牛顿第二定律可得 可知仅增大摩天轮匀速圆周运动的转速，该同学在A点受座舱作用力减小，D错误。故选C。 ⏳题型02 单个物体的机械能守恒问题 6．（2026·北京人大附中）排球比赛中，运动员在A处水平发球，对方一传在B处垫球过网，排球经最高点C运动到D处，轨迹如图所示。已知A与C、B与D分别在同一水平线上，A、D在同一竖直线上。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．排球从A运动到B的时间与从B运动到D的相等 B．排球在A点的动能与在C点的动能相等 C．对方一传击球前后排球的机械能相等 D．以为零势能面，排球在点的机械能是排球被一传击打离开点时机械能的倍 【答案】D 【解析】A．设AD高度为h，排球从A点运动到B点，根据平抛运动规律有 解得 排球从D到B过程，根据斜抛规律可知 可知排球从A运动到B的时间与从B运动到D的不相等，故A错误； B．设BD距离为x，则排球在A点的速度大小为 排球从C到D过程做平抛运动，根据平抛运动规律，排球在C点的速度大小为 可知排球在A点的速度是在C点的速度的2倍。故排球在这两点动能不等，故B错误； C．对方一传击球前后除重力对排球做功外，对方一传也对排球做功，排球的机械能不相等，故C错误； D．以AC为零势能面，排球在A点的机械能为 击打后排球的机械能守恒，故击打后排球在B点与C点的机械能相等，即 由B选项可知，故，故D正确。故选D。 7．（2026·北京二十中）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（　　） A．由近月点到远月点过程中引力做负功 B．近月点的速度小于远月点的速度 C．近月点的速度等于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 【答案】A 【解析】AB．根据开普勒第二定律可知，鹊桥二号在近月点速度最大，远月点速度最小，由近月点到远月点过程中速度减小，动能减小，则引力做负功，故A正确，B错误； C．鹊桥二号从捕获轨道变轨到冻结轨道，需要点火减速，所以近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，故C错误； D．根据牛顿第二定律可得 所以 由于距离不变，则近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，故D错误。故选A。 8．（2026·北京理工附中）如图所示，不可伸长的轻质细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子A，小球从右侧某一高度，由静止释放后摆下，不计空气阻力和细绳与钉子相碰时的能量损失。下列说法中正确的是（　　） A．小球摆动过程中，所受合力的方向始终指向O点 B．小球在左侧所能达到的最大高度可能大于在右侧释放时的高度 C．当细绳与钉子碰后的瞬间，小球的向心加速度突然变小 D．钉子的位置越靠近小球，在细绳与钉子相碰时绳就越容易断 【答案】D 【解析】A．小球由静止释放后，小球向下运动，故小球的重力做正功，小球会加速向下运动，小球做圆周运动的线速度在增大，故它受到的合外力是变化的，并非始终指向O点，A错误； B．根据能量守恒，小球在左侧也能摆到与右侧同样的高度，不会大于右侧，B错误； C．细绳与钉子碰后的瞬间，小球的线速度不变，而半径变小，根据向心加速度 可知，加速度变大，C错误； D．钉子的位置越靠近小球，细绳与钉子相碰时，即R变小；小球在最下端，根据牛顿第二定律可知 所以 所以R越小，则F越大，绳越容易断，D正确。故选D。 9．（2026·北京大兴一中）半径为的光滑半圆轨道处于竖直平面内，轨道与水平地面相切于轨道的端点。一质量为的小球从点冲上半圆轨道，沿轨道运动到点飞出，最后落在水平地面上，重力加速度为。若恰好能实现上述运动，求： (1)小球在点时速度的大小； (2)小球的落地点与点间的距离； (3)小球刚进入圆弧轨道时，对轨道的压力。 【答案】(1) (2) (3)，方向竖直向下。 【解析】（1）若恰好能实现上述运动，在点根据牛顿第二定律有 解得小球在点时速度的大小 （2）小球从点飞出后做平抛运动，竖直方向下落高度为，有 小球的落地点与点间的距离 （3）从点到点，根据机械能守恒有 在点，根据牛顿第二定律有 联立解得 根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小，方向竖直向下。 10．（2026·北京昌平·一模）有一项荡绳过河的运动项目，可简化为如图所示的模型，不可伸长的轻绳一端固定在点，运动员（可看作质点）抓住绳子另一端从高台边缘点无初速度离开，在最低点松开绳子，落在水平地面上的点。已知绳的长度为l，AO与竖直方向的夹角为间的竖直高度为，运动员的质量为，重力加速度为，忽略空气阻力。求： (1)到达点时运动员的速度大小； (2)到达点（未松开绳）时绳对运动员的拉力大小； (3)落地时运动员的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）运动员从A到B过程，由机械能守恒有 联立解得 （2）对运动员，在B点有 联立解得 （3）从A到C过程，由机械能守恒有 解得 11．（2026·北京育才）如图所示，把一个质量的小钢球用细线悬挂起来，就构成一个摆。悬点O距地面的高度，摆长。将摆球拉至摆线与竖直方向成37°角的位置，由静止释放，忽略空气阻力，g取，。 (1)求小球运动到最低点时细线受到的拉力F的大小。 (2)若小球运动到最低点时细线断了，小球沿水平方向抛出，求它做平抛运动水平位移x的大小。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）小球从释放到最低点过程，根据机械能守恒有 解得 小球在最低点有 联立解得 根据牛顿第三定律可知。 （2）若小球运动到最低点时细线断了，小球沿水平方向抛出，则竖直方向有 水平方向有 联立解得 12．（2026·北京东城）为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建滑板训练的场地，设计了如图所示的路面，其中AB是倾角为53°的斜面，凹圆弧和凸圆弧的半径均为R，D、F等高，B、E等高，整个路面不计摩擦且各段之间平滑连接。已知重力加速度为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 (1)从B处由静止释放一个质量为m的小物块，求小物块经过最低点C时受到的支持力大小FN。 (2)在斜面上距离B点高度为h（未知）处，由静止释放小物块。 a．改变h，可以使小物块在滑动过程中离开路面。请判断小物块在图中哪个位置离开路面，并说明理由。 b．若小物块能沿路面运动到F点，求h的取值范围。 【答案】(1) (2)a．见解析；b．0＜h≤0.2R 【解析】（1）小物块从B处由静止释放到C点的过程中，根据机械能守恒定律得 在C点根据牛顿第二定律得 解得 （2）a．小物块离开路面时的临界条件是支持力为0,是凹圆弧，支持力一定不为0； 若小物块能通过D点，则向E点运动时，速度减小，所需向心力变小，但重力的法向分量变大，则支持力变大，一定不会分离。因此，若能分离则必在D位置。 b．若满足小物块能到E点且小物块在D点刚好不离开轨道，则小物块一定能沿路面运动到F点，小物块能通过E点有h＞0； 若小物块从h0高度处静止释放， 在D点刚好不离开有 解得 所以h的取值范围为 ⏳题型03 系统机械能守恒问题 13．（2026·北京清华附中）如图，表面光滑的固定斜面其中顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮不计滑轮的质量和摩擦初始时刻，A、B处于同一高度并恰好静止状态。剪断轻绳后A、B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块（　　） A．速率的变化量不同 B．机械能的变化量不同 C．重力势能的变化量相同 D．重力做功的平均功率相同 【答案】D 【解析】滑块A和滑块B沿着斜面方向的分力等大，故； A．滑块下滑过程机械能守恒，有 则 由于两个滑块的高度差相等，故落地速度大小相等，即速率变化量相同，故A错误； B．在光滑的斜面上物体下滑时只有重力对物体做功，故对于每个物体而言其机械能均保持不变，故两物块的机械能变化量均为0，故B错误； C．滑块A和滑块B沿着斜面方向的分力等大，故 由于，故，在同一高度下滑，质量大的物体重力势能变化量大，故C错误； D．令下滑高度为h，则A沿斜面下滑的位移 物体下滑的加速度 据 可得A下滑的时间 所以重力对A做功的平均功率 同理可得 因为 所以可得，故D正确。故选D。 14．（2025·北京中央民大附中）如图所示，一不可伸长的轻绳跨过光滑的定滑轮，绳两端各系一小球a和b，a球的质量为1kg，b球的质量为3kg。用手托住b球，当轻绳刚好被拉紧时，b球离地面的高度h=0.1m，a球静止于地面（重力加速度为g=10m/s2）。释放b球，当b球刚落地时，a球的速度大小为（　　） A．0.5m/s B．1m/s C．1.5m/s D．2m/s 【答案】B 【解析】对ab系统由机械能守恒定律可知 解得v=1m/s。故选B。 15．（2026·北京清华附中）（多选）如图所示，可视为质点的光滑定滑轮与竖直墙面上的点等高，为的中点，距离为。一根轻质不可伸长的细绳一端系在点，穿过质量为的光滑圆环再绕过定滑轮，另一端吊着质量也为的重物。将圆环由点静止释放，设与水平方向夹角为。已知重力加速度为，整个过程中未与滑轮相撞，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法中正确的是（　　） A．和的速度关系为 B．可以下降的最大高度为 C．和总动能最大时， D．和总动能最大时，的动能为 【答案】BCD 【解析】A．上升的速度等于左侧绳伸长的速度，沿方向的速度分量为，沿方向的速度分量也为，故有，A错误； B．由能量守恒知 解得 B正确； CD．总动能最大时，即总重力势能最小，此刻重力势能变化率为0，即 结合关联速度可知 即 由能量守恒知， 解得 CD正确。故选BCD。 16．（2025·北京丰台）如图所示，轻质滑轮下方悬挂重物和，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物、处于静止状态，释放后、开始运动。已知、的质量相等，摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为。下列说法正确的是（ ） A．拉力对做的功等于的动能增加量 B．重力对做的功等于、两物体的动能增加量 C．的动能与重力势能之和减小 D．的加速度大于等于 【答案】C 【解析】A．由动能定理可知，拉力与重力对A所做的总功等于A的动能增加量，故A错误； B．由功能关系可知，A、B的重力做的总功等于A、B两物体的动能的增加量，故B错误； C．由题意可知，、的质量相等，释放后A上升，B下降，拉力对B做负功，物体的机械能减小，则B的动能与重力势能之和减小，故C正确； D．设细线拉力大小为F，B的加速度大小为a，由滑轮组之间的关系可知，A的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 mg-F=ma 联立解得 故D错误。故选C。 17．（2026·北京第五十中学）如图所示，轻质定滑轮固定在天花板上，质量分别为、的物体1和2用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，且。时刻将两物体由静止释放，物体2的加速度大小为a。重力加速度大小为，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列选项正确的是（　　） A．两物体的加速度相同 B．a与（）成正比 C．物体1机械能增加量小于物体2机械能减少量 D．物体1动能增加量小于其重力势能增加量 【答案】D 【解析】A．两物体由静止释放后，由于，所以物体1向上加速，物体2向下加速，两物体的加速度大小相等，方向相反，加速度不同，故A错误； B．对物体1根据牛顿第二定律，有 对物体2根据牛顿第二定律，有 两式联立，求得 所以，与成正比，故B错误； C．两物体组成的系统机械能守恒，所以物体1机械能增加量等于物体2机械能减少量，故C错误； D．假设物体1上升的高度为h，则物体1动能增加量为 物体1重力势能增加量为 根据牛顿第二定理，有 因 故 即 故D正确。故选D。 ⏳题型04 含弹簧的机械能守恒问题 18．（2026·北京二十中）（多选）把一定质量的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至A位置，如图甲所示。迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置C（图丙），途中经过位置B时弹簧正好恢复原长（图乙），弹簧质量和空气阻力均可忽略。下列说法正确的是（　　） A．A到C的过程，小球的机械能守恒 B．A到B的过程，小球的动能先增大后减小 C．A到B的过程，小球动能的增加量小于弹簧弹性势能的减少量 D．A到C的过程，小球重力势能的增加量小于弹簧弹性势能的减少量 【答案】BC 【解析】A.从到的过程中，到阶段弹簧对小球存在弹力作用，该弹力对小球做正功小球的机械能增加；到阶段小球只受重力，机械能守恒，因此整个过程小球机械能不守恒，A错误； B.到的过程中，小球受到竖直向上的弹力和竖直向下的重力：初始时刻弹簧弹力大于重力，合力向上，小球做加速运动，动能增大；当弹簧弹力减小到与重力大小相等时，小球加速度为，速度最大，动能最大；后续弹簧弹力减小，小于重力，合力向下，小球做减速运动，动能减小，因此到过程中，小球动能先增大后减小，B正确； C.到的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒有 由此可知，小球动能的增加量等于弹簧弹性势能的减少量减去小球重力势能的增加量，因此小球动能的增加量必然小于弹簧弹性势能减少量，C正确； D.从到的过程中，小球初速度为，到达最高点的速度也为，因此小球的动能变化量为。小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧弹性势能的减少量全部转化为小球重力势能的增加量，因此重力势能的增加量等于弹簧弹性势能的减少量，D错误。故选BC。 19．（2026·北京朝阳）“反向蹦极”（图1）是一种安全又刺激的运动，其简化示意图如图2所示。弹性轻绳的上端固定在O点，拉长后将下端固定在体验者身上，并通过扣环和地面固定，打开扣环后，人从A点沿竖直方向经B点上升到最高点C点，B点时速度最大，到达C点前绳已经松弛。不计空气阻力，可将人视为质点，则（ ） A．从A到C过程中人的机械能守恒 B．B点弹性轻绳的弹性势能为0 C．从B到C过程中人的加速度一直减小 D．从A到C人的重力势能增加量等于弹性轻绳的弹性势能减少量 【答案】D 【解析】A．从A到C的过程中，弹性轻绳的弹力会对人做正功，因此人的机械能不守恒，A错误； B．B点时速度最大，此时人的合力为0，重力与绳的弹力大小相等、方向相反，说明绳子仍处于拉伸状态，弹性势能不为0，B错误； C．B点到绳的原长位置，，绳的弹力逐渐减小，加速度逐渐增大，绳的原长位置到C点，绳的弹力为 0，人只受重力，加速度恒为g，因此，从B到C加速度是先增大后不变，C错误； D．从A到C整个过程中不计空气阻力，只有重力和绳的弹力做功，人和绳组成的系统机械能守恒，人的动能在A点和C点均为0，则人的重力势能增加量等于绳的弹性势能减少量，D正确。故选D。 20．（2026·北京北师大附中）如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，落到弹簧上瞬间粘连（无能量损失）并压缩弹簧至最低处。弹簧一直在弹性限度内，空气阻力忽略不计。以地面为参考平面，小球的动能随高度变化（由高度h5下落至高度h1）的图像如图乙所示。已知图乙中h1~h4段图线为曲线，h4~h5段为直线，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球向下运动到最低点的过程中，小球的机械能守恒 B．小球在高度h3时加速度大小为g C．弹簧的劲度系数为 D．小球在高度h2时动能为 【答案】C 【解析】A．小球接触弹簧后，弹簧的弹力对小球做负功，因此小球的机械能不守恒，故A错误； B．由图乙可知，小球在高度时，动能最大，则速度最大，此时重力与弹簧弹力平衡，小球受合力是0，小球的加速度是0，故B错误； C．由图乙可知，小球在高度时，动能最大，则速度最大，重力与弹簧弹力平衡，则有 解得，故C正确； D．由图乙可知，段为直线，该过程是小球做自由落体运动，到达时的动能为 又有和时，小球的动能相等，所以小球的高度为时，动能为，故D错误。 故选C。 21．（2026·北京海淀）如图1所示，将轻弹簧竖直固定在水平地面上。质量为m的小球由弹簧的正上方h处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为x时，小球下落到最低点。弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，已知重力加速度g。 (1)求小球刚接触弹簧时速度的大小。 (2)求压缩过程中弹簧弹性势能的最大值。 (3)以竖直向下为正方向，从小球接触弹簧开始计时，在图2中定性画出小球从接触弹簧到下落至最低点过程中速度v随时间t变化的图线。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）小球接触弹簧前做自由落体运动，由 得 （2）小球下落至最低点时，弹簧弹性势能最大、小球的动能为0，根据机械能守恒定律，得 （3）开始阶段重力大于弹力，合力向下，随着弹力增大，加速度减小，做加速度减小的加速，当弹力等于重力，此时速度最大，之后弹力大于重力，合力向上，向下做减速运动，随着弹力增大，加速度增大，如图所示 22．（2026·北京三十五中）（多选）如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平面上，一小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度(在弹性限度内)。不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的加速度先增大后减小 B．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的速度先增大后减小 C．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的机械能一直减少 D．该过程的某一阶段内，小球的动能增大而小球的机械能减少 【答案】BCD 【解析】AB．小球从接触弹簧到运动至最低点的过程中，受重力和弹簧弹力作用，弹力从零逐渐增大，开始阶段小于重力，小球合力向下，做加速运动，后阶段弹力大于重力，合力向上，小球做减速运动，故小球加速度先减小后增大、速度先增大后减小，A错误，B正确； C．小球从接触弹簧到运动至最低点的过程中，弹簧弹力对小球做负功，小球机械能减少，转化为弹簧弹性势能，故C正确； D．开始阶段弹力小于重力，小球合力向下，做加速运动，小球动能增大，弹簧弹力对小球做负功，小球机械能减少，故D正确。故选BCD。 重难·创新演练 设题创新：结合教材知识拓展(T1);结合生活实际(T2、T6)；结合实践探究（T3）；结合教材知识运用（T4、T5）； 1．▶新情景◀（2026·北京顺义·模拟）粘滞性是流体内部阻碍各流体层之间相对滑动的特性，又称内摩擦。液体内部以及液体与容器壁之间均存在粘滞力（又称内摩擦力），粘滞系数是表征流体内摩擦大小的物理量。对于粘滞系数较大且较透明的液体，通常采用落球法测量其粘滞系数。足够深的透明容器中盛有密度为ρL的均匀、静止的粘性液体，密度为ρ、半径为r的均质小球从液面处由静止释放，如图所示。小球在该液体中下落（无转动），忽略容器壁影响，其受到的粘滞阻力F满足斯托克斯公式：F=6πηrv，式中v为小球运动的速度，η即为该液体的粘滞系数。已知重力加速度为g，小球最终的速度为v0，下列说法正确的是（　　） A．重力做功与浮力做功的代数和等于小球动能的增加量 B．下落过程中，小球减小的机械能全部转化为内能 C．该液体的粘滞系数 D．下落过程中，小球加速度的最大值为 【答案】C 【解析】A．根据动能定理可得，合力做功等于物体动能的变化量，即重力做功、浮力做功和粘滞阻力做功的代数和等于小球动能的增加量，故A错误； B．根据能量守恒定律可知，小球下落过程中减小的机械能转化为内能和流体的机械能，故B错误； C．小球最终做匀速直线运动，根据平衡条件可得 所以，故C正确； D．根据牛顿第二定律可得 小球从液面处由静止释放时，只受重力，浮力和粘滞阻力均为零，此时加速度最大，最大加速度为重力加速度，故D错误。故选C。 2．▶新情景◀（2026·北京四中）图甲是游乐场的过山车在竖直圆轨道内做圆周运动的情景，图乙为某实验小组用可视为质点的小球代替过山车模拟的实验图。某次测试中，质量为的小球从曲面轨道上的点由静止下滑后，恰能在半径为的竖直圆轨道上完成圆周运动。已知为轨道最低点，为轨道最高点，、两点的高度差为，不计一切摩擦和空气阻力，且轨道各处平滑相连。则下列说法正确的是（　　） A．小球经过点时处于失重状态 B．、两点的高度差 C．小球在圆轨道上经过与圆心等高处时，其加速度是重力加速度的倍 D．小球释放点越高，则在轨道、两点受到的轨道弹力大小之差越大 【答案】C 【解析】A．小球经过点时，加速度向上，故小球处于超重状态，A错误； B．小球恰能完成圆周运动，小球通过点时重力提供向心力 解得 小球从点运动到点的过程中，根据动能定理有 解得，B错误； C．小球由静止下滑到圆心等高处的过程中 解得 小球在圆轨道上经过圆心等高处时， 小球的加速度，故C正确； D．释放点越高，小球在圆轨道上的速度越大，小球通过C点 小球通过B点 小球从B点运动到C点的过程中，根据动能定理有 小球在轨道上、两点受到的弹力大小之差 联立解得，故弹力大小之差与释放点的高度无关，D错误。故选C。 3．▶新角度◀（2025·北京牛栏山第一中学）如图所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，其上下端点分别与物块B及地面固定连接，物块A放在B上并通过轻质细绳跨过光滑定滑轮M、N与轻质挂钩连接。M、A间细绳竖直且足够长，M、N间细绳水平，A、B两物块的质量分别为，，弹簧的劲度系数为，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取，开始时系统静止，细绳伸直无拉力作用。现在在轻质挂钩上挂上质量为的钩码C并从静止开始释放，释放时C位置离地面足够远，已知弹簧的弹性势能公式为（k为弹簧劲度系数，x为弹簧形变量）。关于钩码C下降、物块A、B上升过程中，下列说法正确的是（　　） A．释放钩码C时，A、B间的作用力为0 B．钩码C下降位移为0.3m时，A、B开始分离 C．从释放钩码C到A、B分离，A、B经历了先加速后减速的过程 D．A、B分离时速度大小为 【答案】D 【解析】A．初始时弹簧压缩量为 若初始时刻间的作用力为0，则连接体的加速度为 此时的加速度为，故A错误； B．，则分离时系统的加速度为，此时的加速度也为0，故分离时弹簧压缩量为 则下降时，分离，故B错误； C．分离前加速度逐渐减小，分离时为零，故一直加速，故C错误； D．由能量守恒定律，有 解得，故D正确。故选D。 4．▶新情景◀（2025·北京）某研究小组设计了一种测量弹簧玩具枪射出弹丸速度的装置，其简化原理如图所示。水平面与竖直面内的半圆形轨道在点平滑相接，被压缩的轻弹簧将弹丸由静止弹出，弹丸脱离弹簧后向右运动，冲上半圆形轨道并沿轨道运动，到达最高点后沿水平方向飞出，最后落到面的点点未画出）。已知半圆形轨道的半径为，重力加速度为。不计弹丸在整个运动过程中的摩擦力和空气阻力。 (1)弹丸沿半圆形轨道从点运动到点的过程中，机械能是否守恒？简要说明理由。 (2)某次实验中，弹丸恰好能沿半圆形轨道通过最高点，求此时弹丸的速度大小。 (3)某同学通过测量点到点的距离，可得出弹丸被射出时的速度大小，请推导出二者之间的关系。 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【解析】（1）弹丸从B到C的过程中，只有重力做功（轨道支持力不做功），符合机械能守恒的条件。 （2）弹丸恰好能沿半圆形轨道通过最高点，在C点对弹丸有 解得 （3）弹丸从B点到C点过程，根据机械能守恒有 弹丸从C点到D点，根据平抛运动规律有 联立整理得 5．▶新角度◀（2025·北京西城）如图所示，轻弹簧上端固定，下端悬吊一个钢球，钢球静止于O点。把钢球从O点向下拉下一段距离至P点，然后将钢球由静止释放，钢球向上运动可到达最高点Q点。已知钢球的质量为m，弹簧的劲度系数为k，P点与O点之间的距离为A，且在钢球运动过程中弹簧始终处于拉伸状态。已知重力加速度为g。 (1)求钢球静止于O点时弹簧的形变量x0。 (2)弹簧的弹性势能Ep跟形变量x的大小有关，其关系式为，其中k为弹簧的劲度系数。 a.类比重力做功与重力势能变化的关系，求钢球由P点运动到O点的过程中弹簧弹力做的功W。 b.证明：忽略空气阻力，钢球能到达的最高点Q点与P点关于O点对称。 【答案】(1) (2)a. ；b. 设小球到达最高点时距离平衡位置为x，则从最低点到最高点，由能量关系 解得x=A 则钢球能到达的最高点Q点与P点关于O点对称。 【解析】（1）钢球静止于O点时 解得弹簧的形变量 （2）a. 重力势能的变化量等于重力做的功；重力做多少功重力势能减少多少，克服重力做多少功，重力势能就增加多少。类比重力做功与重力势能变化的关系可知，弹力做正功，则弹性势能减小，克服弹力做功，则弹性势能增加；钢球由P点运动到O点的过程中弹簧的弹性势能减小 则弹簧弹力做的功 b.略 6．▶新情景◀（2026·北京朝阳·二模）模型的修正和完善伴随着我们对物理本质更深入的认识。某学习小组对过山车的运动进行了深入研究。已知重力加速度为g，不计摩擦及空气阻力。 (1)先将过山车用可视为质点的小球来替代。 a．图甲所示的装置由两段可视为竖直平面内的倾斜直轨道与一半径为R的圆轨道顺接组成，在圆轨道最低点处的两侧稍微错开一小段距离，且分别与左右两侧的斜直轨道平滑相接。将一小球从左侧倾斜直轨道上某位置由静止释放，小球恰好能通过圆轨道最高点，求小球在圆轨道最高点的速度大小v1； b．实际的过山车竖直回环轨道不是正圆，而是设计成图乙所示的扁轨道，可将其简化为图丙所示的轨道。研究一般的曲线运动时，我们可将运动过程分割为许多很短的小段，每小段的运动均可看作是圆周运动的一部分。若轨道承压足够大，请比较小球从同一位置P由静止释放，分别沿扁轨道、正圆轨道到达最高点Q时轨道对其压力的大小关系，并说明这种设计的优点。 (2)实际的过山车并不能视为质点。如图丁所示，一列长为L、质量为M的玩具过山车，在无动力情况下，从水平轨道冲上半径为r的竖直圆轨道。已知L>2πr，不计过山车自身高度及相邻车体间碰撞。在车体始终布满轨道的一段时间内，过山车的速率保持不变，请在该段时间内分析下列问题： a．推导最高点处车体之间的拉力大小； b．取轨道最高点处的一小段长度为s的车体为研究对象。若此时左、右侧车体对其拉力大小可视为相等，且两力的合力大小为a问中拉力的倍，求该小段车体通过最高点时的最小速度vm。 【答案】(1)a．；b．小球从同一位置P由静止释放，根据机械能守恒定律，到达最高点Q时，重力势能变化量相同，故动能变化量相同，到达Q点的速度大小相等。在最高点Q，根据牛顿第二定律有 解得 由图丙可知，扁轨道在最高点Q处的曲率半径小于正圆轨道的半径，因为相同，所以，即沿扁轨道到达最高点时轨道对小球的压力较大。这种设计的优点是可以提高安全性。 (2)a．由于过山车速率保持不变，且车体始终布满轨道，说明圆轨道部分的重力势能不变，水平轨道部分重力势能也不变，故整体机械能守恒，动能不变。对于水平轨道上的车体，做匀速直线运动且不计摩擦，故水平轨道内车体间张力为零。因此，圆轨道最低点出口处车体间的拉力。取圆轨道上从最低点出口到最高点的一段车体为研究对象，设线密度为。在任意位置（与竖直向下方向夹角）取微元 质量 由于速率不变，切向加速度为零，切向合力为零。从最低点到最高点，重力沿切线方向的分力阻碍运动，拉力需克服重力分量增加。根据平衡条件，得最高点拉力；b． 【解析】（1）a．小球恰好能通过圆轨道最高点，说明在最高点轨道对小球的弹力为零，重力完全提供向心力。根据牛顿第二定律有 解得 b．略。 （2）a．略； b．取最高点处长度为的一小段车体，其质量 该小段车体受重力、轨道作用力以及两侧车体的拉力。两侧拉力的合力指向圆心，根据题意及几何关系（小角度近似），合力大小 代入，得 在最高点，根据牛顿第二定律，合外力提供向心力 当车体恰好不脱离轨道时，速度最小，此时。方程变为 即 解得 真题·实战演练 高频考点：重力势能、机械能是否守恒的判断、单个物体的机械能守恒问题、含弹簧的机械能守恒问题 1．（2025·河南·高考）野外高空作业时，使用无人机给工人运送零件。如图，某次运送过程中的一段时间内，无人机向左水平飞行，零件用轻绳悬挂于无人机下方，并相对于无人机静止，轻绳与竖直方向成一定角度。忽略零件所受空气阻力，则在该段时间内（　　） A．无人机做匀速运动 B．零件所受合外力为零 C．零件的惯性逐渐变大 D．零件的重力势能保持不变 【答案】D 【解析】D．无人机沿水平方向飞行，零件相对于无人机静止，也沿水平方向飞行做直线运动，故零件的高度不变，可知零件的重力势能保持不变，D正确； AB．对零件受力分析，受重力和绳子的拉力，由于零件沿水平方向做直线运动，可知合外力沿水平方向，提供水平方向的加速度。零件水平向左做匀加速直线运动，AB错误； C．惯性的大小只与质量有关，零件的质量不变，故零件的惯性不变，C错误。故选D。 2．（2026·湖北·高考）（多选）如图所示，半径为、内壁光滑的圆环轨道固定在竖直平面内。初始时刻，质量为 的小球甲从圆环内表面最高处以大小为（为重力加速度大小）的水平初速度向右运动，同时质量为的小球乙从圆环内表面最低处以某一水平初速度向左运动。当甲第一次运动到圆环最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ） A．乙的初速度大小为 B．甲、乙两小球运动的周期相等 C．任意时刻两小球的连线均过圆环圆心 D．任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零 【答案】BD 【解析】A．根据题意当甲第一次运动到最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点，根据对称性可知，乙的初速度大小等于甲到达最低点时的速度大小，故乙在最高点时的速度大小等于，设乙球在最低处时速度为，由机械能守恒得 解得，故A错误； B．根据题意当甲第一次运动到最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点，根据对称性可知，球从最高点到最低点和从最低点到最高点的时间相等，故甲乙两球运动的周期相等，故B正确； CD．分析可知，甲从最高点运动到最低点，速度大小从增大到，乙从最低点到最高点，速度大小从减小到，从初始时刻取一很短时间，甲经过的弧长短，乙经过的弧长长，转过的角度不同，故不可能任意时刻两小球的连线均过圆心；故C错误； D．根据前面分析可知除两球分别在最高点和最低点时两球连线经过圆心，其它位置均不满足两小球的连线过圆心，乙球在最高点和最低点时，分别有， 解得， 甲球在最低点和最高点时，分别有， 解得， 根据牛顿第三定律可知乙球在最高点时对圆环的作用力大小为，此时甲球在最低点对圆环的作用力大小为；当乙球在最低点时对圆环的作用力大小为，此时甲球在最高点对圆环的作用力大小为，故这两个位置两球对圆环的作用力的合力不为零，结合前面分析其它位置均不满足两小球的连线过圆心，即其它位置两球对圆环的作用力不共线，故合力不可能为零，故对任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零，故D正确。故选BD。 3．（2026·湖北·高考）（多选）某山沟竖直截面图如图所示，山沟的一侧竖直，另一侧是以 点为圆心、 为半径的圆弧，圆弧最高点与 点等高。救援队从 点以大小为的初速度向该山沟投掷救援物资，其中 是重力加速度大小。物资可视为质点，不计空气阻力。为避免损坏救援物资，要求物资落到圆弧上的速率最小，则物资（ ） A．在空中运动的时间为 B．与水平方向成 角斜上抛 C．抛出点与落点的高度差为 D．落到圆弧上的最小速率为 【答案】AD 【解析】ACD．设落点与O点的竖直高度为h，水平位移为，初速度与水平方向的夹角为，将初速度沿水平和竖直方向分解，可得， 同时有 联立可得 设落到圆弧上的速度为，根据机械能守恒 解得 故可知越小，v越小，故当时，h取最小值，落到圆弧上的速度最小； 解得，，，故AD正确，C错误； B．根据前面分析，当，时， 代入解得，，故B错误。故选AD。 4．（2026·浙江·选考）如图所示，钢架雪车运动员在具有阻力的倾斜赛道上滑行，则（ ） A．运动员在转弯时加速度为0 B．运动员和钢架雪车整体机械能守恒 C．钢架雪车所受重力和赛道对钢架雪车的支持力是一对平衡力 D．钢架雪车对赛道的压力与赛道对钢架雪车的支持力是一对作用力和反作用力 【答案】D 【解析】A．运动员在转弯时一定有向心加速度，加速度不可能为零，故A错误； B．倾斜赛道有阻力，阻力对运动员和钢架雪车做负功，运动员和钢架雪车整体机械能不守恒，故B错误； C．钢架雪车所受重力竖直向下，赛道对钢架雪车的支持力垂直赛道向上，不在同一条直线上，不是一对平衡力，故C错误； D．钢架雪车对赛道的压力与赛道对钢架雪车的支持力是一对作用力和反作用力，故D正确。故选D。 5．（2025·课标卷·高考）如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为（重力加速度取10m/s2）（　　） A．4m B．5m C．6m D．7m 【答案】B 【解析】在理论上：当运动员在最高点速度为零时，重心提升高度最大，以地面为零势能面，根据机械能守恒定律有 可得其理论的最大高度；故选B。 6．（2025·安徽·高考）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 【答案】(1)， (2)4m (3) 【解析】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律 在该位置时根据牛顿第二定律 解得， （2）小球做平抛运动时， 解得x=4m （3）若小球经过N点正上方绳子恰不松弛，则满足 从最低点到该位置由动能定理 解得 7．（2025·山东·高考）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量的小球自Q点正上方处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到时，b解除锁定开始运动。已知a的质量，b的质量，方形物体的质量，重力加速度大小，弹簧的劲度系数，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式（x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求： (1)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小、； (2)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小及弹性势能的最大值。 【答案】(1)，水平向左，，水平向右 (2)，水平向左， 【解析】（1）根据题意可知，小球从开始下落到处过程中，水平方向上动量守恒，则有 由能量守恒定律有 联立解得， 即小球速度为，方向水平向左，大物块速度为，方向水平向右。 （2）由于小球落在物块a正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块水平方向上动量守恒，则有 解得 设当弹簧形变量为时物块的固定解除，此时小球和物块的速度为，根据胡克定律 系统机械能守恒 联立解得， 固定解除之后，小球、物块和物块组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律有 解得，方向水平向左。 由能量守恒定律可得，最大弹性势能为 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 机械能守恒定律及其应用（专项训练） 模拟·基础演练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 13 14 15 答案 AC D A AD C D A D D B BCD 题号 16 17 18 19 20 22 答案 C D BC D C BCD 9.解:（1）若恰好能实现上述运动，在点根据牛顿第二定律有 解得小球在点时速度的大小 （2）小球从点飞出后做平抛运动，竖直方向下落高度为，有 小球的落地点与点间的距离 （3）从点到点，根据机械能守恒有 在点，根据牛顿第二定律有 联立解得 根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小，方向竖直向下。 10.解:（1）运动员从A到B过程，由机械能守恒有 联立解得 （2）对运动员，在B点有 联立解得 （3）从A到C过程，由机械能守恒有 解得 11.解:（1）小球从释放到最低点过程，根据机械能守恒有 解得 小球在最低点有 联立解得 根据牛顿第三定律可知。 （2）若小球运动到最低点时细线断了，小球沿水平方向抛出，则竖直方向有 水平方向有 联立解得 12.解:（1）小物块从B处由静止释放到C点的过程中，根据机械能守恒定律得 在C点根据牛顿第二定律得 解得 （2）a．小物块离开路面时的临界条件是支持力为0,是凹圆弧，支持力一定不为0； 若小物块能通过D点，则向E点运动时，速度减小，所需向心力变小，但重力的法向分量变大，则支持力变大，一定不会分离。因此，若能分离则必在D位置。 b．若满足小物块能到E点且小物块在D点刚好不离开轨道，则小物块一定能沿路面运动到F点，小物块能通过E点有h＞0； 若小物块从h0高度处静止释放， 在D点刚好不离开有 解得 所以h的取值范围为 21.解:（1）小球接触弹簧前做自由落体运动，由 得 （2）小球下落至最低点时，弹簧弹性势能最大、小球的动能为0，根据机械能守恒定律，得 （3）开始阶段重力大于弹力，合力向下，随着弹力增大，加速度减小，做加速度减小的加速，当弹力等于重力，此时速度最大，之后弹力大于重力，合力向上，向下做减速运动，随着弹力增大，加速度增大，如图所示 重难·创新演练 题号 1 2 3 答案 C C D 4.解:（1）弹丸从B到C的过程中，只有重力做功（轨道支持力不做功），符合机械能守恒的条件。 （2）弹丸恰好能沿半圆形轨道通过最高点，在C点对弹丸有 解得 （3）弹丸从B点到C点过程，根据机械能守恒有 弹丸从C点到D点，根据平抛运动规律有 联立整理得 5.解:（1）钢球静止于O点时 解得弹簧的形变量 （2）a. 重力势能的变化量等于重力做的功；重力做多少功重力势能减少多少，克服重力做多少功，重力势能就增加多少。类比重力做功与重力势能变化的关系可知，弹力做正功，则弹性势能减小，克服弹力做功，则弹性势能增加；钢球由P点运动到O点的过程中弹簧的弹性势能减小 则弹簧弹力做的功 b. 设小球到达最高点时距离平衡位置为x，则从最低点到最高点，由能量关系 解得x=A 则钢球能到达的最高点Q点与P点关于O点对称。 6.解:（1）a．小球恰好能通过圆轨道最高点，说明在最高点轨道对小球的弹力为零，重力完全提供向心力。根据牛顿第二定律有 解得 b．小球从同一位置P由静止释放，根据机械能守恒定律，到达最高点Q时，重力势能变化量相同，故动能变化量相同，到达Q点的速度大小相等。在最高点Q，根据牛顿第二定律有 解得 由图丙可知，扁轨道在最高点Q处的曲率半径小于正圆轨道的半径，因为相同，所以，即沿扁轨道到达最高点时轨道对小球的压力较大。这种设计的优点是可以提高安全性。 （2）a．由于过山车速率保持不变，且车体始终布满轨道，说明圆轨道部分的重力势能不变，水平轨道部分重力势能也不变，故整体机械能守恒，动能不变。对于水平轨道上的车体，做匀速直线运动且不计摩擦，故水平轨道内车体间张力为零。因此，圆轨道最低点出口处车体间的拉力。取圆轨道上从最低点出口到最高点的一段车体为研究对象，设线密度为。在任意位置（与竖直向下方向夹角）取微元 质量 由于速率不变，切向加速度为零，切向合力为零。从最低点到最高点，重力沿切线方向的分力阻碍运动，拉力需克服重力分量增加。根据平衡条件，得最高点拉力 b．取最高点处长度为的一小段车体，其质量 该小段车体受重力、轨道作用力以及两侧车体的拉力。两侧拉力的合力指向圆心，根据题意及几何关系（小角度近似），合力大小 代入，得 在最高点，根据牛顿第二定律，合外力提供向心力 当车体恰好不脱离轨道时，速度最小，此时。方程变为 即 解得 真题·实战演练 题号 1 2 3 4 5 答案 D BD AD D B 6.解:（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律 在该位置时根据牛顿第二定律 解得， （2）小球做平抛运动时， 解得x=4m （3）若小球经过N点正上方绳子恰不松弛，则满足 从最低点到该位置由动能定理 解得 7.解:（1）根据题意可知，小球从开始下落到处过程中，水平方向上动量守恒，则有 由能量守恒定律有 联立解得， 即小球速度为，方向水平向左，大物块速度为，方向水平向右。 （2）由于小球落在物块a正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块水平方向上动量守恒，则有 解得 设当弹簧形变量为时物块的固定解除，此时小球和物块的速度为，根据胡克定律 系统机械能守恒 联立解得， 固定解除之后，小球、物块和物块组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律有 解得，方向水平向左。 由能量守恒定律可得，最大弹性势能为 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 机械能守恒定律及其应用（专项训练） 目 录 巩固·知识解构 1 知识点1 机械能守恒的判断 1 知识点2 单个物体的机械能守恒问题 2 知识点3 系统机械能守恒问题 2 知识点4 含弹簧的机械能守恒问题 2 模拟·基础演练 4 题型01 机械能守恒的判断 4 题型02 单个物体的机械能守恒问题 5 题型03 系统机械能守恒问题 4 题型04 含弹簧的机械能守恒问题 5 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 巩固·知识解构 知识点1 机械能守恒的判断 1.重力做功与重力势能 （1）重力做功的特点：重力做功与_________无关，只与始末位置的_________有关，重力做功不引起物体_________的变化。 （2）重力势能 ①表达式：Ep=_________。 ②重力势能的特点：重力势能是物体和_________所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取_________，但重力势能的变化量与参考平面的选取_________。 （3）重力做功与重力势能变化的关系：重力对物体做正功，重力势能_________，重力对物体做负功，重力势能_________，即WG=_________=________。 2.弹性势能 （1）定义：发生_________的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。 （2）弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能_________;弹力做负功，弹性势能_________。即W=_________Ep。 3.机械能守恒定律 （1）内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，_________与_________可以互相转化，而总的机械能_________。 （2）表达式：mgh1+m=mgh2+m或_________=Ek2+Ep2。 （3）守恒条件：只有_________或_________做功。 （4）机械能是否守恒的三种判断方法 知识点2 单个物体的机械能守恒问题 1.机械能守恒定律的三种表达式 2.求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 （1）选取研究对象——物体。 （2）根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。 （3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。 （4）选取方便的机械能守恒定律的方程形式（Ek1+Ep1=Ek2+Ep2、ΔEk=-ΔEp）进行求解。 知识点3 系统机械能守恒问题 1.解决多个物体机械能守恒问题的注意点 （1）对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。 （2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 （3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk=-ΔEp或ΔEA=-ΔEB的形式。 2.几种实际情景的分析 （1）速率相等的情景 注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。 （2）角速度相等的情景 ①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ②由v=ωr知，v与r成正比。 （3）某一方向分速度相等的情景（关联速度情景） 两物体速度的关联实质：沿绳（或沿杆）方向的分速度大小相等。 （4）非质点的情景 ①在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。 ②物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀、形状规则的物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 知识点4 含弹簧的机械能守恒问题 1.由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。 2.弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能有最大值。 3.对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。 模拟·基础演练 考查重点：机械能守恒的判断、单个物体的机械能守恒问题、系统机械能守恒问题、含弹簧的守恒问题…… ⏳题型01 机械能守恒的判断 1．（2026·北京西城）（多选）如图所示，静止的足球被运动员以速度从水平地面的位置1踢出后，沿如图所示的轨迹运动到位置3。足球在最高点2时距地面高度为且速度大小为。已知足球质量为，重力加速度为。下列说法正确的是（ ） A．足球在空中运动的过程中，机械能不守恒 B．从位置2到位置3的过程，足球的动能增加 C．踢球时，运动员对足球做的功大于 D．从位置1到位置2的过程，阻力对足球做功 2．（2026·北京西城·二模）如图所示，一辆汽车通过一段水平路面后平缓开上立交桥的引桥，图中ab段为水平路面，cd段为平直上坡路面。行驶过程中汽车的速率保持不变，不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（　　） A．汽车在行驶过程中牵引力保持不变 B．汽车在行驶过程中机械能保持不变 C．在cd段汽车的输出功率逐渐增大 D．在cd段汽车的输出功率比ab段的大 3．（2026·北京师大附中）下列情形中，物体与地球构成的系统机械能守恒的是（　　） A．自由下落的重物 B．滑块沿斜面匀速下滑 C．火箭点火后徐徐上升 D．在路面上刹车的汽车 4．（2026·北京第十三中学）（多选）一物块从高、长的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示。关于物块从斜面顶端下滑到底端的过程中，下列说法正确的是（　　） A．重力做功为30J B．摩擦阻力做功为-10J C．合力做功为20J D．物块的机械能不守恒 5．（2026·北京一七一中学）如图所示，某同学乘坐摩天轮随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，依次从A到B到C的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．该同学的机械能守恒 B．座舱对该同学的作用力大小一直不变 C．仅减小摩天轮匀速圆周运动的转速，该同学在C点受座舱作用力一定减小 D．仅增大摩天轮匀速圆周运动的转速，该同学在A点受座舱作用力一定增大 ⏳题型02 单个物体的机械能守恒问题 6．（2026·北京人大附中）排球比赛中，运动员在A处水平发球，对方一传在B处垫球过网，排球经最高点C运动到D处，轨迹如图所示。已知A与C、B与D分别在同一水平线上，A、D在同一竖直线上。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．排球从A运动到B的时间与从B运动到D的相等 B．排球在A点的动能与在C点的动能相等 C．对方一传击球前后排球的机械能相等 D．以为零势能面，排球在点的机械能是排球被一传击打离开点时机械能的倍 7．（2026·北京二十中）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（　　） A．由近月点到远月点过程中引力做负功 B．近月点的速度小于远月点的速度 C．近月点的速度等于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 8．（2026·北京理工附中）如图所示，不可伸长的轻质细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子A，小球从右侧某一高度，由静止释放后摆下，不计空气阻力和细绳与钉子相碰时的能量损失。下列说法中正确的是（　　） A．小球摆动过程中，所受合力的方向始终指向O点 B．小球在左侧所能达到的最大高度可能大于在右侧释放时的高度 C．当细绳与钉子碰后的瞬间，小球的向心加速度突然变小 D．钉子的位置越靠近小球，在细绳与钉子相碰时绳就越容易断 9．（2026·北京大兴一中）半径为的光滑半圆轨道处于竖直平面内，轨道与水平地面相切于轨道的端点。一质量为的小球从点冲上半圆轨道，沿轨道运动到点飞出，最后落在水平地面上，重力加速度为。若恰好能实现上述运动，求： (1)小球在点时速度的大小； (2)小球的落地点与点间的距离； (3)小球刚进入圆弧轨道时，对轨道的压力。 10．（2026·北京昌平·一模）有一项荡绳过河的运动项目，可简化为如图所示的模型，不可伸长的轻绳一端固定在点，运动员（可看作质点）抓住绳子另一端从高台边缘点无初速度离开，在最低点松开绳子，落在水平地面上的点。已知绳的长度为l，AO与竖直方向的夹角为间的竖直高度为，运动员的质量为，重力加速度为，忽略空气阻力。求： (1)到达点时运动员的速度大小； (2)到达点（未松开绳）时绳对运动员的拉力大小； (3)落地时运动员的速度大小。 11．（2026·北京育才）如图所示，把一个质量的小钢球用细线悬挂起来，就构成一个摆。悬点O距地面的高度，摆长。将摆球拉至摆线与竖直方向成37°角的位置，由静止释放，忽略空气阻力，g取，。 (1)求小球运动到最低点时细线受到的拉力F的大小。 (2)若小球运动到最低点时细线断了，小球沿水平方向抛出，求它做平抛运动水平位移x的大小。 12．（2026·北京东城）为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建滑板训练的场地，设计了如图所示的路面，其中AB是倾角为53°的斜面，凹圆弧和凸圆弧的半径均为R，D、F等高，B、E等高，整个路面不计摩擦且各段之间平滑连接。已知重力加速度为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 (1)从B处由静止释放一个质量为m的小物块，求小物块经过最低点C时受到的支持力大小FN。 (2)在斜面上距离B点高度为h（未知）处，由静止释放小物块。 a．改变h，可以使小物块在滑动过程中离开路面。请判断小物块在图中哪个位置离开路面，并说明理由。 b．若小物块能沿路面运动到F点，求h的取值范围。 ⏳题型03 系统机械能守恒问题 13．（2026·北京清华附中）如图，表面光滑的固定斜面其中顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮不计滑轮的质量和摩擦初始时刻，A、B处于同一高度并恰好静止状态。剪断轻绳后A、B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块（　　） A．速率的变化量不同 B．机械能的变化量不同 C．重力势能的变化量相同 D．重力做功的平均功率相同 14．（2025·北京中央民大附中）如图所示，一不可伸长的轻绳跨过光滑的定滑轮，绳两端各系一小球a和b，a球的质量为1kg，b球的质量为3kg。用手托住b球，当轻绳刚好被拉紧时，b球离地面的高度h=0.1m，a球静止于地面（重力加速度为g=10m/s2）。释放b球，当b球刚落地时，a球的速度大小为（　　） A．0.5m/s B．1m/s C．1.5m/s D．2m/s 15．（2026·北京清华附中）（多选）如图所示，可视为质点的光滑定滑轮与竖直墙面上的点等高，为的中点，距离为。一根轻质不可伸长的细绳一端系在点，穿过质量为的光滑圆环再绕过定滑轮，另一端吊着质量也为的重物。将圆环由点静止释放，设与水平方向夹角为。已知重力加速度为，整个过程中未与滑轮相撞，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法中正确的是（　　） A．和的速度关系为 B．可以下降的最大高度为 C．和总动能最大时， D．和总动能最大时，的动能为 16．（2025·北京丰台）如图所示，轻质滑轮下方悬挂重物和，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物、处于静止状态，释放后、开始运动。已知、的质量相等，摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为。下列说法正确的是（ ） A．拉力对做的功等于的动能增加量 B．重力对做的功等于、两物体的动能增加量 C．的动能与重力势能之和减小 D．的加速度大于等于 17．（2026·北京第五十中学）如图所示，轻质定滑轮固定在天花板上，质量分别为、的物体1和2用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，且。时刻将两物体由静止释放，物体2的加速度大小为a。重力加速度大小为，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列选项正确的是（　　） A．两物体的加速度相同 B．a与（）成正比 C．物体1机械能增加量小于物体2机械能减少量 D．物体1动能增加量小于其重力势能增加量 ⏳题型04 含弹簧的机械能守恒问题 18．（2026·北京二十中）（多选）把一定质量的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至A位置，如图甲所示。迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置C（图丙），途中经过位置B时弹簧正好恢复原长（图乙），弹簧质量和空气阻力均可忽略。下列说法正确的是（　　） A．A到C的过程，小球的机械能守恒 B．A到B的过程，小球的动能先增大后减小 C．A到B的过程，小球动能的增加量小于弹簧弹性势能的减少量 D．A到C的过程，小球重力势能的增加量小于弹簧弹性势能的减少量 19．（2026·北京朝阳）“反向蹦极”（图1）是一种安全又刺激的运动，其简化示意图如图2所示。弹性轻绳的上端固定在O点，拉长后将下端固定在体验者身上，并通过扣环和地面固定，打开扣环后，人从A点沿竖直方向经B点上升到最高点C点，B点时速度最大，到达C点前绳已经松弛。不计空气阻力，可将人视为质点，则（ ） A．从A到C过程中人的机械能守恒 B．B点弹性轻绳的弹性势能为0 C．从B到C过程中人的加速度一直减小 D．从A到C人的重力势能增加量等于弹性轻绳的弹性势能减少量 20．（2026·北京北师大附中）如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，落到弹簧上瞬间粘连（无能量损失）并压缩弹簧至最低处。弹簧一直在弹性限度内，空气阻力忽略不计。以地面为参考平面，小球的动能随高度变化（由高度h5下落至高度h1）的图像如图乙所示。已知图乙中h1~h4段图线为曲线，h4~h5段为直线，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球向下运动到最低点的过程中，小球的机械能守恒 B．小球在高度h3时加速度大小为g C．弹簧的劲度系数为 D．小球在高度h2时动能为 21．（2026·北京海淀）如图1所示，将轻弹簧竖直固定在水平地面上。质量为m的小球由弹簧的正上方h处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为x时，小球下落到最低点。弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，已知重力加速度g。 (1)求小球刚接触弹簧时速度的大小。 (2)求压缩过程中弹簧弹性势能的最大值。 (3)以竖直向下为正方向，从小球接触弹簧开始计时，在图2中定性画出小球从接触弹簧到下落至最低点过程中速度v随时间t变化的图线。 22．（2026·北京三十五中）（多选）如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平面上，一小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度(在弹性限度内)。不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的加速度先增大后减小 B．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的速度先增大后减小 C．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的机械能一直减少 D．该过程的某一阶段内，小球的动能增大而小球的机械能减少 重难·创新演练 设题创新：结合教材知识拓展(T1);结合生活实际(T2、T6)；结合实践探究（T3）；结合教材知识运用（T4、T5）； 1．▶新情景◀（2026·北京顺义·模拟）粘滞性是流体内部阻碍各流体层之间相对滑动的特性，又称内摩擦。液体内部以及液体与容器壁之间均存在粘滞力（又称内摩擦力），粘滞系数是表征流体内摩擦大小的物理量。对于粘滞系数较大且较透明的液体，通常采用落球法测量其粘滞系数。足够深的透明容器中盛有密度为ρL的均匀、静止的粘性液体，密度为ρ、半径为r的均质小球从液面处由静止释放，如图所示。小球在该液体中下落（无转动），忽略容器壁影响，其受到的粘滞阻力F满足斯托克斯公式：F=6πηrv，式中v为小球运动的速度，η即为该液体的粘滞系数。已知重力加速度为g，小球最终的速度为v0，下列说法正确的是（　　） A．重力做功与浮力做功的代数和等于小球动能的增加量 B．下落过程中，小球减小的机械能全部转化为内能 C．该液体的粘滞系数 D．下落过程中，小球加速度的最大值为 2．▶新情景◀（2026·北京四中）图甲是游乐场的过山车在竖直圆轨道内做圆周运动的情景，图乙为某实验小组用可视为质点的小球代替过山车模拟的实验图。某次测试中，质量为的小球从曲面轨道上的点由静止下滑后，恰能在半径为的竖直圆轨道上完成圆周运动。已知为轨道最低点，为轨道最高点，、两点的高度差为，不计一切摩擦和空气阻力，且轨道各处平滑相连。则下列说法正确的是（　　） A．小球经过点时处于失重状态 B．、两点的高度差 C．小球在圆轨道上经过与圆心等高处时，其加速度是重力加速度的倍 D．小球释放点越高，则在轨道、两点受到的轨道弹力大小之差越大 3．▶新角度◀（2025·北京牛栏山第一中学）如图所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，其上下端点分别与物块B及地面固定连接，物块A放在B上并通过轻质细绳跨过光滑定滑轮M、N与轻质挂钩连接。M、A间细绳竖直且足够长，M、N间细绳水平，A、B两物块的质量分别为，，弹簧的劲度系数为，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取，开始时系统静止，细绳伸直无拉力作用。现在在轻质挂钩上挂上质量为的钩码C并从静止开始释放，释放时C位置离地面足够远，已知弹簧的弹性势能公式为（k为弹簧劲度系数，x为弹簧形变量）。关于钩码C下降、物块A、B上升过程中，下列说法正确的是（　　） A．释放钩码C时，A、B间的作用力为0 B．钩码C下降位移为0.3m时，A、B开始分离 C．从释放钩码C到A、B分离，A、B经历了先加速后减速的过程 D．A、B分离时速度大小为 4．▶新情景◀（2025·北京）某研究小组设计了一种测量弹簧玩具枪射出弹丸速度的装置，其简化原理如图所示。水平面与竖直面内的半圆形轨道在点平滑相接，被压缩的轻弹簧将弹丸由静止弹出，弹丸脱离弹簧后向右运动，冲上半圆形轨道并沿轨道运动，到达最高点后沿水平方向飞出，最后落到面的点点未画出）。已知半圆形轨道的半径为，重力加速度为。不计弹丸在整个运动过程中的摩擦力和空气阻力。 (1)弹丸沿半圆形轨道从点运动到点的过程中，机械能是否守恒？简要说明理由。 (2)某次实验中，弹丸恰好能沿半圆形轨道通过最高点，求此时弹丸的速度大小。 (3)某同学通过测量点到点的距离，可得出弹丸被射出时的速度大小，请推导出二者之间的关系。 5．▶新角度◀（2025·北京西城）如图所示，轻弹簧上端固定，下端悬吊一个钢球，钢球静止于O点。把钢球从O点向下拉下一段距离至P点，然后将钢球由静止释放，钢球向上运动可到达最高点Q点。已知钢球的质量为m，弹簧的劲度系数为k，P点与O点之间的距离为A，且在钢球运动过程中弹簧始终处于拉伸状态。已知重力加速度为g。 (1)求钢球静止于O点时弹簧的形变量x0。 (2)弹簧的弹性势能Ep跟形变量x的大小有关，其关系式为，其中k为弹簧的劲度系数。 a.类比重力做功与重力势能变化的关系，求钢球由P点运动到O点的过程中弹簧弹力做的功W。 b.证明：忽略空气阻力，钢球能到达的最高点Q点与P点关于O点对称。 6．▶新情景◀（2026·北京朝阳·二模）模型的修正和完善伴随着我们对物理本质更深入的认识。某学习小组对过山车的运动进行了深入研究。已知重力加速度为g，不计摩擦及空气阻力。 (1)先将过山车用可视为质点的小球来替代。 a．图甲所示的装置由两段可视为竖直平面内的倾斜直轨道与一半径为R的圆轨道顺接组成，在圆轨道最低点处的两侧稍微错开一小段距离，且分别与左右两侧的斜直轨道平滑相接。将一小球从左侧倾斜直轨道上某位置由静止释放，小球恰好能通过圆轨道最高点，求小球在圆轨道最高点的速度大小v1； b．实际的过山车竖直回环轨道不是正圆，而是设计成图乙所示的扁轨道，可将其简化为图丙所示的轨道。研究一般的曲线运动时，我们可将运动过程分割为许多很短的小段，每小段的运动均可看作是圆周运动的一部分。若轨道承压足够大，请比较小球从同一位置P由静止释放，分别沿扁轨道、正圆轨道到达最高点Q时轨道对其压力的大小关系，并说明这种设计的优点。 (2)实际的过山车并不能视为质点。如图丁所示，一列长为L、质量为M的玩具过山车，在无动力情况下，从水平轨道冲上半径为r的竖直圆轨道。已知L>2πr，不计过山车自身高度及相邻车体间碰撞。在车体始终布满轨道的一段时间内，过山车的速率保持不变，请在该段时间内分析下列问题： a．推导最高点处车体之间的拉力大小； b．取轨道最高点处的一小段长度为s的车体为研究对象。若此时左、右侧车体对其拉力大小可视为相等，且两力的合力大小为a问中拉力的倍，求该小段车体通过最高点时的最小速度vm。 真题·实战演练 高频考点：重力势能、机械能是否守恒的判断、单个物体的机械能守恒问题、含弹簧的机械能守恒问题 1．（2025·河南·高考）野外高空作业时，使用无人机给工人运送零件。如图，某次运送过程中的一段时间内，无人机向左水平飞行，零件用轻绳悬挂于无人机下方，并相对于无人机静止，轻绳与竖直方向成一定角度。忽略零件所受空气阻力，则在该段时间内（　　） A．无人机做匀速运动 B．零件所受合外力为零 C．零件的惯性逐渐变大 D．零件的重力势能保持不变 2．（2026·湖北·高考）（多选）如图所示，半径为、内壁光滑的圆环轨道固定在竖直平面内。初始时刻，质量为 的小球甲从圆环内表面最高处以大小为（为重力加速度大小）的水平初速度向右运动，同时质量为的小球乙从圆环内表面最低处以某一水平初速度向左运动。当甲第一次运动到圆环最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ） A．乙的初速度大小为 B．甲、乙两小球运动的周期相等 C．任意时刻两小球的连线均过圆环圆心 D．任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零 3．（2026·湖北·高考）（多选）某山沟竖直截面图如图所示，山沟的一侧竖直，另一侧是以 点为圆心、 为半径的圆弧，圆弧最高点与 点等高。救援队从 点以大小为的初速度向该山沟投掷救援物资，其中 是重力加速度大小。物资可视为质点，不计空气阻力。为避免损坏救援物资，要求物资落到圆弧上的速率最小，则物资（ ） A．在空中运动的时间为 B．与水平方向成 角斜上抛 C．抛出点与落点的高度差为 D．落到圆弧上的最小速率为 4．（2026·浙江·选考）如图所示，钢架雪车运动员在具有阻力的倾斜赛道上滑行，则（ ） A．运动员在转弯时加速度为0 B．运动员和钢架雪车整体机械能守恒 C．钢架雪车所受重力和赛道对钢架雪车的支持力是一对平衡力 D．钢架雪车对赛道的压力与赛道对钢架雪车的支持力是一对作用力和反作用力 5．（2025·课标卷·高考）如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为（重力加速度取10m/s2）（　　） A．4m B．5m C．6m D．7m 6．（2025·安徽·高考）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 7．（2025·山东·高考）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量的小球自Q点正上方处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到时，b解除锁定开始运动。已知a的质量，b的质量，方形物体的质量，重力加速度大小，弹簧的劲度系数，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式（x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求： (1)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小、； (2)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小及弹性势能的最大值。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $