第21讲 人造卫星 宇宙速度（专项训练）（北京专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以万有引力定律为核心，构建“公式推导-参量关系-特殊卫星-宇宙速度”递进式知识体系，融合基础巩固与创新应用，培养运动与相互作用观念及科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识解构|3知识点|公式推导（线速度等）、黄金代换、“越高越慢”结论|万有引力提供向心力→参量关系→同步/近地卫星特性→宇宙速度定义| |基础演练|3题型15题|参量比较（半径与v/ω/a/T关系）、卫星类型辨析（同步/近地/赤道物体）|应用公式结论解决不同卫星参量计算及比较问题| |重难创新|5题|新情境迁移（太空加油、星下点轨迹）、模型建构（椭圆轨道面积）|结合航天科技拓展知识应用场景，提升质疑创新能力| |真题实战|6高考题|高频考点突破（周期计算、轨道半长轴）|对接高考命题趋势，强化科学论证与问题解决能力|

第21讲 人造卫星 宇宙速度（专项训练） 目 录 巩固·知识解构 1 知识点1 卫星运行参量的分析 1 知识点2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运动问题 2 知识点3 宇宙速度 2 模拟·基础演练 4 题型01 卫星运行参量的比较与计算 4 题型02 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运动问题 5 题型03 宇宙速度 5 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 巩固·知识解构 知识点1 卫星运行参量的分析 1.基本公式 （1）线速度：由G。 （2）角速度：由G。 （3）周期：由G=m（）2r得T=2π 。 （4）向心加速度：由G。 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、a___________，T___________，即越高越慢。 2.“黄金代换式”的应用 忽略中心天体自转的影响，则有mg=G，整理可得__________。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。 知识点2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运动问题 1.人造卫星轨道及特点 （1）轨道：赤道轨道、极地轨道及一般轨道，如图所示。 （2）轨道特点：轨道圆心是地球的球心。 2.常见的几种人造卫星 （1）地球同步卫星：离地高度约36 000 km，周期与___________，即T=___________。  （2）静止卫星：地球同步卫星中轨道平面与___________共面，且与地球自转的方向相同的卫星。 （3）极地卫星：运行时每圈都经过南北两极。由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 （4）近地卫星：轨道在___________附近的卫星，其轨道半径r=R（地球半径），运行速度等于第一宇宙速度v=7.9 km/s（人造地球卫星的最大圆轨道运行速度），T=85 min（人造地球卫星的最小周期）。 ⚠特别提醒 近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。 知识点3 宇宙速度 1.宇宙速度 （1）第一宇宙速度 ①第一宇宙速度是物体在___________附近绕地球做匀速圆周运动时的速度，其数值为___________.___________ km/s。 对应的周期Tmin≈85 min，是最短周期。 ②第一宇宙速度是人造卫星的最小___________速度，也是人造卫星的最大___________速度。 ③第一宇宙速度的计算方法 由G=m得v=； 由mg=m得v=。 （2）第二宇宙速度 使物体挣脱___________引力束缚的最小发射速度，其数值为___________.___________ km/s。 （3）第三宇宙速度 使物体挣脱___________引力束缚的最小发射速度，其数值为___________.___________ km/s。 2.宇宙速度与运动轨迹的关系 （1）v发=7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 （2）7.9 km/s<v发<11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 （3）11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳做椭圆运动。 （4）v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 模拟·基础演练 考查重点：卫星运行参量的比较与计算、同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运动问题、宇宙速度…… ⏳题型01 卫星运行参量的比较与计算 1．（2026·北师大二附中）把火星和地球绕太阳运行的轨道视为匀速圆周运动。由火星和地球绕太阳运动的周期之比可以求得（　　） A．火星和地球绕太阳运行速度大小之比 B．火星和太阳的质量之比 C．太阳和地球的质量之比 D．火星和地球的密度之比 2．（2026·北师大二附中）（多选）如图所示，某卫星绕地球沿椭圆轨道运动，其周期为T。A、B、C、D是轨迹上的四个点，其中A距离地球最近，C距离地球最远。B、D是弧线和的中点。则下列说法正确的是（　　） A．卫星在A点的速度最大 B．卫星在A点的加速度最大 C．卫星从A经D到C点的运动时间为 D．卫星从B经A到D点的运动时间为 3．（2025·北京第八十中学）（多选）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球的自转周期为T，地球同步卫星离地面的高度为h，则地球同步卫星的线速度的大小可以表示为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·北京三十五中）人们通常利用运动的合成与分解，把比较复杂的机械运动等效分解为两个或多个简单的机械运动进行研究。下列情境中物体的运动轨迹都形似弹簧，其运动可分解为沿轴线的匀速直线运动和垂直轴线的匀速圆周运动。 (1)情境1：在图1甲所示的三维坐标系中，质点1沿Ox方向以速度v做匀速直线运动，质点2在yOz平面内以角速度做匀速圆周运动。质点3同时参与质点1和质点2的运动，其运动轨迹形似弹簧，如乙图所示。质点3在完成一个圆周运动的时间内，沿Ox方向运动的距离称为一个螺距，求质点3轨迹的“螺距”； (2)情境2：2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月壤回到地球。登月前，嫦娥五号在距离月球表面高为h处绕月球做匀速圆周运动，嫦娥五号绕月的圆平面与月球绕地球做匀速圆周运动的平面可看作垂直，如图2所示。已知月球的轨道半径为r，月球半径为R，且，地球质量为，月球质量为，嫦娥五号质量为，引力常量为G。求嫦娥五号轨迹的“螺距”。 ⏳题型02 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运动问题 5．（2026·北京顺义·一模）如图所示，物体a位于地球赤道表面，相对地面静止且随地球自转，b为近地卫星（卫星做圆周运动的轨道半径近似等于地球半径），c为地球同步卫星。下列说法正确的是（ ） A．a、b、c的周期大小关系为 B．a、b、c的速度大小关系为 C．地面对a的支持力与地球对a的万有引力大小相等 D．a的向心加速度与a所在位置处的重力加速度大小相等 6． 2025年2月，实践25号卫星成功为北斗G7卫星加注推进剂，完成了人类航天史上首次“太空加油”。已知北斗G7卫星在地球同步静止轨道绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ） A．北斗G7卫星的运行速度大于7.9km/s B．北斗G7卫星的向心加速度小于地球表面附近的重力加速度 C．北斗G7卫星的运行速度小于地球赤道上随地球自转物体的线速度 D．在地球同步静止轨道上运行的实践25号，可通过加速追上北斗G7卫星 7．（2026·北京东直门中学）有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则（　　） A．a的向心加速度等于重力加速度g，c的向心加速度大于d的向心加速度 B．在相同时间内b转过的弧长最长，a、c转过的弧长对应的角度相等 C．c在4小时内转过的圆心角是，a在1小时内转过的圆心角是 D．b的周期一定小于d的周期，d的周期一定小于24小时 8．（2026·北京九中）（多选）如图所示，A为地球赤道上的物体，B为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，C为地球静止卫星。关于A、B、C做匀速圆周运动的说法中正确的是（　　） A．A、B、C三物体，都仅由万有引力提供向心力 B．周期关系为 C．线速度的大小关系为 D．向心加速度的大小关系为 9．（2025·北京朝阳外国语）如图所示，A为地球表面赤道上的物体，B为轨道在赤道平面内的实验卫星，C为在赤道上空的地球同步卫星。已知卫星C和卫星B的轨道半径之比为，且两卫星的环绕方向相同。下列说法正确的是（　　） A．卫星B、C运行速度之比为 B．卫星B的加速度大于物体A的加速度 C．同一物体在卫星B中对支持物的压力比在卫星C中大 D．同一物体在卫星B、C中所受重力均为零 10．（2026·北京育英中学）2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r。已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求： (1) “天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v； (2)火星的质量M； (3)火星表面的重力加速度的大小g； (4)火星上的第一宇宙速度是多少？ ⏳题型03 宇宙速度 11．（2025·北京大兴精华·三模）已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零。假设距离某星球球心处的重力加速度g与h的关系图像如图所示，已知引力常量为，取球心处重力势能为零。则下列说法不正确的是（　　） A．可依据图像求出该星球质量 B．可求出距球心处质量为物体的重力势能 C．该星球的第二宇宙速度为 D．在距球心轨道上运行的卫星速度大小为 12．（2025·北京八十中）火星是太阳系中距离地球较近、自然环境与地球最为类似的行星之一。如果将地球和火星绕太阳的公转视为匀速圆周运动，并忽略行星自转的影响。根据表中数据，结合所学知识可以判断（　　） 行星 天体质量/kg 天体半径/m 公转轨道半径/m 地球 6.0 × 1024 6.4 × 106 1.5 × 1011 火星 6.4 × 1023 3.4 × 106 2.3 × 1011 A．火星的第一宇宙速度小于7.9km/s B．火星表面重力加速度大于地球表面的重力加速度 C．火星的公转周期小于一年 D．太阳对地球的引力比对火星的引力小 13．（2026·北京首师大附中）（多选）2021年5月15日“天问一号”探测器成功在火星软着陆，“祝融号”火星车开始开展巡视探测等工作，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。已知火星的直径约为地球的，质量约为地球的，请通过估算判断以下说法正确的是（ ） A．火星表面的重力加速度小于 B．“祝融号”火星车在火星表面所受重力大于在地球表面所受重力 C．探测器在火星表面附近的环绕速度小于 D．火星的第一宇宙速度等于地球的第一宇宙速度 14．（2025·北京一零一中）已知地球质量为，万有引力常量为。将地球视为半径为、质量均匀分布的球体。忽略地球自转影响。 (1)求地面附近的重力加速度； (2)求地球的第一宇宙速度； (3)若考虑地球的自转，求质量为的物体分别静止在南极和赤道上时，所受到的重力的差值，已知地球自转周期为。 15．（2026·北大附中）人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。 (1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方成正比，即，是一个常量。已知太阳的质量为，将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导太阳系中该常量的表达式，并说明影响常量的因素。 (2)已知地球质量为，万有引力常量为，将地球视为半径为、质量均匀分布的球体，忽略地球自转的影响，求地球的第一宇宙速度。 (3)地球自形成以来，其自转周期并不是一成不变的。科学研究就曾发现在一定历史时期内地球上的一天小于24小时。我们知道，若地球自转过快，地面上的物体就会被甩向太空，造成解体。在地球现有的平均密度下，为了不造成解体，请你推导最小自转周期与地球平均密度的关系式。已知球体体积公式为。 重难·创新演练 设题创新：结合航天科技(T1、T2、T3、T4);结合教材知识运用(T5) 1．▶新情境◀我国首颗配置柔性机械臂的“驭星三号”卫星在540 km高的圆轨道上运行，成功给另一卫星加注燃料，“驭星三号”质量减小，仍在原轨道上运行。完成加注的“驭星三号”卫星（　　） A．周期变小 B．速度变小 C．向心加速度变小 D．受地球引力变小 2．▶新情境◀（多选）“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点。如图所示为航天控制中心大屏幕上显示某卫星的“星下点”在一段时间内的轨迹，该卫星绕行方向与地球自转方向一致，则下列说法正确的是（　　） A．该卫星可以记录到南极点的气候变化 B．该卫星不能记录到北极点的气候变化 C．该卫星的轨道平面与赤道平面的夹角为42.4° D．地球静止同步轨道卫星的“星下点”为赤道上的一条直线 3．▶新情境◀（2025·北京北大附中·三模）第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度。理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍，即，其中为中心天体的质量，为其半径。这个关系对于其他天体也是正确的。由此可知，中心天体越大，越小，其逃逸速度也就越大。宇宙中存在这种天体，以的速度传播的光都不能逃逸。即使它确实在发光，光也不能进入太空，我们也根本看不到它，这种天体称为黑洞。科学家发现银河系中心天体是一颗质量为的黑洞，它附近有一颗恒星S2环绕，其运动轨道是一个非常扁的椭圆（如图）。若S2在近星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为，在远星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为。S2的椭圆轨道面积为，运动周期为，引力常量为。不计其他天体的影响，以下说法错误的是（　　） A．在近星点和远星点的速度满足 B．S2在近星点的线速度大小也可以表示为 C．S2在点和点的加速度大小之比为 D．中心天体黑洞的半径至多为 4．▶新情境◀ 我国“北斗三号”全球卫星导航系统包含多颗中圆地球轨道（MEO）卫星。已知其中一颗MEO卫星运行轨道离地面的高度约为地球半径的3倍，运行方向与地球自转方向相同；地球同步卫星运行轨道离地面的高度约为地球半径的5.6倍，向心加速度大小约为。这颗MEO卫星（ ） A．运行周期大于 B．运行速率大于 C．向心加速度大小约为 D．和同步卫星分别与地心的连线在相同时间内扫过的面积相等 5．▶新角度◀（2026·北京顺义·模拟）某行星绕恒星做匀速圆周运动，该恒星和行星均可视为质量分布均匀的球体，恒星球心到行星球心的距离为。已知恒星质量为，行星的质量为，行星的半径为，引力常量为，忽略行星的自转。 (1)求行星绕恒星做匀速圆周运动的向心加速度大小； (2)假设在行星表面距恒星最近处有一质量为的物体，求恒星和行星对该物体万有引力的差值； (3)由于某种因素的影响，行星缓慢向恒星靠近，行星绕恒星的运动仍可近似看成匀速圆周运动。当行星与恒星球心之间的距离小于某个值时，行星表面物体就会被恒星吸走，进而导致行星可能被撕裂”（行星表面物体脱离行星表面，不再随行星同步运动），推导的表达式。[提示：当时， 真题·实战演练 高频考点：卫星运行参量的比较与计算、宇宙速度 1．（2026·湖北·高考）已知某卫星绕地球做椭圆运动，在近地点所受的地球引力为其在地面附近的，在远地点所受的地球引力为其在地面附近的。地面附近的重力加速度大小为，地球半径为，该卫星的运动周期为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·山东·高考）海王星的卫星海卫二绕海王星的公转周期与地球公转周期近似相等。若太阳与海王星的质量比为 ，定义地球与太阳间的距离为1个天文单位（1 AU），则海卫二公转轨道的半长轴约为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·河南·高考）“土星环”是由绕土星运动的颗粒组成的带状薄圆环，图为拍摄的真实照片。已知土星的平均密度约为，引力常量，由照片信息估算位于“土星环”上的中间颗粒绕土星做圆周运动的周期是（ ） A． B． C． D． 4．（2026·广东·高考）如图所示，某行星对单个卫星表面最远点与最近点的单位质量物体的“引力差值”可近似为，其中为常量，为行星质量，为卫星球体半径，为行星中心到卫星中心的距离。两卫星P和Q的球体半径之比为，它们绕该行星做匀速圆周运动的周期之比为 ，该行星对卫星P、Q的“引力差值”分别为、，则为（ ） A．1∶4 B．1∶16 C．1∶32 D．1∶64 5．（2025·河南·高考）2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为（　　） A．13天 B．27天 C．64天 D．128天 6．（2025·甘肃·高考）如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．若，小星球做匀速圆周运动 B．若，小星球做抛物线运动 C．若，小星球做椭圆运动 D．若，小星球可能与恒星相撞 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 人造卫星 宇宙速度（专项训练） 目 录 巩固·知识解构 1 知识点1 卫星运行参量的分析 1 知识点2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运动问题 2 知识点3 宇宙速度 2 模拟·基础演练 4 题型01 卫星运行参量的比较与计算 4 题型02 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运动问题 5 题型03 宇宙速度 5 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 巩固·知识解构 知识点1 卫星运行参量的分析 1.基本公式 （1）线速度：由G。 （2）角速度：由G。 （3）周期：由G=m（）2r得T=2π 。 （4）向心加速度：由G。 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、a越小，T越大，即越高越慢。 2.“黄金代换式”的应用 忽略中心天体自转的影响，则有mg=G，整理可得GM=gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。 知识点2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运动问题 1.人造卫星轨道及特点 （1）轨道：赤道轨道、极地轨道及一般轨道，如图所示。 （2）轨道特点：轨道圆心是地球的球心。 2.常见的几种人造卫星 （1）地球同步卫星：离地高度约36 000 km，周期与地球自转周期相同，即T=24 h。  （2）静止卫星：地球同步卫星中轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同的卫星。 （3）极地卫星：运行时每圈都经过南北两极。由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 （4）近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r=R（地球半径），运行速度等于第一宇宙速度v=7.9 km/s（人造地球卫星的最大圆轨道运行速度），T=85 min（人造地球卫星的最小周期）。 ⚠特别提醒 近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。 知识点3 宇宙速度 1.宇宙速度 （1）第一宇宙速度 ①第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度，其数值为7.9 km/s。 对应的周期Tmin≈85 min，是最短周期。 ②第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。 ③第一宇宙速度的计算方法 由G=m得v=； 由mg=m得v=。 （2）第二宇宙速度 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。 （3）第三宇宙速度 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。 2.宇宙速度与运动轨迹的关系 （1）v发=7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 （2）7.9 km/s<v发<11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 （3）11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳做椭圆运动。 （4）v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 模拟·基础演练 考查重点：卫星运行参量的比较与计算、同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运动问题、宇宙速度…… ⏳题型01 卫星运行参量的比较与计算 1．（2026·北师大二附中）把火星和地球绕太阳运行的轨道视为匀速圆周运动。由火星和地球绕太阳运动的周期之比可以求得（　　） A．火星和地球绕太阳运行速度大小之比 B．火星和太阳的质量之比 C．太阳和地球的质量之比 D．火星和地球的密度之比 【答案】A 【解析】A．根据开普勒第三定律（仅与中心天体太阳有关） 已知二者周期比可求出轨道半径之比；再结合线速度公式 联立轨道半径比和周期比即可求得二者绕太阳运行的速度大小之比，故A正确； B．由万有引力提供向心力得 公式中环绕天体（火星）的质量会被约去，无法求得火星质量，因此不能得到火星和太阳的质量之比，故B错误； C．同理，上述公式中环绕天体（地球）的质量会被约去，无法求得地球质量，因此不能得到太阳和地球的质量之比，故C错误； D．行星自身质量无法通过绕太阳的运动参数求得，且题目未给出火星和地球的自身半径，无法计算二者密度，故D错误。故选A。 2．（2026·北师大二附中）（多选）如图所示，某卫星绕地球沿椭圆轨道运动，其周期为T。A、B、C、D是轨迹上的四个点，其中A距离地球最近，C距离地球最远。B、D是弧线和的中点。则下列说法正确的是（　　） A．卫星在A点的速度最大 B．卫星在A点的加速度最大 C．卫星从A经D到C点的运动时间为 D．卫星从B经A到D点的运动时间为 【答案】ABC 【解析】A．根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，则卫星与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，卫星在距离地球最近的A点的速度最大，A正确； B．万有引力提供卫星圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可得 解得 可知在A点的加速度最大，在C点的加速度最小，B正确； C．卫星从A经B到C的速度一直减小，从A经D到C的速度也一直减小，两种情况下路程一样，根据对称性规律可知，卫星从A经D到C点的运动时间为，故C正确； D．卫星从B经A到D的速度一直大于从B经C到D的速度，两种情况下的路程一样，所以卫星从B经A到D点的运动时间小于，故D错误。故选ABC。 3．（2025·北京第八十中学）（多选）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球的自转周期为T，地球同步卫星离地面的高度为h，则地球同步卫星的线速度的大小可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】在地球表面有 由万有引力提供向心力 联立可得地球同步卫星的线速度的大小 根据题意地球同步卫星的线速度的大小还可以表示为；故选CD。 4．（2025·北京三十五中）人们通常利用运动的合成与分解，把比较复杂的机械运动等效分解为两个或多个简单的机械运动进行研究。下列情境中物体的运动轨迹都形似弹簧，其运动可分解为沿轴线的匀速直线运动和垂直轴线的匀速圆周运动。 (1)情境1：在图1甲所示的三维坐标系中，质点1沿Ox方向以速度v做匀速直线运动，质点2在yOz平面内以角速度做匀速圆周运动。质点3同时参与质点1和质点2的运动，其运动轨迹形似弹簧，如乙图所示。质点3在完成一个圆周运动的时间内，沿Ox方向运动的距离称为一个螺距，求质点3轨迹的“螺距”； (2)情境2：2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月壤回到地球。登月前，嫦娥五号在距离月球表面高为h处绕月球做匀速圆周运动，嫦娥五号绕月的圆平面与月球绕地球做匀速圆周运动的平面可看作垂直，如图2所示。已知月球的轨道半径为r，月球半径为R，且，地球质量为，月球质量为，嫦娥五号质量为，引力常量为G。求嫦娥五号轨迹的“螺距”。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）质点转动一圈所用的时间为 质点3轨迹的螺距为 解得 （2）在地球上看来，嫦娥五号的轨迹为半径很大的圆形弹簧，其螺距等于月球绕地球运动的线速度与嫦娥五号绕月球的周期相乘。 地月间的引力提供月球绕地球转动的向心力 月球与嫦娥五号的引力提供嫦娥五号绕月球圆周运动的向心力 轨迹的螺距 联立解得 ⏳题型02 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运动问题 5．（2026·北京顺义·一模）如图所示，物体a位于地球赤道表面，相对地面静止且随地球自转，b为近地卫星（卫星做圆周运动的轨道半径近似等于地球半径），c为地球同步卫星。下列说法正确的是（ ） A．a、b、c的周期大小关系为 B．a、b、c的速度大小关系为 C．地面对a的支持力与地球对a的万有引力大小相等 D．a的向心加速度与a所在位置处的重力加速度大小相等 【答案】B 【解析】A．同步卫星的周期和地球自转周期相等，因此 对卫星，根据开普勒第三定律，由图可知，所以 a、b、c的周期大小关系为，A错误； B．a与c角速度相同，根据， 得 对卫星b、c，根据牛顿第二定律 可得，因，故 a、b、c的速度大小关系为，B正确； C．地球对a的万有引力一部分提供自转所需的向心力，剩余部分等于地面对a的支持力（即重力大小等于支持力），即，因此，C错误； D．赤道处自转向心加速度远小于重力加速度，二者不相等，D错误。故选 B。 6． 2025年2月，实践25号卫星成功为北斗G7卫星加注推进剂，完成了人类航天史上首次“太空加油”。已知北斗G7卫星在地球同步静止轨道绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ） A．北斗G7卫星的运行速度大于7.9km/s B．北斗G7卫星的向心加速度小于地球表面附近的重力加速度 C．北斗G7卫星的运行速度小于地球赤道上随地球自转物体的线速度 D．在地球同步静止轨道上运行的实践25号，可通过加速追上北斗G7卫星 【答案】B 【解析】A．第一宇宙速度7.9km/s是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，由万有引力提供向心力得，同步卫星轨道半径大于近地卫星轨道半径，因此运行速度小于7.9km/s，故A错误； B．由万有引力提供向心加速度得，地球表面重力加速度（为地球半径），同步卫星轨道半径，因此其向心加速度小于地表重力加速度，故B正确； C．同步卫星与地球赤道上随地球自转的物体角速度相同，由线速度公式，同步卫星轨道半径更大，因此线速度大于赤道上物体的线速度，故C错误； D．在同步轨道上的卫星若加速，万有引力不足以提供向心力，会做离心运动进入更高轨道，无法追上原轨道的北斗G7卫星，故D错误。故选B。 7．（2026·北京东直门中学）有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则（　　） A．a的向心加速度等于重力加速度g，c的向心加速度大于d的向心加速度 B．在相同时间内b转过的弧长最长，a、c转过的弧长对应的角度相等 C．c在4小时内转过的圆心角是，a在1小时内转过的圆心角是 D．b的周期一定小于d的周期，d的周期一定小于24小时 【答案】B 【解析】A．b的向心加速度等于重力加速度，a和c角速度相等，但a圆周运动的半径比 c的小，根据可知，a的向心加速度比c的小，根据万有引力提供向心力有 得 即轨道半径越大，向心加速度越小，故b的向心加速度比c的大，故a的向心加速度小于重力加速度g，c的向心加速度大于d的向心加速度，故A错误； B．a、c角速度相等，故相等的时间内a、c转过的弧长对应的角度相等，但a圆周运动的半径比c的小，根据可知， a的线速度比c的小，根据万有引力提供向心力有 得 即轨道半径越大，线速度越小，故 故b的线速度最大，在相同时间内b转过的弧长最长，故B正确； C．c在4小时内转过的圆心角是，a在1小时内转过的圆心角是，故C错误； D．根据开普勒第三定律可知， 因，d的周期一定大于24小时，故D错误。故选B。 8．（2026·北京九中）（多选）如图所示，A为地球赤道上的物体，B为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，C为地球静止卫星。关于A、B、C做匀速圆周运动的说法中正确的是（　　） A．A、B、C三物体，都仅由万有引力提供向心力 B．周期关系为 C．线速度的大小关系为 D．向心加速度的大小关系为 【答案】CD 【解析】A．B、C围绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，A为地球赤道上的物体，由万有引力和地面给的支持力的合力提供向心力，故A错误； B．C为地球静止卫星，A为地球赤道上的物体，两者的周期与地球自转周期相等，根据 解得 由图可知 可得，故B错误； C．C为地球静止卫星，根据 A、C角速度相等，A的轨道半径小一些，则有 根据 解得 C的轨道半径大于B的轨道半径，则C的线速度小于B的线速度，则有，故C正确； D．C为地球静止卫星，根据 A、C角速度相等，A的运动半径小一些，则有 根据 解得 由于C的轨道半径大于B的轨道半径，则C的加速度小于B的加速度，则有，故D正确。故选CD。 9．（2025·北京朝阳外国语）如图所示，A为地球表面赤道上的物体，B为轨道在赤道平面内的实验卫星，C为在赤道上空的地球同步卫星。已知卫星C和卫星B的轨道半径之比为，且两卫星的环绕方向相同。下列说法正确的是（　　） A．卫星B、C运行速度之比为 B．卫星B的加速度大于物体A的加速度 C．同一物体在卫星B中对支持物的压力比在卫星C中大 D．同一物体在卫星B、C中所受重力均为零 【答案】B 【解析】A．根据 解得 已知卫星B和卫星C的轨道半径之比为，则卫星B、C运行速度之比为，A错误； B．根据 可得 因为卫星B的轨道半径小于卫星C，则卫星C的加速度小于卫星B的加速度；又因为物体A与卫星C的角速度相同，根据 可知卫星C的加速度大于物体A，故卫星B的加速度大于物体A，B正确； CD．绕地球做匀速圆周运动的卫星内的物体都处于完全失重状态，物体视重为0，但所受重力不为0，所以物体对支持物的压力都是0，CD错误。故选B。 10．（2026·北京育英中学）2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r。已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求： (1) “天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v； (2)火星的质量M； (3)火星表面的重力加速度的大小g； (4)火星上的第一宇宙速度是多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小 （2）设火星质量为，“天问一号”质量为，“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，火星对“天问一号”的万有引力提供了“天问一号”做圆周运动的向心力，则 解得火星的质量 （3）设火星表面有一个质量为的物体，不考虑火星的自转，其重力等于万有引力，则 又 解得 （4）设质量为的物体贴近火星表面飞行，设火星上的第一宇宙速度大小为，则 又 解得 ⏳题型03 宇宙速度 11．（2025·北京大兴精华·三模）已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零。假设距离某星球球心处的重力加速度g与h的关系图像如图所示，已知引力常量为，取球心处重力势能为零。则下列说法不正确的是（　　） A．可依据图像求出该星球质量 B．可求出距球心处质量为物体的重力势能 C．该星球的第二宇宙速度为 D．在距球心轨道上运行的卫星速度大小为 【答案】C 【解析】A．根据图像可得当时，此时加速度最大，故根据 可得，故可求出该星球质量，故A正确，不符合题意； B．距球心处质量为物体的重力势能为，由图像可求出在时，可得出对应的距离某星球球心处的重力加速度g的大小，故可求出此点的重力势能，故B正确，不符合题意； C．根据 可得第一宇宙速度为 由于第一宇宙速度与第二宇宙速度的关系为 则该星球的第二宇宙速度为，故C错误，符合题意； D．在距球心轨道上运行的卫星，根据 解得在距球心轨道上运行的卫星速度大小为，故D正确，不符合题意。故选C。 12．（2025·北京八十中）火星是太阳系中距离地球较近、自然环境与地球最为类似的行星之一。如果将地球和火星绕太阳的公转视为匀速圆周运动，并忽略行星自转的影响。根据表中数据，结合所学知识可以判断（　　） 行星 天体质量/kg 天体半径/m 公转轨道半径/m 地球 6.0 × 1024 6.4 × 106 1.5 × 1011 火星 6.4 × 1023 3.4 × 106 2.3 × 1011 A．火星的第一宇宙速度小于7.9km/s B．火星表面重力加速度大于地球表面的重力加速度 C．火星的公转周期小于一年 D．太阳对地球的引力比对火星的引力小 【答案】A 【解析】A．对环绕星球表面的卫星有 解得星球的第一宇宙速度 根据表格数据，可得火星与地球第一宇宙速度之比 故，小于7.9km/s，故A正确； B．在星球表面有 解得星球表面重力加速度 则火星表面的重力加速度与地面表面的重力加速度之比 整理得，故B错误； C．根据开普勒第三定律 因为，，年，联立可知年，故C错误； D．太阳对行星的引力 表格数据可知，与火星相比，地球轨道半径更小且质量更大，故太阳对地球的引力比对火星的引力大，故D错误。故选A。 13．（2026·北京首师大附中）（多选）2021年5月15日“天问一号”探测器成功在火星软着陆，“祝融号”火星车开始开展巡视探测等工作，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。已知火星的直径约为地球的，质量约为地球的，请通过估算判断以下说法正确的是（ ） A．火星表面的重力加速度小于 B．“祝融号”火星车在火星表面所受重力大于在地球表面所受重力 C．探测器在火星表面附近的环绕速度小于 D．火星的第一宇宙速度等于地球的第一宇宙速度 【答案】AC 【解析】AB．探测器在星球表面受到重力等于万有引力，即 解得星球表面重力加速度 已知火星的直径约为地球的，质量约为地球的，地球表面重力加速度为，解得火星表面的重力加速度 可知探测器在火星表面所受重力小于在地球表面所受重力，故A正确，B错误； C．探测器在星球表面，绕星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有 解得 则探测器在火星表面的环绕速度，故C正确； D．探测器在星球表面的环绕速度即该星球的第一宇宙速度，由C可知，火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故D错误。故选AC。 14．（2025·北京一零一中）已知地球质量为，万有引力常量为。将地球视为半径为、质量均匀分布的球体。忽略地球自转影响。 (1)求地面附近的重力加速度； (2)求地球的第一宇宙速度； (3)若考虑地球的自转，求质量为的物体分别静止在南极和赤道上时，所受到的重力的差值，已知地球自转周期为。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）在地球表面的物体所受重力等于万有引力，即 求得 （2）对于地球的近地卫星，根据万有引力提供向心力有 求得 （3）若考虑地球的自转，设南极和赤道处的重力加速度分别为和，则质量为的物体分别静止在南极和赤道上时，有， 则 15．（2026·北大附中）人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。 (1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方成正比，即，是一个常量。已知太阳的质量为，将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导太阳系中该常量的表达式，并说明影响常量的因素。 (2)已知地球质量为，万有引力常量为，将地球视为半径为、质量均匀分布的球体，忽略地球自转的影响，求地球的第一宇宙速度。 (3)地球自形成以来，其自转周期并不是一成不变的。科学研究就曾发现在一定历史时期内地球上的一天小于24小时。我们知道，若地球自转过快，地面上的物体就会被甩向太空，造成解体。在地球现有的平均密度下，为了不造成解体，请你推导最小自转周期与地球平均密度的关系式。已知球体体积公式为。 【答案】(1)，常量仅与中心天体太阳的质量有关 (2) (3) 【解析】（1）设行星质量为，轨道半径为，将行星绕太阳的运动视为圆周运动，根据万有引力提供向心力可得解得 对于椭圆轨道，其半长轴与圆轨道半径等效，故有，则常数的表达式为，由该表达式可知，常量仅与中心天体太阳的质量有关。 （2）设地球表面一质量为的物体，其绕地球表面做匀速圆周运动的速度即为第一宇宙速度，由万有引力提供向心力可得 解得地球的第一宇宙速度 （3）当自转周期缩短至地球赤道上的物体恰好被甩飞时，物体对地面压力为零，万有引力完全提供向心力，此时自转周期最小。 设赤道上一物体质量为，则有 已知地球质量 联立解得最小自转周期 重难·创新演练 设题创新：结合航天科技(T1、T2、T3、T4);结合教材知识运用(T5) 1．▶新情境◀我国首颗配置柔性机械臂的“驭星三号”卫星在540 km高的圆轨道上运行，成功给另一卫星加注燃料，“驭星三号”质量减小，仍在原轨道上运行。完成加注的“驭星三号”卫星（　　） A．周期变小 B．速度变小 C．向心加速度变小 D．受地球引力变小 【答案】D 【解析】卫星绕地球做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，满足公式 且卫星仍在原轨道运行，轨道半径为定值。 A．由公式推导得，周期与卫星质量无关，不变则周期不变，故A错误； B．由公式推导得，线速度与卫星质量无关，不变则线速度不变，故B错误； C．由公式推导得，向心加速度与卫星质量无关，不变则向心加速度不变，故C错误； D．地球对卫星的引力，卫星加注后质量减小，其余量不变，因此受到的地球引力变小，故D正确。故选D。 2．▶新情境◀（多选）“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点。如图所示为航天控制中心大屏幕上显示某卫星的“星下点”在一段时间内的轨迹，该卫星绕行方向与地球自转方向一致，则下列说法正确的是（　　） A．该卫星可以记录到南极点的气候变化 B．该卫星不能记录到北极点的气候变化 C．该卫星的轨道平面与赤道平面的夹角为42.4° D．地球静止同步轨道卫星的“星下点”为赤道上的一条直线 【答案】AC 【解析】AB．由题图可知，1天内卫星绕地球运动4周，则卫星轨道半经为 卫星的纬度最高时，卫星距离赤道平面的高度为 北极点距离赤道平面的高度为 因此卫星的高度h大于北极点的高度，卫星可以记录到北极点的气候变化，同理也能记录到南极点的气候变化，故A正确，B错误； C．卫星星下点轨迹的最高纬度是北纬42.4°，最低纬度是南纬42.4°，该卫星的轨道平面与赤道平面的夹角为42.4°，故C正确； D．地球静止同步轨道卫星相对地球静止，其星下点为赤道上的一个点，而不是一条直线，故D错误。故选AC 。 3．▶新情境◀（2025·北京北大附中·三模）第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度。理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍，即，其中为中心天体的质量，为其半径。这个关系对于其他天体也是正确的。由此可知，中心天体越大，越小，其逃逸速度也就越大。宇宙中存在这种天体，以的速度传播的光都不能逃逸。即使它确实在发光，光也不能进入太空，我们也根本看不到它，这种天体称为黑洞。科学家发现银河系中心天体是一颗质量为的黑洞，它附近有一颗恒星S2环绕，其运动轨道是一个非常扁的椭圆（如图）。若S2在近星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为，在远星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为。S2的椭圆轨道面积为，运动周期为，引力常量为。不计其他天体的影响，以下说法错误的是（　　） A．在近星点和远星点的速度满足 B．S2在近星点的线速度大小也可以表示为 C．S2在点和点的加速度大小之比为 D．中心天体黑洞的半径至多为 【答案】B 【解析】A．根据开普勒第二定律可知在近星点的速度大于远星点的速度，即，故A正确； B．根据开普勒第二定律 可得，故B错误； C．根据牛顿第二定律 可得 则S2在点和点的加速度大小之比为，故C正确； D．因为光都不能逃逸，根据逃逸速度公式 当时，可得 解得 所以中心天体黑洞的半径至多为，故D正确。 本题选说法错误项，故选B。 4．▶新情境◀ 我国“北斗三号”全球卫星导航系统包含多颗中圆地球轨道（MEO）卫星。已知其中一颗MEO卫星运行轨道离地面的高度约为地球半径的3倍，运行方向与地球自转方向相同；地球同步卫星运行轨道离地面的高度约为地球半径的5.6倍，向心加速度大小约为。这颗MEO卫星（ ） A．运行周期大于 B．运行速率大于 C．向心加速度大小约为 D．和同步卫星分别与地心的连线在相同时间内扫过的面积相等 【答案】C 【解析】设地球半径为，则MEO卫星轨道半径 同步卫星轨道半径 同步卫星向心加速度，周期 A.根据开普勒第三定律得周期 所以 故，故A错误； B. 万有引力充当向心力得 由于都围绕地球运行，运行速率 第一宇宙速度，对应 所以，故 B 错误； C. 万有引力充当向心力得 由于都围绕地球运行，向心加速度 故，故C正确； D.根据开普勒第二定律，同一个卫星与中心天体的连线在相同时间内扫过的面积相等，不适用于比较两个不同轨道上的卫星，故D错误。故选C。 5．▶新角度◀（2026·北京顺义·模拟）某行星绕恒星做匀速圆周运动，该恒星和行星均可视为质量分布均匀的球体，恒星球心到行星球心的距离为。已知恒星质量为，行星的质量为，行星的半径为，引力常量为，忽略行星的自转。 (1)求行星绕恒星做匀速圆周运动的向心加速度大小； (2)假设在行星表面距恒星最近处有一质量为的物体，求恒星和行星对该物体万有引力的差值； (3)由于某种因素的影响，行星缓慢向恒星靠近，行星绕恒星的运动仍可近似看成匀速圆周运动。当行星与恒星球心之间的距离小于某个值时，行星表面物体就会被恒星吸走，进而导致行星可能被撕裂”（行星表面物体脱离行星表面，不再随行星同步运动），推导的表达式。[提示：当时， 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）行星绕恒星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，即 解得 （2）恒星对该物体的万有引力为 行星对该物体的万有引力为 所以恒星和行星对该物体万有引力的差值 （3）设行星表面的物体m恰好被吸走，此时物体与行星间的支持力为零。对物体m，其受到恒星的引力与行星的引力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 脱离时刻，行星表面物体和行星有相同的角速度由得 物体的向心加速度 可得 整理得 由于，所以 代入可得 整理可得 真题·实战演练 高频考点：卫星运行参量的比较与计算、宇宙速度 1．（2026·湖北·高考）已知某卫星绕地球做椭圆运动，在近地点所受的地球引力为其在地面附近的，在远地点所受的地球引力为其在地面附近的。地面附近的重力加速度大小为，地球半径为，该卫星的运动周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知，对于地球表面的物体，由万有引力等于重力有 可得 由万有引力公式有 可知，近地点到焦点的距离为，远地点到焦点的距离为，则卫星椭圆轨道的半长轴为 设卫星在轨道半径为的圆周上做圆周运动的周期为，在椭圆轨道上的运动周期为，由开普勒第三定律有 由万有引力提供向心力有 联立解得 故选B。 2．（2026·山东·高考）海王星的卫星海卫二绕海王星的公转周期与地球公转周期近似相等。若太阳与海王星的质量比为 ，定义地球与太阳间的距离为1个天文单位（1 AU），则海卫二公转轨道的半长轴约为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】地球绕太阳公转：设地球公转周期为​，日地距离，太阳质量为​，则 海卫二绕海王星公转：设海卫二公转周期为​，轨道半长轴为​，海王星质量为，则 已知，且则 整理得 故 故选A。 3．（2026·河南·高考）“土星环”是由绕土星运动的颗粒组成的带状薄圆环，图为拍摄的真实照片。已知土星的平均密度约为，引力常量，由照片信息估算位于“土星环”上的中间颗粒绕土星做圆周运动的周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设土星半径为 ，质量为 ，土星环上颗粒的轨道半径为，周期为 。颗粒绕土星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有 其中土星质量 联立解得周期 的表达式 由照片信息可得 代入数据解得 故选B。 4．（2026·广东·高考）如图所示，某行星对单个卫星表面最远点与最近点的单位质量物体的“引力差值”可近似为，其中为常量，为行星质量，为卫星球体半径，为行星中心到卫星中心的距离。两卫星P和Q的球体半径之比为，它们绕该行星做匀速圆周运动的周期之比为 ，该行星对卫星P、Q的“引力差值”分别为、，则为（ ） A．1∶4 B．1∶16 C．1∶32 D．1∶64 【答案】C 【解析】根据可得 又因为两卫星绕该行星做匀速圆周运动的周期之比为8：1，可得 根据“引力差值”公式，其中M和k相同，所以 故选C。 5．（2025·河南·高考）2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为（　　） A．13天 B．27天 C．64天 D．128天 【答案】A 【解析】地球绕太阳运行的周期约为365天，根据万有引力提供向心力得 已知，，同理得 整理得 代入数据得；故选A。 6．（2025·甘肃·高考）如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．若，小星球做匀速圆周运动 B．若，小星球做抛物线运动 C．若，小星球做椭圆运动 D．若，小星球可能与恒星相撞 【答案】A 【解析】A．根据题意，由万有引力提供向心力有 解得 可知，若，小星球做匀速圆周运动，故A正确； B．结合A分析可知，若，万有引力不足以提供小星球做匀速圆周运动所需要的向心力，小星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力范围，所以小星球做椭圆运动，而不是抛物线运动，故B错误； C．若，这是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度，小星球将做抛物线运动，而不是椭圆运动，故C错误； D．若，小星球将脱离恒星引力束缚，做双曲线运动，不可能与恒星相撞，故D错误。故选A。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 人造卫星 宇宙速度（专项训练） 模拟·基础演练 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 11 13 14 答案 D D AC A D B C D D D A 题号 15 答案 B 4. 解:（1）行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动，则有 根据开普勒第三定律得 周期与线速度的关系为 联立解得 可知太阳对行星的作用力F与r的平方成反比。 （2）分别在近日点和远日点取相等的很小时间，根据开普勒第二定律有 解得 则行星在近日点和远日点的速度大小之比。 5. 解:（1）a.万有引力提供向心力，有 解得 b.设近P点的速度为，根据开普勒第二定律 由于v趋于零，探测器从远P点到近P点的过程中，万有引力对探测器做正功，所以d趋于零。 c.因制动后探测器做更扁的椭圆轨道，若减速至零时，可认为做长轴为r、短轴为零的无限扁椭圆轨道，其周期为。由开普勒第三定律，得 因为 联立解得 （2）万有引力、库仑力均与距离r的平方成反比，结合运动与相互作用观，图丙中的m与图丁中的-q两者的运动也具有相似性，设电荷-q在距离Q为处做匀速圆周运动时，周期为，则有 荷-q由静止释放可认为做无限扁的椭圆运动，长轴，设其周期为。 类比天体运动中的开普勒第三定律，有 且 综上可得 12. 解:（1）①大球的质量为，挖去小球的质量为， 大球对点小物体的引力为 小球单独存在时对点小物体的引力为 则剩余部分对点小物体的引力为 解得 ②由于质量分布均匀的球壳对内部的引力为零，大球对点小物体的引力相当于球心在、半径为的球体对点小物体的引力，即 由①可知 又因为质点位于挖去小球的球心处，质量分布均匀的小球对其球心处质点的引力为0，即 则 （2）①如果将空腔区域填满相同密度的岩石，则点重力加速度将回归正常值。因此该处重力加速度反常可通过填充后的球形区域附加引力计算。 若在点放置一质量为的质点，则该附加引力为 根据牛顿第二定律，空腔的重力加速度变化满足，其中 则，方向沿连线向外。 因此，处重力加速度反常大小，其中 解得，方向竖直向上 ②利用某地区的重力加速度反常，可推算地下矿物的位置、密度、储量等，辅助石油、天然气、金属等矿物勘探。也可用于考古洞穴定位、地质构造分析等。合理即可。 16. 解：（1）根据万有引力提供向心力得 解得月球的质量 （2）月球的体积 则月球的密度 （3）根据万有引力等于重力得 解得 17. 解：（1）设绕黑洞做匀速圆周运动的物质质量为m，轨道半径为r，则有 m的动能、引力势能分别为， m的机械能 联立解得 单位时间内进入吸积盘的质量为，物质从距离黑洞处运动到距离黑洞处，单位时间内机械能的减少量等于电磁辐射功率，即 解得黑洞的质量 （2） S0-2 星体做椭圆运动的半长轴约为、周期约为，将椭圆运动近似为半径为 的匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故 整理得黑洞的质量 18. 解：（1）a．由题可知，球体内包含的质量大小为 根据万有引力定律可得，星系P受到引力的大小为 b．宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小 结合 解得随距离r变化的关系式 （2）当P到O的距离为r时，球体内包含的“未知物质”的质量为 星系P受到的斥力为 （3）a． b．此后P的运动情况可能为：P做远离O点的加速度增加的加速运动；P做靠近O点的加速度增加的加速运动；P处于静止状态。 重难·创新演练 1.D 2. 解:（1）根据万有引力定律 （2）根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 化简可得，即 （3）卫星围绕地球做匀速圆周运动 解得 行星绕太阳做匀速圆周运动 解得 联立可得，所以k卫与k不相等 3. 解:（1）由题图可知小球半径，因材料相同，密度相等，小球质量 大球对小物体m的万有引力 方向指向大球球心O。小球对小物体m的万有引力 方向指向小球球心。由于两力方向相反，合力大小 （2）采用割补法，剩余部分引力等于完整大球引力减去挖去部分引力。由图可知，挖去的小球与大球内切于右侧且过球心O，故挖去小球球心距O点距离为 小物体m距O点2R，则距挖去小球球心距离 完整大球对m的引力 挖去部分质量，对m的引力 两力方向均指向左侧，故剩余部分引力大小 （3）小物体m移动到挖去小球的球心位置，即距大球球心O距离为处。此时m位于大球内部。根据球壳定理, 质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。完整大球对m的引力等效于半径为的内部球体产生的引力。该内部球体质量 完整大球对m的引力 挖去的小球球心即为m所在位置，均匀球体对球心处质点引力为零，即挖去的小球对m的引力 故剩余部分对m的引力大小 4. 解:（1）月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得月球绕地球公转的线速度大小 （2）在地球表面，忽略自转影响，物体受到的重力等于万有引力，即 解得地球表面重力加速度 同理，在月球表面有 物体做自由落体运动，下落高度 联立解得 （3）月球绕地球做匀速圆周运动，其向心加速度 代入题给数据 ， ， 计算得 若“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵从相同的规律，根据， 则月球轨道处的向心加速度应满足 已知，地球表面重力加速度，则理论推算值 由于计算出的向心加速度 与理论推算值在误差允许范围内相等，说明两者遵从相同的规律。 5. 解:（1）a、当时，根据万有引力定律 解得 b、当时， 解得 （2）根据万有引力定律有 宇宙总质量不变 解得 （3）在（2）的模型中，星系P受到的引力做负功，会使星系远离O点的速度越来越小，与观察到膨胀的速度越来越大不符。 修正方案：星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。将模型做如下修正：“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度（单位体积内所含的能量），且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量为”。 当P到O的距离为r时，球体内包含的“未知物质”的质量为 星系P受到的斥力为 根据上述分析可知，， 故其大致图像如下 当r增大到某个值时，斥力大于引力，星系将做加速运动。 6. 解:（1）设质量为的物体以速度水平抛出恰能成为人造地球卫星，此时地球对物体的万有引力提供其绕地球做匀速圆周运动的向心力 由牛顿第二定律得 解得 （2）设使探测器脱离地球引力束缚所需的最小初速度为，取探测器与地球相距无穷远处为零势能面 探测器从地面发射到到达无穷远的过程中，由机械能守恒定律得 结合地表重力加速度关系式，代入上式解得 （3）a．探测器在距球心处受到两个引力 ① 地球对探测器的引力，方向指向地心，大小为 ② 地外空间均匀物质对探测器的引力：根据球壳定理，半径外的球壳状物质对探测器引力合力为零，半径内总质量为的物质产生的引力等效于质量集中在球心时产生的引力，方向指向球心，大小为 因此，探测器在处所受各种引力的合力大小为 b．探测器从地面（距球心处）运动到宇宙边界（距球心处）过程中，需要克服引力做功，分为两部分，一部分为克服地球引力做功，另一部分为克服宇宙物质引力做功 克服地球引力做功 克服宇宙物质引力做功：由于宇宙物质对探测器的引力，属于线性回复力 类比弹簧弹性势能公式可知，宇宙物质引力对应的势能为 故从到克服引力做功为 设从地面发射探测器的最小初速度为，由能量守恒定律可知 解得 c．在真实膨胀的宇宙模型中，所有宇宙物质在做彼此远离运动。当探测器向外逃逸时，沿途的宇宙物质也在同步向外退行，这就导致探测器与周围物质的相对退行速度减小，沿途物质对探测器的引力束缚作用（即做负功）减弱。因此，探测器逃逸所需克服的引力势能比静态宇宙模型下要小，实际所需的最小初速度将小于问中的计算结果。 真题·实战演练 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C BC B B A A D 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $