第20讲 万有引力定律及其应用（专项训练）（北京专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以“观测规律→理论推导→应用拓展”为逻辑主线，通过表格化知识解构与分层演练，系统构建万有引力定律应用的解题方法体系，突出模型建构与科学推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |巩固·知识解构|3知识点（表格）|开普勒三定律公式/条件、万有引力适用情境、中心天体质量密度多算法（黄金代换、近地卫星周期法）|开普勒定律为理论基础，万有引力定律为核心，质量密度估算为应用延伸| |模拟·基础演练|3题型（约12题）|定律理解（k值特性）、公式应用（距离影响）、估算公式选择（已知量匹配）|从概念辨析到定量计算，梯度覆盖基础考法| |重难·创新演练|6题|航天情境迁移（嫦娥六号）、模型转化（黑洞吸积盘）、跨学科类比（库仑力与万有引力）|结合科技前沿，提升科学探究与质疑创新能力| |真题·实战演练|7高考题|高频考点突破（周期-半径关系、密度估算）、易错点警示（中心天体差异）|对接高考命题趋势，强化科学态度与责任|

第20讲 万有引力定律及其应用（专项训练） 模拟·基础演练 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 11 13 14 答案 D D AC A D B C D D D A 题号 15 答案 B 4. 解:（1）行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动，则有 根据开普勒第三定律得 周期与线速度的关系为 联立解得 可知太阳对行星的作用力F与r的平方成反比。 （2）分别在近日点和远日点取相等的很小时间，根据开普勒第二定律有 解得 则行星在近日点和远日点的速度大小之比。 5. 解:（1）a.万有引力提供向心力，有 解得 b.设近P点的速度为，根据开普勒第二定律 由于v趋于零，探测器从远P点到近P点的过程中，万有引力对探测器做正功，所以d趋于零。 c.因制动后探测器做更扁的椭圆轨道，若减速至零时，可认为做长轴为r、短轴为零的无限扁椭圆轨道，其周期为。由开普勒第三定律，得 因为 联立解得 （2）万有引力、库仑力均与距离r的平方成反比，结合运动与相互作用观，图丙中的m与图丁中的-q两者的运动也具有相似性，设电荷-q在距离Q为处做匀速圆周运动时，周期为，则有 荷-q由静止释放可认为做无限扁的椭圆运动，长轴，设其周期为。 类比天体运动中的开普勒第三定律，有 且 综上可得 12. 解:（1）①大球的质量为，挖去小球的质量为， 大球对点小物体的引力为 小球单独存在时对点小物体的引力为 则剩余部分对点小物体的引力为 解得 ②由于质量分布均匀的球壳对内部的引力为零，大球对点小物体的引力相当于球心在、半径为的球体对点小物体的引力，即 由①可知 又因为质点位于挖去小球的球心处，质量分布均匀的小球对其球心处质点的引力为0，即 则 （2）①如果将空腔区域填满相同密度的岩石，则点重力加速度将回归正常值。因此该处重力加速度反常可通过填充后的球形区域附加引力计算。 若在点放置一质量为的质点，则该附加引力为 根据牛顿第二定律，空腔的重力加速度变化满足，其中 则，方向沿连线向外。 因此，处重力加速度反常大小，其中 解得，方向竖直向上 ②利用某地区的重力加速度反常，可推算地下矿物的位置、密度、储量等，辅助石油、天然气、金属等矿物勘探。也可用于考古洞穴定位、地质构造分析等。合理即可。 16. 解：（1）根据万有引力提供向心力得 解得月球的质量 （2）月球的体积 则月球的密度 （3）根据万有引力等于重力得 解得 17. 解：（1）设绕黑洞做匀速圆周运动的物质质量为m，轨道半径为r，则有 m的动能、引力势能分别为， m的机械能 联立解得 单位时间内进入吸积盘的质量为，物质从距离黑洞处运动到距离黑洞处，单位时间内机械能的减少量等于电磁辐射功率，即 解得黑洞的质量 （2） S0-2 星体做椭圆运动的半长轴约为、周期约为，将椭圆运动近似为半径为 的匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故 整理得黑洞的质量 18. 解：（1）a．由题可知，球体内包含的质量大小为 根据万有引力定律可得，星系P受到引力的大小为 b．宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小 结合 解得随距离r变化的关系式 （2）当P到O的距离为r时，球体内包含的“未知物质”的质量为 星系P受到的斥力为 （3）a． b．此后P的运动情况可能为：P做远离O点的加速度增加的加速运动；P做靠近O点的加速度增加的加速运动；P处于静止状态。 重难·创新演练 1.D 2. 解:（1）根据万有引力定律 （2）根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 化简可得，即 （3）卫星围绕地球做匀速圆周运动 解得 行星绕太阳做匀速圆周运动 解得 联立可得，所以k卫与k不相等 3. 解:（1）由题图可知小球半径，因材料相同，密度相等，小球质量 大球对小物体m的万有引力 方向指向大球球心O。小球对小物体m的万有引力 方向指向小球球心。由于两力方向相反，合力大小 （2）采用割补法，剩余部分引力等于完整大球引力减去挖去部分引力。由图可知，挖去的小球与大球内切于右侧且过球心O，故挖去小球球心距O点距离为 小物体m距O点2R，则距挖去小球球心距离 完整大球对m的引力 挖去部分质量，对m的引力 两力方向均指向左侧，故剩余部分引力大小 （3）小物体m移动到挖去小球的球心位置，即距大球球心O距离为处。此时m位于大球内部。根据球壳定理, 质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。完整大球对m的引力等效于半径为的内部球体产生的引力。该内部球体质量 完整大球对m的引力 挖去的小球球心即为m所在位置，均匀球体对球心处质点引力为零，即挖去的小球对m的引力 故剩余部分对m的引力大小 4. 解:（1）月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得月球绕地球公转的线速度大小 （2）在地球表面，忽略自转影响，物体受到的重力等于万有引力，即 解得地球表面重力加速度 同理，在月球表面有 物体做自由落体运动，下落高度 联立解得 （3）月球绕地球做匀速圆周运动，其向心加速度 代入题给数据 ， ， 计算得 若“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵从相同的规律，根据， 则月球轨道处的向心加速度应满足 已知，地球表面重力加速度，则理论推算值 由于计算出的向心加速度 与理论推算值在误差允许范围内相等，说明两者遵从相同的规律。 5. 解:（1）a、当时，根据万有引力定律 解得 b、当时， 解得 （2）根据万有引力定律有 宇宙总质量不变 解得 （3）在（2）的模型中，星系P受到的引力做负功，会使星系远离O点的速度越来越小，与观察到膨胀的速度越来越大不符。 修正方案：星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。将模型做如下修正：“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度（单位体积内所含的能量），且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量为”。 当P到O的距离为r时，球体内包含的“未知物质”的质量为 星系P受到的斥力为 根据上述分析可知，， 故其大致图像如下 当r增大到某个值时，斥力大于引力，星系将做加速运动。 6. 解:（1）设质量为的物体以速度水平抛出恰能成为人造地球卫星，此时地球对物体的万有引力提供其绕地球做匀速圆周运动的向心力 由牛顿第二定律得 解得 （2）设使探测器脱离地球引力束缚所需的最小初速度为，取探测器与地球相距无穷远处为零势能面 探测器从地面发射到到达无穷远的过程中，由机械能守恒定律得 结合地表重力加速度关系式，代入上式解得 （3）a．探测器在距球心处受到两个引力 ① 地球对探测器的引力，方向指向地心，大小为 ② 地外空间均匀物质对探测器的引力：根据球壳定理，半径外的球壳状物质对探测器引力合力为零，半径内总质量为的物质产生的引力等效于质量集中在球心时产生的引力，方向指向球心，大小为 因此，探测器在处所受各种引力的合力大小为 b．探测器从地面（距球心处）运动到宇宙边界（距球心处）过程中，需要克服引力做功，分为两部分，一部分为克服地球引力做功，另一部分为克服宇宙物质引力做功 克服地球引力做功 克服宇宙物质引力做功：由于宇宙物质对探测器的引力，属于线性回复力 类比弹簧弹性势能公式可知，宇宙物质引力对应的势能为 故从到克服引力做功为 设从地面发射探测器的最小初速度为，由能量守恒定律可知 解得 c．在真实膨胀的宇宙模型中，所有宇宙物质在做彼此远离运动。当探测器向外逃逸时，沿途的宇宙物质也在同步向外退行，这就导致探测器与周围物质的相对退行速度减小，沿途物质对探测器的引力束缚作用（即做负功）减弱。因此，探测器逃逸所需克服的引力势能比静态宇宙模型下要小，实际所需的最小初速度将小于问中的计算结果。 真题·实战演练 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C BC B B A A D 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 万有引力定律及其应用（专项训练） 目 录 巩固·知识解构 1 知识点1 开普勒三定律 1 知识点2 万有引力定律 2 知识点3 中心天体质量和密度的估算 2 模拟·基础演练 4 题型01 开普勒定律的理解及应用 4 题型02 万有引力定律的理解及应用 5 题型03 中心天体质量和密度的估算 5 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 巩固·知识解构 知识点1 开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律 （轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是___________，太阳处在___________的一个焦点上 开普勒第二定律 （面积定律） 对任一行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的___________相等 推论：= 开普勒第三定律 （周期定律） 所有行星轨道的半长轴的___________跟它的公转周期的___________的比都相等 =k，k是一个与行星无关，只与中心天体的质量有关的常量 知识点2 万有引力定律 1.万有引力定律 （1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成___________、与它们之间距离r的二次方成___________。 （2）表达式：F=G，G是比例系数，叫作引力常量，G=6.67×10-11 N·m2/kg2。 （3）适用条件 ①公式适用于___________间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是___________间的距离。 2.重力加速度 （1）在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：由mg=G得g=。 （2）在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g'：由mg'=G得g'=。 知识点3 中心天体质量和密度的估算 天体质量和密度的计算 项目 方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质量的 计算 利用运行天体 r、T G=mr M= 只能得到中心天体的质量 r、v G=m M= v、T G=m； G=mr M= 利用天体表面重力加速度 g、R mg= M= GM=gR2（黄金代换） 密度的 计算 利用运行天体 r、T、R G=mr； M=ρ·πR3 ρ=； 当r=R时ρ= 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面 重力加速度 g、R mg=； M=ρ·πR3 ρ= —— 模拟·基础演练 考查重点：开普勒三定律、万有引力定理的理解及应用、中心天体质量的估算、中心天体密度的估算…… ⏳题型01 开普勒定律的理解及应用 1．（2026·北京八十中）下列对开普勒第三定律的理解，不正确的是（　　） A．T表示行星的公转周期 B．k是一个仅与中心天体有关的常量 C．该定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动 D．若地球绕太阳运转的半长轴为a1，周期为T1，月球绕地球运转的半长轴为a2，周期为T2，由开普勒第三定律可得 2．（2026·北京育才学校）关于开普勒第三定律表达式，下列说法中正确的是（　　） A．公式只适用于围绕太阳运行的行星 B．不同星球的行星或卫星，值均相等 C．围绕同一星球运行的行星或卫星，值不相等 D．以上说法均不对 3．（2025·北京人大附中）（多选）如图所示，地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。若认为地球的公转轨道半径为，地球线速度大小为，加速度大小为；彗星在近日点与太阳中心的距离为，线速度大小为，加速度大小为；彗星在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为（明显大于），加速度大小为；彗星经过地球公转轨道时的速度为、加速度大小为。下列判断正确的是（ ） A．， B．， C．彗星运动的周期一定大于一年 D．在相等时间内彗星-太阳的连线扫过的面积与地球-太阳的连线扫过的面积一定相等 4．（2025·北京杨镇一中）开普勒定律的内容是： （一）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上； （二）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等； （三）所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 若用代表椭圆轨道的半长轴，代表公转周期，开普勒第三定律告诉我们，比值是一个对所有行星都相同的常量。 结合开普勒定律及相关知识（提示：行星与太阳的连线转动小角度扫过的面积可等效成三角形的面积），回答下列问题： (1)实际上行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动。设某行星与太阳的距离为，请根据开普勒第三定律及向心力的相关知识，证明太阳对该行星的作用力与的平方成反比； (2)如图所示，某质量为的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，若行星在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为。求行星在近日点和远日点的速度大小之比。 5．（2025·北京市东城区·二模）开普勒三定律是描述行星运动的基本规律。 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 这三条规律也适用于卫星绕行星的运动。 (1)一个质量为的探测器绕某行星做匀速圆周运动，轨道半径为，如图甲所示。行星的质量为，引力常量为。行星和探测器均视为质点。 a.设探测器做匀速圆周运动的周期为，求的表达式； b.探测器在极短的时间内沿运动方向喷射高温气体减速制动，其运动轨迹变为椭圆，如图乙中的轨道I所示；若制动后的速度越小，则椭圆越扁，椭圆轨道的长轴越短，如图乙中的轨道II所示。假设探测器在极短的时间内减速到v，v趋近于零。请结合开普勒第二定律，分析并计算探测器的“近点”到行星的距离； c.假设探测器在极短的时间内制动减速至零，其在万有引力的作用下向行星做变加速直线运动，如图丙所示。请结合开普勒第三定律，求探测器到达行星所用的时间。 (2)真空中固定着一带正电的点电荷，所带电荷量为，距离为处有一质量为、带电量为的点电荷，该电荷由静止释放，如图丁所示。静电力常量为。库仑力与万有引力都与距离的平方成反比，结合运动与相互作用观，类比（1），求带电量为的点电荷仅在静电力的作用下到达所用的时间。不计带电量为的点电荷运动过程中的电磁辐射。 ⏳题型02 万有引力定律的理解及应用 6．（2026·北京西城）彗星围绕太阳沿椭圆轨道从近日点向远日点运动，关于太阳对它的万有引力及其运动速度的说法正确的是（ ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不做功 D．做正功 7．（2026·北京顺义一中）图中描绘的四条虚线轨迹，哪一条不是人造地球卫星无动力飞行的轨道（ ） A． B． C． D． 8．（2026·北京师大二附中）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证（　　） A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 9．（2026·北京牛栏山一中板桥）一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的（　　） A． B． C．2倍 D．4倍 10．（2026·北京丰台）下列关于万有引力的说法正确的是（　　） A．伽利略发现了万有引力定律，并测得了引力常量 B．根据可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C．两天体质量不变，距离变为原来的2倍，它们之间的万有引力变为原来的 D．引力常量G的单位是N·m2/kg2 11．（2026·北大附中）一个物体在地球表面所受的重力大小为G，若不计地球自转的影响，则在距地球表面的高度为地球半径的2倍处，物体所受地球对它的万有引力大小为（ ） A． B． C． D． 12．（2026·北京石景山·一模）(1)如图所示，质量分布均匀的大球质量为、球心为、半径为，从大球中挖去一个半径为的小球，大、小球表面相切于点，点为小球球心。将质量为的小物体（可视为质点）置于点，引力常数为。 ①求大球剩余部分对小物体的引力大小。 ②已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将小物体移动到点时，求大球剩余部分对小物体的引力大小。 (2)如图所示，、为某地区水平地面上的两点，在点正下方有一球形空腔区域。假定区域周围岩石均匀分布，密度为。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即方向）上的投影相对于正常值的偏离叫作重力加速度反常。 ①设球形空腔的体积为，球心深度为（远小于地球半径），，已知引力常量为，求空腔引起的点的重力加速度反常。 ②根据某地区的重力加速度反常，可以有哪些实际应用？展开想象的翅膀，就其中一个应用进行简要说明。 ⏳题型03 中心天体质量和密度的估算 13．（2026·北京西城）“科学真是迷人”，若测出月球绕地球做圆周运动的半径、周期，以及地球表面的重力加速度，根据万有引力定律就可以“称量”地球的质量了。已知引力常量为，则地球的质量为（ ） A． B． C． D． 14．（2026·北京八一学校）2024年，中国探月工程第六个探测器“嫦娥六号”完成了人类历史上首次月球背面采样突破了多项关键技术，是中国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果，是中国探月工程的重要里程碑。已知“嫦娥六号”绕月飞行的圆轨道高度h，环绕周期T，月球半径R，万有引力常量为G，则月球的质量M为（　　） A． B． C． D． 15．（2025·北京三十五中）我国发射的“天和”核心舱距离地面的高度为h，运动周期为T，绕地球的运动可近似为匀速圆周运动。已知万有引力常量为G，地球半径为R，根据以上信息可知（　　） A．地球的质量 B．地球的质量 C．核心舱的质量 D．核心舱的质量 16．（2026·北京育才学校）“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，已知它在距月球表面高度为h的圆形轨道上运行，运行周期为T，引力常量为G，月球半径为R。 (1)求月球的质量； (2)求月球的密度； (3)求月球表面的重力加速度大小。 17．（2026·北京海淀·一模）黑洞是一种质量非常大、半径非常小的天体。天文学家跟踪观测了银河系中心附近恒星的运行轨迹，推测出银河系中心存在质量为M的黑洞。已知相距为r、质量分别为m1和m2的两质点之间的引力势能，G为引力常量。仅考虑黑洞对物质的引力作用。 (1)银河系中心黑洞会不断吞噬周围的星际物质，这些物质在被吞噬的过程中会先进入“吸积盘”，并产生电磁辐射。为了研究进入吸积盘中物质产生的电磁辐射，某同学建立如下简化模型：在被吞噬的过程中，吸积盘各处物质绕黑洞旋转，机械能不断转化为电磁辐射，在运动过程中其轨道半径不断减小，但每一圈的运动仍可视为匀速圆周运动。吸积盘中距离黑洞r1到r2（r1＜r2）的区域产生的电磁辐射功率为P，吸积盘的吸积质量（单位时间内进入吸积盘的物质的质量）为mt，求黑洞质量M。 (2)某黑洞附近的S0-2星体绕其做椭圆运动。已知S0-2星体做椭圆运动的半长轴约为、周期约为，估算黑洞质量M。（结果保留一位有效数字） 18．（2025·北京海淀·二模）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图1所示，以某一点O为观测点，以质量为m的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。已知星系P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零，引力常量为G。 (1)设星系P到O点的距离为时，宇宙的密度为。 a．求此时星系P受到的引力大小。 b．请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小随距离r变化的关系式。 (2)根据最新天文观测，科学家推测星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。我们将其简化如下：科学家所说的“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度（单位体积内所含的能量），且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。某同学对此“排斥力”做了如下猜想：其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量”为。请基于上述简化模型和猜想，推导宇宙膨胀过程星系P受到的斥力大小随距离r变化的关系式。 (3)根据（1）（2）中的简化模型和猜想，星系P同时受到引力与斥力的作用。 a．以星系P受到斥力的方向为正方向，在图2中定性画出合力F随距离r变化的图线。 b．若某时测得星系P在做远离O点的加速度减小的减速运动，推测此后P可能的运动情况。 重难·创新演练 设题创新：航天科技（T1、T4,、T6）；结合教材知识运用(T2、T3);社会科技发展（T5） 1．▶新角度◀（2026·北京海淀·二模）中国载人登月工程规划在2030年前实现航天员登月。假设航天员登月后，在月球表面尝试估测月球质量。已知月球半径和引力常量。航天员分别用到如下器材，其中无法实现目标的是（　　） A．一个质量已知的钩码和一个弹簧测力计 B．一个质量已知的钩码、一把刻度尺和一块停表 C．一个质量未知的钩码、一把刻度尺和一块停表 D．一个质量未知的钩码、一根长度未知的细线和一块停表 2．▶新考法◀（2026·北京丰台）开普勒以全部精力整理第谷的观测数据，经过16年坚持不懈的分析和计算，终于发现了行星运动的三个定律。 (1)牛顿在开普勒行星运动定律的基础上得出了万有引力定律。若已知地球质量为M，地球半径为R，某卫星的质量为m，距离地面高度为h，求地球对该卫星的引力F； (2)开普勒第二定律指出：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。已知某行星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1 ；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，请根据开普勒第二定律推导v1和v2的比值； (3)将行星绕太阳运行的轨道简化为圆轨道，开普勒第三定律可简化为：所有行星绕太阳运动轨道半径r的三次方跟它公转周期T的二次方的比值都相等，即。此规律也适用于卫星绕地球的运动，即 ，请分析说明k卫与k是否相等。 3．▶新思维◀（2026·北京九中）用相同材料做成的半径分别为R和r的两个实心球体，，如图所示，半径为R的大球质量为M、球心为O，半径为r的小球球心为，引力常数为G。 (1)质量为m的小物体（可视为质点）位于两球连线上一点，距O点2R，距点1.5R，求两球对小物体万有引力的合力的大小； (2)去掉小球，同时从大球中挖去一个半径为r的小球，求大球剩余部分对小物体的引力大小； (3)已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将小物体移动到挖去小球的球心位置时，求大球剩余部分对小物体的引力大小。 4．▶新角度◀（2026·北京通州·模拟）我国载人月球探测工程登月阶段任务已全面启动实施。已知月球质量为，半径为；地球质量为，半径为，引力常量为 。将月球绕地球的运动看成匀速圆周运动，忽略天体的自转及空气阻力的影响。 (1)若月球与地球两球心之间的距离为，求月球绕地球公转的线速度的大小； (2)若在地球表面一物体自由下落某高度所需时间为，求在月球表面同一物体自由下落相同高度所需时间的表达式； (3)在牛顿的时代，已经能够比较精确地测定：月球与地球两球心之间的距离（约为地球半径的60倍，月球绕地球公转的周期，地球表面的重力加速度 取。请通过计算推理说明“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵从相同的规律（可取）。 5．▶新情境◀（2026·北京二十中）将地球视为半径为R的球体，质量分布均匀，密度为，引力常量为G，已知某物体受到的地球的万有引力相当于球内质量集中于O点对物体的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零。 (1)a、求距离地球球心距离为的质量为m的物体所受到地球的引力大小； b、求距离地球球心距离为的质量为m的物体所受到地球的引力大小； (2)科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图所示，以某一点O为观测点，以质量为的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。设星系P到O点的距离为时，宇宙的密度为。请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小随距离r变化的关系式。 (3)科学家在利用超新星检测宇宙的膨胀速度时，观察数据说明其膨胀的速度越来越大，根据（2）中的简化模型，请你从力与运动的角度判断理论和实际是否相符；如果相符，进行论证说明其合理性；如果不相符，请对模型（2）提出修正方案，并论证说明修正方案的合理性。 6．▶新考法◀（2026·北京师大附中）人类探索太空的脚步从未停止，从万户飞天的古老尝试，到人造卫星上天、空间探测器发射，人类用了数百年时间将梦想一步步变为现实。 已知质量为和、距离为的两个质点间的引力势能，为万有引力常量。质量分布均匀的球体内，位于某个球面上的物体所受的引力相当于球面内所有质量集中于球心时对其的引力。地球半径为，地球表面重力加速度为。 (1)牛顿曾设想：把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远；抛出速度足够大时，物体就不会落回地面，成为人造地球卫星。请帮牛顿计算出这个速度约为多大。 (2)发射地外探测器时，探测器需要有足够大的动能方可挣脱地球引力的束缚。试计算从地面发射探测器时，需要多大的初速度才能脱离地球的引力。 (3)在宇宙大尺度上，地外空间可视为质量分布均匀、密度为、半径为的静态的球体，地球可视为位于宇宙中心的质点。质量为的探测器运动过程中除受地球引力外，还要受到沿途其他物质的引力作用。仅考虑探测器沿径向远离地球的情形。 a.探测器在与距离为处所受各种引力的合力大小。 b.试计算从地面发射探测器时，需要多大的初速度才能脱离我们的宇宙。 c.科学家根据天文观测发现我们的宇宙事实上是膨胀的，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，但在宇宙大尺度上，宇宙的质量始终保持均匀分布。试分析这个情况对b问静态宇宙模型下的求解结果会有怎样的影响。 真题·实战演练 高频考点：开普勒三定律、中心天体质量的估算、中心天体密度的估算、万有引力定理的理解及应用 1．（2025·云南·高考）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（　　） 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间 C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间 2．（2025·安徽·高考）（多选）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 3．（2026·四川·高考）离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（ ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 4．（2026·浙江·选考）已知行星的平均密度为，靠近行星表面运行的卫星做圆周运动的周期为T。对于任何行星均为同一常量的是（ ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西&山西·高考）我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3750km，轨道周期约2h。引力常量G取6.67 × 10－11N⋅m2/kg2，根据以上数据可推算出火星的（ ） A．质量 B．体积 C．逃逸速度 D．自转周期 6．（2025·湖南·高考）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到。下列选项正确的是（　　） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 7．（2026·江苏·高考）发射一颗探月卫星，其先后在两个轨道上分别经过M、N两点，如图所示，关于卫星在M、N两点的情况，下列说法正确的是（ ） A．在点所受地球引力比月球引力大 B．在点所受地球引力和月球引力相等 C．在点所受月球引力比地球引力大 D．在点所受地球引力比月球引力大 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 万有引力定律及其应用（专项训练） 目 录 巩固·知识解构 1 知识点1 开普勒三定律 1 知识点2 万有引力定律 2 知识点3 中心天体质量和密度的估算 2 模拟·基础演练 4 题型01 开普勒定律的理解及应用 4 题型02 万有引力定律的理解及应用 5 题型03 中心天体质量和密度的估算 5 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 巩固·知识解构 知识点1 开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律 （轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 （面积定律） 对任一行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 推论：= 开普勒第三定律 （周期定律） 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 =k，k是一个与行星无关，只与中心天体的质量有关的常量 知识点2 万有引力定律 1.万有引力定律 （1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 （2）表达式：F=G，G是比例系数，叫作引力常量，G=6.67×10-11 N·m2/kg2。 （3）适用条件 ①公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 2.重力加速度 （1）在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：由mg=G得g=。 （2）在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g'：由mg'=G得g'=。 知识点3 中心天体质量和密度的估算 天体质量和密度的计算 项目 方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质量的 计算 利用运行天体 r、T G=mr M= 只能得到中心天体的质量 r、v G=m M= v、T G=m； G=mr M= 利用天体表面重力加速度 g、R mg= M= GM=gR2（黄金代换） 密度的 计算 利用运行天体 r、T、R G=mr； M=ρ·πR3 ρ=； 当r=R时ρ= 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面 重力加速度 g、R mg=； M=ρ·πR3 ρ= —— 模拟·基础演练 考查重点：开普勒三定律、万有引力定理的理解及应用、中心天体质量的估算、中心天体密度的估算…… ⏳题型01 开普勒定律的理解及应用 1．（2026·北京八十中）下列对开普勒第三定律的理解，不正确的是（　　） A．T表示行星的公转周期 B．k是一个仅与中心天体有关的常量 C．该定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动 D．若地球绕太阳运转的半长轴为a1，周期为T1，月球绕地球运转的半长轴为a2，周期为T2，由开普勒第三定律可得 【答案】D 【解析】A．由开普勒第三定律知，T表示行星的公转周期，A正确； BD．k仅由中心天体决定，中心天体不同，k不同，地球绕太阳运转的中心天体为太阳，而月球绕地球运转的中心天体为地球，两者中心天体不同，则k值不同，即，B正确，D错误； C．公式＝k，适用于宇宙中所有天体，C正确。 此题选择不正确的，故选D。 2．（2026·北京育才学校）关于开普勒第三定律表达式，下列说法中正确的是（　　） A．公式只适用于围绕太阳运行的行星 B．不同星球的行星或卫星，值均相等 C．围绕同一星球运行的行星或卫星，值不相等 D．以上说法均不对 【答案】D 【解析】A．开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于所有天体绕中心天体的运动场景，故A错误； B．公式中的取值仅由中心天体的质量决定，不同中心天体对应的值不同，因此不同星球的行星或卫星值不相等，故B错误； C．值仅由中心天体质量决定，围绕同一星球运行的行星或卫星中心天体相同，因此值相等，故C错误； D．由以上分析可知，ABC表述均错误，故D正确。故选D。 3．（2025·北京人大附中）（多选）如图所示，地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。若认为地球的公转轨道半径为，地球线速度大小为，加速度大小为；彗星在近日点与太阳中心的距离为，线速度大小为，加速度大小为；彗星在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为（明显大于），加速度大小为；彗星经过地球公转轨道时的速度为、加速度大小为。下列判断正确的是（ ） A．， B．， C．彗星运动的周期一定大于一年 D．在相等时间内彗星-太阳的连线扫过的面积与地球-太阳的连线扫过的面积一定相等 【答案】AC 【解析】A．根据开普勒第二定律可知，对于彗星绕太阳的运动，当彗星从近日点运动到远日点时，彗星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，则有近日点速度大，远日点速度小，所以；根据万有引力提供向心力 可得，因为，所以，故A正确； B．同样根据可知，因，有；彗星经过地球公转轨道时到太阳的距离相同，有，综合可得，故B错误； C．根据开普勒第三定律，因彗星的轨道半长轴明显大于地球的公转轨道半径，所以彗星运动的周期一定大于地球公转的周期一年，故C正确； D．开普勒第二定律指出，行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积，该定律适用于所有绕太阳运动的天体，所以彗星—太阳的连线在相等时间内扫过的面积与地球—太阳的连线扫过的面积不一定相等，故D错误。故选AC。 4．（2025·北京杨镇一中）开普勒定律的内容是： （一）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上； （二）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等； （三）所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 若用代表椭圆轨道的半长轴，代表公转周期，开普勒第三定律告诉我们，比值是一个对所有行星都相同的常量。 结合开普勒定律及相关知识（提示：行星与太阳的连线转动小角度扫过的面积可等效成三角形的面积），回答下列问题： (1)实际上行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动。设某行星与太阳的距离为，请根据开普勒第三定律及向心力的相关知识，证明太阳对该行星的作用力与的平方成反比； (2)如图所示，某质量为的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，若行星在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为。求行星在近日点和远日点的速度大小之比。 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动，则有 根据开普勒第三定律得 周期与线速度的关系为 联立解得 可知太阳对行星的作用力F与r的平方成反比。 （2）分别在近日点和远日点取相等的很小时间，根据开普勒第二定律有 解得 则行星在近日点和远日点的速度大小之比。 5．（2025·北京市东城区·二模）开普勒三定律是描述行星运动的基本规律。 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 这三条规律也适用于卫星绕行星的运动。 (1)一个质量为的探测器绕某行星做匀速圆周运动，轨道半径为，如图甲所示。行星的质量为，引力常量为。行星和探测器均视为质点。 a.设探测器做匀速圆周运动的周期为，求的表达式； b.探测器在极短的时间内沿运动方向喷射高温气体减速制动，其运动轨迹变为椭圆，如图乙中的轨道I所示；若制动后的速度越小，则椭圆越扁，椭圆轨道的长轴越短，如图乙中的轨道II所示。假设探测器在极短的时间内减速到v，v趋近于零。请结合开普勒第二定律，分析并计算探测器的“近点”到行星的距离； c.假设探测器在极短的时间内制动减速至零，其在万有引力的作用下向行星做变加速直线运动，如图丙所示。请结合开普勒第三定律，求探测器到达行星所用的时间。 (2)真空中固定着一带正电的点电荷，所带电荷量为，距离为处有一质量为、带电量为的点电荷，该电荷由静止释放，如图丁所示。静电力常量为。库仑力与万有引力都与距离的平方成反比，结合运动与相互作用观，类比（1），求带电量为的点电荷仅在静电力的作用下到达所用的时间。不计带电量为的点电荷运动过程中的电磁辐射。 【答案】(1)a. b. c. (2) 【解析】（1）a.万有引力提供向心力，有 解得 b.设近P点的速度为，根据开普勒第二定律 由于v趋于零，探测器从远P点到近P点的过程中，万有引力对探测器做正功，所以d趋于零。 c.因制动后探测器做更扁的椭圆轨道，若减速至零时，可认为做长轴为r、短轴为零的无限扁椭圆轨道，其周期为。由开普勒第三定律，得 因为 联立解得 （2）万有引力、库仑力均与距离r的平方成反比，结合运动与相互作用观，图丙中的m与图丁中的-q两者的运动也具有相似性，设电荷-q在距离Q为处做匀速圆周运动时，周期为，则有 荷-q由静止释放可认为做无限扁的椭圆运动，长轴，设其周期为。 类比天体运动中的开普勒第三定律，有 且 综上可得 ⏳题型02 万有引力定律的理解及应用 6．（2026·北京西城）彗星围绕太阳沿椭圆轨道从近日点向远日点运动，关于太阳对它的万有引力及其运动速度的说法正确的是（ ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不做功 D．做正功 【答案】A 【解析】A．根据万有引力定律，彗星从近日点向远日点运动时，与太阳的距离逐渐增大，因此万有引力逐渐减小，故A正确； B．根据开普勒第二定律，彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，增大时线速度逐渐减小；也可由动能定理分析，万有引力做负功，动能减小，减小，故B错误； CD．万有引力方向指向太阳，彗星位移方向远离太阳，二者夹角大于，万有引力做负功，故CD错误。故选A。 7．（2026·北京顺义一中）图中描绘的四条虚线轨迹，哪一条不是人造地球卫星无动力飞行的轨道（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】人造地球卫星无动力飞行时，向心力必须完全由地球对卫星的万有引力提供，而万有引力的方向始终指向地心，因此地球中心必定位于卫星轨道平面内。 ABC．三个轨道平面均过地心，与实际情况相符合，ABC轨道均符合卫星无动力飞行要求； D．地球中心不在虚线轨迹平面内，万有引力指向地心，无法为这类轨迹提供维持轨道所需的向心力，D轨道不符合卫星无动力飞行要求。 要求选择不是人造地球卫星无动力飞行的轨道，故选D 。 8．（2026·北京师大二附中）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证（　　） A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 【答案】B 【解析】设地球质量为M，地球半径为R，已知月地距离为60R。地球对月球的万有引力为 地球对苹果的万有引力为 月球公转加速度 苹果落地加速度 可得 该关系仅与距离相关，可验证两种力遵循相同的平方反比规律。故选B。 9．（2026·北京牛栏山一中板桥）一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的（　　） A． B． C．2倍 D．4倍 【答案】C 【解析】设地球质量为、半径为，宇航员质量为，根据万有引力定律 已知星球质量 直径为地球的一半，因此星球半径 宇航员在该星球受到的引力；故选C。 10．（2026·北京丰台）下列关于万有引力的说法正确的是（　　） A．伽利略发现了万有引力定律，并测得了引力常量 B．根据可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C．两天体质量不变，距离变为原来的2倍，它们之间的万有引力变为原来的 D．引力常量G的单位是N·m2/kg2 【答案】D 【解析】A．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什通过扭秤实验测得了引力常量，故A错误； B．万有引力公式的适用条件是质点（或均匀球体），当r趋近于零时，物体不能视为质点，公式不再适用，无法得出万有引力趋近无穷大的结论，故B错误； C．两天体质量不变，距离变为原来的2倍，根据万有引力公式，可知它们之间的万有引力变为原来的，故C错误； D．根据万有引力公式，可得 可知引力常量G的单位是N·m2/kg2，故D正确。故选D。 11．（2026·北大附中）一个物体在地球表面所受的重力大小为G，若不计地球自转的影响，则在距地球表面的高度为地球半径的2倍处，物体所受地球对它的万有引力大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设地球半径为。由万有引力定律可知，物体所受万有引力的大小与距地心距离的平方成反比；在地球表面，物体距地心距离为，所受引力大小为；在距地球表面处，物体距地心距离为，所受引力大小为，则有 解得；故选D。 12．（2026·北京石景山·一模）(1)如图所示，质量分布均匀的大球质量为、球心为、半径为，从大球中挖去一个半径为的小球，大、小球表面相切于点，点为小球球心。将质量为的小物体（可视为质点）置于点，引力常数为。 ①求大球剩余部分对小物体的引力大小。 ②已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将小物体移动到点时，求大球剩余部分对小物体的引力大小。 (2)如图所示，、为某地区水平地面上的两点，在点正下方有一球形空腔区域。假定区域周围岩石均匀分布，密度为。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即方向）上的投影相对于正常值的偏离叫作重力加速度反常。 ①设球形空腔的体积为，球心深度为（远小于地球半径），，已知引力常量为，求空腔引起的点的重力加速度反常。 ②根据某地区的重力加速度反常，可以有哪些实际应用？展开想象的翅膀，就其中一个应用进行简要说明。 【答案】(1)①，② (2)①，②利用某地区的重力加速度反常，可推算地下矿物的位置、密度、储量等，辅助石油、天然气、金属等矿物勘探。也可用于考古洞穴定位、地质构造分析等。合理即可 【解析】（1）①大球的质量为，挖去小球的质量为， 大球对点小物体的引力为 小球单独存在时对点小物体的引力为 则剩余部分对点小物体的引力为 解得 ②由于质量分布均匀的球壳对内部的引力为零，大球对点小物体的引力相当于球心在、半径为的球体对点小物体的引力，即 由①可知 又因为质点位于挖去小球的球心处，质量分布均匀的小球对其球心处质点的引力为0，即 则 （2）①如果将空腔区域填满相同密度的岩石，则点重力加速度将回归正常值。因此该处重力加速度反常可通过填充后的球形区域附加引力计算。 若在点放置一质量为的质点，则该附加引力为 根据牛顿第二定律，空腔的重力加速度变化满足，其中 则，方向沿连线向外。 因此，处重力加速度反常大小，其中 解得，方向竖直向上 ②利用某地区的重力加速度反常，可推算地下矿物的位置、密度、储量等，辅助石油、天然气、金属等矿物勘探。也可用于考古洞穴定位、地质构造分析等。合理即可。 ⏳题型03 中心天体质量和密度的估算 13．（2026·北京西城）“科学真是迷人”，若测出月球绕地球做圆周运动的半径、周期，以及地球表面的重力加速度，根据万有引力定律就可以“称量”地球的质量了。已知引力常量为，则地球的质量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】AB．在地球表面有 可得地球的质量为，故AB错误； CD．月球绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力可得 解得地球的质量为，故C错误，D正确。故选D。 14．（2026·北京八一学校）2024年，中国探月工程第六个探测器“嫦娥六号”完成了人类历史上首次月球背面采样突破了多项关键技术，是中国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果，是中国探月工程的重要里程碑。已知“嫦娥六号”绕月飞行的圆轨道高度h，环绕周期T，月球半径R，万有引力常量为G，则月球的质量M为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】“嫦娥六号”绕月做匀速圆周运动，有 解得；故选A。 15．（2025·北京三十五中）我国发射的“天和”核心舱距离地面的高度为h，运动周期为T，绕地球的运动可近似为匀速圆周运动。已知万有引力常量为G，地球半径为R，根据以上信息可知（　　） A．地球的质量 B．地球的质量 C．核心舱的质量 D．核心舱的质量 【答案】B 【解析】AB．根据 地球质量为，故A错误，B正确； CD．根据上式，核心舱质量在公式中被消去，无法通过题设条件求解，故CD错误。故选B。 16．（2026·北京育才学校）“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，已知它在距月球表面高度为h的圆形轨道上运行，运行周期为T，引力常量为G，月球半径为R。 (1)求月球的质量； (2)求月球的密度； (3)求月球表面的重力加速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据万有引力提供向心力得 解得月球的质量 （2）月球的体积 则月球的密度 （3）根据万有引力等于重力得 解得 17．（2026·北京海淀·一模）黑洞是一种质量非常大、半径非常小的天体。天文学家跟踪观测了银河系中心附近恒星的运行轨迹，推测出银河系中心存在质量为M的黑洞。已知相距为r、质量分别为m1和m2的两质点之间的引力势能，G为引力常量。仅考虑黑洞对物质的引力作用。 (1)银河系中心黑洞会不断吞噬周围的星际物质，这些物质在被吞噬的过程中会先进入“吸积盘”，并产生电磁辐射。为了研究进入吸积盘中物质产生的电磁辐射，某同学建立如下简化模型：在被吞噬的过程中，吸积盘各处物质绕黑洞旋转，机械能不断转化为电磁辐射，在运动过程中其轨道半径不断减小，但每一圈的运动仍可视为匀速圆周运动。吸积盘中距离黑洞r1到r2（r1＜r2）的区域产生的电磁辐射功率为P，吸积盘的吸积质量（单位时间内进入吸积盘的物质的质量）为mt，求黑洞质量M。 (2)某黑洞附近的S0-2星体绕其做椭圆运动。已知S0-2星体做椭圆运动的半长轴约为、周期约为，估算黑洞质量M。（结果保留一位有效数字） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设绕黑洞做匀速圆周运动的物质质量为m，轨道半径为r，则有 m的动能、引力势能分别为， m的机械能 联立解得 单位时间内进入吸积盘的质量为，物质从距离黑洞处运动到距离黑洞处，单位时间内机械能的减少量等于电磁辐射功率，即 解得黑洞的质量 （2） S0-2 星体做椭圆运动的半长轴约为、周期约为，将椭圆运动近似为半径为 的匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故 整理得黑洞的质量 18．（2025·北京海淀·二模）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图1所示，以某一点O为观测点，以质量为m的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。已知星系P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零，引力常量为G。 (1)设星系P到O点的距离为时，宇宙的密度为。 a．求此时星系P受到的引力大小。 b．请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小随距离r变化的关系式。 (2)根据最新天文观测，科学家推测星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。我们将其简化如下：科学家所说的“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度（单位体积内所含的能量），且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。某同学对此“排斥力”做了如下猜想：其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量”为。请基于上述简化模型和猜想，推导宇宙膨胀过程星系P受到的斥力大小随距离r变化的关系式。 (3)根据（1）（2）中的简化模型和猜想，星系P同时受到引力与斥力的作用。 a．以星系P受到斥力的方向为正方向，在图2中定性画出合力F随距离r变化的图线。 b．若某时测得星系P在做远离O点的加速度减小的减速运动，推测此后P可能的运动情况。 【答案】(1)a．，b． (2) (3) a． b．此后P的运动情况可能为：P做远离O点的加速度增加的加速运动；P做靠近O点的加速度增加的加速运动；P处于静止状态。 【解析】（1）a．由题可知，球体内包含的质量大小为 根据万有引力定律可得，星系P受到引力的大小为 b．宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小 结合 解得随距离r变化的关系式 （2）当P到O的距离为r时，球体内包含的“未知物质”的质量为 星系P受到的斥力为 （3）a．略； b．略。 重难·创新演练 设题创新：航天科技（T1、T4,、T6）；结合教材知识运用(T2、T3);社会科技发展（T5） 1．▶新角度◀（2026·北京海淀·二模）中国载人登月工程规划在2030年前实现航天员登月。假设航天员登月后，在月球表面尝试估测月球质量。已知月球半径和引力常量。航天员分别用到如下器材，其中无法实现目标的是（　　） A．一个质量已知的钩码和一个弹簧测力计 B．一个质量已知的钩码、一把刻度尺和一块停表 C．一个质量未知的钩码、一把刻度尺和一块停表 D．一个质量未知的钩码、一根长度未知的细线和一块停表 【答案】D 【解析】月球表面物体所受万有引力近似等于重力，由 推导得 已知月球半径和引力常量，只需测得月球表面重力加速度即可求出月球质量。 A．弹簧测力计可测得已知质量钩码的重力，由 得，可求出进而得到，故A不符合题意； B．利用自由落体运动规律 用刻度尺测下落高度、停表测下落时间，可求出进而得到，故B不符合题意； C．自由落体运动求不需要钩码质量，仍可通过刻度尺测高度、停表测时间得到，进而求出，故C不符合题意； D．无刻度尺，既无法测量自由落体的下落高度，也无法测量单摆的摆长，无法求出，因此不能得到月球质量，故D符合题意。故选D。 2．▶新考法◀（2026·北京丰台）开普勒以全部精力整理第谷的观测数据，经过16年坚持不懈的分析和计算，终于发现了行星运动的三个定律。 (1)牛顿在开普勒行星运动定律的基础上得出了万有引力定律。若已知地球质量为M，地球半径为R，某卫星的质量为m，距离地面高度为h，求地球对该卫星的引力F； (2)开普勒第二定律指出：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。已知某行星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1 ；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，请根据开普勒第二定律推导v1和v2的比值； (3)将行星绕太阳运行的轨道简化为圆轨道，开普勒第三定律可简化为：所有行星绕太阳运动轨道半径r的三次方跟它公转周期T的二次方的比值都相等，即。此规律也适用于卫星绕地球的运动，即 ，请分析说明k卫与k是否相等。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【解析】（1）根据万有引力定律 （2）根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 化简可得，即 （3）卫星围绕地球做匀速圆周运动 解得 行星绕太阳做匀速圆周运动 解得 联立可得，所以k卫与k不相等 3．▶新思维◀（2026·北京九中）用相同材料做成的半径分别为R和r的两个实心球体，，如图所示，半径为R的大球质量为M、球心为O，半径为r的小球球心为，引力常数为G。 (1)质量为m的小物体（可视为质点）位于两球连线上一点，距O点2R，距点1.5R，求两球对小物体万有引力的合力的大小； (2)去掉小球，同时从大球中挖去一个半径为r的小球，求大球剩余部分对小物体的引力大小； (3)已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将小物体移动到挖去小球的球心位置时，求大球剩余部分对小物体的引力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由题图可知小球半径，因材料相同，密度相等，小球质量 大球对小物体m的万有引力 方向指向大球球心O。小球对小物体m的万有引力 方向指向小球球心。由于两力方向相反，合力大小 （2）采用割补法，剩余部分引力等于完整大球引力减去挖去部分引力。由图可知，挖去的小球与大球内切于右侧且过球心O，故挖去小球球心距O点距离为 小物体m距O点2R，则距挖去小球球心距离 完整大球对m的引力 挖去部分质量，对m的引力 两力方向均指向左侧，故剩余部分引力大小 （3）小物体m移动到挖去小球的球心位置，即距大球球心O距离为处。此时m位于大球内部。根据球壳定理, 质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。完整大球对m的引力等效于半径为的内部球体产生的引力。该内部球体质量 完整大球对m的引力 挖去的小球球心即为m所在位置，均匀球体对球心处质点引力为零，即挖去的小球对m的引力 故剩余部分对m的引力大小 4．▶新角度◀（2026·北京通州·模拟）我国载人月球探测工程登月阶段任务已全面启动实施。已知月球质量为，半径为；地球质量为，半径为，引力常量为 。将月球绕地球的运动看成匀速圆周运动，忽略天体的自转及空气阻力的影响。 (1)若月球与地球两球心之间的距离为，求月球绕地球公转的线速度的大小； (2)若在地球表面一物体自由下落某高度所需时间为，求在月球表面同一物体自由下落相同高度所需时间的表达式； (3)在牛顿的时代，已经能够比较精确地测定：月球与地球两球心之间的距离（约为地球半径的60倍，月球绕地球公转的周期，地球表面的重力加速度 取。请通过计算推理说明“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵从相同的规律（可取）。 【答案】(1) (2) (3)计算出的向心加速度 与理论推算值在误差允许范围内相等，说明两者遵从相同的规律。 【解析】（1）月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得月球绕地球公转的线速度大小 （2）在地球表面，忽略自转影响，物体受到的重力等于万有引力，即 解得地球表面重力加速度 同理，在月球表面有 物体做自由落体运动，下落高度 联立解得 （3）月球绕地球做匀速圆周运动，其向心加速度 代入题给数据 ， ， 计算得 若“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵从相同的规律，根据， 则月球轨道处的向心加速度应满足 已知，地球表面重力加速度，则理论推算值 由于计算出的向心加速度 与理论推算值在误差允许范围内相等，说明两者遵从相同的规律。 5．▶新情境◀（2026·北京二十中）将地球视为半径为R的球体，质量分布均匀，密度为，引力常量为G，已知某物体受到的地球的万有引力相当于球内质量集中于O点对物体的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零。 (1)a、求距离地球球心距离为的质量为m的物体所受到地球的引力大小； b、求距离地球球心距离为的质量为m的物体所受到地球的引力大小； (2)科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图所示，以某一点O为观测点，以质量为的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。设星系P到O点的距离为时，宇宙的密度为。请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小随距离r变化的关系式。 (3)科学家在利用超新星检测宇宙的膨胀速度时，观察数据说明其膨胀的速度越来越大，根据（2）中的简化模型，请你从力与运动的角度判断理论和实际是否相符；如果相符，进行论证说明其合理性；如果不相符，请对模型（2）提出修正方案，并论证说明修正方案的合理性。 【答案】(1)， (2) (3)不相符 【解析】（1）a、当时，根据万有引力定律 解得 b、当时， 解得 （2）根据万有引力定律有 宇宙总质量不变 解得 （3）在（2）的模型中，星系P受到的引力做负功，会使星系远离O点的速度越来越小，与观察到膨胀的速度越来越大不符。 修正方案：星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。将模型做如下修正：“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度（单位体积内所含的能量），且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量为”。 当P到O的距离为r时，球体内包含的“未知物质”的质量为 星系P受到的斥力为 根据上述分析可知，， 故其大致图像如下 当r增大到某个值时，斥力大于引力，星系将做加速运动。 6．▶新考法◀（2026·北京师大附中）人类探索太空的脚步从未停止，从万户飞天的古老尝试，到人造卫星上天、空间探测器发射，人类用了数百年时间将梦想一步步变为现实。 已知质量为和、距离为的两个质点间的引力势能，为万有引力常量。质量分布均匀的球体内，位于某个球面上的物体所受的引力相当于球面内所有质量集中于球心时对其的引力。地球半径为，地球表面重力加速度为。 (1)牛顿曾设想：把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远；抛出速度足够大时，物体就不会落回地面，成为人造地球卫星。请帮牛顿计算出这个速度约为多大。 (2)发射地外探测器时，探测器需要有足够大的动能方可挣脱地球引力的束缚。试计算从地面发射探测器时，需要多大的初速度才能脱离地球的引力。 (3)在宇宙大尺度上，地外空间可视为质量分布均匀、密度为、半径为的静态的球体，地球可视为位于宇宙中心的质点。质量为的探测器运动过程中除受地球引力外，还要受到沿途其他物质的引力作用。仅考虑探测器沿径向远离地球的情形。 a.探测器在与距离为处所受各种引力的合力大小。 b.试计算从地面发射探测器时，需要多大的初速度才能脱离我们的宇宙。 c.科学家根据天文观测发现我们的宇宙事实上是膨胀的，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，但在宇宙大尺度上，宇宙的质量始终保持均匀分布。试分析这个情况对b问静态宇宙模型下的求解结果会有怎样的影响。 【答案】(1) (2) (3)a． b． c．实际所需的初速度小于静态宇宙模型的计算结果 【解析】（1）设质量为的物体以速度水平抛出恰能成为人造地球卫星，此时地球对物体的万有引力提供其绕地球做匀速圆周运动的向心力 由牛顿第二定律得 解得 （2）设使探测器脱离地球引力束缚所需的最小初速度为，取探测器与地球相距无穷远处为零势能面 探测器从地面发射到到达无穷远的过程中，由机械能守恒定律得 结合地表重力加速度关系式，代入上式解得 （3）a．探测器在距球心处受到两个引力 ① 地球对探测器的引力，方向指向地心，大小为 ② 地外空间均匀物质对探测器的引力：根据球壳定理，半径外的球壳状物质对探测器引力合力为零，半径内总质量为的物质产生的引力等效于质量集中在球心时产生的引力，方向指向球心，大小为 因此，探测器在处所受各种引力的合力大小为 b．探测器从地面（距球心处）运动到宇宙边界（距球心处）过程中，需要克服引力做功，分为两部分，一部分为克服地球引力做功，另一部分为克服宇宙物质引力做功 克服地球引力做功 克服宇宙物质引力做功：由于宇宙物质对探测器的引力，属于线性回复力 类比弹簧弹性势能公式可知，宇宙物质引力对应的势能为 故从到克服引力做功为 设从地面发射探测器的最小初速度为，由能量守恒定律可知 解得 c．在真实膨胀的宇宙模型中，所有宇宙物质在做彼此远离运动。当探测器向外逃逸时，沿途的宇宙物质也在同步向外退行，这就导致探测器与周围物质的相对退行速度减小，沿途物质对探测器的引力束缚作用（即做负功）减弱。因此，探测器逃逸所需克服的引力势能比静态宇宙模型下要小，实际所需的最小初速度将小于问中的计算结果。 真题·实战演练 高频考点：开普勒三定律、中心天体质量的估算、中心天体密度的估算、万有引力定理的理解及应用 1．（2025·云南·高考）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（　　） 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间 C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间 【答案】C 【解析】根据开普勒第三定律可知 其中，， 代入解得 故可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。故选C。 2．（2025·安徽·高考）（多选）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】AB．对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有 可得 故A错误，B正确； CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得 可得 故C正确，D错误。故选BC。 3．（2026·四川·高考）离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（ ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 【答案】B 【解析】根据题意，由万有引力提供向心力有 可得 则有 故选B。 4．（2026·浙江·选考）已知行星的平均密度为，靠近行星表面运行的卫星做圆周运动的周期为T。对于任何行星均为同一常量的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据万有引力定律和圆周运动规律，卫星在行星表面附近运行时，万有引力提供向心力 行星平均密度 联立解得 A．，与 有关，非常量，故A错误； B． ，为常量，故B正确； C．，与 有关，非常量，故C错误； D．，与 有关，非常量，故D错误。故选B。 5．（2025·陕西&山西·高考）我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3750km，轨道周期约2h。引力常量G取6.67 × 10－11N⋅m2/kg2，根据以上数据可推算出火星的（ ） A．质量 B．体积 C．逃逸速度 D．自转周期 【答案】A 【解析】轨道器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得 A．题中已知的物理量有轨道半径r，轨道周期T，引力常量G，可推算出火星的质量，故A正确； B．若想推算火星的体积和逃逸速度，则还需要知道火星的半径r，故BC错误； D．根据上述分析可知，不能通过所提供物理量推算出火星的自转周期，故D错误。故选A。 6．（2025·湖南·高考）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到。下列选项正确的是（　　） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 【答案】A 【解析】根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为 设小行星和卫星的质量分别为 由开普勒第三定律有 解得 卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 解得 对应结果可得a为为为。故选A。 7．（2026·江苏·高考）发射一颗探月卫星，其先后在两个轨道上分别经过M、N两点，如图所示，关于卫星在M、N两点的情况，下列说法正确的是（ ） A．在点所受地球引力比月球引力大 B．在点所受地球引力和月球引力相等 C．在点所受月球引力比地球引力大 D．在点所受地球引力比月球引力大 【答案】D 【解析】根据万有引力公式 ，结合位置和轨道性质分析： M点分析：M点距离地球更近、距离月球更远，且地球质量远大于月球质量，因此卫星在M点受到的地球引力大于月球引力； N点分析：N点距离月球更近、距离地球更远，轨道向月球一侧弯曲，说明合力指向月球，即卫星在N点受到的月球引力大于地球引力。故选D。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $