专题01 第1章 集合（思维导图+知识清单+五大易错点总结）（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 以思维导图+知识清单+易错点总结构建集合专项训练体系，系统梳理概念-关系-运算逻辑，提炼五大易错点解题策略，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|1.1-1.3含12个知识点|元素三特性应用、集合表示法选择、区间表示规则|从集合概念生成到关系（子集/真子集）推导，再到运算（交/并/补）应用，形成完整逻辑链| |易错点突破|5大易错点（每点1典例+4跟踪训练）|空集分类讨论、端点值验证、参数问题互异性检验|针对高频错误构建"错误分析-典例示范-强化训练"闭环，结合Venn图直观化解题思路|

专题01 第1章 集合（思维导图+知识清单+五大易错点总结） 【苏教版】 1.1 集合的概念与表示 【知识点1 元素与集合的概念及表示】 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 【知识点2 元素的特性】 1．确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 2．互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 3．无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【知识点3 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 3．集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作Ø.例如，集合{x |x2+x+1=0,x∈R}就是空集. 【知识点4 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 1.2 子集、全集、补集 【知识点1 子集的概念】 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 【知识点2 真子集的概念】 1．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. 2．有限集合的子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识点3 集合相等的概念】 1．定义：如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 【知识点4 空集的概念】 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【知识点5 Venn图的优点及其表示】 1．优点：形象直观. 2．表示：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩(Venn)图.A是B的子集，可用下图表示： 【知识点6 集合间关系的性质】 1．集合间关系的几大性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若A⊆B，B=C，则A⊆C. (3)若A⊆B，A≠B，则. 【知识点7 补集与全集】 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 1.3 交集、并集 【知识点1 交集】 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 2．交集的性质 性质 说明 A∩B＝B∩A 满足交换律 A∩A＝A 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 A∩∅＝∅ 任何集合与空集的交集等于空集 (A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 两个集合的交集是其中任一集合的子集 【知识点2 并集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．并集的性质 性质 说明 A∪B＝B∪A 满足交换律 A∪A＝A 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 A∪∅＝A 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B) 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 【知识点3 集合的运算性质】 1．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识点4 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【知识点5 区间】 1．区间的定义 (1)设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 2．区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] 3．特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 【易错点1 忽略互异性】 易错点分析：集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【典例1】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·广西南宁·期中）若}，则的值为（   ） A．1或－1 B．0 C．－1 D．2 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合，，则（   ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 【跟踪训练1.4】（2026高一上·全国·专题练习）已知集合含有三个元素分别是，，若，求实数的值． 【易错点2 忽略空集的情况】 易错点分析：当A∩B=∅时，你是否注意到“特殊”情况：A=∅或B=∅；同样当A⊆B时，你是否忘记A=∅的情形?忽略空集的情况就容易导致错误. 【注】：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【典例2】（25-26高一上·青海西宁·阶段检测）集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·天津和平·期中）设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.2】（25-26高二下·吉林延边·阶段检测），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·重庆万州·期中）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【易错点3 忽略集合中端点值的取舍】 易错点分析：对于与不等式有关的集合问题，通常借助数轴来分析，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，要注意验证端点值，做到准确无误；另一方面，利用集合间的关系、集合的基本运算求解参数的取值范围时，要注意端点值能不能取到. 【注】：一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圆圈表示. 【典例3】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知集合，，若B为A的子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·山东烟台·阶段检测）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·河南平顶山·开学考试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.4】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）设，或，若 (1)，求的取值范围； (2)，求的取值范围； (3)，求的取值范围. 【易错点4 忽略最高项系数为0的情况】 易错点分析：对于最高项的系数是未知数的一元二次方程或不等式，最高项的系数是否为0将直接影响该方程或不等式的求解方式，进而影响结果，因此必须要进行分类讨论. 【典例4】（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【跟踪训练4.1】（2026高一上·安徽六安·专题练习）已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【跟踪训练4.3】（2026高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合； (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【跟踪训练4.4】（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【易错点5 对集合新定义理解有误】 易错点分析：对于以集合知识为背景的新定义、创新型试题，因为对题干信息的新定义或背景的理解不全面、不深刻，不能很好的将题目信息转化为数学信息，造成解题失误或思路受阻. 【典例5】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，，定义 ，则中的元素个数为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【跟踪训练5.1】（25-26高一上·江苏·期中）对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 【跟踪训练5.2】（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【跟踪训练5.3】（25-26高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【跟踪训练5.4】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. (1)判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. (3)若为正整数，求：“完美集”. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 第1章 集合（思维导图+知识清单+五大易错点总结） 【苏教版】 1.1 集合的概念与表示 【知识点1 元素与集合的概念及表示】 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 【知识点2 元素的特性】 1．确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 2．互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 3．无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【知识点3 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 3．集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作Ø.例如，集合{x |x2+x+1=0,x∈R}就是空集. 【知识点4 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 1.2 子集、全集、补集 【知识点1 子集的概念】 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 【知识点2 真子集的概念】 1．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. 2．有限集合的子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识点3 集合相等的概念】 1．定义：如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 【知识点4 空集的概念】 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【知识点5 Venn图的优点及其表示】 1．优点：形象直观. 2．表示：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩(Venn)图.A是B的子集，可用下图表示： 【知识点6 集合间关系的性质】 1．集合间关系的几大性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若A⊆B，B=C，则A⊆C. (3)若A⊆B，A≠B，则. 【知识点7 补集与全集】 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 1.3 交集、并集 【知识点1 交集】 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 2．交集的性质 性质 说明 A∩B＝B∩A 满足交换律 A∩A＝A 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 A∩∅＝∅ 任何集合与空集的交集等于空集 (A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 两个集合的交集是其中任一集合的子集 【知识点2 并集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．并集的性质 性质 说明 A∪B＝B∪A 满足交换律 A∪A＝A 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 A∪∅＝A 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B) 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 【知识点3 集合的运算性质】 1．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识点4 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【知识点5 区间】 1．区间的定义 (1)设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 2．区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] 3．特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 【易错点1 忽略互异性】 易错点分析：集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【典例1】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【解题思路】分和讨论即可. 【解答过程】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·广西南宁·期中）若}，则的值为（   ） A．1或－1 B．0 C．－1 D．2 【答案】C 【解题思路】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解. 【解答过程】因为，所以或， 若，则，不满足元素的互异性，排除； 若，则或1（舍去），，此时集合为，符合题意， 故选：C. 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 【答案】D 【解题思路】利用集合元素的互异性讨论即可. 【解答过程】当时，解得或3； 当； 当； 所有不可能的取值之和. 故选：D. 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合，，则（   ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 【答案】D 【解题思路】根据元素与集合的关系求出的值，验证集合元素互异性即得. 【解答过程】由可得或. ① 当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ②当时，，由上分析可知不合题意. 故. 故选：D. 【跟踪训练1.4】（2026高一上·全国·专题练习）已知集合含有三个元素分别是，，若，求实数的值． 【答案】0 【解题思路】根据集合中元素互异的性质，可求出参数的值 【解答过程】若，则，此时中元素是1，0，1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若，则或， 当时，中元素是2，1，3，符合题意； 当时，中元素是0，1，1，与集合中元素互异性矛盾，舍去． 若，则或（均舍去）． 综上可知． 【易错点2 忽略空集的情况】 易错点分析：当A∩B=∅时，你是否注意到“特殊”情况：A=∅或B=∅；同样当A⊆B时，你是否忘记A=∅的情形?忽略空集的情况就容易导致错误. 【注】：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【典例2】（25-26高一上·青海西宁·阶段检测）集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意，分和两种情况讨论即可. 【解答过程】因为， ①当时，，解得， ②当时，， 解得， 综上所述，的取值范围是为：. 故选：A. 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·天津和平·期中）设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分和两种情况进行讨论分析，可得实数m的取值范围. 【解答过程】当，即时，，此时，符合题意； 当，即时，， 由，得，或. 解得，或. 综上所述，实数m的取值范围为，或，或, 即. 故选：D. 【跟踪训练2.2】（25-26高二下·吉林延边·阶段检测），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·重庆万州·期中）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果. 【解答过程】因为，所以. 若，则，即； 若，则解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：B. 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【解答过程】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 【易错点3 忽略集合中端点值的取舍】 易错点分析：对于与不等式有关的集合问题，通常借助数轴来分析，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，要注意验证端点值，做到准确无误；另一方面，利用集合间的关系、集合的基本运算求解参数的取值范围时，要注意端点值能不能取到. 【注】：一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圆圈表示. 【典例3】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】分集合是否是空集进行讨论列式计算即可求解. 【解答过程】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 或第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 解得. 综上，或，即m的取值范围是. 故选：D. 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知集合，，若B为A的子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据集合的包含关系，讨论、列不等式求参数范围. 【解答过程】由B为A的子集， 当时，，可得， 当时，，可得， 综上，. 故选：C. 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·山东烟台·阶段检测）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据集合之间的关系列不等式组求解即可. 【解答过程】因为且，所以必为非空集，则有，解得， 又，所以，解得， 综上，实数的取值范围为， 故选：C. 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·河南平顶山·开学考试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【解答过程】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 . 故选：C. 【跟踪训练3.4】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）设，或，若 (1)，求的取值范围； (2)，求的取值范围； (3)，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）根据交集的结果可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）由题意可得，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，即可得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）因为，或，且， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. （2）因为，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. （3）由题意可得， 因为，则，所以，解得， 因此实数的取值范围是. 【易错点4 忽略最高项系数为0的情况】 易错点分析：对于最高项的系数是未知数的一元二次方程或不等式，最高项的系数是否为0将直接影响该方程或不等式的求解方式，进而影响结果，因此必须要进行分类讨论. 【典例4】（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【解答过程】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 【跟踪训练4.1】（2026高一上·安徽六安·专题练习）已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）由，代入得，再求解即可； （2）分集合为或有且仅有一个元素两种情况进行求解，其中当集合有且仅有一个元素时，注意对方程的二次项系数分和两种情况进行分别求解即可． 【解答过程】（1）由于，所以是的实数根， 故，故； （2）由已知可得中最多有一个元素，故中可能无任何元素，或者只有一个元素， 当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素， 中最多有一个元素，或． 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【解答过程】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 【跟踪训练4.3】（2026高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合； (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由可得，分和进行讨论； （2）由的子集有两个得出只含有一个元素，分和进行讨论. 【解答过程】（1）若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （2）若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 【跟踪训练4.4】（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【解题思路】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【解答过程】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 【易错点5 对集合新定义理解有误】 易错点分析：对于以集合知识为背景的新定义、创新型试题，因为对题干信息的新定义或背景的理解不全面、不深刻，不能很好的将题目信息转化为数学信息，造成解题失误或思路受阻. 【典例5】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，，定义 ，则中的元素个数为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【解题思路】先求出集合，再根据所给定义分情况讨论列出即可判断. 【解答过程】由， 而， 在集合中，和都可以取，即和都可以取， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 综上所述，，共9个元素． 故选：B． 【跟踪训练5.1】（25-26高一上·江苏·期中）对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 【答案】C 【解题思路】先化简集合，根据差集得定义可判断AB选项；根据，，结合题意，转化为集合之间的关系可判断CD选项. 【解答过程】由，得，解得， 则， 对于A，当时，，又，则，故A错误； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，由定义知，又， 则，因此可得， 则，解得，故C正确； 对于D，由，， 又，可得， 则，无解，因此不存在这样的，使得，故D错误； 故选：C. 【跟踪训练5.2】（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【解答过程】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 【跟踪训练5.3】（25-26高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)集合能满足，实数的取值范围为. 【解题思路】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可. 【解答过程】（1）因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）, 因为且，所以， 所以 所以. （3）因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 【跟踪训练5.4】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. (1)判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. (3)若为正整数，求：“完美集”. 【答案】(1)不是“完美集”， 是“完美集”； (2)； (3)“完美集” ． 【解题思路】（1）根据“完美集”的定义验证； （2）由新定义结合一元二次方程的判别式得出，然后变形为的函数形式，得其范围； （3）在中设，然后由和分类讨论可得． 【解答过程】（1）（1）因为，不是“完美集”， 又，所以是“完美集”； （2）是“完美集”，则，，又，所以，同理， 设，则是方程的两不等实根， 所以，解得或，又，所以， ， 因为，所以 ； 即的取值范围是； （3）若，则，由（2）的解析知，且， 当时，与互质，，而，所以，此时，不合题意； 若，，，不妨设，都是正整数， 则，，， 由得，则， 所以，，所以，，则， 所以； 若，，不妨设，且都是正整数， 则， 由知，(i)， 时，， 即，所以，(ii)，而， (i)式与(ii)式矛盾，所以时不存在“完美集”， 综上，“完美集” ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $