专题02 集合间的基本关系（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念-方法-应用”为主线，系统构建集合关系的解题体系，通过9类题型实现从基础到创新的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |子集确定|1典例+3变式|枚举法/元素特征法/数形结合法|从包含关系定义到集合关系判断的逻辑链| |子集个数|1典例+3变式|n元素集合子集个数公式|集合元素特性与计数原理的结合| |集合相等|1典例+3变式|双向包含证明法/元素和积性质|相等定义到参数求解的转化思想| |空集辨析|1典例+3变式|空集特殊性分类讨论|空集与非空集合的包含关系处理| |新定义题|1典例+3变式|新概念转化与集合运算|集合语言表达现实问题的建模能力|

专题02 集合间的基本关系 （题型突破·举一反三） ▌题型01 子集、真子集的确定 【典例1-1】C 【分析】求出集合的真子集，即可判断. 【详解】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C. 【典例1-2】 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据的正负情况讨论求解即可； （2）根据子集的定义即可求解. 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . 【变式1-1】D 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 【变式1-2】AC 【详解】由题意可知且，而或2与4同时出现，所以且，所以满足条件的非空集合有， 故选：AC 【变式1-3】 【答案】(1) (2)，，，. 【分析】（1）由，可求得，即可求解； （2）由，即可求出相应的子集； 【详解】（1）由，所以，得， 则，解得或， 所以. （2）由， 所以集合的子集为：，，，. ▌题型02 子集、真子集的个数问题 【典例2】C 【详解】由已知， 其子集为，，，，，，，，共计8个. 【变式2-1】D 【分析】根据集合子集的性质可得 【详解】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 【变式2-2】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 【变式2-3】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. ▌题型03 判断或证明两个集合相等 【典例3】 【分析】要证明，根据定义，只要证明和同时成立. 【证明】(1)设，则存在，满足，又 ，∵，∴，∴； (2)设，则存在，满足，又，∵，∴，∴. 综上所述，. 【变式3-1】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确，故选：D. 【变式3-2】C 【分析】根据给定条件，利用相同集合的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，与表示不同的点，集合不是同一集合，A不是； 对于B，是数集，是点集，集合不是同一集合，B不是； 对于C，集合是大于或者等于的数集，集合也是大于或者等于的数集，集合是同一集合，C是； 对于D，集合是大于或者等于的数集，而集合是二次函数图象上 所有点组成的集合，为点集，集合不是同一集合，D错误． 故选：C. 【变式3-3】 【证明】（1）显然，欲使，必须且只需即可. 由于可得，此时＝. 综上可知，当时， （2）设，即 当时，有； 当时，有 从而； 另一方面，设，即，因为是奇数，所以，即. 综上可知， ▌题型04 由集合相等求参数 【典例4】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 【变式4-1】C 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 【变式4-2】D 【详解】因为，且，所以，即， 所以. 【变式4-3】 【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解． 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． ▌题型05 空集的概念及辨析 【典例5-1】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 【典例5-2】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式5-1】C 【分析】利用空集的定义直接判断选项是否是空集，即可． 【详解】解：，，所以，A不是空集． ，，所以,B不是空集． ，，，；即C是空集． ，，，即，所以；D不是空集． 故选：C． 【变式5-2】C 【分析】求解的值域，即可根据空集的定义求解. 【详解】由可得， 记，则， 由于，因此， 要使，则无实数根，故， 故选：C 【变式5-3】 【分析】利用空集的定义，结合一元二次不等式的解集情况，分类列式求出范围. 【详解】当时，不成立，，符合题意，； 当时，由，得，解得， 所以m的取值范围为. ▌题型06 判断两个集合间的关系 【典例6】 【答案】（1）A=B；（2）；（3）AB. 【分析】先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系. 【解析】(1)A,B都表示奇数集,故，即A=B. (2)A中的元素都是3的倍数，B中的元素都是6的倍数，对于任意的,6z=3×(2z),因为,所以2,从而可得6,从而有.设6z=3,则故3但,所以. (3)方法一：取k=…,0,1,2,3,4,5,…,可得 , 易知A中任一元素均为B中的元素,但B中的有些元素不在集合A中，故AB.. 方法二：集合M的元素为：（k∈Z）,集合N的元素为：x=（k∈Z）,而2k+1为奇数,k+2为整数,∴AB. 【变式6-1】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解. 【详解】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 【变式6-2】C 【详解】A＝{x|x>﹣4}，B＝{x|﹣3<x<1}， 分别在数轴上表示两个集合，如下图所示. 从数轴上可以看出，集合A中的所有元素都在集合B中，因此，又集合B还有其它不属于集合A的元素，因此，故选B. 【变式6-3】A 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项. 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 【典例7】 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【变式7-1】BC 【分析】由集合子集的关系和元素互异性求解. 【详解】因为，又，， 所以或， 解得或或， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求, 所以或2. 【变式7-2】 【答案】(1)-3(2) 【分析】（1），根据B仅有一个元素，由求解； （2）分和有一个元素求解. 【详解】（1）仅有一个元素，， （2）当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解.∴综上，. 【变式7-3】 【答案】(1)1536 (2)或 【分析】（1）由题知，进而根据集合中的每个元素包含它的子集个数为计算求解即可； （2）分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素，每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）解：当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． ▌题型08 与集合关系有关的探究题 【典例8】 【答案】存在， 或 【分析】明确集合，探寻及成立的条件是解决本题的关鋌． 【详解】∵的 ， 又或． 若，则即． 若，则无解，舍去． 又或或或 ． 当时，，得 ； 当时， 不成立； 当时，，不成立； 当时，符合． 综上可知 或时满足要求． 【变式8-1】 【答案】(1)不存在；（2） 或 或 或 【解析】（1）由题意知当且仅当集合中的元素为1,2时， 对于任意实数都有． ∵ 或 解方程组可知无解， ∴不存在实数，使得对于任意实数，都有 ． （2）由（1）易知，若 ，则有 或 或 或 即 或 或 或 【变式8-2】 【答案】(1)，，，，，． (2)存在，或． 【分析】（1）化简，再结合逐个列举即可； （2）由和两类情况讨论求解. 【解析】（1）当时， ， ． 又因为，所以这样的集合P共有6个：，，，，，． （2）当，即，时，，满足题意． 当时，若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意； 若有两个不相等的实数根， 又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时． 综上，实数a的取值范围为或． ▌题型09 与集合关系有关的新定义题 【典例9】D 【分析】列举出满足条件的元素a，b并求出其和，据互异性，即可得出新集合的元素个数，进一步求出其子集个数. 【详解】因为，且， 所以， 可知集合中共有5个元素， 所以集合的所有子集的个数为. 故选：D. 【变式9-1】B 【分析】根据条件即可求出集合P*Q的元素个数，从而可得出集合P*Q的真子集个数． 【解析】根据题意得，P*Q的元素个数为个， ∴P*Q的真子集个数为26﹣1＝63个． 故选：B． 【变式9-2】A 【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【详解】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A. 【变式9-3】 【答案】(1)；(2)①；②. 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和. 【解析】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 集合间的基本关系 （题型突破·举一反三） 题型01 子集、真子集的确定 1 题型02 子集、真子集的个数问题 4 题型03 判断或证明两个集合相等 5 题型04 由集合相等求参数 7 题型05 空集的概念及辨析 8 题型06 判断两个集合间的关系 10 题型07 由集合的包含关系求参数 13 题型08 与集合关系有关的探究题 16 题型09 与集合关系有关的新定义题 18 ▌题型01 子集、真子集的确定 1． 包含于、子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真包含于、真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 3．判断两个集合间关系的方法 (1)枚举法：对于元素为离散型(即元素可逐一列举出来)的集合，它们之间关系的判断常常利用枚举法，即将两集合分别用列举法表示，通过观察集合元素之间的关系作出判断. (2)元素特征法：当用描述法表示集合时，集合之间的关系有时不易看出，这时候常从元素的结构特征入手，结合通分、变形等技巧，使元素结构一致，再分析元素之间的差异，判断集合之间的关系. (3)数形结合法：判断两个连续型无限集间的包含关系时，常常在数轴上表示出这两个集合，若一个集合A所包含的区域(点)全部在另一个集合B所包含的区域中，则，若集合B中还包含其它其它区域(点)，则.另外还要特别注意用数轴表示集合时，集合端点值的取舍. 【典例1-1】（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合的真子集，即可判断. 【详解】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C. 【典例1-2】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据的正负情况讨论求解即可； （2）根据子集的定义即可求解. 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . 【变式1-1】（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 【变式1-2】（多选）已知非空集合满足：①，②若，则.则集合可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可知且，而或2与4同时出现，所以且，所以满足条件的非空集合有， 故选：AC 【变式1-3】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： 【答案】(1) (2)，，，. 【分析】（1）由，可求得，即可求解； （2）由，即可求出相应的子集； 【详解】（1）由，所以，得， 则，解得或， 所以. （2）由， 所以集合的子集为：，，，. ▌题型02 子集、真子集的个数问题 1．一般可利用枚举法列出集合的所有子集、真子集，从而确定该集合的子集、真子集个数. 2．对于有关子集、真子集个数的小题，则可利用以下结论速解： (1)由n个元素构成的集合有2n个子集; (2)由n个元素构成的集合有(2n-1)个真子集; (3)由n个元素构成的集合有(2n-1)个非空子集; (4)由n个元素构成的集合有(2n-2)个非空真子集. 【典例2】（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】由已知， 其子集为，，，，，，，，共计8个. 【变式2-1】（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据集合子集的性质可得 【详解】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 【变式2-2】（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 【变式2-3】满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. ▌题型03 判断或证明两个集合相等 1.集合相等的定义 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等.记作A=B. 2．用Venn图表示两集合相等 3．证明两个集合相等的策略 (1)证明两个无限集相等时，要分两步进行，一是证明，二是证明. (2)要证明集合A是集合B的子集，必须证明集合A中的任一元素在集合B中，通常先设是集合A中的元素，并将用集合A中元素所满足的式表示出来，再通过等价转化，说明它也符合集合B中元素所满足的式子即可. 【典例3】已知集合，，试证明. 【分析】要证明，根据定义，只要证明和同时成立. 【证明】(1)设，则存在，满足，又 ，∵，∴，∴； (2)设，则存在，满足，又，∵，∴，∴. 综上所述，. 【变式3-1】 （25-26高一上·山东泰安·阶段检测）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相同集合的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，与表示不同的点，集合不是同一集合，A不是； 对于B，是数集，是点集，集合不是同一集合，B不是； 对于C，集合是大于或者等于的数集，集合也是大于或者等于的数集，集合是同一集合，C是； 对于D，集合是大于或者等于的数集，而集合是二次函数图象上 所有点组成的集合，为点集，集合不是同一集合，D错误． 故选：C. 【变式3-3】已知，求证： 【证明】（1）显然，欲使，必须且只需即可. 由于可得，此时＝. 综上可知，当时， （2）设，即 当时，有； 当时，有 从而； 另一方面，设，即，因为是奇数，所以，即. 综上可知， ▌题型04 由集合相等求参数 1．若已知有限数集A=B，求集合中的参数，常规思路是利用“若两个集合相等，则两个集合中的对应元素完全相同”这一结论分类讨论求解. 2．此外，也可利用集合相等的两个拓展性质巧解： 若有限数集A=B，则 (1)两个集合的所有元素之和相等； (2) 两个集合的所有元素之积相等. 【典例4】（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 【变式4-1】（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 【变式4-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合， ，若 ，则 （    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】因为，且，所以，即， 所以. 【变式4-3】（2026高二下·江西·竞赛）实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解． 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． ▌题型05 空集的概念及辨析 在与集合关系有关的题中特别要注意空集的特殊性: (1)空集是任何集合的子集,其中任何集合包含⌀,故⌀⊆⌀. (2)空集是任何非空集合的真子集,即⌀⫋A(A≠⌀),因为A≠⌀,所以必存在a∈A,而a∉⌀,所以⌀⫋A. (3)空集的存在,使关于子集定义中的某些说法错误,如“若A⊆B,则A为B中的部分元素所组成的集合”,因为从“部分元素”的角度无法理解“⌀⊆A”“A⊆A”“⌀⊆⌀”等结论,所以“若A⊆B,则A为B中的部分元素所组成的集合”是错误的. (4)应注意理解下列式子:若A⊆B,则A=⌀,或A≠⌀且A⫋B,或A=B. 【典例5-1】下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 【典例5-2】（25-26高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式5-1】下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空集的定义直接判断选项是否是空集，即可． 【详解】解：，，所以，A不是空集． ，，所以,B不是空集． ，，，；即C是空集． ，，，即，所以；D不是空集． 故选：C． 【变式5-2】（25-26高一上·辽宁·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解的值域，即可根据空集的定义求解. 【详解】由可得， 记，则， 由于，因此， 要使，则无实数根，故， 故选：C 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）若，则m的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用空集的定义，结合一元二次不等式的解集情况，分类列式求出范围. 【详解】当时，不成立，，符合题意，； 当时，由，得，解得， 所以m的取值范围为. ▌题型06 判断两个集合间的关系 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 2．判断两个集合间关系的策略 (1)枚举法：对于元素为离散型(即元素可逐一列举出来)的集合，它们之间关系的判断常常利用枚举法，即将两集合分别用列举法表示，通过观察集合元素之间的关系作出判断. (2)元素特征法：当用描述法表示集合时，集合之间的关系有时不易看出，这时候常从元素的结构特征入手，结合通分、变形等技巧，使元素结构一致，再分析元素之间的差异，判断集合之间的关系. (3)数形结合法：判断两个连续型无限集间的包含关系时，常常在数轴上表示出这两个集合，若一个集合A所包含的区域(点)全部在另一个集合B所包含的区域中，则，若集合B中还包含其它其它区域(点)，则.另外还要特别注意用数轴表示集合时，集合端点值的取舍. 【典例6】判断下列各组中两个集合的关系 (1)，B= (2)A={x|x=3k, (3),, 【答案】（1）A=B；（2）；（3）AB. 【分析】先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系. 【解析】(1)A,B都表示奇数集,故，即A=B. (2)A中的元素都是3的倍数，B中的元素都是6的倍数，对于任意的,6z=3×(2z),因为,所以2,从而可得6,从而有.设6z=3,则故3但,所以. (3)方法一：取k=…,0,1,2,3,4,5,…,可得 , 易知A中任一元素均为B中的元素,但B中的有些元素不在集合A中，故AB.. 方法二：集合M的元素为：（k∈Z）,集合N的元素为：x=（k∈Z）,而2k+1为奇数,k+2为整数,∴AB. 【变式6-1】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解. 【详解】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 【变式6-2】已知集合A＝{x|x>-4},B＝{x|﹣3≤x-1≤0}，则下列关系正确的是（　　） A．A＝B B．AB C．B⊆A D．AB 【答案】C 【详解】A＝{x|x>﹣4}，B＝{x|﹣3<x<1}， 分别在数轴上表示两个集合，如下图所示. 从数轴上可以看出，集合A中的所有元素都在集合B中，因此，又集合B还有其它不属于集合A的元素，因此，故选B. 【变式6-3】（25-26高一·全国·课后作业）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项. 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A ▌题型07 由集合的包含关系求参数 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 2．与数集有关的包含关系求参 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 3．与不等式有关的包含关系求参 (1)已知两个无限集的包含关系求参数问题，常常借助数轴，先把静集合（不含参数）在数轴上表示出来，然后利用条件，确定动集合（含参数）的端点与静集合的端点的位置关系，并建立不等式进行求解，还要特别注意端点值能否取到. (2)由于空集是是任何集合的子集，因此利用解决问题时，一定要分两种情况进行讨论. (3) 求得时参数的取值范围后，再剔除A=B时参数的值，即得时参数的取值范围. 【典例7】（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【变式7-1】(多选)（25-26高二下·湖南衡阳·期中）已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】BC 【分析】由集合子集的关系和元素互异性求解. 【详解】因为，又，， 所以或， 解得或或， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求, 所以或2. 【变式7-2】（25-26高一上·山西阳泉·期末）已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若A，求实数a的取值范围. 【答案】(1)-3 (2) 【分析】（1），根据B仅有一个元素，由求解； （2）分和有一个元素求解. 【详解】（1）仅有一个元素， ， （2）当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 【变式7-3】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)1536 (2)或 【分析】（1）由题知，进而根据集合中的每个元素包含它的子集个数为计算求解即可； （2）分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素， 每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）解：当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． ▌题型08 与集合关系有关的探究题 对集合包含关系的考查常常会出现在探究性问题中，解决这类问题，首先要分清集合的代表元素，进而将集合语言转化为我们习惯的语言形式来求解. 【典例8】已知三个集合 ， ，同时满足的实数是否存在？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 或 【分析】明确集合，探寻及成立的条件是解决本题的关鋌． 【详解】∵的 ， 又或． 若，则即． 若，则无解，舍去． 又或或或 ． 当时，，得 ； 当时， 不成立； 当时，，不成立； 当时，符合． 综上可知 或时满足要求． 【变式8-1】已知集合，集合. （1）是否存在实数，使得对于任意实数都有？若存在，求出对应的值；若不存在，说明理由； （2）若成立，求出对应的实数． 【答案】(1)不存在；（2） 或 或 或 【解析】（1）由题意知当且仅当集合中的元素为1,2时， 对于任意实数都有． ∵ 或 解方程组可知无解， ∴不存在实数，使得对于任意实数，都有 ． （2）由（1）易知，若 ，则有 或 或 或 即 或 或 或 【变式8-2】已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，，，． (2)存在，或． 【分析】（1）化简，再结合逐个列举即可； （2）由和两类情况讨论求解. 【解析】（1）当时， ， ． 又因为，所以这样的集合P共有6个：，，，，，． （2）当，即，时，，满足题意． 当时，若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意； 若有两个不相等的实数根， 又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时． 综上，实数a的取值范围为或． ▌题型09 与集合关系有关的新定义题 以集合为背景的新信息题.常见的有新概念型,定义新运算型等.解决此类问题的关键是先正确理解新的概念或运算,再结合题中集合的新定义来解决. 【典例9】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 【答案】D 【分析】列举出满足条件的元素a，b并求出其和，据互异性，即可得出新集合的元素个数，进一步求出其子集个数. 【详解】因为，且， 所以， 可知集合中共有5个元素， 所以集合的所有子集的个数为. 故选：D. 【变式9-1】集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的真子集个数为（　　） A．31 B．63 C．32 D．64 【答案】B 【分析】根据条件即可求出集合P*Q的元素个数，从而可得出集合P*Q的真子集个数． 【解析】根据题意得，P*Q的元素个数为个， ∴P*Q的真子集个数为26﹣1＝63个． 故选：B． 【变式9-2】（25-26高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【答案】A 【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【详解】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A. 【变式9-3】含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 【答案】(1)；(2)①；②. 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和. 【解析】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 集合间的基本运算 （题型突破·举一反三） 题型01 子集、真子集的确定 1 题型02 子集、真子集的个数问题 3 题型03 判断或证明两个集合相等 4 题型04 由集合相等求参数 5 题型05 空集的概念及辨析 6 题型06 判断两个集合间的关系 8 题型07 由集合的包含关系求参数 9 题型08 与集合关系有关的探究题 11 题型09 与集合关系有关的新定义题 13 ▌题型01 集、真子集的确定 1． 包含于、子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素 集合B中的元素，称集合A为集合B的 记法 与读法 记作(或)，读作“A B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的 ，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真包含于、真子集的概念 定义 如果集合，但 元素，且，我们称集合A是集合B的 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 3．判断两个集合间关系的方法 (1)枚举法：对于元素为离散型(即元素可逐一列举出来)的集合，它们之间关系的判断常常利用枚举法，即将两集合分别用列举法表示，通过观察集合元素之间的关系作出判断. (2)元素特征法：当用描述法表示集合时，集合之间的关系有时不易看出，这时候常从元素的结构特征入手，结合通分、变形等技巧，使元素结构一致，再分析元素之间的差异，判断集合之间的关系. (3)数形结合法：判断两个连续型无限集间的包含关系时，常常在数轴上表示出这两个集合，若一个集合A所包含的区域(点)全部在另一个集合B所包含的区域中，则，若集合B中还包含其它其它区域(点)，则.另外还要特别注意用数轴表示集合时，集合端点值的取舍. 【典例1-1】（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合的真子集，即可判断. 【详解】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C. 【典例1-2】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据的正负情况讨论求解即可； （2）根据子集的定义即可求解. 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . 【变式1-1】（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）已知非空集合满足：①，②若，则.则集合可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. ▌题型02 子集、真子集的个数问题 1．一般可利用枚举法列出集合的所有子集、真子集，从而确定该集合的子集、真子集个数. 2．对于有关子集、真子集个数的小题，则可利用以下结论速解： (1)由n个元素构成的集合有 个子集; (2)由n个元素构成的集合有 个真子集; (3)由n个元素构成的集合有 个非空子集; (4)由n个元素构成的集合有 个非空真子集. 【典例2】（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】由已知， 其子集为，，，，，，，，共计8个. 【变式2-1】（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【变式2-2】（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【变式2-3】满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 ▌题型03 判断或证明两个集合相等 1.集合相等的定义 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且 ，那么称集合A与集合B相等.记作A=B. 2．用Venn图表示两集合相等 3．证明两个集合相等的策略 (1)证明两个无限集相等时，要分两步进行，一是证明，二是证明. (2)要证明集合A是集合B的子集，必须证明集合A中的任一元素在集合B中，通常先设是集合A中的元素，并将用集合A中元素所满足的式表示出来，再通过等价转化，说明它也符合集合B中元素所满足的式子即可. 【典例3】已知集合，，试证明. 【分析】要证明，根据定义，只要证明和同时成立. 【证明】(1)设，则存在，满足，又 ，∵，∴，∴； (2)设，则存在，满足，又，∵，∴，∴. 综上所述，. 【变式3-1】 （25-26高一上·山东泰安·阶段检测）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】已知，求证： ▌题型04 由集合相等求参数 1．若已知有限数集A=B，求集合中的参数，常规思路是利用“若两个集合相等，则两个集合中的对应元素完全相同”这一结论分类讨论求解. 2．此外，也可利用集合相等的两个拓展性质巧解： 若有限数集A=B，则 (1)两个集合的所有元素之和相等； (2) 两个集合的所有元素之积相等. 【典例4】（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 【变式4-1】（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【变式4-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合， ，若 ，则 （    ） A． B．2 C． D．1 【变式4-3】（2026高二下·江西·竞赛）实数，满足集合，则末尾的两位数是________． ▌题型05 空集的概念及辨析 在与集合关系有关的题中特别要注意空集的特殊性: (1)空集是任何集合的子集,其中任何集合包含⌀,故⌀⊆⌀. (2)空集是任何非空集合的真子集,即⌀⫋A(A≠⌀),因为A≠⌀,所以必存在a∈A,而a∉⌀,所以⌀⫋A. (3)空集的存在,使关于子集定义中的某些说法错误,如“若A⊆B,则A为B中的部分元素所组成的集合”,因为从“部分元素”的角度无法理解“⌀⊆A”“A⊆A”“⌀⊆⌀”等结论,所以“若A⊆B,则A为B中的部分元素所组成的集合”是错误的. (4)应注意理解下列式子:若A⊆B,则A=⌀,或A≠⌀且A⫋B,或A=B. 【典例5-1】下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 【典例5-2】（25-26高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式5-1】下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·辽宁·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）若，则m的取值范围为__________． ▌题型06 判断两个集合间的关系 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 2．判断两个集合间关系的策略 (1)枚举法：对于元素为离散型(即元素可逐一列举出来)的集合，它们之间关系的判断常常利用枚举法，即将两集合分别用列举法表示，通过观察集合元素之间的关系作出判断. (2)元素特征法：当用描述法表示集合时，集合之间的关系有时不易看出，这时候常从元素的结构特征入手，结合通分、变形等技巧，使元素结构一致，再分析元素之间的差异，判断集合之间的关系. (3)数形结合法：判断两个连续型无限集间的包含关系时，常常在数轴上表示出这两个集合，若一个集合A所包含的区域(点)全部在另一个集合B所包含的区域中，则，若集合B中还包含其它其它区域(点)，则.另外还要特别注意用数轴表示集合时，集合端点值的取舍. 【典例6】判断下列各组中两个集合的关系 (1)，B= (2)A={x|x=3k, (3),, 【答案】（1）A=B；（2）；（3）AB. 【分析】先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系. 【解析】(1)A,B都表示奇数集,故，即A=B. (2)A中的元素都是3的倍数，B中的元素都是6的倍数，对于任意的,6z=3×(2z),因为,所以2,从而可得6,从而有.设6z=3,则故3但,所以. (3)方法一：取k=…,0,1,2,3,4,5,…,可得 , 易知A中任一元素均为B中的元素,但B中的有些元素不在集合A中，故AB.. 方法二：集合M的元素为：（k∈Z）,集合N的元素为：x=（k∈Z）,而2k+1为奇数,k+2为整数,∴AB. 【变式6-1】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【变式6-2】已知集合A＝{x|x>-4},B＝{x|﹣3≤x-1≤0}，则下列关系正确的是（　　） A．A＝B B．AB C．B⊆A D．AB 【变式6-3】（25-26高一·全国·课后作业）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． ▌题型07 由集合的包含关系求参数 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的 ，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 2．与数集有关的包含关系求参 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 3．与不等式有关的包含关系求参 (1)已知两个无限集的包含关系求参数问题，常常借助数轴，先把静集合（不含参数）在数轴上表示出来，然后利用条件，确定动集合（含参数）的端点与静集合的端点的位置关系，并建立不等式进行求解，还要特别注意端点值能否取到. (2)由于空集是是任何集合的子集，因此利用解决问题时，一定要分两种情况进行讨论. (3) 求得时参数的取值范围后，再剔除A=B时参数的值，即得时参数的取值范围. 【典例7】（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【变式7-1】(多选)（25-26高二下·湖南衡阳·期中）已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 【变式7-2】（25-26高一上·山西阳泉·期末）已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若A，求实数a的取值范围. 【变式7-3】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． ▌题型08 与集合关系有关的探究题 对集合包含关系的考查常常会出现在探究性问题中，解决这类问题，首先要分清集合的代表元素，进而将集合语言转化为我们习惯的语言形式来求解. 【典例8】已知三个集合 ， ，同时满足的实数是否存在？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 或 【分析】明确集合，探寻及成立的条件是解决本题的关鋌． 【详解】∵的 ， 又或． 若，则即． 若，则无解，舍去． 又或或或 ． 当时，，得 ； 当时， 不成立； 当时，，不成立； 当时，符合． 综上可知 或时满足要求． 【变式8-1】已知集合，集合. （1）是否存在实数，使得对于任意实数都有？若存在，求出对应的值；若不存在，说明理由； （2）若成立，求出对应的实数． 【变式8-2】已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． ▌题型09 与集合关系有关的新定义题 以集合为背景的新信息题.常见的有新概念型,定义新运算型等.解决此类问题的关键是先正确理解新的概念或运算,再结合题中集合的新定义来解决. 【典例9】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 【答案】D 【分析】列举出满足条件的元素a，b并求出其和，据互异性，即可得出新集合的元素个数，进一步求出其子集个数. 【详解】因为，且， 所以， 可知集合中共有5个元素， 所以集合的所有子集的个数为. 故选：D. 【变式9-1】集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的真子集个数为（　　） A．31 B．63 C．32 D．64 【变式9-2】（25-26高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【变式9-3】含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $