专题06 全等三角形10大经典必考模型专项训练（10大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题06 全等三角形10大经典必考模型专项训练 （10大题型+15道拓展培优题） 经典模型一 平移模型 经典模型二 轴对称模型 经典模型三 旋转模型 经典模型四 一线三等角模型 经典模型五 垂直模型 经典模型六 手拉手模型 经典模型七 半角模型 经典模型八 倍长中线模型 经典模型九 对角互补模型 经典模型十 角平分线模型 【经典例题一 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 【常见模型】 【例1】（25-26八年级上·江苏苏州·随堂练习）如图，两个全等直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，平移距离为6，则的面积为（   ） A．27 B．40 C．42 D．48 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：是等腰直角三角形； (3)在图中，你能通过平移、翻折、旋转等方式使与完全重合吗？ 2．（24-25八年级上·江苏盐城·课后作业）（新课标  开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    3．（2025八年级上·江苏宿迁·专题练习）阅读下面材料： 如图①，把沿直线平移到的位置； 如图②，以为轴，把翻折可以变到的位置； 如图③，以点A为中心，把旋转可以变到的位置． 像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方式得到的．这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换叫做三角形的全等变换． 回答下列问题： (1)在图④中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方式怎样变化，使变到？ (2)指出图④中线段与之间的关系，并说明理由． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）将一副三角板和直尺按图1的方式摆放，固定的三角板和直尺，将的三角板沿射线平移，得到，其中．如图2所示． (1)连接，求的度数： (2)连接交ED于点G，于点F，连接，过F作，交于点H，连接，如图3，探究当时．线段与的大小关系； (3)过点A的直线l与直线交于点P，平分，平分，三角板在平移的过程中，是否存在某个时刻直线与直线没有交点，若存在，求出的度数，若不存在，请说明理由． 【经典例题二 轴对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 【常见模型】 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，D，E，F分别是等边三角形三边的中点．下列三角形：①；②；③，其中，可以由经过一次轴对称变换得到的是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 1．（24-25八年级上·江苏苏州·课后作业）如图，和都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到．说明得到的过程． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形是正方形，，分别是和的延长线上的点，且，连接，，．    (1)可以看作是经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到的变换过程； (2)已知，，直接写出四边形的面积为________． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，与边的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）． (1)直接写出的度数； (2)在旋转过程中，试证明始终成立． （提示：由于符合勾股定理的形式，若通过将或进行旋转或轴对称变化，变换边、角的位置，最终使转化为一个直角三角形的三边就可以使得问题解决了．） 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）【发现问题】 在全等三角形研究“筝形”的数学活动中，学习了筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，以及筝形的边、角、对角线的性质.小明在学完十三章《轴对称》后，将学过的角平分线的性质与判定定理，线段垂直平分线的性质与判定定理的图形进行了整理，发现这些图形中都存在筝形，且筝形是轴对称图形． 【提出问题】 小明利用筝形是轴对称图形对它的面积进行了探究，得到了筝形面积与对角线的数量关系． （1）如图1，在四边形中，，，对角线与相交于点O． 求证：． 【分析问题】 （2）如图2，在四边形中，，，于点B，于点D，点M，N分别是，上的点，且，求的周长．（用含a的式子表示） 【解决问题】 （3）①如图3，在中，点D为内一点，平分，且． 求证：． ②如图4，在中，，，点D，E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出______°． 【经典例题三 旋转模型】 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 【常见模型】 【例3】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）一副三角尺如图放置，为中点，将绕点旋转，边分别与边分别交于点，若，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 2．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，绕着点B旋转（顺时针）到，且． (1)和是否全等？如果全等，请指出对应边和对应角． (2)直线与直线有怎样的位置关系？请说明理由． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 4．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【经典例题四 一线三等角模型】 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型解读】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 【例4】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图1，，，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，由 ，得 . 又，可以推理得到 ，进而得到，，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型：[模型应用]如图2，且 ，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 2．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图1，是大家非常熟悉的“一线三直角模型”，受到这模型的启发，我们研究如下问题：如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，连接并延长交的延长线于点F， (1)若，求线段的长； (2)在（1）的条件下，连接交于点N，求的值； (3)在（1）的条件下，在直线上找点P，使，直接写出线段的长度． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）【模型呈现】 “数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．“一线三等角”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． (1)【模型理解】如图1，已知，点C在线段DE上，，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ； (2)【拓展延伸】在中，，分别以、为腰，在左侧作等腰直角三角形，在右侧作等腰直角三角形，其中，， ① 如图2，连接，当交线段的延长线于点M时，求证：； ② 如图3，连接，当交线段于点M，且时，求的长． 4．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三直角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； 【问题提出】 （2）如图3，改变直线的位置，其余条件与（1）相同，若，，求的面积； （3）如图4，四边形中，，的面积为20，且的长为8，求的面积． 【经典例题五 垂直模型】 【例5】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图所示，是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小颖（点B）到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是设计了如下测量方案． 课题 测量凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图 （不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线AC与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达D点； ③他到达D点后向左转直行，当自己、电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处． 测量数据 (1)请你根据测量方案将示意图补充完整； (2)求凉亭A与游艇B之间的距离，并说明理由． 2．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)小明认为与一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由； (2)连接，若，求的度数； (3)求的长． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）图是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图，将仪器放置在上，使点（与顶点重合，，  分别在边， 上，沿 画一条射线， 交于点，是的平分线吗?请判断并说明理由． (2)如图，在（）的条件下，过点作垂直 于点， 若，，的面积是，求的长和的值． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，为伞柄，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨分别是伞骨上两个定点，且满足，，． (1)若，求的度数； (2)当伞完全撑开后，点在同一条直线上，已知，两个身体宽度的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？ 【经典例题六 手拉手模型】 模型.手拉手模型（三角形） 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 （等边） （等腰直角） （等腰） 【例6】（24-25八年级上·湖南湘西·阶段练习）在学习了三角形的内容后，李老师为了更生动地让同学们理解所学习的知识，带领大家做实验：首先让全班所有同学手拉手围成一个锐角三角形，李老师站在三角形的内部，第一次李老师要以相同的速度和相同的时间走到三个顶点处的学生的位置，第二次李老师又要以相同的速度和相同的时间走到三条边上距离他最近的学生的位置．请大家根据所学知识，依次猜出李老师两次实验的初始位置分别在三角形的什么地方吗（    ） ①三条高的交点        ②三边中垂线的交点 ③三条角平分线的交点        ④三角形内部的任意位置 A．①③ B．②③ C．①② D．①④ 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成的图形就是典型的“手拉手”模型，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． 如图，，    (1)求证：； (2)如图②，当时，取的中点P，的中点Q，判断的形状并给出证明．                    2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形， 如图1，和是是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，求证：； （2）类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出的长，不说明理由． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作∶ (1)如图1，在和中，，连接，当点落在边上，且三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，与全等的三角形是__________，的度数为__________． (2)如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明∶；②． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）【问题发现】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示， 是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路    将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在 中，易得 ，由，得，， 之间的数量关系为_______． 【类比分析】 （2）如图2所示，当点在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）若（1）中的点 在射线上，且 请直接写出的度数．    【经典例题七 半角模型】 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 模型1.半角模型（90°-45°型） 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【例7】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点与点重合，得到，连接、、． (1)求证： ． (2)如图，已知旋转得到，如果正方形的边长是4，求的周长． 2．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【问题发现与证明】 如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，“截长补短”是常用的方法之一在图中，连接，为了证明结论“”，小亮延长到，使解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； 【问题拓展与应用】 如图，正方形的边长为，点，分别在，上，若，，求的长． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．    （1）在图l中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； （2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ （3）如图3，如果四边形中，，，，且，，，求的长． 【经典例题八 倍长中线模型】 【例8】（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝7，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．4＜AD＜10 B．0＜AD＜10 C．3＜AD＜7 D．2＜AD＜5 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点D是的中点，分别以为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，连接． (1)请写出与的数量关系，并说明理由． (2)延长交于点F，求的度数． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题： (1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形． (2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD； ②求证：AC＝2OP． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE． 在△ABD与△ECD中 ∴△ABD≅△ECD（SAS） ∴AB＝　 　． 又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5， ∴　 　＜AE＜　 　． 又∵AE＝2AD． ∴　 　＜AD＜　 　． 【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 　 　．（直接写答案） 【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP． 【经典例题九 对角互补模型】 模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=PA； 模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型） 1）“2α对180°-2α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB 注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 【例9】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知四边形的对角互补，且，．过顶点C作于E，则的值为（    ） A．6 B． C．7 D． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，C、E分别在AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他又没有带量角器，只带了一副三角尺，于是他想了这样一个办法：首先连接CF，再找出CF的中点O，然后连接EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO=BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补． 请将小华的想法补充完整： ∵和交于点． ∴；（    ） 而是的中点，那么，又已知， ∴（    ）， ∴，（全等三角形对应边相等） ∴，（    ） ∴，（    ） ∴和互补．（    ） 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）在学习了四边形的相关知识后，奋进组进行了更深入的思考：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被对角线平分所得的两个小角所对的边存在一定的数量关系？通过讨论，奋进组的解决思路是利用构造三角形全等得出结论，根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，用尺规过点C作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在四边形中，，平分，交的延长线于点E，，求证：． 证明：∵平分，，， ∴①，． ∵， ∴． 又∵， ∴②． ∴（③）． ∴． 通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被该对角线平分所得的两个相等小角④． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·课后作业）四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． (1)如图1，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：延长至M，使得，连，可证明，通过判断的形状，可以得出结论． ①在图1中按要求完成作图； ②的形状为 　　； ③　　； (2)如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，试证明：； (3)如图3，等腰、等腰的顶角分别为、，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 【经典例题十 角平分线模型】 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 【例10】 （24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，是的角平分线，点E，F分别是，上的动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：． 求作：的平分线． 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点N． ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C． ③画射线，射线即为所求（如图）． 请你根据提供的材料完成下面问题： (1)这种作已知角的平分线的方法的依据是____________ （填序号）． ①；②；③；④． (2)请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：证明：由作图可知， 在和△中，， ∴④_________________________ ∴⑤_________________________ 为的角平分线． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）中，，射线交射线于D，过D作垂直射线于点E，点F在射线上，． (1)如图1，若是的角平分线，求证：； (2)如图2，若射线平分的外角，且点F在射线上，则线段、和的数量关系是______； (3)如图3，在（2）的条件下，过D作交延长线于点M，若，求的长． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）在学习了平行四边形的相关知识后，小艾进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，四边形是平行四边形，的平分线与交于点．用尺规作图：过点作的垂线，交于点，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形 ， ∴① ， ∵平分， ∴， ∴， ∴② ， ∵， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴③ ， ∴ ∴，即， ∵④____________， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤ ． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，与关于轴对称，延长到Q，使，C为中点，下列三角形中与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线便是角平分线．在证明时运用的判定定理是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是(   ) A．6<AD<8 B．2<AD<4 C．1<AD<7 D．无法确定 4．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，连接交于点，以下五个结论：①；②；③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 5．（2025八年级上·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，是的角平分线． 过点的直线交线段于点，交线段的延长线于点，作，交的延长线于点，交线段于．在满足以上条件的情况下将绕点旋转，旋转过程中以下保持定值的有（    ）个． ①；②；③四边形的面积；④ A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是 ． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则能说明是的角平分线的依据是 ．（选填“”、“”、“”、“”） 8．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在等边中，点为三条边垂直平分线的交点，若要使旋转前后的两个图形能完全重合，则绕着点至少顺时针旋转 °． 9．（24-25八年级上·江苏·周测）如图，是长方形的对角线的中点，，，垂足分别为、，若，则将沿方向平移 可以得到三角形． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰中，，D为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点D处，绕点D任意旋转三角板，使两直角边分别交，于点E，F（点E，F与点A，B，C不重合），连接，下列结论：①，②与有可能全等，③的周长等于的周长的一半，④四边形的面积等于的面积的一半．其中正确的结论是 ．（填序号） 11．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知，的斜边在射线上，沿着射线平移，，．连接，在左侧作等腰直角三角形，，连接交于点F，连接． (1)如图1，当点D在上时，求证：； (2)如图2，当时，若， ①求 ； ②连接，求的度数． 12．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为 ． (2)如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，求证：． (3)如图（3），是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 13．（24-25八年级上·江苏南京·期末）（1）阅读理解 由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现若，，，则，请证明他的发现； （2）问题解决 如图②，，试探索线段之间满足的等量关系，并证明； （3）拓展探究 如图③，和是拥有公共顶点C的两个等边三角形，M点、N点、F点分别是的中点．当时，请直接写出的长． 14．（24-25八年级上·江西南昌·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到.进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；    [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 15．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）【综合与实践】 神州小组在探究平移、轴对称、旋转之间的关联得到的部分报告如表： 实验操作：奇妙的轴对称 三角形关于直线m对称，三角形关于直线n对称 直线平行 直线相交 三角形③可以由三角形①经过一次________得到．（填“平移”“旋转”“翻折”） 三角形③可以由三角形①经过一次________得到．（填“平移”“旋转”“翻折”） 神州小组通过查阅资料得到如下两个真命题： A．一次平移变换可以分解为两次轴对称变换． B．一次旋转变换可以分解为两次轴对称变换． 【理解运用】 如图三角形能完全重合，则三角形②一定可以由三角形①经过至少________次的轴对称变换得到． 【拓展迁移】 如图，中，把点A绕着C顺时针旋转得到点D，再把点A绕着B逆时针旋转得到点为上方一点且，连接，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形10大经典必考模型专项训练 （10大题型+15道拓展培优题） 经典模型一 平移模型 经典模型二 轴对称模型 经典模型三 旋转模型 经典模型四 一线三等角模型 经典模型五 垂直模型 经典模型六 手拉手模型 经典模型七 半角模型 经典模型八 倍长中线模型 经典模型九 对角互补模型 经典模型十 角平分线模型 【经典例题一 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 【常见模型】 【例1】（25-26八年级上·江苏苏州·随堂练习）如图，两个全等直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，平移距离为6，则的面积为（   ） A．27 B．40 C．42 D．48 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质，首先由平移的性质知，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】由平移的性质知， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以的面积为． 故选A． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：是等腰直角三角形； (3)在图中，你能通过平移、翻折、旋转等方式使与完全重合吗？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转和平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据全等三角形的性质得出，然后根据线段和差关系即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理可求出，等量代换可求出，根据三角形的内角和定理可求出，最后根据等腰直角三角形的定义判断即可； （3）根据旋转和平移的性质即可解答． 【详解】（1）证明：， ， 又，D，E三点在同一条直线上， ， ． （2）证明：， ， ， ， 即． 是等腰直角三角形； （3）解：答案不唯一，如：将先绕点D顺时针旋转与相同的度数，再向下平移与线段相同的长度，即可与完全重合． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·课后作业）（新课标  开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）由可得，于是；由平行线的性质可得，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； （2）如图3，由可得，于是；由两直线平行内错角相等可得，于是可得两角的补角，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：仍成立． 理由如下（如题图3）： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，掌握全等三角形“边角边”的判定条件是解题关键． 3．（2025八年级上·江苏宿迁·专题练习）阅读下面材料： 如图①，把沿直线平移到的位置； 如图②，以为轴，把翻折可以变到的位置； 如图③，以点A为中心，把旋转可以变到的位置． 像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方式得到的．这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换叫做三角形的全等变换． 回答下列问题： (1)在图④中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方式怎样变化，使变到？ (2)指出图④中线段与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)绕点逆时针旋转 (2)且理由见解析 【分析】本体主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）通过绕点逆时针旋转得到； （2）延长交于点，由全等的性质以及即可得到结论． 【详解】（1）解：在图④中可以通过绕点逆时针旋转得到； （2）解：且理由： 由全等变换的定义可知，， ． 延长交于点， ， ， ． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）将一副三角板和直尺按图1的方式摆放，固定的三角板和直尺，将的三角板沿射线平移，得到，其中．如图2所示． (1)连接，求的度数： (2)连接交ED于点G，于点F，连接，过F作，交于点H，连接，如图3，探究当时．线段与的大小关系； (3)过点A的直线l与直线交于点P，平分，平分，三角板在平移的过程中，是否存在某个时刻直线与直线没有交点，若存在，求出的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由题意得，，，，利用平行线的性质即可求解； （2）利用平行线的性质求得，再证明求得，最后利用垂线段最短即可得解； （3）由直线与直线没有交点，得出，先求得，得到，求得，再求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵三角板是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵直线与直线没有交点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义． 【经典例题二 轴对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 【常见模型】 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，D，E，F分别是等边三角形三边的中点．下列三角形：①；②；③，其中，可以由经过一次轴对称变换得到的是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】证明，然后根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：∵D，E，F分别是等边三角形三边的中点， ∴是等边三角形的中位线， ∴， ∴， ∴沿直线轴对称可得，沿的垂直平分线轴对称可得，沿的垂直平分线轴对称可得， ∴可以由经过一次轴对称变换得到的是①；②；③． 故选：D． 【点睛】此题考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，关键是根据轴对称的性质解答． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·课后作业）如图，和都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到．说明得到的过程． 【答案】△EBC是由△DAC绕点C逆时针旋转60°得到的 【分析】先根据等边三角形的性质证明△EBC≌△DAC，即可得到△EBC是由△DAC绕点C逆时针旋转60°得到的． 【详解】解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ECD=60°=∠ACB=60°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠ECD=∠ACD， ∴△EBC≌△DAC（SAS）， ∴AD=BE， ∴△EBC是由△DAC绕点C逆时针旋转60°得到的． 【点睛】本题主要考查了旋转设计图案，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形是正方形，，分别是和的延长线上的点，且，连接，，．    (1)可以看作是经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到的变换过程； (2)已知，，直接写出四边形的面积为________． 【答案】(1)是由绕点A顺时针旋转得到 (2)25 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． （1）根据正方形的性质得，，则可根据“”证明，于是根据旋转的定义，将绕A点顺时针方向旋转90度得到； （2）由得，所以，然后根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ∴， ∴， 可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到； （2）解：∵，， ∴， ， ， ． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，与边的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）． (1)直接写出的度数； (2)在旋转过程中，试证明始终成立． （提示：由于符合勾股定理的形式，若通过将或进行旋转或轴对称变化，变换边、角的位置，最终使转化为一个直角三角形的三边就可以使得问题解决了．） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，旋转变换性质以及勾股定理等知识，根据题意作出旋转后的图形，利用三角形全等是解决问题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得,，利用角的和差关系可得结论； （2）运用旋转性质和勾股定理判断说明等式成立． 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴,， ∵ ∴； （2）证明：如图，将绕点A顺时针旋转至的位置， 则，旋转角． 连接， 在和中， ∵． ∴， ∴， 又， ∴， 即． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）【发现问题】 在全等三角形研究“筝形”的数学活动中，学习了筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，以及筝形的边、角、对角线的性质.小明在学完十三章《轴对称》后，将学过的角平分线的性质与判定定理，线段垂直平分线的性质与判定定理的图形进行了整理，发现这些图形中都存在筝形，且筝形是轴对称图形． 【提出问题】 小明利用筝形是轴对称图形对它的面积进行了探究，得到了筝形面积与对角线的数量关系． （1）如图1，在四边形中，，，对角线与相交于点O． 求证：． 【分析问题】 （2）如图2，在四边形中，，，于点B，于点D，点M，N分别是，上的点，且，求的周长．（用含a的式子表示） 【解决问题】 （3）①如图3，在中，点D为内一点，平分，且． 求证：． ②如图4，在中，，，点D，E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出______°． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）①证明见解析；②或 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再利用及三角形面积公式即可证明； （2）延长至，使，连接，易证，从而证得，得到，，由的定义，结合图形等线段转化即可得解； （3）①过点D作，由直角三角形的全等的判定易得，，得到，从而得证； ②分两种情况：当四边形为筝形时，时和时，结合图形分别计算即可得解； 【详解】（1）在四边形中， ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 又， ∴点C在线段的垂直平分线上， ， ， （2）如图2，延长至，使，连接， ，， ， 又，， ， ， ， ， 即， 又， ， ， ， （3）①如图3，过点D作， 平分， ∴ 又， ，， ， ， ②分两种情况： 当四边形为筝形时，时，如图 ， 当四边形为筝形时，时，如图 ， ， ， 综上所述，或 【经典例题三 旋转模型】 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 【常见模型】 【例3】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）一副三角尺如图放置，为中点，将绕点旋转，边分别与边分别交于点，若，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质等，连接，由等腰三角形的性质可得，，，进而由余角性质得，即得，即可得，得到，利用中线性质求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵是等腰直角三角形，点是斜边的中点， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，旋转的性质等知识，证明两个三角形全等是关键． （1）根据旋转的性质，得，，，再证明即可； （2）设，则可求得，从而得，，由三角形内角和即可求得结果． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得： ，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，绕着点B旋转（顺时针）到，且． (1)和是否全等？如果全等，请指出对应边和对应角． (2)直线与直线有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，对应边：与与与；对应角：与与与 (2)垂直，见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键： （1）根据全等三角形的定义，以及全等三角形的性质，进行作答即可； （2）延长交于点，根据全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：； ∵绕着点B旋转（顺时针）到， ∴， ∴对应边为：与与与； 对应角为：与与与； （2）直线与相互垂直，理由如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相互垂直． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ，， ； （2）解：由题意可得：旋转中心是点， 旋转角为或， ∴旋转角的度数为． 故答案为：， 4．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 【经典例题四 一线三等角模型】 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型解读】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 【例4】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图1，，，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，由 ，得 . 又，可以推理得到 ，进而得到，，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型：[模型应用]如图2，且 ，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积的计算，由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； 【详解】解：由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积为： ． 故选：B； 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，可得，再由，可得，从而得到利用证得，即可； （2）在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ∵， ∴； （2）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图1，是大家非常熟悉的“一线三直角模型”，受到这模型的启发，我们研究如下问题：如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，连接并延长交的延长线于点F， (1)若，求线段的长； (2)在（1）的条件下，连接交于点N，求的值； (3)在（1）的条件下，在直线上找点P，使，直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)4或 【分析】（1）先证明，再证明，进而即可求得线段EF的长； （2）过点N作于点M，证明得出再证明得出，设则，代入比例式得出，进而即可求解； （3）当P在B点的左侧时，过点P作于点Q；当P在B点的右侧时，过点P作交的延长线于点T，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解： 又 解得； （2）如图，过点N作于点M， 即， 又 设，则 解得 ； （3）如图所示，当P在B点的左侧时，过点P作于点Q， 设，则， 又 即 解得 在中，， ； 如图所示，当P在B点的右侧时，过点P作交的延长线于点T， 设，则 即 解得 ， 综上所述：的长度为4或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）【模型呈现】 “数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．“一线三等角”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． (1)【模型理解】如图1，已知，点C在线段DE上，，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ； (2)【拓展延伸】在中，，分别以、为腰，在左侧作等腰直角三角形，在右侧作等腰直角三角形，其中，， ① 如图2，连接，当交线段的延长线于点M时，求证：； ② 如图3，连接，当交线段于点M，且时，求的长． 【答案】(1)； (2)①证明见解析  ② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由可证明，可得，即可求解 （2）①由可证，可得，由可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，，，由面积关系可求，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， 由． 故答案为：；． （2）解：①作交直线于E，则， ， ， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ②作交直线于E，则， 由①得，，， ，，， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ． 4．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三直角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； 【问题提出】 （2）如图3，改变直线的位置，其余条件与（1）相同，若，，求的面积； （3）如图4，四边形中，，的面积为20，且的长为8，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． (1)根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出，再利用线段的和差即可得结论； (2) 同（1）可证，求出、的长，再根据三角形的面积公式即可得到结论； (3) 过点A作于F，过点B作交DC的延长线于E，证明是等腰直角三角形，同（1）可证，求出，进而可求的面积． 【详解】解：（1）由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴，， ∴； （2）同（1）可证， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的面积为； （3）过点A作于F，过点B作交DC的延长线于E， ∵的面积为20， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同（1）可证， ∴， ∴的面积为． 【经典例题五 垂直模型】 【例5】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图所示，是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小颖（点B）到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， ∴小颖到地面的距离为， 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是设计了如下测量方案． 课题 测量凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图 （不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线AC与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达D点； ③他到达D点后向左转直行，当自己、电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处． 测量数据 (1)请你根据测量方案将示意图补充完整； (2)求凉亭A与游艇B之间的距离，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)距离为，理由见解析． 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、全等三角形的应用等知识与方法，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形． （1）任务一：根据题意可知，小华的方案中蕴含着一对全等三角形，即，将图形补充完整即可； （2）任务二：由补充完整的图形可知，，且与是对应边，可知米，得出答案为8； 【详解】（1）解：如图所示． （2）距离为．理由如下： 垂直于岸，平行于岸， ， ， 根据题意，， 在和中， ， ， ． 答：凉亭A与游艇B之间的距离． 2．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)小明认为与一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由； (2)连接，若，求的度数； (3)求的长． 【答案】(1)同意他的看法，见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据“直角三角形两锐角互余”以及垂直的定义，即可证明结论； （2）连接，易证是等腰三角形，再利用三角形内角和定理即可求解； （3）证明，易得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：同意他的看法，即，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：连接，如图所示， 由旋转的性质可知． 是等腰三角形， ． ，， ； （3）解：由旋转的性质可知， ，， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）图是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图，将仪器放置在上，使点（与顶点重合，，  分别在边， 上，沿 画一条射线， 交于点，是的平分线吗?请判断并说明理由． (2)如图，在（）的条件下，过点作垂直 于点， 若，，的面积是，求的长和的值． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析； (2)，的值为． 【分析】（）由判定,然后由该全等三角形的对应角相等证得结论； （）过点作于点，由三角形的面积公式即可求出，再有三角形面积相等得出的值即可； 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： 在和中， ∴ ∴， ∴是的平分线； （2）解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设三角形的BC边上的高为， ∴， ∴， ∴，即， ∴的值为． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，为伞柄，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨分别是伞骨上两个定点，且满足，，． (1)若，求的度数； (2)当伞完全撑开后，点在同一条直线上，已知，两个身体宽度的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？ 【答案】(1) (2)他们是会被垂直滴下的雨水淋到 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图2所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∵， ∴他们是会被垂直滴下的雨水淋到． 【经典例题六 手拉手模型】 模型.手拉手模型（三角形） 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 （等边） （等腰直角） （等腰） 【例6】（24-25八年级上·湖南湘西·阶段练习）在学习了三角形的内容后，李老师为了更生动地让同学们理解所学习的知识，带领大家做实验：首先让全班所有同学手拉手围成一个锐角三角形，李老师站在三角形的内部，第一次李老师要以相同的速度和相同的时间走到三个顶点处的学生的位置，第二次李老师又要以相同的速度和相同的时间走到三条边上距离他最近的学生的位置．请大家根据所学知识，依次猜出李老师两次实验的初始位置分别在三角形的什么地方吗（    ） ①三条高的交点        ②三边中垂线的交点 ③三条角平分线的交点        ④三角形内部的任意位置 A．①③ B．②③ C．①② D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质及线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【详解】解：∵第一次李老师要以相同的速度和相同的时间走到三个顶点处的学生的位置， ∴初始位置应在三角形三边中垂线的交点上． ∵第一次李老师要以相同的速度和相同的时间走到三个顶点处的学生的位置， ∴初始位置应在三角形三条角平分线的交点上． ∴应当是②③ 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成的图形就是典型的“手拉手”模型，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． 如图，，    (1)求证：； (2)如图②，当时，取的中点P，的中点Q，判断的形状并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据证明； （2）根据得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中，， ． （2）解：为等腰直角三角形．证明如下：                        由（1）知，， ， P，Q分别为，的中点， ， ， 在和中， ．               ．             ， ， ， 即， 为等腰直角三角形． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形， 如图1，和是是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，求证：； （2）类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出的长，不说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）与的数量关系，位置关系是，理由见解析；（3）． 【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答． （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即． （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中，， ∴， ∴． （2）解：与的数量关系，位置关系是． 理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作∶ (1)如图1，在和中，，连接，当点落在边上，且三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，与全等的三角形是__________，的度数为__________． (2)如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明∶；②． 【答案】(1)，； (2)①证明见解析；②证明见解析； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等知识，明确题意，寻找出全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）①利用证明，得出，， ②利用①中，利用三角形外角的性质即可得出. 【详解】（1）解：如图1中， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：①和均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在和中， ， ，， ② ∴ ， ； 4．（2025·江苏南京·模拟预测）【问题发现】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示， 是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路    将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在 中，易得 ，由，得，， 之间的数量关系为_______． 【类比分析】 （2）如图2所示，当点在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）若（1）中的点 在射线上，且 请直接写出的度数．    【答案】（1）；（2）（1）中结论成立，见解析；（3）75°或15° 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是灵活运用这些性质，并正确作出辅助线． （1）根据题意可得是直角三角形，根据勾股定理和全等三角形对应边线段相等即可求解； （2）将线段绕点逆时针旋转得线段．可证明，进而得到，，进而证明，进而得到在中，，再根据勾股定理即可求解； （3）分两种情况讨论：当点在上时，当点在延长线上时，在利用前面结论在中得， 得，进而得出． 【详解】证明：（1）将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，   ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）（1）中结论成立． 理由：将线段绕点逆时针旋转得线段． 如图1所示，连接，．    ∵ 为等腰直角三角形， ∴，． 由旋转性质可知为等腰直角三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴，． ； 在中，且 （3）如图所示，当点D在上时，    同理可得：，，，， ∴在中， ∴． ∵， ∴； 如图3所示，当点在延长线上时，，，    ∴． 综上所述，的度数为或． 【经典例题七 半角模型】 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 模型1.半角模型（90°-45°型） 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【例7】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 【答案】（1）DF；（2）见解析 【分析】（1）由于△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系，根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法； （2）先证明△ADF≌△ABG，得到AG=AF，∠GAB=∠DAF，结合∠EAF＝45°，易知∠GAE=45°，再证明△AGE≌△AFE即可得到EF＝GE=BE+GB=BE＋DF 【详解】解：（1）根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°， 在△ADF和△ABG中 ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF=AG，∠DAF=∠GAB， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠EAB=45°， ∴∠GAB+∠EAB=45°， ∴∠GAE=∠EAF =45°， 在△AGE和△AFE中0 ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴GE=EF， ∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转方法提示构造全等三角形，属于中考常考题型． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点与点重合，得到，连接、、． (1)求证： ． (2)如图，已知旋转得到，如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）根据旋转得到，，，即可得到； （2）根据旋转得到，，，，即可得到，然后依据，代入数据解答即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，可知：，，， 在和中， ， ； （2）解：由旋转的性质，可知：，，，， 点、、共线， ， 在和 中， ， ． ， ， ； ， 正方形的边长为4， ． 2．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 【答案】成立，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质；根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【问题发现与证明】 如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，“截长补短”是常用的方法之一在图中，连接，为了证明结论“”，小亮延长到，使解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； 【问题拓展与应用】 如图，正方形的边长为，点，分别在，上，若，，求的长． 【答案】【问题发现与证明】见解析；【问题拓展与应用】 【分析】根据题意易通过证明≌，则，，根据可得，进而得到，因此可通过证明≌，得到，以此即可证明 【问题拓展与应用】：根据勾股求得，则，由【问题发现与证明】可知，，设，则，，在中，根据勾股定理建立方程，求得，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】【问题发现与证明】证明：四边形为正方形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ，即， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ； 【问题拓展与应用】解：正方形的边长为， ，， 在中，，， ， ， 由【问题发现与证明】可知，， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，理解题意，构造合适全等三角形解决问题是解题关键． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．    （1）在图l中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； （2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ （3）如图3，如果四边形中，，，，且，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）的长为5． 【分析】（1）利用旋转的性质和正方形的性质，证明即可求证； （2）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出答案； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，得到EF=FG，设，用含x的代数式表达GC和EF，根据勾股定理列出方程，解出x的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠BAE=45°，即∠GAB+∠BAE=45°， ∴∠GAE=∠EAF， ∴在△GAE和△FAE中， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：在上取一点，使， ，   ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠ADG=∠ABE=90°， 又∵DG=BE， ∴， ∴，， ∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=45°， ∴∠GAD+∠BAF=45°， ∴∠GAF=45°，即∠EAF=∠GAF， ∴， ∴， 即； （3）解：在上取一点，使，    ∵， ∴∠D+∠ABC=180°， ∵∠ABE+∠ABC=180°， ∴∠D=∠ABE， 又∵AB=AD，DG=BE， ∴， ∴，， ∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=45°， ∴∠GAD+∠BAF=45°， ∴∠GAF=45°，即∠EAF=∠GAF， ∴， ∴EF=FG 设 ∴， ∴ 在中， ∴， 解得：， 答：的长为5． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，根据条件证明是解题关键． 【经典例题八 倍长中线模型】 【例8】（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝7，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．4＜AD＜10 B．0＜AD＜10 C．3＜AD＜7 D．2＜AD＜5 【答案】D 【分析】延长AD到E点，使AD=DE，连接EC，易得△ABD≌△ECD，得到AB=CE=3，在△ACE利用三边关系得到AE取值范围，进而得到AD取值范围. 【详解】延长AD到E点，使AD=DE，连接EC ∵AD是中线 ∴BD=CD 又∠ADB=∠EDC，AD=DE ∴△ABD≌△ECD ∴AB=CE=3 在△ACE中，AC=7，CE=3 ∴7-3＜AE＜7+3，即4＜AE＜10 ∵2AD=AE ∴2＜AD＜5 故选D 【点睛】本题主要考查中线倍长法解题，关键在于能够做出辅助线找到三角形全等. 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）2＜DG＜5（2）AD=CD+AB，证明见解析 【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，利用SAS可证得，利用全等三角形的对应边相等可得到DE=MF，再利用三角形的三边关系定理，可求出DG的取值范围； （2）延长AE，DC相交于点F， 利用平行线的性质可知∠BAE=∠F，利用AAS可证得△ABE≌△FCE，利用全等三角形的性质可证得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分线的定义去证明∠F=∠DAF，利用等角对等边可证得AD=DF，然后根据DF=DC+CF，代入可证得结论． 【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF， 在和中， ∴(SAS)， ∴DE=MF=3， ∵DF-MF＜DM＜DF+MF， ∴7-3＜DM＜7+3， 即4＜DM＜10， ∵， ∴4＜2DG＜10， ∴2＜DG＜5； （2）AD=CD+AB，理由如下： 解：延长AE，DC相交于点F， ∵， ∴∠BAE=∠F， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， 在和中， ∴（AAS）， ∴AB=CF， ∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE， ∴∠F=∠DAF， ∴AD=FD， ∵FD=CD+CF，CF=AB， ∴AD=CD+AB． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点并添加辅助线． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点D是的中点，分别以为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，连接． (1)请写出与的数量关系，并说明理由． (2)延长交于点F，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】此题主要考查了倍长中线法，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，利用倍长中线法作出辅助线是解本题的关键． （1）延长至E，使，连接则，证明，得出，进而判断出进而判断出，得出，即可得出结论； （2）结合（1），可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，延长至E，使，连接 ∵点D是的中点， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． （2）解：延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题： (1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形． (2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD； ②求证：AC＝2OP． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD； ②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°， 又∵AO=OB，OC=OD， ∴△OAC和△OBD是兄弟三角形； （2）①证明：延长OP至E，使PE=OP， ∵P为BD的中点， ∴BP=PD， 又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP， ∴△BPE≌△DPO（SAS）， ∴BE=OD； ②证明：∵△BPE≌△DPO， ∴∠E=∠DOP， ∴BEOD， ∴∠EBO+∠BOD=180°， 又∵∠BOD+∠AOC=180°， ∴∠EBO=∠AOC， ∵BE=OD，OD=OC， ∴BE=OC， 又∵OB=OA， ∴△EBO≌△COA（SAS）， ∴OE=AC， 又∵OE=2OP， ∴AC=2OP． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE． 在△ABD与△ECD中 ∴△ABD≅△ECD（SAS） ∴AB＝　 　． 又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5， ∴　 　＜AE＜　 　． 又∵AE＝2AD． ∴　 　＜AD＜　 　． 【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 　 　．（直接写答案） 【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP． 【答案】观察发现：EC，2，12，1，6；探索应用：17；应用拓展：见解析 【分析】观察发现：由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得AB=EC，由三角形的三边关系可求解； 探索应用：由“SAS”可证△ABE≌△HCE，可得AB=CH=25，即可求解； 应用拓展：由“SAS”可证△BPA≌△EPF，可得AB=FE，∠PBA=∠PEF，由“SAS”可证△ACD≌△FED，可得AD=FD，由等腰三角形的性质可得结论． 【详解】观察发现 解：如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE， 在△ABD与△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=EC， 在△AEC中，EC-AC＜AE＜EC+AC，而AB=EC=7，AC=5， ∴2＜AE＜12． 又∵AE=2AD， ∴1＜AD＜6， 故答案为：EC，2，12，1，6； 探索应用 解：如图2，延长AE，CD交于H， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， ∵CD∥AB， ∴∠ABE=∠ECH，∠H=∠BAE， ∴△ABE≌△HCE（AAS）， ∴AB=CH=25， ∴DH=CH-CD=17， ∵∠DFE=∠BAE， ∴∠H=∠DFE， ∴DF=DH=17， 故答案为：17； 应用拓展 证明：如图2，延长AP到点F，使PF=AP，连接DF，EF，AD， 在△BPA与△EPF中， ， ∴△BPA≌△EPF（SAS）， ∴AB=FE，∠PBA=∠PEF， ∵AC=BC， ∴AC=FE， 在四边形BADE中，∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°， ∵∠BAC=60°，∠CDE=120°， ∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°． ∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°， ∴∠ACD=∠DEB+∠EBA， ∴∠ACD=∠FED， 在△ACD与△FED中， ， ∴△ACD≌△FED（SAS）， ∴AD=FD， ∵AP=FP， ∴AP⊥DP． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，作出恰当的辅助线，证得三角形全等是解答此题的关键． 【经典例题九 对角互补模型】 模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=PA； 模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型） 1）“2α对180°-2α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB 注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 【例9】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知四边形的对角互补，且，．过顶点C作于E，则的值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作交的延长线于点，证明，结合已知数据，求出和的长度，即可解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则， ， ， ， ， 平分， ， 四边形的对角互补， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，C、E分别在AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他又没有带量角器，只带了一副三角尺，于是他想了这样一个办法：首先连接CF，再找出CF的中点O，然后连接EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO=BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补． 请将小华的想法补充完整： ∵和交于点． ∴；（    ） 而是的中点，那么，又已知， ∴（    ）， ∴，（全等三角形对应边相等） ∴，（    ） ∴，（    ） ∴和互补．（    ） 【答案】对顶角相等；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】由“SAS”可证△COB≌△FOE，可得∠BCO=∠F，可证AB∥DF，可得结论． 【详解】解：∵CF和BE相交于点O， ∴∠COB=∠EOF；（对顶角相等）， 而O是CF的中点，那么CO=FO，又已知EO=BO， ∴△COB≌△FOE（SAS）， ∴BC=EF，（全等三角形对应边相等）， ∴∠BCO=∠F，（全等三角形的对应角相等）， ∴AB∥DF，（内错角相等，两直线平行）， ∴∠ACE和∠DEC互补．（两直线平行，同旁内角互补）， 故答案为：对顶角相等；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）在学习了四边形的相关知识后，奋进组进行了更深入的思考：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被对角线平分所得的两个小角所对的边存在一定的数量关系？通过讨论，奋进组的解决思路是利用构造三角形全等得出结论，根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，用尺规过点C作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在四边形中，，平分，交的延长线于点E，，求证：． 证明：∵平分，，， ∴①，． ∵， ∴． 又∵， ∴②． ∴（③）． ∴． 通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被该对角线平分所得的两个相等小角④． 【答案】（1）作答如图；（2）①；②；③；④所对的两条边相等． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，四边形内角和定理： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先由角平分线的性质得到，再证明，进而证明，则可得到，据此可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵平分，，， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴（）． ∴． 通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被该对角线平分所得的两个相等小角所对的两条边相等． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点，得，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）延长到点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明为等边三角形，再证明，可得，即可进一步证明结论． 【详解】解：（1）延长到点，得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 延长到点，使得，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·课后作业）四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． (1)如图1，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：延长至M，使得，连，可证明，通过判断的形状，可以得出结论． ①在图1中按要求完成作图； ②的形状为 　　； ③　　； (2)如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，试证明：； (3)如图3，等腰、等腰的顶角分别为、，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 【答案】(1)①见解析；②等腰直角三角形；③ (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）①按题意画出图形即可； ②证明，由全等三角形的性质得出，可得出，则可得出答案； ③由等腰三角形的性质可得出答案； （2）延长至M，使得，连，证明，得出，证明为等边三角形，则可得出答案； （3）延长至M，使得，连，延长至F．证明，得出，则，证明，由全等三角形的性质得出，得出，则可得出答案． 【详解】（1）①如图1， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 即， ∴为等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形； ③∵为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：； （2）如图2，延长至M，使得，连， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． （3）．理由如下： 证明：如图3，延长至M，使得，连，延长至F． 则， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【经典例题十 角平分线模型】 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 【例10】 （24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，是的角平分线，点E，F分别是，上的动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，直角三角形的性质等知识，过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接，可证得，所以，由“直角三角形两锐角互余”可得，所以，由此可得结论． 【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接，如图， 此时最小． ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）由角平分线的性质得到，再证， 得，然后由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）由列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线； （2）∵， ∴， ∴ ∴， 解得：， 即的长为5． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：． 求作：的平分线． 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点N． ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C． ③画射线，射线即为所求（如图）． 请你根据提供的材料完成下面问题： (1)这种作已知角的平分线的方法的依据是____________ （填序号）． ①；②；③；④． (2)请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：证明：由作图可知， 在和△中，， ∴④_________________________ ∴⑤_________________________ 为的角平分线． 【答案】(1)① (2)①；②；③；④；⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线尺规作图，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作法得出基本依据； （2）证明为的角平分线，即证明，可以通过证明． 【详解】（1）解：这种作已知角的平分线的方法的依据是． 故答案为：①； （2）解：由作图可知：，， 在和中， ， ， 为的角平分线， 故答案为：①；②；③；④；⑤． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）中，，射线交射线于D，过D作垂直射线于点E，点F在射线上，． (1)如图1，若是的角平分线，求证：； (2)如图2，若射线平分的外角，且点F在射线上，则线段、和的数量关系是______； (3)如图3，在（2）的条件下，过D作交延长线于点M，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，勾股定理等知识点． （1）根据角平分线性质求出，证，推出证明，得出，即可证明结论； （2）证明，从而有，再证明，得出，即可证明结论； （3）求出，求出，设，根据勾股定理求出，再在中根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是的外角平分线，， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∵ ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设， 在中，， ， 解得：， ∴， 在中， ∴． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）在学习了平行四边形的相关知识后，小艾进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，四边形是平行四边形，的平分线与交于点．用尺规作图：过点作的垂线，交于点，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形 ， ∴① ， ∵平分， ∴， ∴， ∴② ， ∵， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴③ ， ∴ ∴，即， ∵④____________， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤ ． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】（1）以为圆心，大于到的距离为半径画弧交于，作的垂直平分线即可； （2）根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据，再仿照题干描述与解题思路可得猜想的结论. 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：证明：∵四边形是平行四边形 ， ∴①， ∵平分， ∴， ∴， ∴②， ∵， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴③， ∴， ∴，即， ∵④， ∴四边形是平行四边形． 猜想的结论：对于一个邻边不相等的矩形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与矩形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与矩形的另一边相交，则这两个交点和矩形的另两个顶点构成的四边形是矩形． 如图， 同理可得：四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，作线段的垂直平分线，熟练的作图是解本题的关键. 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，与关于轴对称，延长到Q，使，C为中点，下列三角形中与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称的定义，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定方法得到，即其是与成中心对称的的一组三角形． 【详解】解：∵与关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵C为中点， ∴， ∵， ∴， ∴与成中心对称的， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线便是角平分线．在证明时运用的判定定理是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据作图，可知：，结合，利用证明，即可． 【详解】解：由题意，可知：， 又∵， ∴， ∴，即：射线即是的平分线； 故依据为； 故选A． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是(   ) A．6<AD<8 B．2<AD<4 C．1<AD<7 D．无法确定 【答案】C 【分析】先延长AD到E，且AD=DE，并连接BE，利用SAS易证△ADC≌△EDB，从而可得AC=BE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得AB-BE＜AE＜AB+BE，从而易求1＜AD＜7． 【详解】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，如图所示： ∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC， ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴BE=AC=6， 在△AEB中，AB-BE＜AE＜AB+BE， 即8-6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故选：C． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． 4．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，连接交于点，以下五个结论：①；②；③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 利用证明，得，则是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可对结论逐一进行判断． 【详解】解：，， ， 故①正确； 点为的中点，，， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 四边形的面积为， 故④正确，⑤不正确； ， 和互补， 故③正确； 不是定长，故②不正确． 正确的有：①③④， 故选：． 5．（2025八年级上·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，是的角平分线． 过点的直线交线段于点，交线段的延长线于点，作，交的延长线于点，交线段于．在满足以上条件的情况下将绕点旋转，旋转过程中以下保持定值的有（    ）个． ①；②；③四边形的面积；④ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 根据等腰直角三角形的性质和证明，得到，，从而得到，可推出，再根据线段的和差即可判断①；由可推出，由，，可得，可判断②；可证明，得到，由，可判断③；由，得，根据，可判断④． 【详解】解：，，是的角平分线， ，，， ，，且， ， ， ，，， ， ，，， ， ， 又， ，是确定的， 是定值，故①正确； ， ， 又， ， ，， ， 随的旋转而改变， 不是定值，故②错误； ，，， ， ，且， 是定值， 四边形的面积是定值，故③正确； ， ， ， 随的旋转而改变， 不是定值，故④错误； 保持定值的有①③， 故选：B． 6．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，根据辅助线的作法，“遇中线加倍延长”作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作出图形，延长到，使，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的范围，再除以 2 即可得解． 【详解】解：如图，延长到，使， ∵是三角形的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则能说明是的角平分线的依据是 ．（选填“”、“”、“”、“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．连接，，根据证，即可推出答案． 【详解】解：连接，，如图所示： 在和中， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在等边中，点为三条边垂直平分线的交点，若要使旋转前后的两个图形能完全重合，则绕着点至少顺时针旋转 °． 【答案】120 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的性质．连接、、，如图，先根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质，则可判断，所以，从而可判断绕着点O至少顺时针旋转，使旋转前后的两个图形能完全重合， 【详解】解：连接、、，如图所示： ∵点为三条边垂直平分线的交点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴绕着点O至少顺时针旋转，使旋转前后的两个图形能完全重合， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏·周测）如图，是长方形的对角线的中点，，，垂足分别为、，若，则将沿方向平移 可以得到三角形． 【答案】// 【分析】本题考查了平移的性质和全等三角形的判定，根据平移的性质和全等三角形的判定求解即可，解题的关键是熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定． 【详解】∵点是的中点， ∴， ∵ ，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴将沿方向平移可得到， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰中，，D为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点D处，绕点D任意旋转三角板，使两直角边分别交，于点E，F（点E，F与点A，B，C不重合），连接，下列结论：①，②与有可能全等，③的周长等于的周长的一半，④四边形的面积等于的面积的一半．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，连接，先证明，根据全等三角形的性质得到，，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：如图，连接，       ∵在等腰中，，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故①正确； ∴的周长 ∵的周长 ∵不一定相等， ∴的周长不一定等于的周长的一半，故③错误； ∵ ∴是直角三角形 ∵，点E，F与点A，B，C不重合 ∴ ∴当时， ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴，故②正确； ∵ ∴， ∴，故④正确； 综上所述，其中正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 11．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知，的斜边在射线上，沿着射线平移，，．连接，在左侧作等腰直角三角形，，连接交于点F，连接． (1)如图1，当点D在上时，求证：； (2)如图2，当时，若， ①求 ； ②连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①2；② 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识，作辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）根据等腰直角三角形的性质，易证，即可得出结论； （2）①过点C作于H，利用30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，再证明，即可得出； ②根据等腰直角三角形判定得到，根据平行线间的距离相等，得到，从而推出，再利用等边对等角的性质求解即可 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①如图2，过点C作于H， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2； ②如图2，∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为 ． (2)如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，求证：． (3)如图（3），是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法． （1）利用证明； （2）延长到M，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，根据全等三角形的判定与性质求出即可． （3）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明和，再证明得到和，即可求解． 【详解】（1）解：是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为， 故答案为：； （2）延长到M，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． （3）解：，证明如下： 如图，在的延长线上截取，连接， 则， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·江苏南京·期末）（1）阅读理解 由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现若，，，则，请证明他的发现； （2）问题解决 如图②，，试探索线段之间满足的等量关系，并证明； （3）拓展探究 如图③，和是拥有公共顶点C的两个等边三角形，M点、N点、F点分别是的中点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）利用等式的性质得出，再根据证明即可得出结论； （2）结论：．由，推出，，可得，利用勾股定理即可解决问题； （3）证明，可得，根据点M，N，F分别是和的中点，有，从而可得，通过角的换算即可得,得出，过F作,得，，从而可求出． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）结论：． 理由：如图2中，连接，    由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． （3）∵均为等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵点分别为边中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 过点F作于点G，如图，    ∴ 由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，会运用全等三角形解决问题． 14．（24-25八年级上·江西南昌·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到.进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；    [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【答案】模型呈现：；模型应用：50；深入探究：见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K型”全等是解题的关键； [模型呈现]根据题意可直接进行求解； [模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； [深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解． 【详解】[模型呈现]解：， . 故答案为：； [模型应用]解：如图2中，                  图2 由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ； 故答案为：50； [深入探究]证明：如图3，过作于，过作于，          图3 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中 ， ， 即点是的中点． 15．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）【综合与实践】 神州小组在探究平移、轴对称、旋转之间的关联得到的部分报告如表： 实验操作：奇妙的轴对称 三角形关于直线m对称，三角形关于直线n对称 直线平行 直线相交 三角形③可以由三角形①经过一次________得到．（填“平移”“旋转”“翻折”） 三角形③可以由三角形①经过一次________得到．（填“平移”“旋转”“翻折”） 神州小组通过查阅资料得到如下两个真命题： A．一次平移变换可以分解为两次轴对称变换． B．一次旋转变换可以分解为两次轴对称变换． 【理解运用】 如图三角形能完全重合，则三角形②一定可以由三角形①经过至少________次的轴对称变换得到． 【拓展迁移】 如图，中，把点A绕着C顺时针旋转得到点D，再把点A绕着B逆时针旋转得到点为上方一点且，连接，求的度数． 【答案】[综合与实践] 平移，旋转；[理解运用]2；[拓展迁移] 【分析】[综合与实践]两条对称轴平行时，图形经过两次轴对称，相当一次平移．两条对称轴相交时，图形经过两次轴对称，相当一次一次旋转． [理解运用]根据对称轴垂直平分对称点的连线，在平面内取点,连接，作线段的垂直平分线m，再作出点B，C关于m的对称点,在直线上取点，连接,作的垂直平分线n，作出点关于n的对称点，首尾连接即得，至少2次轴对称； [拓展迁移]作点P关于的对称点F，连接,根据轴对称性质得，求出 ，，由旋转性质得，,根据P为上方一点，分当点P在内时，当点P在的边上时，设在边上；当点P在的边延长线上时，设在延长线上；当点P在点A上时；当点P在外时；均得, ，得,，得，即得． 【详解】解：[综合与实践] 直线平行，三角形③可以由三角形①经过一次平移得到． 直线相交，三角形③可以由三角形①经过一次旋转得到． 故答案为：平移，旋转； [理解运用] 解：如图，∵作三角形①关于直线m对称的三角形③， 再作三角形③关于直线n对称的三角形②， ∴三角形②一定可以由三角形①经过至少2次的轴对称变换得到． 故答案为：2； [拓展迁移] 解：作点P关于的对称点F，连接， 则， ∵， ∴，， ∴，， 由旋转知，， ∵P为上方一点， ∴当点P在内时， ∵， ∴, ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在的边上时，设在边上， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在的边延长线上时，设在延长线上， 同理， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在点A上时， 同理， ∴, ∴, ∵, ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在外时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，． 【点睛】本题主要考查了几何变换的几种类型．熟练掌握轴对称性质，平移性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键．平移变换：在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．在平移变换下，对应线段平行且相等．轴对称变换：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形互相重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称．在轴对称变换下，对应线段相等，对应线段所在直线或者平行，或者交点在对称轴上，且这两条直线的夹角被对称轴平分．旋转变换：在平面内，将一个图形沿某一个定点方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．旋转不改变图形的形状和大小．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角． 学科网（北京）股份有限公司 $